Hoofdstuk boek havo b Oppervlakte en inhoud.. Vlakke figuren, oppervlakte.. Het halve cirkeltje boven past precies in het halve cirkeltje onder, dan komt er een rechthoek met breedte en lengte 4 + + + 7 Oppervlakte 7 Zie blz 4, opp. figuur 7. a. bovenste deel rechthoek DEFG verlang met.5 + 5.5 5 +.5 0.5 Onderste deel rechthoek ABCH verhoogd met.5 -.5 -.5 4.5 Het zijn daarom ongelijke stukken m.b.t. de oppervlakte. b. Maak een schets. Trek de lijn AE, en maak van de hele figuur een rechthoek ABST van 9 7 De linker en rechterbovenhoek HGFT en CDES van deze rechthoek 7 7 zijn ieder De AET 0.5 9 9 40.5 dus AEFGH 40.5 8.5 Figuur ABSE 0.5 9 9+ 4 9 76.5 dus ABCDE 76.5 54.5 De verhouding is 8.5 : 54.5 7 : 09 (kan je niet vereenvoudigen). In figuur.7 zie je een parallellogram wat is opgebouwd uit keer het trapezium. Opp. parallellogram hoogte basis h (a + b) Trapezium is de helft dus ½ h (a + b) b. Zie tekening voor de verdeling in kleine driehoek, echthoek, grote driehoek. Opp. a h Opp bh Opp a h en a + b+ a a of a a a b Opp trapezium a h + bh + a h h( a + b + a ) ½ h(a + b + a ) ½ h(a + b + a + b) ½ h(a + b + a + a a a ) ½ h (a + b) 4. vakje cm A 0.5 4 4cm B 4-0.5-0.5 4-0.5 5.5cm C Parallellogram + cirkel b h + π r 4 + π + π 5.4 cm D trapezium ½ h (a + b) ½ (5 + ) 9 cm E rechthoek +halve cirkel b l + ½ π r + ½ π 6+ ½π 7.57 cm 5 Geel opp. cirkel vierkant 9π -8 0.7 Opp vierkant ½ vierkant met zijde 6 8
Opp cirkel π 9π 6a. hoek M 60 graden ( 60 : 6 60) b. hoogte 4 4 4 Opp ABM 0.5 4 4 6.9 c.6 4 4.6 A B M M? A.5 S.5 B 7a. Hoek M 60 : 5 + 7 graden, dus hoek A 54 gr. o MS Bereken eerst de lengte MS BS met tan dus MS.5 tan(54).44 a AS Opp ABM 0.5 5.44 8.6 Opp vijfhoek 6 8.6 4.0 (gebruik steeds de ans functie op je GR) M 6 A B 8a. hoek M 45 graden ( 60 : 8 45) b. hoogte 6 7 Opp ABM 0.5 6 9 5.59 c.8 9 4.8 9 totaal driehoek 80 graden. A C 70 en B 40, dus gelijkbenig,
B A C maar CD h 0 (en niet BD) overs. 0 0 Bereken AB BD + AD met aanl + 5.56 tan tan(40) tan(70) Opp.ABC 0.5 0 5.56 77.79 C 5 A D B 0 CD overst. sch. sinα 5 sin(70) h Opp ABC 0.5 8 5 sin(70) 8.8 b. Zie vorige opdracht, c 8 en b 5, hoek A 70 Rood gearceerd cirkelsegment ABM driehoek ABM 69.8-49.4 0.57 Driehoek ABM 0.5 0 0 sin(80) 49.4 80 Cirkelsegment π r π 0 69.8 60 60 Driehoek ABM 0.5 5 5 sin(60) 0.8 60 Cirkelsegment π r π 5.09 60 60 Wit maantje.09 0.8.6 Cirkel maantjes blauw 5π -.6 7.75 Blauwe deel cirkel maantjes 5π - 4.09 66.8 opp cirkel 5π Opp wit maantje cirkelsegment BMC driehoek BMC 6.09 4.09 Driehoek CBM 0.5 4 6 (ivm,4,5 driehoek) Hoek BMC ndsin( 5 ) 7.74 graden Cirkelsegment 60 π r 7.74 60 π 5 6.09
4. Het gebied dat binnen de beide cirkels ligt zijn maantjes, een kleine (links) en een grote(rechts) Totaal +.84 4.84 Opp groot maantje 0.8 7.8. 5 hoek M ndsin( 4 ) 77.6 77.6 Cirkelsegment π r π 4 0.8 60 60 Driehoek PQM 0.5 4 4 sin(77.6) 7.8 Opp klein maantje 5.47-64.84. 5 hoek N ndsin( 6 ) 49.5 49.5 Cirkelsegment π r π 6 5.47 60 60 Driehoek PQN 0.5 6 6 sin(49.5).64. Uitslagen. 5 en 6 In beide gevallen kan c. niet Zet letters bij de hoekpunten als je dit niet ziet. 7 Begin met vierkant, zijde, pak je passer, lengte, en trek een cirkel vanuit A en B met r, snijpunt T 8a. AT 6 want AT : AE AB : EF dus AT : 4 : (zet de afknotlijnen halverwege) 9 Gebruik steeds je passer om de gelijkzijdige driehoek AHF te tekenen 4
0 het vierkant boven heeft als oppervlakte de helft van de opp van het vierkant onder Opp onder 9. Opp boven 4.5, dus zijde vierkant boven 4. 5. Driehoeken zoals ABP heeft zijdes, +.5.5 en.5 Driehoeken zoals PQB heeft zijdes.,.5 en.5 figuur b is goed, de omtrek van de cirkel is net zo lang als de lengte van de rechthoek. Stappenplan kegelmantelomtrek berekenen.. straal mantel R, straal grondcirkel r, (p) ATB. Je weet R, omtrek grondcirkel πr, 60 r 60 r 60 dus r R en p en R 60 R p. grondvlak π r en mantel π R 60 p 60r 4. Makkelijke mantelformule : R 60 π p π r R 90 a r 0 00 0.75 b. r. 5.46 c. r 60 60 60 p r R 60 p p 4 r R invullen 5 60 60 60 p 6 5 5 In beide gevallen is R 5, ivm,4,5 driehoek Bij kegel a is de 4 60 6 (zie berekening som 4) en bij b is de p 88 5 5
6 a. rechthoek 4π 5 0π (omtrek cirkel π r) c. touwtje 5 π + 4.5 B 7 vlaggenmast is in de tekening plat gelegd, omtrek paal 4.5 π 9π A Lengte touw 4 500 + 9 π 44. cm. Oppervlakte van ruimtefiguren. 8 opp bodem + deksel + rechthoek 8π +4π 4π Bodem deksel π 9π Rechthoek 4 π 4π T R A 7 7 B 9a. zie som 4 6 b. mantel π 5 5π, grondvlak π 9π, totaal 4π 75.4cm 60 0 zie blz 57 onderste deel, hoek T 45, dus halve T.5 gr. R 7 60 sin(.5) Middelpuntshoek p 7 60 60 sin(.5) 7 7 sin(.5) 7 sin(.5) 8. mantel π R 60 60 sin(.5) 7 sin(.5) 49 49 π ( ) π π 40. 60 sin(.5) sin (.5) sin(.5) grondvlak π r π 7 49π 5.9 Totaal 40. +5.9 556. 6
. opp. grondcirkel 00 dus r R Q + 0.48 R Makkelijke mantelformule : π r R π Q R 0.5 tophoek p 50 r.99 4 mantel π r R 75 R π 4π T 00 5.64 Q (gebruik de optie store op de GR) π 75 r 60 (en p R 40 ) 6 A 4 4 B Tophoek ndsin( 64 ) 8.6 a. NT x 5 : x : x 6 dus 5(x 6) x of x 0 en x 0 (tekening!) b. mantel grote kegel π r R π 5 0 + 5 75.6 c. afgeknotte kegel grote kegel kleine kegel 75.6 8. 47.5 mantel kleine kegel π r R π 4 + 8. d. grondvlak 5π 78.54 Totaal 47.5+78.54 6.06 4 weer afgeknotte kegel. r 0 cm 0 : 4 x : (x ) dus 0(x ) 4x of 6x 0 en x 8 (hoogte niet afgeknotte kegel grote kegel) Afgeknotte kegel grote kegel kleine kegel656.-04.97 55. mantel grote kegel π r R π 0 8. + 0 656. mantel kleine kegel π r R π 4 7. + 4 04.97 5 opp bodem + deksel + rechthoek Dikke cilinder 6π +6π + 8π 0 π Dunne cilinder 4π + 4π + 4π? π dus 4π? 04π hoogte 6 6. kwart cilinders met r dus ½ cilinder met r en h 6 + rechthoek van 6 bij 6 Rechthoek 6 m Halve cilindermantel π 6 8π Totaal 9.55 m 955 dm Kosten 955.75 696 euro 7 Bereken eerst cilindermantel b, neem daar de helft van, en je hebt cilindermantel a 4π 0 480π dus opp scheve cilindermantel 40π 75.98 7
8 Opp grote bol 4 r π Elk klein bolletje heeft opp 50π 4 π 5 00π 4 r π π r π 50.5 dus r.5.54 4 40000 9 omtrek π r 40000, dus r 666 R π Opp aarde 4 π R 5099588 7% is hetzelfde als keer 0.7 dus 0.7 4 π R 500 km 40a. r, want balletjes Opp cilindermantel 6π 7π Opp bal 4 π r 4 π 6π. dat is dus de helft van de cilindermantel. M S T A D B 40b. Bovenaanzicht schetsen. De straal van de bodem 6 cm. De straal van een knikker x cm In de schets zie je twee gelijkvormige (gelijkzijdige) driehoeken. Daarin zie je ook steeds de straal van de knikker, en de straal van de cilinder. De zijde ST van de kleine gelijkzijdige driehoek r knikker x De zijde AB van de grote gelijkbenige driehoek MAB omdat de halve hoek M 60graden, de schuine zijde AM, AD overst. sin(60) 0.5 dus AB 0.5 Nu geldt gelijkvormigheid groot MAB : klein MST r cilinder : (r cilinder - r knikker) zijde grote driehoek : zijde kleine driehoek x x : (-x) : x x (-x) x x x x x -x x + x x( + ) x.9 + c. De knikkers liggen in 4 laagjes van knikkers. Elk laagje is maximaal.9.78 dik. 4.78 is minder dan cm. d. opp knikker 4 π r dus knikkers 4 π.9 9.4 cm e. 9.4 :..58 keer zo groot. 8
4. Inhoud van ruimtefiguren. 4a. I kegel π r h b.i bol π 4 r 4 Kies als straal r (voor de tennisballen en de cilinder), dan geldt h 6r I cilinder π r h 6π r 4 I tennisball en π r 4π r Twee derde is gevuld met tennisballen, dat is 66.7% 4a. I prisma opp grondvlak h Grondvlak 0.5 6 6 sin(60) 9 5.6 I prisma 9 8 7 4.7 b. I piramide opp grondvlak h Grondvlak, deze driehoek is cm hoog ( 5 ) I piramide c. I kegel π r h en r de hoogte van deze kegel 4 I kegel π 4.5 44 Grondvlak.5 (aflezen uit figuur) h I piramide.5.0 45 I prisma opp grondvlak h Het grondvlak zijn de twee evenwijdige vlakken. I piramide opp grondvlak h Het huis zonder uitsparingen is een piramide Opp 6 04 Er gaan twee prisma s en een piramide af. Grote prisma IJ 6 EI 4 grondvlak, h 8, prisma 8 96 Kleine prisma GL 6 GF 4 grondvlak, h 4, prisma 4 48 Piramide, grondvlak 4 6, h 6, piramide 6 6 Inhoud huis 04 96 48 848 m 46 Dit huis bestaat uit keer balk, keer prisma, en een piramide Balken 4 5 + 4 6 (beneden) Prisma s 0.5 4 4 5 +0.5 6 4 4 08 Piramide 0.5 4 4 8 Totaal huis + 08 + 8 58 m 9
47 schaal : 5 betekent cm tekening 5 cm in werkelijkheid Dus.5 cm 7.5 cm zijde zeshoek en.7 cm.5 cm hoogte doosje I doosje opp grondvlak h M 7.5 A.75 B grondvlak bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken, zijde 7.5 Hoek M hoek A hoek B 60 Opp.een driehoek 0.5 7.5 7.5 sin(60) I doosje opp grondvlak h6 0.5 7.5 7.5 sin(60).5 46.5 cm 48 I bol π en r 5 I bol 4 r r 4 π 5 I kegel π 0 66 π 0 r 7. I cilinder r π 0 66 π r 0 66.67 49 I kegel : I bol : I cilinder π r r 66 π 5.6 cm r 66 0 4 r r 500 r 50 r 6.67 r 4. π π r r 4 : : : : 50a. vierkante buis 5 5 00 45000 cilnders π 7.5 00 70685.8 + Totaal 5685.8 Eraf de doordringing π 7.5 5 50.44 - Totale inhoud 084.9 cm b. cilinder erbij met inhoud 084.9 cm π 7.5 h 084.9 h 64.6 cm 7.5 π 5b boven aanzicht, de straal van de bol 0.5 diagonaal kubus 0
0.5 a. I bol 4 + + 4 4.5 π en r I bol 4 r I kubus 4 64 cm 4 ) ( Het deel van de bol buiten de kubus is dan 0. cm π π 74.cm 5a. Het kiepkarretje is een afgeknotte piramide, omdat de onder en bovenkant gelijkvormig zijn (onderkant bovenkant) Bereken eerst de hele piramide, met hoogte 4 m en grondvlak 6 m I piramide 6 4 8 m Dan de top die eraf gehaald is : I piramide.5 m Inhoud karretje 8 7 m 5 Emmer is afgeknotte kegel, omdat de onder en bovenkant gelijkvormig zijn (onderkant.5 bovenkant) Bereken eerst de hele kegel, met hoogte 75 cm en grondvlak 5 π I kegel π 5 75 6875π cm Topje π 0 50 5000π cm Emmer 875π cm 7. liter 5. D-toets.. niet a. omtrek 0π, dus r 5 Het is een achthoek dus hoek M in AMB 45 en hoek B in ABM Dus hoek B in ABC 67.5 5 b. Eerst opp. AM BM 5 hoek AMB 45 Opp achthoek 8 driehoek 8 0.5 5 5 sin(45) 70.7 5 M 80 45 67.5 A x D x Omtrek 8 AB 8 5 sin(.5) 0.6 AB x en x overst 5 sin(.5).9. Hele cirkel 5π, het gaat om segment ABM - driehoek ABM rood maantje
M 5 A D B driehoek ABM zijn twee,4,5 driehoeken, de hoogte DM is 4 Opp driehoek ABM hoek M ndtan( 4 ) 7.74 segment 7.74 60 5π 6.09 Het rode maantje 6.09 4.09 4a. Let op waar de rechte hoek zit, het gaat weer om twee rechthoekige,4,5 driehoeken, en twee gelijkbenige driehoeken, met benen 4,4, en 5,5, 5. R 6 + 40 0, omtrek hele cirkel 4 0 π 60 omtrek grondcirkel 4π Middelpuntshoek.84 0 b. Teken een hoek van.8 graden, benen van ongeveer 6. ( 0 ), en de cirkel. 6a. kegelmantel Rrπ 5 5 5 π 75.6 R 0 + 5 5 5 5 Grondcirkel 5π Opp kegel 5π + 6 54. b. Afgeknot op hoogte 4, dat is 0.6 van de hoogte, dus de r R van topje 6 + 45 5 mantel van topje 5 π 9 5 π Afgeknotte mantel 5 5 π -9 5 π 6 5 π.4 7 Opp bol 4 π r 4 π 4 64π Opp cilinder bodem + deksel + rechthoek π r + π r h π 4 + π 4 8 π + 64π 96π Verhouding bol : cilinder : b. 4 π r :( π r + π r r )4 π r :( π r +4 π r ) 4 π r :6 π r 4 : 6 : De opp verhouding van een bol en zijn omgeschreven cilinder is altijd :
8a. r 5 cm en h 0 cm I cilinder π 5 0 50π 785.4 cm. I bol π 4 r 4 π 5 66 π 5.6 cm 9a hoeken zijn 60 graden, zijde 6 opp grondvlak 0.5 6 6 sin(60) 5.59 I piramide 5.59 0 5.96 b. topje heeft hoogte 6 en grondvlak zijde.6 opp grondvlak 0.5.6.6 sin(60) 5.6 I topje 5.6 6. Afgeknotte piramide 5.96-. 40.74 c. het gaat om de piramide uit opgave a. h 0, r omdat de hoogte vaan een driehoek met zijde 6 6 7 en het snijpunt van de middelloodlijnen zit op van de hoogte van de driehoek I kegel π ( ) 0 π 4 0 40π 5.66 Deel kegel wat buiten de piramide ligt 5.66-5.96 7.7