Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Mnique Bkke en Msch Klex NWD vijdg feui 03 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Huje-uwje wiskunde een wkshp ve ensegiies Tensegiy is een smenekking vn de engelse wden ensinl (d ek) en sucul inegiy (cnsucieve inegiei). De nm geef n d een ensegiy één geheel is d een evenwich ussen ek- en dukkchen. De ekkchen wden pgenmen d uwjes, de dukkchen d skjes (hujes). Vnd de nm huje-uwje cnsucie. Als e k m één skje f uwje vewijded wd is de ensegiy nie lnge vmvs en s in. D mk d he ng nie z eenvudig is m een ensegiy in elk e zeen. Bijznde n ensegiies is d elk skje lleen n uwjes vszi, nie n ndee skjes. Als de uwjes eg dun zijn in vehuding de skjes lijk he dm f de skjes zweven. Buckse Fulle (895-983), de Ameiknse ingenieu, chiec, uivinde, diche en edenke vn he wd ensegiy spk dm ve eilnden vn duk in een zee vn ek. M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Op inene zijn veel veelden vn ensegiies e vinden. Kijk eens p: - hp://www.ensegiei.nl/ensegiies.hml en hp://www.ensegiei.nl/n-wiskunde.hml (wesies vn Mcel Ps me heel veel pljes vn mdellen en uileg ve de ijehende wiskunde) - hp://www.kennehsnelsn.ne/ (wesie vn Kenneh Snelsn,een vn de ensegiy pinies en nwepe vn de needle we in he Kölle-Mülle museum in Oel) - hp://www.inensindesigns.cm/ (een wesie me ensegiy mdellen vn nde ndee de uggeg, he een en he menselijk skele. Kijk ij mdels.) - hp://www.ensegiyinilgy.c.uk/ (een wesie ve ensegiy epssingen in de ilgie. Kijk p de pgin s gedesic en mdels). Tensegiy kepel (Mcel Ps) Needle we (Kenneh Snelsn) Skwish (Tm Flemns) Kulip idge in Bisne (Cx Ryne Achiecs en Aup Enginees). Mdel vn uggeg (inensin designs) Lmp (AchXX) Tensegiy g (Mcel Ps) Gelsix cue (Rik Heves) Tfel (Onn vn Dkkum) 3 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Beekening ensegiy me die skjes We gn nu he vend vsleggen ussen de lenge vn de skjes en de veschillende uwjes vn een ensegiy me he kleins mgelijke nl skjes: die. Om he eenvudig e huden gn we ui vn die skjes vn gelijke lenge, die uwjes vn gelijke lenge in he gndvlk, die uwjes vn gelijke lenge in he venvlk en die uwjes vn gelijke lenge ussen gnd- en venvlk. Omd de uwjes vn een vmvse ensegiy lijd sk sn, vmen de uwjes in he gnd- en venvlk gelijkzijdige dieheken (me heken vn 60 ). Als de uwjes in gnd- en venvlk dezelfde lenge heen zijn deze dieheken cnguen. ensegiy me cnguene dieheken in gnd- en venvlk ( =) Vd we gn ekenen geven we de lenges vn de skjes en uwjes iede een lee en nummeen we de uieinden vn de skjes. A, A en A3 zijn de uieinden vn de skjes in he gndvlk, B, B en B3 in he venvlk. Ok geven we enkele hndige hulpgheden n. V de duidelijkheid zijn de lees en nummes hien k in een vennzich ngegeven. 4 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Bvennzich ensegiy me gelijkvmige dieheken ( ) Bvennzich me hulpgheden, en s = de lenge vn de skjes = de lenge vn een uwje in he gndvlk vn de ensegiy (is gelijk n de zijde vn de gelijkzijdige diehek in he gndvlk). = de sl vn de mgescheven cikel vn de gelijkzijdige diehek in he gndvlk = de lenge vn een uwje in he venvlk (is gelijk n de zijde vn gelijkzijdige diehek in he venvlk). = de sl vn de mgescheven cikel vn de gelijkzijdige diehek in he venvlk: c = de lenge vn een uwje d de ndekn vn he ene skje veind me de venkn vn he ndee skje, ijveeld ussen A en B. z = de hge vn de ensegiy, d.w.z. de fsnd ussen nde- en venvlk. = de ij de zijden vn de gelijkzijdige dieheken ehende middelpunshek: 360 / 3 0 De vg is nu: Als je een wde kies v, en s, he me je dn c kiezen zd de ensegiy vmvs is? We willen dus ween he de wee dieheken A A A3 (gndvlk) en B B B3 (venvlk) liggen en pziche vn elk. Le wel: Als je de vendiehek di en pziche vn de gnddiehek vende de lenge c dd de gepjeceede lenge c ' vende én de hge z vn de ensegiy. He uwje me lenge c zl lleen sk lijven sn ls he pecies even lng is ls de ks mgelijke fsnd c ussen A en B (f A en B). De uwjeslenge c me je dus imliseen. 5 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Minimliseen vn de uwjeslenge c Vediing vn venvlk en pziche vn ndevlk Vediing vn venvlk esuleend inc De vediing vn he venvlk en pziche vn he ndevlk kun je ngeven me de dihek, f me de x - en y -cödinen vn pun B', en pziche vn he pun A. In de uigngspsiie ( 0 ) lig sl MB' p sl MA. De skjes sn dn l scheef (zie ijveeld skje A B ). We geuiken ees de x - en y -cödinen. Me ehulp vn Pyhgs en de figuen hieven kun je he vlgende selsel vegelijkingen psellen: s ( x) y z () c x y z Hieui vlg: c s x () Le p: x is psiief ls B' echs vn A lig, negief lsb' links vn A lig. Nu kun je ui de vensnde vegelijking flezen d he ge x, he kleine c zl zijn. Dus: c s xmx (3) In de eche figuu is e zien d x mximl is ls B zve m M di d lijnsuk MB' evenwijdig is n lijnsuk A A. Dn is: xmx (4) Vegelijking (3) en (4) geven smen: c s ( ) s (5) 6 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Omd sin( ) sin(60 ) / / (6) kn di k gescheven wden ls: c s f 4 sin(60 ) 0 sin(60 ) c s (7) En z lig me de lse vegelijking de vehuding ussen de vie lenges,, c en s vs. Opdch Neem n: = 0 cm, = 0 cm en s =5 cm. Beeken c. Opdch Neem n: s = 5 cm, en c. Beeken, en c. Opdch 3 Beeken, en c ls gegeven is d s = 5 cm, vehuding en vehuding c Opdch 4 Mk de ensegiy die je in pdch 3 eekend he (l ees je eekening cnleen). Mnge hndleiding Knip de uwjes 5 cm lnge dn de eekende lenge. Mk me een schepe vuw zmpjes vn ±,5 cm in de uieinden vn de uwjes, z d de lenge ussen de vuwen gelijk is n de eekende lenge. Schuif een knijpklje ve he zmpje. Geuik he ijsskje m de knijpkl p een vse fsnd vn he uieinde vn de lus e kijgen. Knijp he klje dn dich me een plekng Mk de (- en -)uwjes vn de dieheken in he gnd- en venvlk vs n de spijkejes in de uieinden vn de skjes. Mk me elsiekjes de veindingen ussen nde- en venvlk. Vevng sl deze elsiekjes d de c-uwjes. 7 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Hge vn de ensegiy We definiëen nu: - z is de hge vn een nie-vmvse ensegiy me uwjeslenge c - z is de hge vn de vmvse ensegiy me uwjeslenge c. De hge z kn he eenvudigs eekend wden ls funcie vn, de dihek wij c gelijk is n c. Omd lijnsuk M B evenwijdig is n lijnsuk A A geld: A A M (Z-heken) Vede geld: A A M (80 ) (hekensm gelijkenige diehek) En dus is: 90 30 (8) Opdch 5 G n d geld: x mx cs30 en y sin30 L zien d hieui me () vlg: z c cs30 (9) Opdch 6 Neem n: 0 3 cm, 0 cm en s 5 cm. Beeken c W is je cnclusie? en z. Opdch 7 Neem n: 0 3 cm, 0 cm. Beeken de imle skjeslenge die je ndig he m een fysisch mgelijke ensegiy e mken. 8 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Minimliseen vn de uwjeslenge me ehulp vn de dihek Om n e nen d de dihek, wij c gelijk is n c, 0 indedd gelijk is n 30 gn we de uwjeslenge c schijven ls funcie vn de dihek. N, Hieui vlg me (): c s x s sin( ) sin( ) E geld (zie eche figuu): x P N, A sin( ) sin Opdch 8: L me ehulp vn diffeeniëen (n ) vn c zien d de ge vn wv c iml is (en dus k c iml is) gelijk is n 6 (dus 30 ), de ge vn wv c mximl is gelijk is n (dus 0 ). Opmeking: de fgeleide vn de sinus is lleen gelijk n de csinus ls geekend wd in dilen. 6 9 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
Uieiding n ensegiies me mee skjes A B Tensegiy me 5 skjes en v = B3 A3 De escheven npk v een ensegiy me 3 skjes kn eenvudig gegeneliseed wden v ensegiies me n skjes. Als n > 4 is he nie mee ndzkelijk d een sk de veinding vm ussen hekpun Ai in he ndevlk, en hekpun Bi in he venvlk. De sk kn k een f mee hekpunen vesln, en de veinding vmen ussen hekpun Ai en hekpun B iv me v een geheel gel en v. Tensegiy me 3 skjes. Tensegiy me n skjes. 360 / 3 0 90 90 60 30 c s s 4 4 sin sin 60 z c 360 / n 90 v 90 80 v / n c s 4 sin v sin sin s 4 cs sin 80 v / n Opdch 9 L zien he () en me (5) vendeen v een ensegiy me n skjes, wij v hekpunen wden vegeslgen. 0 M. Bkke, M. Klex, ensegiies
V een uiweking vn de pdchen kun U cnc pnemen me Msch Klex. E-mil: msch@mschklex.cm In de wkshp geuike meilen: - meselkd, mm (.. e kp ij Gmm, kn veschillende kleuen heen) - knijpklen ± 4mm (M00064, eseld p inene ij Syil) - genen skjes, lenge 5 cm, dsnede 9 mm - ddngels in kpse einden (lenge 5 mm, dsnede,5 mm) M. Bkke, M. Klex, ensegiies