Analyse en benadering van wachtrijen voor verkeerslichten

Technische Universiteit Eindhoven 2WH40: Bachelor eindproject Analyse en benaderin van wachtrijen voor verkeerslichten Auteurs: Yvonne Gootzen 0812693 y.a.p.m.ootzen@student.tue.nl Rik Timmerman 0801291 r.w.timmerman@student.tue.nl Beeleiders: Dr. ir. M.A.A. Boon Prof. dr. J.S.H. van Leeuwaarden 2 juli 2015

Inhoudsopave 1 Inleidin 3 1.1 Opbouw versla.......................................... 3 2 Wiskundie modellen 4 2.1 Aannames (alemeen)...................................... 4 2.2 FCTL-model........................................... 4 2.3 Early arrival model........................................ 7 2.4 Late arrival model........................................ 9 2.5 Discreet k-limited model..................................... 10 2.6 DBSQ-model........................................... 12 2.7 DBSQ-model met tijdsloten................................... 14 2.8 Gated DBSQ-model....................................... 14 2.9 Bepalin q k............................................ 16 3 Relaties tussen de verschillende modellen 17 3.1 Relatie FCTL en k-limited.................................... 17 3.2 Relatie tussen DBSQ en DBSQ met tijdsloten......................... 18 4 Stochastische ordenin 20 4.1 Gated DBSQ-model....................................... 20 4.2 Stochastische ordenin en kansenererende functies...................... 21 4.3 Numerieke resultaten....................................... 21 5 Quality and Efficiency Driven principe 24 5.1 Gevolen van het QED-principe voor de wachtrij voor het FCTL-model.......... 24 5.2 Verschillen tussen de modellen in het QED-reime...................... 26 5.3 Correctiefactor.......................................... 27 6 Dominant Pole Approximation 29 6.1 Nulpunten in het complexe vlak................................. 30 6.2 Kwaliteitsanalyse benaderin.................................. 31 7 Conclusie 32 A Lemma stochastische koppelin 34 B Berekeninen 35 C Simulatiebeschrijvin 46 C.1 Discreet.............................................. 46 C.1.1 Model met FCTL-aanname............................... 46 C.1.2 Late arrival model.................................... 46 C.1.3 k-limited model...................................... 46 C.2 Continu.............................................. 46 C.2.1 Model met FCTL-aanname............................... 47 C.2.2 Early arrival model.................................... 47 C.2.3 k-limited model...................................... 47 C.3 QED schalin........................................... 47 D Additionele fiuren 48 E Additionele tabellen 50 2

1 Inleidin Verkeerslichten zijn van root belan in de hedendaase samenlevin. Zonder verkeerslichten zou het verkeer op drukke punten namelijk niet oed ereeld kunnen worden. Door het plaatsen van verkeerslichten op de juiste kruisinen, kan een oede doorstromin van het verkeer bevorderd worden. Een oede afstellin van de stoplichten is daarnaast van belan om bijvoorbeeld erernis bij weebruikers te voorkomen. Als je lan staat te wachten voor een rood verkeerslicht, wordt het op den duur natuurlijk verleidelijk om door rood te rijden. Dat is uiteraard niet de bedoelin. Daarnaast is het zo dat de rij auto s die voor het stoplicht staat niet te lan ma zijn. Anders krij je moelijk problemen met bijvoorbeeld andere kruispunten, die dan wellicht ook verstopt raken. We kijken in dit onderzoek naar één stoplicht. Het zou ezien kunnen worden als een voetanersoversteekplaats die ereeld wordt door een stoplicht. We zullen ons daarom in dit onderzoek focussen op wachtrijen die ontstaan voor verkeerslichten. Aanezien auto s soms te maken krijen met een rood stoplicht, zal er zich een wachtrij opbouwen bij het stoplicht. Als het stoplicht op roen sprint, kunnen er auto s werijden bij het stoplicht, zodat de rij weer korter wordt. Een van de belanrijke prestatiematen van de wachtrij is zijn emiddelde lente op het moment dat het stoplicht op rood sprint. Bij een oede afstellin van het stoplicht zal het zo zijn dat de emiddelde rijlente niet te root is. Een andere prestatiemaat die van belan is, is de kans dat de wachtrij lee is op het moment dat het stoplicht op rood sprint. Als dit namelijk nooit ebeurd, dan is de afstellin van het stoplicht waarschijnlijk niet al te best. Het is lasti om het edra van werijdende auto s te modelleren. Daarom bekijken we drie verschillende modellen met ieder een andere aanname over het rijedra van auto s. Ook bekijken we een model waarbij het stoplicht slim is door op rood te sprinen als de rij lee is. Voor een edetailleerdere uitwerkin van de modellen verwijzen we naar Hoofdstuk 2, waarin we ook no drie andere, benaderende modellen beschrijven. Voor alle modellen berekenen we de bovenenoemde prestatiematen analytisch. Met behulp van continue en discrete simulatie controleren we de analytische resultaten. We merken op dat de modellen stochastisch eordend kunnen worden. Geeven dezelfde aankomsten zal het zo zijn dat het ene model altijd een kortere of elijke wachtrij heeft als het andere model. Alle modellen die we bespreken blijken stochastisch te ordenen te zijn. Verder is het zo dat we enkele benaderinen voor sommie parameters van de wachtrij uitwerken. We bekijken het QED (Quality and Efficiency Driven) principe, dat strikt enomen een benaderin is, maar een schalin van de rood- en de roenperiode. In de limiet weten we wat dit op zou moeten leveren voor de emiddelde rijlente en dit zullen we ook als benaderin voor de rijlente ebruiken. Ook de DPA (Dominant Pole Approximation) zullen we als een benaderin ebruiken. Dit is een benaderin van de kansen op een bepaalde rijlente aan het einde van de roenperiode. Deze maakt ebruik van een dominante pool en blijkt verrassend oed te werken. 1.1 Opbouw versla We beinnen in Hoofdstuk 2 met een uitebreide beschrijvin van alle modellen die we bekijken. We bepalen de kansenererende functie van de lente van de wachtrij op het einde van een roenperiode en bepalen verder de kans op een lee rij op datzelfde moment, de emiddelde rijlente op dat moment en de HT-limiet (Heavy Traffic limiet). In Hoofdstuk 3 aan we in op de relaties tussen de verschillende modellen en zullen we zien dat sommie modellen op het einde van de roenperiode dezelfde wachtrijverdelin hebben. In Hoofdstuk 4 aan we in op het stochastisch ordenen van de rijlenteverdelin van de modellen. We vervolen daarna onze we met het QED-principe in Hoofdstuk 5 en in Hoofdstuk 6 de DPA-benaderin. We zullen zien dat vooral de DPA-benaderin er oed blijkt te werken. Tot slot trekken we onze conclusies in Hoofdstuk 7. Voor het leesemak van dit versla wordt er van bijna alle verelijkinen alleen het resultaat weereeven. De verelijkinen die meer berekeninen hebben dan weereeven in het versla, zijn emarkeerd met een. In Appendix B is vervolens een edetailleerde uitwerkin te vinden. 3

2 Wiskundie modellen In dit hoofdstuk bekijken we zeven verschillende modellen, nadat we een aantal alemene aannames hebben behandeld. Het FCTL-model neemt aan dat een auto die aan komt rijden en een lee rij treft bij een roen stoplicht, direct door ma rijden zonder te hoeven stoppen voor het stoplicht. We bekijken ook het discrete model zonder FCTL-aanname. Een auto die komt aanrijden en een lee rij bij een roen stoplicht treft, ma nu niet meer zomaar doorrijden. We behandelen twee varianten van de reels voor het werijden van een auto in deze situatie. Variant 1: het Early Arrival Model aat ervan uit dat de auto die aankomt bij een lee rij en een roen stoplicht we ma rijden aan het einde van het tijdslot waarin hij is aanekomen. Variant 2: het Late Arrival Model aat ervan uit dat de auto die aankomst bij een lee rij en een roen stoplicht pas we ma rijden aan het einde van het tijdslot na de aankomst van de auto. Het k-limited model werkt zoals de bovenstaande modellen, met de aanpassin dat het licht op rood aat zodra de rij lee is. Door deze aanname is het niet van belan welke afspraken er worden emaakt over een auto die een lee rij bij een roen licht treft, aanezien deze situatie niet voor zal komen. Het DBSQ-model (Discrete Bulk Service Queue) is een model waarin we een onderscheid maken tussen tijdsloten, maar we kijken alleen no maar op tijdstippen equivalent met c tijdsloten. Het aankomstproces van de auto s is hetzelfde als bij de overie beschreven modellen. Na een tijd die equivalent is met c tijdsloten kunnen er hoostens evenveel auto s werijden als het aantal roene tijdsloten dat we normaal zouden hebben. Het aantal auto s dat werijdt is alleen afhankelijk van het aantal auto s dat te wachten staat voor het stoplicht. We bekijken ook een variant van het DBSQ-model mét tijdsloten: het DBSQ-model met tijdsloten. Om redenen die uiteled worden in Pararaaf 4.1 bekijken we ook het ated DBSQ-model. In dit model moeten alle auto s minimaal een hele cycle blijven wachten voor het stoplicht. Verder moen de auto s werijden volens het DBSQ-model. 2.1 Aannames (alemeen) Al het verkeer dat aankomt bij het verkeerslicht behandelen we hetzelfde. Dit betekent dat we bijvoorbeeld een onderscheid maken bij het verschil in werijden van een automaat en een handeschakelde auto of het verschil tussen een auto en een vrachtwaen. Ook bij het aankomen maken we een onderscheid. We zullen het voor het emak nu voortaan altijd over auto s hebben. Auto s komen onafhankelijk van elkaar aan. In het discrete eval zullen we als aankomstverdelin een Poissonverdelin nemen en in het continue eval nemen we een exponentiële verdelin voor de tussenaankomsttijden. In het discrete eval komen alle auto s aan op het einde van een tijdslot. Auto s die aankomen bij het verkeerslicht sluiten achteraan aan in de wachtrij. Alle auto s rijden alleen we als het stoplicht op roen staat (er wordt dus niet door rood ereden). Een auto kan alleen werijden als hij de voorste is die in de rij staat. Het eerste moment dat een auto we kan rijden is één tijdslot nadat het stoplicht op roen is espronen. Hierna kan tot het moment dat het stoplicht op rood sprint na ieder tijdslot precies één auto werijden. 2.2 FCTL-model In deze pararaaf beschrijven we het model dat Darroch [1] en Van Leeuwaarden [2] en rekenen we het model door. Zij Y een discrete stochast met kansenerende functie Y (z) = E(z Y ). Darroch neemt aan dat Y van het samenestelde Poisson type is, maar in werkelijkheid kan de verdelin van Y verschillende vormen hebben. Wij zullen voor Y een Poissonverdelin aannemen. Het emiddelde en de variantie van Y noteren we respectievelijk met µ Y en σy 2. Voor een stabiele situatie moet elden dat er minder auto s aankomen in een cyclelente dan het maximale aantal auto s dat tijdens een roenperiode kan vertrekken. Dus Y moet voldoen aan: cµ Y <. (1) Met k even we aan over welk tijdslot we praten en met n even we de cycle van dat tijdslot aan. Als k = 0, 1,..., 1 staat het stoplicht op roen en als k =, + 1,..., c 1 staat het stoplicht op rood. Voor k = 0, 1,..., 1 eldt dat de rijlente op tijdstip k + 1 van diezelfde cycle elijk is aan de rijlente op 4

tijdstip k en het aantal earriveerde auto s tussen de k en k + 1 minus één auto die vertrokken is, mits de rij niet lee is op tijdstip k. Als de rij wel lee is op tijdstip k, kunnen alle aankomende auto s volens de FCTL-aanname elijk doorrijden zonder aan te sluiten in de wachtrij. Dus voor k = 0, 1,..., 1: { X k,n + Y k+1,n 1 als X k,n 1, X k+1,n = (2) 0 als X k,n = 0, en voor k =, + 1,..., c 1 staat het stoplicht op rood en kunnen er dus een auto s werijden: Dus eldt voor k = 0, 1,..., 1: en: X k+1,n = X k,n + Y k+1,n. (3) j+1 P(X k+1,n = j) = P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1) voor j = 1, 2,..., p=1 P(X k+1,n = 0) = P(X k,n = 0) + P(X k,n = 1)P(Y k+1,n = 0). We noteren de kansenererende functie van X k,n met X k,n (z). Dan ebruiken we (4) en (5) om te herleiden dat: X k+1,n (z) = P(X k,n = 0) + P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1)z j. (6) p=1 j=p 1 Gebruik makend van de eienschap dat alle Y k,n identiek en onafhankelijk verdeeld zijn als Y, kunnen we dit als volt herschrijven tot: Met behulp van recursie volt dat: X k+1,n (z) = z 1 Y (z)x k,n (z) + (1 z 1 Y (z))p(x k,n = 0). X,n (z) = (z 1 Y (z)) X 0,n (z) + (1 z 1 Y (z)) ( 1 (4) (5) (7) ) P(X k,n = 0)(z 1 Y (z)) k 1. (8) Merk op dat X 0,n+1 (z) = X,n (z)y (z) r en, als het systeem in evenwicht verkeert, dat X 0,n (z) = X 0,n+1 (z). Met X k noteren we de evenwichtsverdelin van X k,n. Gebruik (8) om een uitdrukkin voor X 0 (z) te vinden: (8) X 0 (z) = X 0,n (z) = X (z) (1 z 1 Y (z)) 1 q k(z 1 Y (z)) k 1 (z 1 Y (z)). (9) We ebruiken X 0 (z) om X (z) te bepalen: X (z) = Y (z) (ζ(z) 1) 1 q kζ(z) k z Y (z) c. (10) Hierbij is ζ(z) = z(y (z)) 1 en q k = P(X k = 0). Op dit moment is q k onbekend voor k = 0, 1,..., 1. Om deze onbekenden op te lossen kunnen we een aantal verelijkinen opstellen. De stellin van Rouché vertelt ons dat de noemer van verelijkin (10) nulpunten heeft binnen en op de eenheidscirkel z 1. Doordat de kansenererende functie analytisch en oed edefiniëerd is in z 1, eldt dat de teller van X (z) ook elijk is aan 0 in de nulpunten van de noemer. Er zijn nulpunten, dus zijn er verelijkinen. Echter is één van de nulpunten elijk aan 1. Dit leidt tot een triviale verelijkin. Daardoor hebben we een extra verelijkin nodi. Deze noemen we de normalisatieverelijkin en is ebaseerd op de eienschap van de kansenererende functie dat X (1) = 1. Het invullen van z = 1 in X (z) eeft 0 0. Door de stellin van l Hôpital toe te passen, kunnen we een uitdrukkin vinden voor X (1). Allereerst differentiëren we de teller van X (z) naar z: z ( ) Y (z) (ζ(z) 1) q k ζ(z) k =Y (z) 1 Y (z)(ζ(z) 1) q k ζ(z) k + ζ (z)y (z) q k ζ(z) k + (ζ(z) 1)Y (z) q k ζ(z) k 1 ζ (z)k. 5 (11)

Net zo differentiëren we de noemer van X (z) naar z: We bepalen de normalisatieverelijkin als volt: en ζ (z) = Y (z) Y (z) z Y (z). Dus wordt de normalisatie- 2 Hierbij maken we ebruik van Y (1) = 1, Y (1) = µ Y verelijkin eeven door: Theoretische prestatiematen z (z Y (z) c ) = z 1 cy (z) c 1 Y (z). (12) 1 = X (z) z=1 = (1 µ Y ) 1 q k cµ Y. (13) q k = cµ Y 1 µ Y. (14) We bepalen van elk model dat we bespreken een aantal prestatiematen, namelijk P(X = 0), E[X ] en lim ρ 1 (1 ρ)e[x ]. Voor het berekenen van P(X = 0) ebruiken we dat P(X = 0) = X (0): P(X = 0) = Y (0) c q 0. (15) Voor de kansenerende functie voor de rijlenteverdelin aan het einde van een roenperiode kunnen we verelijkin (10) ebruiken. Dan eldt: E[X ] = z X (z) z=1. (16) Als we dit ewoon uitrekenen, krijen we echter 0 0. We lossen dit op door de limiet van z naar 1 te nemen. Hierdoor moen we de stellin l Hôpital toepassen, die we tweemaal nodi blijken te hebben. Dan krijen we het volende emiddelde: E[X ] = cσ2 Y + r2 µ 2 Y 2 (1 µ Y ) 2 + 2(1 µ Y ) 2 1 kq k 2( cµ Y ) Tevens bepalen we de volende limiet: + σ2 Y + (1 µ Y ) 2. (17) 2(1 µ Y ) lim(1 ρ)e[x ] = cσ2 Y ρ 1 2. (18) Deze limiet staat bekend als de HT-limiet (Heavy Traffic limiet) en is voor Poisson aankomsten elijk aan 1 2 (want er eldt dat: σ2 Y = µ Y en die is elijk aan c in de limiet). Bij het uitwerken van de HTlimiet maken we ebruik van het feit dat de kansen op een lee rij naar 0 aan als ρ 1 (en dus ook 1 kq k 0), wat we formeel maken met het volende arument (hiervoor ebruiken we de ideeën in [3]): We weten het volende over de q k : q 0 q 1 q 2... q 1, (19) en verder no dat: q k [0, 1] voor k = 0, 1,..., 1 en de normalisatieverelijkin (14). Laat α het eheeltallie deel van α noteren. Om 1 kq k af te kunnen schatten maken we ebruik van q k voor k = 0, 1,..., 1. We kiezen q k als volt: 0 als 0 k α 2, q k = α α als k = α 1, (20) 1 als α k 1. Als we de q k op deze manier kiezen, waarbij we voldoen aan de voorwaarden waaraan de q k moeten voldoen, dan is het eenvoudi om te zien dat we op deze manier 1 kq k kunnen afschatten met 6

1 kq k. Met andere woorden, als we de q k op deze manier kiezen, krijen we een bovenrens voor de werkelijke waarde van 1 kq k. In dit eval eldt dat: kq k α voldoet aan (14), dus: = α 2 α 2 kq k + ( α 1)q α 1 + 0k + ( α 1)(α α ) + = ( α 1)(α α ) + Als we dit invullen in de zojuist bepaalde bovenrens zien we dat: lim ρ 1 k= α k= α α (2 α 1). 2 kq k k (21) cµ Y lim α = lim = 0. (22) ρ 1 µ Y /c 1 µ Y α (2 α 1) kq k lim( α 1)(α α ) + = 0. (23) ρ 1 2 Aanezien we weten dat 1 kq k 0, moen we concluderen dat de 1 kq k in de HT-limiet 0 wordt. 2.3 Early arrival model In deze pararaaf zullen we het model uit Pararaaf 2.2 bekijken waarbij de FCTL-aanname wordt weelaten. Elke auto die aan komt rijden, sluit aan in de rij of vormt een nieuwe rij en ma pas aan het einde van het tijdslot werijden, mits hij de voorste auto is. Ook nu eisen we voor een stabiel systeem dat: cµ Y <. (24) We schrijven de rijlente als volt voor k = 0, 1,..., 1: { 0 als X k,n = 0 en Y k+1,n = 0, X k+1,n = X k,n + Y k+1,n 1 in alle andere evallen, (25) en voor k =, + 1,..., c 1: X k+1,n = X k,n + Y k+1,n. (26) Dit levert de volende kansen voor een bepaalde rijlente op voor k = 0, 1,..., 1: j+1 P(X k+1,n = j) = P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1) voor j = 1, 2,..., (27) p=0 en: P(X k+1,n = 0) (28) = P(X k,n = 0)P(Y k+1,n = 0) + P(X k,n = 1)P(Y k+1,n = 0) + P(X k,n = 0)P(Y k+1,n = 1). We noteren de kansenererende functie van X k,n met X k,n (z). Dan ebruiken we (27) en (28) om te herleiden dat: X k+1,n (z) = (1 z 1 )P(X k,n = 0)P(Y k+1,n = 0) + P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1)z j. (29) p=0 j=p 1 Gebruik makend van de eienschap dat alle Y k,n verdeeld zijn als Y, kunnen we dit als volt herschrijven tot: X k+1,n (z) = (1 z 1 )P(X k,n = 0)P(Y = 0) + z 1 X k,n (z)y (z). (30) Met behulp van recursie volt dat: X,n (z) = (z 1 Y (z)) X 0,n (z) + (1 z 1 )P(Y = 0) 7 ( 1 ) P(X k,n = 0)(z 1 Y (z)) k 1. (31)

Ook nu eldt dat X 0,n+1 (z) = X,n (z)y (z) r en, als het systeem in evenwicht verkeert, dat X 0,n (z) = X 0,n+1 (z). Met X k noteren we de evenwichtsverdelin van X k,n. Gebruik (31) om een uitdrukkin voor X 0 (z) te vinden: (31) X 0 (z) = X 0,n (z) = X (z) (1 z 1 )Y (0) 1 q k(z 1 Y (z)) k 1 (z 1 Y (z)). (32) Hierbij is Y (0) = P(Y = 0) en q k = P(X k = 0). We ebruiken X 0 (z) om X (z) te bepalen: X (z) = Y (0)(z 1)Y (z) 1 1 q kζ(z) k z Y (z) c. (33) Hierbij is ζ(z) = z(y (z)) 1. Op dit moment is q k onbekend voor k = 0, 1,..., 1. Om deze onbekenden op te lossen kunnen we een aantal verelijkinen opstellen, één daarvan is de normalisatieverelijkin die is ebaseerd op X (1) = 1. Maar het invullen van z = 1 in X (z) eeft 0 0. Door de stellin van l Hôpital toe te passen, kunnen we een uitdrukkin vinden voor X (1). Allereerst differentiëren we de teller van X (z) naar z: ( ) Y (0)(ζ(z) Y (z) 1 )Y (z) q k ζ(z) k z =Y (0)((ζ (z) + Y (z) )Y (z) Y (z) 2 q k ζ(z) k + (ζ(z) Y (z) 1 )Y (z) 1 Y (z) q k ζ(z) k + (ζ(z) Y (z) 1 )Y (z) q k kζ(z) k 1 ζ (z)). Net zo differentiëren we de noemer van X (z) naar z: We bepalen de normalisatieverelijkin als volt: en ζ (z) = Y (z) Y (z) z Y (z). Dus wordt de normalisatie- 2 Hierbij maken we ebruik van Y (1) = 1, Y (1) = µ Y verelijkin eeven door: Voor Poisson aankomsten met intensiteit µ Y Theoretische prestatiematen De uitdrukkin van P(X = 0) wordt: (34) z (z Y (z) c ) = z 1 cy (z) c 1 Y (z). (35) 1 = X (z) z=1 = Y (0) 1 q k cµ Y. (36) q k = cµ Y Y (0) eldt:. (37) q k = ( cµ Y )e µ Y. (38) P(X = 0) = Y (0) c q 0. (39) Met behulp van verelijkin (16) leiden we af dat de emiddelde wachttijd aan het einde van een roenperiode voor dit model elijk is aan: E[X ] = ( 1)µ Y ( 1) c2 µ 2 Y c(σ2 Y µ Y ) 2( cµ Y ) 8 + Y (0) 1 µ Y cµ Y kq k. (40)

We bepalen tevens de HT-limiet: lim(1 ρ)e[x ] = cσ2 Y ρ 1 2, waarbij we wederom ebruik maken van het feit dat 1 kq k naar 0 aat in de HT-limiet. Dit ma, omdat we weten dat de q k, k = 0,..., 1 voor dit model kleiner zijn dan voor het FCTL-model, zie Hoofdstuk 4. 2.4 Late arrival model We zullen in deze pararaaf wederom de FCTL-aanname welaten. Nu nemen we echter aan dat een auto pas kan werijden in het tijdslot na het tijdslot waarin hij aankomt, mits hij de voorste is in de wachtrij. Wederom moet voor een stabiel systeem elden dat: (41) cµ Y <. (42) Dit levert de volende rijlentes op voor k = 0, 1,... 1: { Y k+1,n als X k,n = 0, X k+1,n = X k,n + Y k+1,n 1 in alle andere evallen. (43) We krijen dus de volende kansen op een rijlente voor k = 0, 1,..., 1 en j = 0, 1, 2,...: j+1 P(X k+1,n = j) = P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1) + P(Y k+1,n = j)p(x k,n = 0). p=1 (44) We noteren de kansenererende functie van X k,n wederom met X k,n (z). X k+1,n (z) = P(X k,n = 0)P(Y k+1,n = j) + z j P(X k,n = p)p(y k+1,n = j p + 1). p=1 j=p 1 (45) Als we ebruik maken van de eienschap dat alle Y k,n identiek en onafhankelijk verdeeld zijn als Y, kunnen we dit herleiden tot: ( ) Xk,n (z) X k,n (0) X k+1,n (z) = Y (z) + X k,n (0). (46) z Als we de recursie verder uitwerken krijen we: X,n (z) = Y (z) X 0 (z) z + (Y (z)z 1 ) i (z 1)X i,n (0). (47) i=1 Gebruik makend van het feit dat X 0,n+1 (z) = X,n (z)y (z) r en dat het systeem in evenwicht is dat eldt X 0,n (z) = X 0,n+1 (z). We noteren met X k de evenwichtsverdelin van X k,n. Dan volt: (47) X 0 (z) = X 0,n (z) = We ebruiken X 0 (z) om X (z) te bepalen: z ( X (z) i=1 Y (z) i z (z 1)X i,n (0)) Y (z). (48) X (z) = Y (z) 1 (z 1)ζ(z)k q k z Y (z) c. (49) Hierbij is ζ(z) = z(y (z)) 1 en q k = P(X k = 0). Op dit moment is q k onbekend voor k = 0, 1,..., 1. Om deze onbekenden op te lossen kunnen we een aantal verelijkinen opstellen, één daarvan is de normalisatieverelijkin die is ebaseerd op X (1) = 1. Maar het invullen van z = 1 in X (z) eeft 0 0. 9

Door de stellin van l Hôpital toe te passen, kunnen we een uitdrukkin vinden voor X (1). Allereerst differentiëren we de teller van X (z) naar z: ( ) Y (z) q k (z 1)ζ(z) k z =Y (z) 1 Y (z) q k (z 1)ζ(z) k ( 1 ) + z q k ζ(z) k + q k (z 1)kζ(z) k 1 ζ(z). Net zo differentiëren we de noemer van X (z) naar z: We bepalen de normalisatieverelijkin als volt: (50) z (z Y (z) c ) = z 1 cy (z) c 1 Y (z). (51) 1 1 = X (z) z=1 = q k. cµ Y (52) Hierbij maken we ebruik van Y (1) = 1, Y (1) = µ Y en ζ (z) = Y (z) Y (z) z Y (z). Dus wordt de normalisatieverelijkin eeven door: 2 q k = cµ Y. (53) Theoretische prestatiematen De uitdrukkin van P(X = 0) wordt: P(X = 0) = Y (0) c q 0. (54) Met behulp van verelijkin (16) leiden we af, dat de emiddelde wachttijd aan het einde van een roenperiode voor dit model elijk is aan: E[X ] = ( 1) c2 µ 2 Y c(σ2 Y µ Y ) 2( cµ Y ) We bepalen tevens de HT-limiet: lim(1 ρ)e[x ] = cσ2 Y ρ 1 2, ( ) 1 µy + (k )q k. (55) cµ Y waarbij we wederom ebruik maken van het feit dat 1 kq k naar 0 aat in de HT-limiet. Dit ma, omdat we weten dat de q k, k = 0,..., 1 voor dit model kleiner zijn dan voor het FCTL-model, zie Hoofdstuk 4. 2.5 Discreet k-limited model In deze pararaaf bekijken we het k-limited model. In rote lijnen nemen we de stappen zoals Houbiers [4] en Lee [5], het verschil is dat wij hier een discrete variant uitwerken, terwijl Houbiers en Lee een continue variant uitwerken. In dit model eldt dat k de lente van een roenperiode is, k =. We nemen hier aan dat op het moment dat de rij lee is, het stoplicht direct op rood sprint als het stoplicht op roen staat. Ook nadat er auto s zijn weereden, zullen we het stoplicht altijd op rood zetten. Tevens als het stoplicht op roen wil sprinen, maar er staan een auto s voor het stoplicht, dan zal direct een nieuwe roodperiode starten. We willen uiteindelijk voor dit model wederom een X bepalen. We nemen voor X k,n en Y k,n dezelfde definitie als in Pararaaf 2.2. Omdat het in dit model moelijk is om bepaalde tijdsloten als het ware over te slaan (als de rij lee is voordat er klanten bediend zijn), kijken we in dit model naar de ezamenlijke (56) 10

kans P(X k,n = x, k = m). Met andere woorden: de kans dat er x klanten in het systeem zijn én dat het huidie tijdslot m is. Ter verelijkin, in de vorie secties keken we naar de conditionele kans P(X k,n = x k = m). De ezamenlijke kansen zullen we p x,m := lim n P(X k,n = x, k = m) noemen en de conditionele kansen p x,m := lim n P(X k,n = x k = m). Er moet voor stabiliteit van het stoplicht elden dat: Dit levert de volende rijlentes op voor als het roen is: cµ Y <. (57) X k+1,n = X k,n + Y k+1,n 1. (58) Daarom krijen we de volende relaties voor p x,m, m = 0, 1,..., 1 (ebruik makend van het feit dat voor alle n en k Y k,n hetzelfde is, dit noteren we met Y ): en voor m = 0: We bepalen nu P 0 (z): i=0 x+1 p x,m = P(Y = x j + 1)p j,m 1, (59) j=1 r p x,0 = P( Y = x)p 0,i + i=1 x r p j, P( Y = x j). (60) j=0 i=1 P 0 (z) = Y (z) r ( p 0,i + P (z)). P (z) is onbekend, maar kunnen we recursief bepalen met P k (z), k = 1, 2,..., : i=0 (61) P k (z) = Y (z)z 1 (P k 1 (z) p 0,k 1 ). (62) Dit ebruiken we om P (z) te bepalen: Met: En dus: ( ) Y (z) P (z) = P 0 (z) z P 0 (z) = Y (z) r p 0,i + i=0 P 0 (z) = ( ) j Y (z) p 0, j. (63) j=1 z ( ) j ( ) Y (z) p 0, j Y (z) + Y (z) r P 0 (z), (64) z z j=1 Y (z) r 1 j=0 p 0,j ( 1 1 Y (z) r ( Y (z) z ( ) ) j Y (z) z ). (65) P (z) = Y (z) 1 j=0 p ( 0,j ζ(z) ζ(z) j) z Y (z) c. (66) Met behulp van de stellin van l Hôpital kan P (1) bepaald worden: P (1) = 1 j=0 p 0,j( j) cµ Y. (67) Met behulp van P (z) uit (66) en P (1) uit (67) kan X (z) worden bepaald: ( Y (z) ) 1 j=0 p0,j(ζ(z) ζ(z) j ) z Y (z) c X (z) = ( ). (68) j=0 p0,j( j) cµ Y 11

We kunnen X (z) ook op een andere manier uitdrukken. Namelijk met behulp van: Dan kan X (z) eschreven worden als: p j,m := p j,m i=0 p. (69) i,m X (z) = Y (z) 1 ( j=0 p 0,j ζ(z) ζ(z) j) z Y (z) c. (70) Om deze onbekenden op te lossen kunnen we een aantal verelijkinen opstellen. Eén daarvan is de normalisatieverelijkin, die ebaseerd is op (c + 1)P 0 (1) + 1 m=1 P m(1) = 1. Maar het invullen van z = 1 in P 0 (z) eeft 0 0. Door de stellin van l Hôpital toe te passen, kunnen we een uitdrukkin vinden voor P 0 (1). Dit levert: P 0 (1) = (1 µ Y ) 1 j=0 ( j)p 0,j. (71) cµ Y De normalisatieverelijkin voor p wordt dan: cp 0 (1) + m=0 m=0 p 0,m ( m) = 1 p 0,m ( m) = cµ Y c. (72) Dit kunnen we ebruiken om de normalisatieverelijkin voor p te bepalen: Theoretische prestatiematen De uitdrukkin van P(X = 0) wordt: m=0 p 0,m( m) = cµ Y 1 µ Y. (73) P(X = 0) = Y (0) c p 0,0. (74) Met behulp van verelijkin (16), leiden we af dat de emiddelde wachttijd aan het einde van een roenperiode voor dit model elijk is aan: E[X ] = µ Y µ2 Y µ Y σ 2 Y 2(1 µ Y ) + 1 2 2 c 2 µ 2 Y cσ2 Y 2( cµ Y ) + (1 µ Y ) 2 p 2( cµ Y ) 0,m(( 1) m(m 1)). m=0 (75) Hierbij maken we ebruik van de normalisatieverelijkin van p. Tevens bepalen we de HT-limiet: lim(1 ρ)e[x ] = cσ2 Y ρ 1 2, (76) waarbij we wederom ebruik maken van het feit dat 1 kq k naar 0 aat in de HT-limiet. We weten namelijk dat 1 m=0 p 0,m(( 1) m(m 1)) = 1 kq k, zie Pararaaf 3.1. 2.6 DBSQ-model We beschrijven in deze pararaaf het DBSQ-model. De manier waarop we de kansenererende functie van het DBSQ-model afleiden wijkt af van de manier waarop we tot nu toe ewerkt hebben, zie [6]. Ook hebben we wat andere notatie nodi, die we eerst zullen introduceren. Noteer met X n de stochast van het aantal auto s dat staat te wachten na een tijd equivalent met n keer c tijdsloten. Aanezien er een echte tijdsloten meer zijn en de roenperiode op het einde van de cycle lit, beschrijft X het limietedra van de rijlente aan het einde van een roenperiode. Noteer met A n het 12

aantal auto s dat in een tijd equivalent met c tijdsloten in periode n + 1 aankomt. X n en A n zijn discrete random variabelen. Vaak zullen we voor de random variabele A n een som van c onafhankelijke random variabelen met een Poisson verdelin Y laten zijn. (Hieruit volt dus: A n = c i=1 Y i,n en bovendien: A(z) = Y (z) c.) Laat het aantal auto s zijn dat aan het eind van een cycle hoostens we ma rijden. Voor een stabiel systeem moet elden dat: µ A <. (77) Dan volt dat: Hieruit bepalen we direct X n+1 (z): X n+1 = (X n + A n ) +. (78) X n+1 (z) = X n (z)z A(z) + x k (1 z k ), (79) met x k := P(X n +A n = k). Als we wederom ebruik maken van het feit dat er een evenwichtsverdelin is en er dus moeten elden dat: X n+1 (z) = X n (z) =: X(z) voor alle n, dan kunnen we afleiden dat (hierbij maken we ebruik van het feit dat alle A n identiek en onafhankelijk zijn, dus A n (z) =: A(z)): X(z) = 1 x k(z z k ) z. (80) A(z) Op dit moment zijn de x k onbekend voor k = 0, 1,..., 1. Om deze onbekenden op te lossen, kunnen we een aantal verelijkinen opstellen, één daarvan de is de normalisatieverelijkin die is ebaseerd op X(1) = 1. Voor het invullen van z = 1 maken we ebruik van de stellin l Hôpital. Als we de teller van X(z) differentiëren naar z, krijen we: ( 1 ) x k (z z k ) z 1 = x k (z 1 kz k 1 ). Net zo differentiëren we de noemer van X(z) naar z: We bepalen de normalisatieverelijkin als volt: (81) z (z A(z)) = z 1 A (z). (82) 1 = X(z) z=1 = 1 x k( k) µ A. (83) Dus krijen we: x k ( k) = µ A. (84) Theoretische prestatiematen De uitdrukkin van P(X = 0) wordt (waarbij we voor A een som van c onafhankelijke Y met een Poisson verdelin hebben ekozen): P(X = 0) = x 0 Y (0) c. (85) Met behulp van verelijkin (16), leiden we af dat de emiddelde wachttijd aan het einde van een roenperiode voor dit model elijk is aan: E[X] = (( 1) c2 µ 2 Y c(σ2 Y µ Y )) + 1 (( 1) k(k 1))x k 2( cµ Y ) = cσy 2 2( cµ Y ) + cµ Y 2 x k ( k) 2 + 2( cµ Y ), (86) 13

waarbij de tweede vorm elijk is aan het resultaat in [3]. Tevens bepalen we de HT-limiet: lim(1 ρ)e[x] = cσ2 Y ρ 1 2, (87) 1 waarbij we ebruik maken van het feit dat lim x k(( 1) k(k 1)) = 0, vanwee soortelijke ρ 1 1 redenen als dat lim kq k = 0 in het FCTL-model. ρ 1 2.7 DBSQ-model met tijdsloten De uitdrukkin van X (z) voor het DBSQ-model is van een andere vorm dan de uitdrukkinen van X (z) in de andere vooraande modellen. In deze pararaaf even we een alternatieve afleidin van het DBSQ-model, zodat X (z) van verelijkbare vorm is als bij de andere modellen. Dit doen we door kunstmati een roenperiode met tijdsloten in te voeren. We laten alle aankomsten A n plaatsvinden in de roodperiode, zodat er aan het model niks veranderd. Er eldt: X,n+1 = (X,n + A n ) +. (88) Dus eldt voor de kans op rijlente m in tijdslot k + 1, voor k = 0, 1,..., 1: { P(X k,n = m + 1) als m > 0, P(X k+1,n = m) = P(X k,n = 0) + P(X k,n = 1) als m = 0. (89) Met behulp van bovenstaande kansen kunnen we de kansenererende functie X k+1,n (z) bekijken: X k+1,n (z) = 1 z X k,n(z) + (1 1 z )q k. (90) Waarbij q k = P(X k = 0) en X k,n (z) = X k,n+1 (z) in limiet. We weten X 0 (z) = X (z)y (z) c. Vervolens bepalen we X (z): X (z) = (z 1) 1 q kz k z Y (z) c. (91) Net zoals in de vooraande modellen, bepalen we de normalisatieverelijkin met behulp van X (1) = 1. Dit zort voor een delin van de vorm 0 0, dus ebruiken we de stellin van l Hôpital en dit eeft: ( z (z 1) ) 1 q kz k z=1 X (1) = z (z Y (z) c ) z=1 1 = q k = 1, (92) cµ Y q k = cµ Y. De theoretische prestatiematen aan het einde van een roenperiode die volen uit deze versie van het DBSQ-model met tijdsloten, zijn dezelfde als de theoretische prestatiematen aan het einde van een roenperiode van het DBSQ-model zonder tijdsloten. 2.8 Gated DBSQ-model We beschrijven in deze pararaaf het ated DBSQ-model. De reden dat we dit model bespreken is te vinden in Pararaaf 4.1. We ebruiken dezelfde notatie als in Pararaaf 2.6. Er kunnen, net als in het DBSQ-model, hoostens auto s werijden. In dit model kunnen auto s die in periode n aankomen alleen niet werijden als er minder dan auto s in de rij stonden aan het bein van de periode en moeten minstens één periode wachten. Wederom moet voor een stabiel systeem elden dat: µ A <. (93) 14

Dan volt dat: Hieruit bepalen we direct X n+1 (z): X n+1 = A n + (X n ) +. (94) X n+1 (z) = A n (z)(z X n (z) s k (z k 1)), (95) met s k := P(X n = k). Als we wederom ebruik maken van het feit dat er een evenwichtsverdelin is en er dus moet elden dat: X n+1 (z) = X n (z) =: X(z) voor alle n, dan kunnen we afleiden dat (hierbij maken we ebruik van het feit dat alle A n identiek en onafhankelijk zijn, dus A n (z) =: A(z)): X(z) = A(z) 1 s k(z z k ) z. (96) A(z) We merken op: X(z) = A(z)X (z), met X(z) de kansenererende functie van het ated DBSQ-model en met X (z) de kansenererende functie van het DBSQ-model. Op dit moment is de s k onbekend voor k = 0, 1,..., 1. Om deze onbekenden op te lossen, kunnen we een aantal verelijkinen opstellen, één daarvan de is de normalisatieverelijkin die is ebaseerd op X(1) = 1. Voor het invullen van z = 1 maken we ebruik van de stellin van l Hôpital. Als we de teller van X(z) differentiëren naar z, krijen we: ( ) A(z) s k (z z k ) z Net zo differentiëren we de noemer van X(z): We bepalen de normalisatieverelijkin als volt: =A (z) (z z k )s k + A(z) s k (z 1 kz k 1 ). (97) z (z A(z)) = z 1 A (z). (98) 1 = X(z) z=1 = 1 s k( k) µ A. (99) Dus krijen we: ( k)s k = µ A. (100) Theoretische prestatiematen De uitdrukkin van P(X = 0) wordt (waarbij we voor A een som van c onafhankelijke Y met een Poisson verdelin hebben ekozen): P(X = 0) = s 0. (101) Met behulp van verelijkin (16) leiden we af dat de emiddelde wachttijd aan het einde van een roenperiode voor dit model elijk is aan: E[X] = cµ Y ( 1) c2 µ 2 Y c(σ2 Y µ Y ) 2( cµ Y ) We bepalen tevens de HT-limiet: lim(1 ρ)e[x] = cσ2 Y ρ 1 2, + 1 (( 1) k(k 1))s k. (102) 2 (103) 1 waarbij we ebruik maken van het feit dat lim s k(( 1) k(k 1)) = 0, vanwee soortelijke ρ 1 1 redenen als dat lim kq k = 0 in het FCTL-model. ρ 1 15

2.9 Bepalin q k Voor de theoretische uitwerkin van de modellen willen we de overebleven onbekenden bepalen. In het FCTL-model, het early arrival model en het late arrival model zijn deze onbekenden de q k := P(X k = 0), voor k = 0, 1,..., 1. Om deze q k te kunnen berekenen maken we ebruik van de evonden uitdrukkinen voor X (z) en later van Mathematica. De stellin van Rouché vertelt ons dat de noemer van X (z) nulpunten heeft binnen of op de eenheidscirkel z 1. Allereerst moeten we de nulpunten van de noemer bepalen. Mathematica eeft exacte oplossinen hiervoor. Over het alemeen zal dit niet het eval zijn, maar in ons eval van Poisson aankomsten, wel. Geeven een bepaalde lente van de roenperiode eeft Mathematica de volende (enkele) oplossin voor de verelijkin z Y (z) c = 0: z = ProductLo[ c exp( cµ Y 1 ) µ Y ]. (104) cµ Y Hierbij is de ProductLo de Lambert W functie. Daarnaast eeft Mathematica aan dat Verelijkin (104) moelijk niet alle oplossinen eeft van deze verelijkin. De Lambert W functie is de functie die voor alle complexe etallen z voldoet aan z = W (z)e W (z). We definiëren nu z k, k = 0, 1,... 1 als volt: z k = W ( cµ Y cµ Y waarbij i 2 = 1. De nulpunten van de noemer zijn dan de z k, want: Y (z k ) c = ( W ( cµ Y cµ Y exp(2kπi ) exp( cµ Y )), (105) exp(2kπi ) exp( cµ Y ))) = z k. (106) Hierbij maken we ebruik van de eienschappen van de Lambert W functie: z = W (z)e W (z) z = W (z) e W (z) e W (z) = W (z) z en dat e 2kπi = 1. Als we daarna ebruik maken van de theorie zoals beschreven in [2], dan krijen we een exacte uitdrukkin voor de q k en kunnen we bijvoorbeeld de emiddelde lente van de wachtrij aan het einde van een roenperiode exact berekenen. Omdat elke kansenererende functie analytisch is en oed edefinieerd op z 1, weten we dat de nulpunten van de noemer ook in de teller voorkomen. Het invullen van de verschillende nulpunten binnen z 1 in de teller van X (z) en dit vervolens elijk stellen aan 0, eeft ons verschillende verelijkinen. Het nulpunt z = 1 is echter triviaal. Door ebruik te maken van de normalisatieverelijkin vinden we alsno verelijkinen voor de onbekenden. De enie term in de teller van X (z) die op een niet-triviale manier 0 wordt is de somterm. Voor de 1 niet-triviale nulpunten eldt dus dat 1 q kζ(z i ) k = 0 i = 1,..., 1. Samen met de normalisatieverelijkin ( 1 kq k = η) is het stelsel dat we op willen lossen het volende: 1 1 1 1 q 0 η 1 ζ(z 1 ) ζ(z 1 ) 2 ζ(z 1 ) 1 q 1 1 ζ(z 2 ) ζ(z 2 ) 2 ζ(z 2 ) 1 q 2 0 = 0...... 0. (107) 1 ζ(z 1 ) ζ(z 1 ) 2 ζ(z 1 ) 1 0 Met behulp van Mathematica zijn we in staat om q k te bepalen voor k = 0, 1,..., 1. Deze uitdrukkinen zijn echter zo lan dat we hiervoor verwijzen naar de Mathematica code. Afhankelijk van welke normerin (en dus η) wordt inevuld, krij je de q k voor het FCTL-model, early arrival model of late arrival model. q 1 16

3 Relaties tussen de verschillende modellen 3.1 Relatie FCTL en k-limited Ondanks dat er echte verschillen zijn tussen het FCTL-model en het k-limited model, vermoeden we dat de rijlente aan het einde van een roenperiode in beide modellen identiek verdeeld is. Dit eldt niet voor de rijlente op een willekeuri moment. Tabel 1 eeft de rijlenteverdelin aan het einde van de roenperiode weer voor drie verschillende situaties. De waardes voor het FCTL-model zijn afkomsti van de theoretische resultaten. De waardes voor het k-limited model zijn ebaseerd op twee verschillende simulaties, een discrete simulatie en een continue simulatie. Voor een simulatiebeschrijvin verwijzen we naar Appendix C. Rijlente FCTL (th.) k-lim. (disc.sim.) k-lim. (cont.sim.) 0 0.9027 0.9027 0.9027 1 0.0494 0.0494 0.0494 2 0.0270 0.0270 0.0270 3 0.0123 0.0123 0.0124 4 0.0052 0.0052 0.0052 5 0.0021 0.0020 0.0021 6 0.0008 0.0008 0.0008 7 0.0003 0.0003 0.0003 8 0.0001 0.0001 0.0001 9 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.0000 0.0000 0.0000 Tabel 1: waardes van de rijlenteverdelin voor het FCTL-model en de twee simulaties ( = 5, c = 10, µ Y = 0.3). Rijlente FCTL (th.) k-lim. (disc.sim.) k-lim. (cont.sim.) 0 0.6556 0.6557 0.6554 1 0.0777 0.0776 0.0777 2 0.0656 0.0657 0.0656 3 0.0520 0.0519 0.0520 4 0.0398 0.0398 0.0398 5 0.0298 0.0298 0.0299 6 0.0219 0.0219 0.0220 7 0.0160 0.0160 0.0161 8 0.0116 0.0115 0.0116 9 0.0084 0.0084 0.0084 10 0.0060 0.0060 0.0060 11 0.0043 0.0044 0.0043 12 0.0031 0.0032 0.0032 13 0.0023 0.0023 0.0023 14 0.0016 0.0016 0.0016 15 0.0012 0.0012 0.0012 16 0.0009 0.0009 0.0009 17 0.0006 0.0006 0.0006 18 0.0004 0.0005 0.0005 19 0.0003 0.0003 0.0003 20 0.0002 0.0002 0.0002 Tabel 2: waardes van de rijlenteverdelin voor het FCTL-model en de twee simulaties ( = 13, c = 55, µ Y = 0.2). Uit Tabel 1 en Tabel 2 blijkt dat de rijlenteverdelin naenoe hetzelfde zijn. Voor de fiuren bij Tabel 1 en Tabel 2 verwijzen we naar Appendix D (Fiuur D.1 tot en met Fiuur D.4). 17

We kunnen deze elijkheid tussen de verdelinen beredeneren. We bekijken hiervoor de rijlente op het moment dat het stoplicht op rood aat. Als het k-limited model op rood sprint, dan betekent dat ófwel dat de rij lee is en het stoplicht minder dan k auto s heeft bediend (dit noemen we eval 1), ófwel dat stoplicht k auto s heeft bediend en dat er moelijk no auto s staan te wachten (dit noemen we eval 2). Bij het FCTL-model is de rij in eval 1, dus dat er op een moment in de roenperiode een lee rij is, ook lee op het moment dat het stoplicht op rood sprint, omdat auto s bij een lee rij direct door kunnen rijden. Dit is dus in overeenstemmin met het k-limited model. In eval 2 is de rij niet vroetijdi lee eraakt en rijden er evenveel auto s we in het FCTL-model als in het k-limited model, namelijk k. In alle evallen is de lente van de wachtrij op het moment dat het stoplicht op roen sprint elijk in beide modellen. We concluderen hieruit dat de rijlenteverdelin aan het einde van een roenperiode in beide modellen identiek moet zijn. Aanezien de uitdrukkinen niet op elkaar lijken (in de een staan q k en in de andere p 0,k ), kunnen we een relatie leen tussen deze verschillende constanten. We weten dus er eldt: (X (z)) k-lim = (X (z)) FCTL, Y (z) 1 ( j=0 p 0,j ζ(z) ζ(z) j) z Y (z) c = Y 1 (z) (ζ(z) 1) q kζ(z) k z Y (z) c, ζ(z) p 0,k p 0,kζ(z) k = q k ζ(z) k+1 q k ζ(z) k. (108) Aan beide kanten van de verelijkin staat een polynoom in ζ(z). Aanezien deze twee polynomen aan elkaar elijk zijn, moeten de coëfficiënten voor elke macht van ζ(z) aan elkaar elijk zijn: macht van ζ(z) coëff. k-lim coëff. FCTL ζ(z) 1 p 0,k q 1 ζ(z) 1 p 0, 1 q 2 q 1 ζ(z) 2 p 0, 2 q 3 q 2... ζ(z) 1 p 0,1 q 0 q 1 ζ(z) 0 p 0,0 q 0 Tabel 3: coëfficiënten van de polynomiale verelijkin in (108). Uit Tabel 3 volt dat de relatie tussen het FCTL-model en het k-limited model als volt te omschrijven is voor k = 0, 1,..., 1: k q k = p 0,j. (109) j=0 Deze relatie kunnen we als volt verklaren: als de rij in het k-limited model lee is, dan zal het stoplicht op rood sprinen. De kans dat dit in tijdslot j van de roenperiode ebeurt is p 0,j. In het FCTL-model ebeurt er iets anders: het stoplicht blijft op roen staan voor de resterende tijdsloten van de roenperiode en de rij blijft lee. De kans dat de rij dus lee is op tijdslot j in het FCTL-model (q j ) is elijk aan de som van de kansen op een lee rij in het k-limited model tot aan tijdslot j, omdat in alle evallen dat de rij lee is in het k-limited model van tijdslot 0 tot j de rij in het FCTL-model ook lee zal zijn. 3.2 Relatie tussen DBSQ en DBSQ met tijdsloten Net als in Pararaaf 3.1 weten we dat het DBSQ-model uit Pararaaf 2.6 en het DBSQ-model met tijdsloten uit Pararaaf 2.7 aan elkaar elijk zijn volens de modelbeschrijvinen, als we kijken naar het einde van de roenperiode. In beide modellen is de teller van X (z) een polynoom in z en zijn de noemers van X (z) aan elkaar elijk. Een relatie tussen x k = P(X = k) uit het DBSQ-model en q k = P(X k = 0) uit het DBSQ-model zonder tijdsloten volt dus uit het verelijken van de coëfficiënten van de machten 18

van z: (X(z)) DBSQ = (X (z)) DBSQ met tijdsloten, 1 x k(z z k ) z A(z) = (z 1) 1 q kz k z Y (z) c, x k (z z k ) = (z 1) q k z k. Tabel 4 eeft de coëfficiënten van machten van z weer. (110) macht van z coëff. DBSQ coëff. DBSQ met tijdsl. z 1 x k q 1 z 1 x 1 q 2 q 1 z 2 x 2 q 3 q 2... z 1 x 1 q 0 q 1 z 0 x 0 q 0 Tabel 4: coëfficiënten van de polynomiale verelijkin in (110). Uit Tabel 4 volt de relatie tussen x k en q k voor k = 0, 1,..., 1: q k = k x i. (111) i=0 Deze relatie kunnen we als volt verklaren. De kans dat het DBSQ-model met tijdsloten in tijdslot k een rijlente van 0 heeft: q k, is elijk aan de kans op de situatie in het DBSQ-model waarbij de rijlente elijk is aan 0, 1,..., k: x k. Want als er 0, 1,..., k auto s zijn aan het eind van de roodperiode, dan kan het DBSQ-model deze in de k roene tijdsloten tot dan verwerken zodat de rijlente op tijdslot k elijk is aan 0. 19

4 Stochastische ordenin In dit hoofdstuk even we aan hoe de verschillende modellen eordend zijn op basis van de rijlenteverdelin aan het einde van een roenperiode. Ook zullen we een bovenrens aaneven voor de modellen die we tot no toe hebben behandeld. Voor alle combinaties van modellen zijn we in staat om een stochastische ordenin te bepalen. De stochastische ordenin van twee modellen A en B is edefinieerd als: A st B P(A < x) > P(B < x). (112) Ten eerste verelijken we het FCTL-model met het DBSQ-model, respectievelijk korten we deze af naar [FCTL] en [DBSQ]. Met een cycle bedoelen we een roodperiode evold door een roenperiode, zonder verlies van alemeenheid. Als er n auto s aan het bein van een cycle staan te wachten, moen er in beide modellen werijden en blijven er n auto s over. Dit herhaalt zich totdat n <. De enie situatie waarin er verschil tussen de modellen zou kunnen zijn, is dus als er minder dan auto s wachten aan het bein van een cycle. Bij elijke aankomstprocessen en een wachtrijlente m 1 voor [FCTL] aan het eind van een cycle, weten we dat beide modellen dezelfde rijlente hebben, omdat bij [FCTL] de rijlente tijdens de roenperiode niet 0 is eweest (anders zou immers m = 0 aan het einde van de cycle) en er dus auto s zijn weereden. In [DBSQ] zijn er dan dus ook auto s weereden. Als de rijlente van [FCTL] aan het eind van de cycle elijk is aan m = 0, en na het 0 worden van de rijlente zijn er no k auto s aanekomen, dan is er dus ebruik emaakt van de FCTL-aanname. Het aantal auto s dat ebruik maakt van de FCTL-aanname is dus elijk aan k. Bij [DBSQ] moen deze k auto s alleen werijden als k n. In de evallen dat k > n eldt dat de rijlente aan het einde van de cycle in [DBSQ] elijk is aan (n + k ) + > 0. Hiermee zijn alle moelijke beinwaardes van de rijlente én aankomstprocessen behandeld. Er zijn dus aankomstprocessen waarbij de FCTL-rijlente kleiner is dan de DBSQ-rijlente. Er zijn een evallen waarin de FCTL-rijlente roter is dan de DBSQ-rijlente. Dus: [FCTL] st [DBSQ]. (113) Ook verelijken we het DBSQ-model met het early arrival model, respectievelijk [DBSQ] en [EAM]. Het verschil in de rijlenteverdelin tussen deze twee modellen zit hem zich in het op één hoop ooien van de aankomsten en vertrekken van [DBSQ]. Doordat van alle aankomsten in een cycle alle auto s we moen rijden, mits het er niet meer dan zijn, is dit unstier dan bij [EAM]. Bij [EAM] kan er alleen in elk tijdslot een auto werijden als die er op dat moment al staat. Bij een beinsituatie van 0 auto s in de rij kan het bijvoorbeeld voorkomen dat er auto s aankomen in het laatste tijdslot van een roenperiode, waardoor [EAM] hoouit één auto we laat rijden en [DBSQ] juist alle auto s laat vertrekken. Doordat het aantal vertrekkende auto s in [EAM] altijd kleiner of elijk is aan het aantal vertrekkende auto s in [DBSQ], eldt dat de rijlente van [EAM] in verdelin altijd roter of elijk is aan de rijlente van [DBSQ]. Dus eldt: [DBSQ] st [EAM]. (114) Een duidelijk eval van stochastische ordenin zien we bij de twee varianten van het model zonder FCTL-aanname. Het early arrival model noemen we [EAM] en het late arrival model [LAM]. Elke auto die aankomt in [EAM] moet weliswaar aansluiten in de rij, maar ma aan het einde van het tijdslot van aankomst weer vertrekken (mits het om de voorste auto aat en het licht op roen staat). Bij [LAM] moet elke auto de rest van het tijdslot van aankomst én een volledi tijdslot wachten. Dus is de rijlente van [EAM] in verdelin laer dan de rijlente in [EAM], en dus: Vanuit Pararaaf 3.1 weten we dat: 4.1 Gated DBSQ-model [EAM] st [LAM]. (115) [FCTL] d = [k-limited]. (116) Zoals afeleid in Verelijkin (114), is het DBSQ-model een onderrens voor [EAM] en [LAM]. We weten dat er in de QED-schalin een simpele uitdrukkin is voor de emiddelde rijlente en voor de kans op een lee wachtrij van het DBSQ-model, zie Hoofdstuk 5. We willen een soortelijk iets, maar dan als bovenrens. 20

Een moelijke bovenrens voor alle modellen die we hebben uitewerkt is het ated DBSQ-model (we zullen verder de afkortin [ated DBSQ] ebruiken). Dit model is een directe afeleide van het DBSQmodel. Het enie verschil is dat auto s die aankomen minstens één cycle moeten wachten. Dit resulteert in de volende modelbeschrijvin: X n+1 = A n + (X n ) +, (117) waarbij we met A n het aankomstproces beschrijven, dat bestaat uit een som van c onafhankelijke Poisson random variabelen met emiddelde µ Y en het aantal auto s dat per cycle we kan rijden. Het feit dat dit een bovenrens is, zullen we afleiden door [ated DBSQ] te verelijken met [LAM], dat een bovenrens is voor alle andere modellen. Allereerst merken we op dat in alle evallen dat er meer dan auto s staan te wachten in cycle n er in beide modellen in cycle n + 1 evenveel auto s werijden. Als we kunnen aantonen dat er meer auto s we kunnen rijden in [LAM] dan in [ated DBSQ] als er minder dan precies of auto s staan te wachten, dan is dat voldoende. In het eval dat er i, met 0 i, auto s staan te wachten dan kunnen er bij het [ated DBSQ] precies i auto s werijden in de volende cycle. Bij [LAM] is het zo dat er minstens i auto s we kunnen rijden. Het is immers zo dat de i auto s die er al stonden we kunnen rijden en moelijk ook no enkele auto s die in de roodperiode zijn aanekomen. In alle evallen is het dus zo dat er meer of evenveel auto s we kunnen rijden in [LAM] als je het verelijkt met [ated DBSQ]. Als je beint met een even lane rij in beide modellen, zal de rijlente in LAM dus altijd kleiner dan of elijk aan de rijlente in [ated DBSQ] zijn. We concluderen: Uiteindelijk eldt dus dat: [LAM] st [ated DBSQ]. (118) [FCTL] st [DBSQ] st [EAM] st [LAM] st [ated DBSQ]. (119) 4.2 Stochastische ordenin en kansenererende functies We presenteren hier eerst de volende fiuren: Fiuur 1: X (z) voor FCTL en EAM, met µ Y = 0.3, = 5, c = 10. Fiuur 2: X (z) voor FCTL en EAM, met µ Y = 0.2, = 3, c = 10. Kijkend naar de stochastische ordenin en naar Fiuur 1 en Fiuur 2 van de kansenererende functie komen we op het onderstaande lemma uit. In iedere andere situatie waarin we twee kansenererende functies met elkaar verelijken zien we hetzelfde edra. Lemma 1: X st Y X(z) Y (z) voor z [0, 1]. (120) Een bewijs van dit lemma (en een teenvoorbeeld dat de implicatie de andere kant op niet waar is) kunt u vinden in Appendix A. 4.3 Numerieke resultaten We verifiëren onze claims met betrekkin tot de ordeninen met behulp van enkele numerieke voorbeelden. We kiezen = 5, c = 10 en variëren µ Y (0.3, 0.475 en 0.499). We constateren soortelijk edra voor andere waardes van, c en µ Y, zolan er aan de stabiliteitsvoorwaarde wordt voldaan. Fiuur 3 tot en met Fiuur 8 even zowel een plot op een normale schaal als op een loaritmische schaal van de kansen op een bepaalde rijlente aan het einde van een roenperiode weer. Voor de wat zwaardere belaste systemen eeft Mathematica niet alle sinificante kansen teru. Theoretisch ezien is iedere rijlente moelijk, 21

maar als het systeem niet te zwaar belast is, dan is de kans op een hoe rijlente verwaarloosbaar klein. Bij zwaarbelaste systemen is dat niet het eval en heeft Mathematica numerieke problemen. We kiezen er dan ook voor om slechts tabellen van de kansen te even voor de kleinere waardes van de rijlente behorend bij deze fiuren en meer specifiek, de waardes van de kansen die we ook eplot hebben in de fiuren. Deze tabellen zijn te vinden in Appendix E (Tabel E.1 tot en met Tabel E.3). Fiuur 3: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.3, = 5, c = 10 en ρ = 0.6. Fiuur 4: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.3, = 5, c = 10 en ρ = 0.6. Fiuur 5: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.475, = 5, c = 10 en ρ = 0.95. Fiuur 6: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.475, = 5, c = 10 en ρ = 0.95. Fiuur 7: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.499, = 5, c = 10 en ρ = 0.998. Fiuur 8: P(X = n) voor FCTL, EAM en LAM, met µ Y = 0.499, = 5, c = 10 en ρ = 0.998. We zien dat de verschillende rijlenteverdelinen meer op elkaar lijken als ρ 1. Voor de hoere waardes van de rijlente eldt dit zeer sterk en in mindere mate ook voor de laere waardes. Voor de 22

laere waardes van de rijlente kunnen we dit verschil verklaren door de verschillen in de modellen. Bij het FCTL-model is het zo dat de rij lee blijft als de rij eenmaal lee is, wat bijvoorbeeld bij het late arrival model niet het eval is, waar eenvoudi no een wachtrij kan worden opebouwd ook al is de rij lee op een bepaald moment in de roenperiode. Dat de kansen op rijlentes van verschillende modellen dicht bij elkaar lien als ρ dicht bij 1 licht, is te verklaren door de in Hoofdstuk 2 bepaalde HT-limieten die voor alle modellen elijk blijken te zijn. In Fiuur 3 en Fiuur 4 zien we dat de kansdichtheden elkaar precies één keer snijden, zoals in [7]. Bij nadere inspectie blijkt dit bij Fiuur 5 tot en met Fiuur 8 ook het eval te zijn. Dit ondersteunt ons resultaat in verelijkin (119). 23

5 Quality and Efficiency Driven principe Het QED (Quality and Efficiency Driven) principe is ebaseerd op een schalin van de roen- en roodperiode. We aan uit van het DBSQ-model. Voor de beschrijvin van het proces verwijzen we naar verelijkin (78) met c en eheeltalli. We zijn vanuit het FCTL-model en de modellen zonder FCTLaanname naar dit model aan kijken en namen voor een eheeltallie waarde roter dan 0 en voor A n vaak de som van een eheeltalli positief aantal c onafhankelijke Poisson random variabele Y, omdat de meeste modellen ebruik maken van tijdsloten. In principe is het voor het DBSQ-model niet nodi dat en c eheeltalli zijn. We zullen wel eheeltalli laten, maar de restrictie op de eheeltalliheid van c welaten. Als we een Poisson random variabele met emiddelde cµ Y kiezen, dan voldoet dat. We willen de volende relatie tussen en c bewerkstellien: = cµ Y + β cµ Y, (121) met β > 0. laten we dus eheeltalli en dan zullen we c uit deze verelijkin moeten oplossen. Dan volt dat: ( β + ) 2 4 + β c = 2 2. (122) µ Y Dan bekijken we nu het proces eschaald met 1/ cµ Y (en waarbij A een Poisson random variabele is met emiddelde cµ Y ): ( X d X = + A ) + cµy cµy cµy cµy ( d X = cµy + A cµ Y β ) cµ + Y cµy (123) ( d X = cµy + A cµ Y cµy β) +, waaruit we voor de limiet van cµ Y naar oneindi kunnen afleiden dat (we laten hierin c naar oneindi aan): ( X d X lim = lim + A cµ ) Y β c cµy c cµy cµy d = lim c ( X cµy ) + N(0, 1) β (124) ( ) d X = lim + N( β, 1), c cµy waarbij N(0, 1) een standaardnormale random variabele is en N( β, 1) een random variabele is met een normale verdelin met emiddelde β en standaarddeviatie 1. Dit volt uit de Centrale Limietstellin, aanezien we A min of meer kunnen zien als de som van c onafhankelijke Poisson random variabelen met parameter µ Y, waar we het emiddelde cµ Y vanaf halen en delen door de wortel van c en de standaarddeviatie µ Y. Dit blijkt een Gaussian Random Walk te zijn. Deze Gaussian Random Walk benaderen we door een Brownse bewein. We zijn nu vooral eïnteresseerd in (de verwachtin van) het maximum van de Brownse bewein en in de kans dat de rij voor het stoplicht lee raakt. Voor het maximum van de Brownse bewein ebruiken we de theorie ontwikkeld in [8]. Het blijkt zo te zijn dat de verdelin van het maximum van een Brownse bewein met neatieve drift elijk is aan een exponentiële verdelin met als parameter 2β. De verwachtin van het maximum is dus 1/2β. We concluderen dat E[X ] cµ Y 1 2β. Voor de kans op een lee rij in het limietproces zijn we vooral eïnteresseerd in de invloed van β. Het blijkt zo te zijn dat er een nette stijende functie in β is die zich tussen 0 en 1 bevindt voor alle β > 0. 5.1 Gevolen van het QED-principe voor de wachtrij voor het FCTL-model Het schalen van de cyclelente met de roenperiode zoals in verelijkin (121) heeft evolen voor de verwachte rijlente aan het einde van de roenperiode en de kans op een lee rij aan het einde van de roenperiode. We illustreren dit met Fiuur 9 tot en met Fiuur 14. In deze fiuren aat het om de emiddelde wachtrij aan het einde van een roenperiode en de kans op een lee rij op datzelfde moment. 24

Alle fiuren zijn ebaseerd op de theoretische uitwerkin van het FCTL-model. De bijbehorende tabellen zijn te vinden in Appendix E (Tabel E.4 tot en met Tabel E.6). Fiuur 9: emiddelde rijlente aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 0.1 teen de lente van de roenperiode. Fiuur 10: kans op een lee rij aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 0.1 teen de lente van de roenperiode. Fiuur 11: emiddelde rijlente aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 0.5 teen de lente van de roenperiode. Fiuur 12: kans op een lee rij aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 0.5 teen de lente van de roenperiode. Fiuur 13: emiddelde rijlente aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 1 teen de lente van de roenperiode. Fiuur 14: kans op een lee rij aan het einde van de roenperiode voor µ Y = 0.3 en β = 1 teen de lente van de roenperiode. Uit Fiuur 10, 12 en 14 zou je af kunnen leiden dat de kans op een lee rij aan het einde van een roenperiode naar een constante convereert (afhankelijk van β). Verder is het zo dat de kans op een lee rij daalt met het toenemen van de lente van de roenperiode. Voor hoere β is de kans op een lee rij hoer. Dit is loisch, omdat met een hoere β en vaste c de roter wordt. Met andere woorden is het bij een hoere β relatief laner roen en dan is het loische evol dat de rij vaker lee zal zijn. 25

Uit de fiuren blijkt verder dat ondanks de QED-koppelin van de rood- en de roenperiode er toch sprake is van een wachtrij die steeds laner wordt naarmate het stoplicht laner op roen staat. Bij hoere β is het uiteraard zo dat de emiddelde lente van de wachtrij kleiner is. De QED-benaderin ebaseerd op de Brownse bewein voor de emiddelde rijlente E[X ] 1 cµ Y 2β blijkt van slechte kwaliteit te zijn. Het is in ieder eval wel zo dat de orde van de emiddelde wachtrij voor het FCTL-model en het DBSQ-model hetzelfde zijn (namelijk O( )). We zien hetzelfde edra voor verschillende waardes van µ Y, zolan de totale cyclelente maar niet kleiner wordt dan de roenperiode. 5.2 Verschillen tussen de modellen in het QED-reime We weten dat de modellen stochastisch eordend zijn (zie Hoofdstuk 4), maar aan de andere kant weten we dat HT-limiet van alle modellen hetzelfde is. Het QED-reime leidt tot een hoe bezettinsraad. We zijn daarom benieuwd wat voor invloed het QED-reime heeft op de emiddelde wachtrij en op de kans dat de rij op het einde van de roenperiode lee is voor de verschillende modellen. Deze resultaten zijn te zien in Fiuur 15 tot en met Fiuur 18. De tabellen behorend bij deze fiuren zijn te vinden in Appendix E (Tabel E.7 tot en met Tabel E.10). Fiuur 15: emiddelde rijlente voor FCTL, EAM en LAM met µ Y = 0.3 en β = 0.1. Fiuur 16: kans op een lee rij voor FCTL, EAM en LAM met µ Y = 0.3 en β = 0.1. Fiuur 17: emiddelde rijlente voor FCTL, EAM en LAM met µ Y = 0.3 en β = 1. Fiuur 18: kans op een lee rij voor FCTL, EAM en LAM met µ Y = 0.3 en β = 1. We merken op dat in Fiuur 15 de emiddelde rijlentes zodani weini van elkaar verschillen, dat de rafieken van E[X ] voor het FCTL-model, het early arrival model en het late arrival model edeeltelijk over elkaar heen vallen. Opvallend is dat het verschil tussen de emiddelde rijlentes voor zowel de lente van de roenperiode als voor verschillende β constant is. Deze waarde voor het verschil tussen het late arrival model en het FCTL-model is 0.3642857 en voor het verschil tussen het early arrival model en het FCTL-model is 0.0642857. Het verschil tussen het early arrival model en het late arrival model is dus 0.3. Dit verschil is precies de aankomstintensiteit µ Y. Het lijkt dus zo te zijn dat er emiddeld, onder het QED-reime, precies de verwachtin van het aantal auto s dat aankomt in één tijdslot meer in de rij staan bij het 26

late arrival model in verelijkin met het early arrival model. We vermoeden dat dit voor alle µ Y eldt, maar om dit te bewijzen is verder onderzoek noodzakelijk. Dat het emiddelde laer is bij het FCTL dan bij het early arrival model of het late arrival model is loisch. Dit volt namelijk uit in Hoofdstuk 4. Verder blijkt het voor alle modellen zo te zijn dat de orde van E[X ] O( ) is, met uitzonderin van het ated DBSQ-model. Met behulp van simulatie hebben we everifieerd dat de orde van E[X] in het ated DSBQ-model hoer is dan O( ). Het verschil tussen de kansen op een lee rij is niet constant als de roenperiode of de β verandert. Deze kans is uiteraard het hoost voor het FCTL-model, wat ook uit de stochastische ordenin volt. Voor het late arrival model is de kans op een lee rij het laast. We onderzoeken het verschil tussen de E[X ] voor de verschillende modellen. Aanezien deze voor vaste β en vaste hetzelfde zijn, variëren we µ Y. In Fiuur 19 is de uitkomst van dit onderzoek te zien. In Appendix E is de bijbehorende tabel (Tabel E.11) te vinden. Fiuur 19: verschillen van E[X ] tussen de modellen. In Fiuur 19 zijn de verschillen tussen de emiddelde rijlente aan het einde van de roenperiode te zien voor de verschillende modellen (het FCTL-model, het early arrival model en het late arrival model). Het valt op dat het verschil tussen het early arrival model en late arrival model een rechte lijn oplevert, en zelfs dat het verschil precies elijk is aan µ Y. Voor het verschil tussen het FCTL-model en de andere modellen lijkt er niet zo n eenvoudi verband te bestaan. Dit verband lijkt op een hyperbool. We constateren soortelijk edra voor andere waardes van c, en µ Y, zolan er aan de stabiliteitsvoorwaarde wordt voldaan. 5.3 Correctiefactor In Fiuren 9, 11 en 13 valt het op dat de QED-benaderin ten opzichte van de theoretische waardes van het FCTL-model de juiste orde van rootte heeft, maar toch is er een duidelijk verschil te zien tussen benaderin en theorie. Om dit verschil te onderzoeken hebben we een correctiefactor γ edefinieërd die de benaderin zou kunnen verbeteren: cµy 2β γ := E[X ]. (125) We hebben onderzocht voor welke parameters γ evoeli is. Het meest opvallende edra is dat van γ afhankelijk van µ Y, zie Fiuur 20 en Fiuur 21. We kiezen ervoor om het eval = 1000 te bekijken voor twee verschillende waardes van β en µ Y. De keuze = 1000 komt voort uit feit dat de QED-benaderin voor rote waardes van steeds meer exact zou moeten worden, zie verelijkin (124). We kiezen dus de rootste waarde van, omdat we zouden verwachten dat deze het beste resultaat oplevert. 27

Fiuur 20: correctiefactor γ van E[X ] van de QED-benaderin ten opzichte van FCTL voor β = 0.1 en = 1000. Fiuur 21: correctiefactor γ van E[X ] van de QED-benaderin ten opzichte van FCTL voor β = 0.5 en = 1000. Het lijkt erop dat γ stijt als µ Y hoer wordt, en dat er een asymptoot bestaat voor een waarde van µ Y 1. Afhankelijk van de waarde van β lijkt de locatie van deze asymptoot te verschillen. We verwachten dat de asymptoot lit op de waarde van µ Y waarvoor eldt dat c < (wat natuurlijk niet moelijk is). De emiddelde waarde van γ voor 0 µ Y 0.6 lijkt ook van β afhankelijk te zijn. We constateren soortelijk edra voor andere waardes van c, en µ Y, zolan er aan de stabiliteitsvoorwaarde wordt voldaan. Een uitdrukkin voor de relatie tussen γ en µ Y zou tot een verbeterin van de QED-benaderin kunnen leiden voor E[X ] in het FCTL-model. Een soortelijke analyse is ook moelijk voor het EAM en het LAM. Het valt helaas buiten de omvan van dit project om verder onderzoek te verrichten naar de relatie tussen γ en µ Y. 28

6 Dominant Pole Approximation In dit hoofdstuk bekijken we de theoretische achterrond van de DPA (Dominant Pole Approximation), een methode die we ebruiken om de kans op een bepaalde rijlente te benaderen. Hiervoor verwijzen we naar [9]. In Pararaaf 6.2 even we enkele numerieke voorbeelden om te kijken hoe oed deze benaderin is. We schrijven X (z) in de volende vorm: X (z) = f(z) z Y (z) c, (126) waarbij f(z) een ehele functie met nulpunten die binnen of op de eenheidscirkel lien is en voor die nulpunten eldt dat z k in het eval van Poisson aankomsten elijk is aan: z k = exp( cµ Y (z k 1)) = exp( cµ Y (z k 1)) exp( 2πik ), k = 0,..., 1. (127) Buiten de eenheidscirkel heeft de noemer van X (z) ook nulpunten. In de uitdrukkin van deze nulpunten komt de Lambert W functie voor. Omdat de Lambert W functie oneindi veel vertakkinssnedes heeft, zie [10], zijn er oneindi veel verschillende uitdrukkinen voor de nulpunten. Dus heeft X (z) oneindi veel nulpunten buiten de eenheidscirkel. Met deze kennis schrijven we: r k X (z) = z z k = = k= r k z z k + r k z z k. k= r k z z k In de bovenstaande uitdrukkin staan z 0,..., z 1 voor de nulpunten binnen de eenheidscirkel en z, z +1,... voor de nulpunten buiten de eenheidscirkel. Met r k noteren we de residu-term die nodi is om X (z) in deze vorm op te schrijven. Deze term verschilt per model, maar is exact te bepalen: (128) r k = lim z z k (z z k )X (z). (129) Voor de nulpunten binnen de eenheidscirkel eldt dat r k = 0, omdat de teller van de kansenererende functie nul is bij al deze nulpunten. Vandaar dat de eindie som in verelijkin (128) elijk is aan 0 en wevalt. De Stellin van Prinsheim vertelt ons dat van alle nulpunten buiten de eenheidscirkel er één is die qua modulus het dichtst bij 0 zit. We noemen dit nulpunt z zonder verlies van alemeenheid. Bovendien vertelt de Stellin van Prinsheim ons dat z R en z > 1. We noemen z de dominante pool. Deze komt overeen met vertakkinssnede 1 in Mathematica. De dominante pool is de term met de meeste invloed in de som binnen X (z), daarom is de benaderin ebaseerd op deze term. We benaderen X (z) als volt: r k X (z) = z z k k= (130) 1. z 1 z z Volens de definitie van de kansenererende functie is P(X = n) elijk aan de coëfficiënt van z n in X (z). Daardoor kunnen we P(X = n) benaderen door te kijken naar de coëfficiënt van z n in de benaderin van X (z). We schrijven de benaderin van X (z) als volt: r r X (z) 1 z 1 z z = 1 1 r z z z z z (1 z z ) = 1 r z 1 z z = r z n=0 ( z z ) n. (131) 29

De coëfficiënt van z n in de benaderin van X (z) ebruiken we om P(X = n) te benaderen: P(X = n) r ( 1 z ) n+1. (132) De DPA is vooral eschikt als benaderin van P(X n) voor rote n. Hoe root deze n moet zijn om een oede benaderin te even, is afhankelijk van verschillende parameters in het model. De vraa is nu in welke orde van rootte we n moeten zoeken om een redelijke benaderin te krijen, en of deze waarde van n informatie kan even die in de praktijk interessant is. 6.1 Nulpunten in het complexe vlak Fiuren 22, 23, 24 en 25 even met rode punten de nulpunten van X (z) weer in het complexe vlak. De vier fiuren laten respectievelijk een situatie zien waarin ρ = 0.6 en ρ = 0.95, een keer met = 5 en c = 10 en een keer met = 10 en c = 20. De kleurintensiteit eeft de waarde van X (z) weer, die in de leenda s naast de fiuren staan. Links van het nulpunt z = 1 zien we 1 nulpunten, die samen met het nulpunt z = 1 de nulpunten in of op de eenheidscirkel vormen. De dominante pool herkennen we in de witte ovaal. Als ρ 1, zien we dat de dominante pool richtin de pool z = 1 verplaatst. Het valt ook op dat er steeds meer nulpunten in beeld verschijnen en dat ze zich verder naar links bevinden, naarmate ρ 1. We constateren soortelijk edra voor andere waardes van c, en µ Y, zolan er aan de stabiliteitsvoorwaarde wordt voldaan. Fiuur 22: Nulpunten van X (z) in het complexe vlak, voor = 5, c = 10, µ Y = 0.3, ρ = 0.6. Fiuur 23: Nulpunten van X (z) in het complexe vlak, voor = 5, c = 10, µ Y = 0.475, ρ = 0.95. Fiuur 24: Nulpunten van X (z) in het complexe vlak, voor = 10, c = 20, µ Y = 0.3, ρ = 0.6. Fiuur 25: Nulpunten van X (z) in het complexe vlak, voor = 10, c = 20, µ Y = 0.475, ρ = 0.95. In Appendix E even de Tabellen E.14 tot en met E.17 een meer nauwkeurie representatie van de nulpunten in Fiuur 22 tot en met Fiuur 25. 30