4. Exponentiële vergelijkingen De gelijkheid 10 3 = 1000 bevat drie getallen: 10, 3 en 1000. Als we van die drie getallen er één niet weten moeten we hem kunnen berekenen. We kunnen dus drie gevallen onderscheiden: 1) We weten de 1000 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: 10 3 = x de uitkomst x = 10 10 10 = 1000 heet de derde macht van 10. 2) We weten de 10 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: x 3 = 1000 de uitkomst x = 3 1000 heet de derdemachtswortel van 1000. 3) We weten de 3 niet, als we op die plaats een x zetten volgt: 10 X = 1000 de uitkomst x = 3 noemen we de 10-logaritme van 1000. We schrijven dat als x = 10log 1000 waarbij 10 hier het grondtal van de logaritme is. Als we bijvoorbeeld de vergelijking 10X = 23 willen oplossen weten we dat x = 10log 23. Met de log-toets op onze rekenmachine kunnen we de 10-logaritme van een getal berekenen. Op de CASIO fx-82 typen we [log][23][=]. Het resultaat is 1,3617. Ter controle berekenen we 101,3617 = 22,9985. (waarom niet exact 23? ) Voorbeeld 1: 10 3 X = 350 3 x = 10log 350 3 x = 2,5441 x = 2,5441 3 = 0,8480. We typen in: [log][350][=][ ][3][=] 1 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) 10 X = 35 [log] [35] = 1,5440 d) 10 3*X = 550 [log] [550] = 2,7404 [ANS] [/] [3] = 0,9134 b) 10 X = 200 [log] [200] = 2,3010 e) 10 5*X = 1200 [log] [1200] = 3,0792 [ANS] [/] [5] = 0,6158 c) 10 X = 3000 [log] [3000] = 3,4771 f) 10 2*X = 4500 [log] [4500] = 3,6532 [ANS] [/] [2] = 1,8266 Pagina 1/7
Voorbeeld 2: 5* 10 4*X = 100 10 4*X = 100 5 10 4*X = 20 4*x = 10 log 20 4*x = 1,3010 x = 1,3010 4 x = 0,3253 We typen: [100][ ][5][=][log][ANS][=][ ][4][=] 2 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) 5*10 X = 35 10 X = 35 / 5 = 7 [log] [7] = 0,8450 d) 11*10 3*X = 55 10 3*X = 55 / 11 = 5 [log] [5] = 0,6990 [ANS] [/] [3] = 0,2330 b) 4*10 X = 200 10 X = 200 / 4 = 50 [log] [50] = 1,6990 e) 6*10 5*X = 120 10 5*X = 120 / 6 = 20 [log] [20] = 1,3010 [ANS] [/] [5] = 0,2602 c) 30*10 X = 3000 10 X = 3000 / 30 = 100 [log] [100] = 2,0000 f) 9*10 2*X = 450 10 2*X = 450 / 9 = 50 [log] [50] = 1,6990 [ANS] [/] [2] = 0,8494 Logaritmen met grondtal 10 gebruiken we het meest. Daarom vermelden we bij logaritmen met grondtal 10 meestal niet meer het grondtal, dus log 5 betekent 10 log 5. Met de ln-toets op de rekenmachine kunnen we logaritmen uitrekenen met grondtal e. Het getal e is net zoals een natuurconstante. ( e = +/- 2,71828 ) Een logaritme met grondtal e noemen we een natuurlijke logaritme en duiden we aan met ln. ln x is dus eigenlijk een andere schrijfwijze voor e log x. Als we de vergelijking ex = 23 willen oplossen weten we dat x = elog 23 = ln 23. Op de CASIO fx-82 typen we [ln][23][=]. Het resultaat is 3,1355. Ter controle berekenen we e 3,1355 = 23,0001. Pagina 2/7
Voorbeeld 3: e 3*R = 24 3*R = ln 24 3*R = 3,1781 R = 3,1781 3 R = 1,0594. We typen: [ln][24][=][ ][3][=] 3 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) e X = 35 [ln] [35] = 3,5553 b) e X = 200 [ln] [200] = 5,2983 c) e X = 3000 [ln] [3000] = 8,0063 d) e 3*X = 550 [ln] [550] = 6,3099 [ANS] [/] [3] = 2,1033 e) e 5*X = 1200 [ln] [1200] = 7,0900 [ANS] [/] [5] = 1,4180 f) e 2*X = 4500 [ln] [4500] = 8,4118 [ANS] [/] [2] = 4,2059 Een macht met grondtal e zoals e 5*X noemen we een e-macht. Voorbeeld 4: 3*e 2*X = 12 e 2*X = 12 3 e 2*X = 4 2* x = ln 4 2 x = 1,3863 x = 1,3863 2 x = 0,6931. We typen: [12][ ][3][=][ln][ANS][=][ ][2][=] Voorbeeld 5: 6 3*e 2*X = 4-3 *e 2*X = 4-6 -3*e 2*X = 4-6 -3 e 2*X = -2 e 2*X = -2-3 e 2*X = 0,6667 2*x = ln 0,6667 2*x = -0,4055 x = -0,4055 2 x = -0,2027. 4 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) 5*e -3*T = 4 e -3*T = 4 / 5 = 0,8 [ln] [0,8] = -0,2231-3*T = -0,2231 T = -0,2231 / -3 = 0,0744 d) 4 5*e -3*T = 2-5*e -3*T = 2-4 = -2 5*e -3*T = 2 e -3*T = 2 / 5 = 0,4 [ln] [0,4] = -0,9163-3*T = -0,9163 T = -0,9163 / -3 = 0,3054 b) 3*e -4*T = 5 e -4*T = 5 / 3 = 1,6666 [ln] [1,6666] = 0,5108-4*T = 0,5108 T = 0,5108 / -4 = -0,1277 e) 8 5*e 3*T = 4-5*e 3*T = 4-8 = -4 5*e 3*T = 4 e 3*T = 4 / 5 = 0,8 [ln] [0,8] = -0,2231 3*T = -0,2231 T = -0,2231 / 3 = -0,0744 c) 6 6*e -3*T = 2-6*e -3*T = 2-6 = -4 6*e -3*T = 4 e -3*T = 4 / 6 = 0,6666 [ln] [0,6666] = -0,4055-3*T = -0,4055 T = -0,4055 / -3 = 0,1356 f) 7 2*e 4*T = 3-2*e 4*T = 3-7 = -4 2*e 4*T = 4 e 4*T = 4 / 2 = 2 [ln] [2] = 0,6931 4*T = 0,6931 T = 0,6931 / 4 = 0,1733 Pagina 3/7
Als we de vergelijking 5 X = 30 willen oplossen weten we al dat x = 5 log 30. Het probleem is natuurlijk dat de logaritme met grondtal 5 niet op onze rekenmachine zit. We hebben wat meer kennis nodig over de eigenschappen van logaritmen. We gaan gebruik maken van de volgende formule: c mag een willekeurig getal zijn, we kiezen natuurlijk een grondtal dat op onze rekenmachine zit dus met c = 10 wordt onze formule: Dat betekent dat we 5 log 30 uit kunnen rekenen met log 30 log 5 = 2,1133. We controleren weer 5 2,1133 = 30,0008. ( weten we nog hoe we machten intypen? ) 5 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) 3 X = 35 [log] [35] / [log] [3] = 3,2362 d) 8 3*X = 550 [log] [550] / [log] [8] = 3,0344 3,0344 / 3 = 1,0114 b) 4 X = 200 [log] [200] / [log] [4] = 3,8219 e) 12 5*X = 1200 [log] [1200] / [log] [12] = 2,8532 2,8532 / 5 = 0,5707 c) 5 X = 3000 [log] [300] / [log] [5] = 3,5440 f) 34 2*X = 4500 [log] [4500] / [log] [34] = 2,3854 2,3854 / 2 = 1,1927 Pagina 4/7
Voorbeeld 6: we willen de vergelijking 6 3*Y-4 = 45 oplossen. Er volgt met de definitie van logaritme: 3*Y-4 = 6 log 45 3*Y-4 = log 45 log 6 3*Y-4 = 2,1245 3*Y = 2,1245 + 4 3*Y = 6,1245 Y = 6,1245 3 Y = 2,0415. Controle: 6 3*2,0415-4 = 6 2,1245 = 44,9969. 6 Los de volgende vergelijkingen op en geef de antwoorden in drijvende komma notatie a) 5 2*W + 4 = 63 [log] [63] / [log] [5] = 2,5742 2*W+4 = 2,5742 2*W = 2,5742 4 W = -1,4257 / 2 = -0,7129 d) 7 2*W + 4 = 155 [log] [155] / [log] [7] = 2,5918 2*W+4 = 2,5918 2*W = 2,5918 4 W = -1,4082 / 2 = -0,7041 b) 6-2*X-3 = 52 [log] [52] / [log] [6] = 2,2052-2*X-3 = 2,2052-2*X = 2,2052 + 3 X = 5,2052 / -2 = -2,6026 e) 16-2*X-3 = 466 [log] [466] / [log] [16] = 2,2160-2*X-3 = 2,2160-2*X = 2,2160 + 3 X = 5,2160 / -2 = -2,6080 c) 14 3*Z + 4 = 148 [log] [148] / [log] [14] = 1,8936 3*Z+4 = 1,8936 3*Z = 1,8936 4 Z = -2,1064 / 3 = -0,7021 f) 214 3*Z + 5 = 96 [log] [96] / [log] [214] = 0,8506 3*Z+5 = 0,8506 3*Z = 0,8506 5 Z = -4,1494 / 3 = -1,3831 We hebben nu gezien dat we logaritmen nodig hebben voor het oplossen van vergelijkingen waar de onbekende in de exponent staat. We noemen dergelijke vergelijkingen daarom exponentiële vergelijkingen 7 Los de volgende exponentiële vergelijkingen op en geef de antwoorden in wetenschappelijke notatie a) 4 7*e -3*T = 2 7*e -3*T = 2 4 = -2 7*e -3*T = 2 e -3*T = 2 / 7 = 0,2857 [ln] [0,2857] = -1,2527-3*T = -1,2527 T = -1,2527 / -3 = 0,4176 d) 8 3*X = 660 [log] [660] / [log] [8] = 3,1221 3*X = 3,1221 X = 3,1221 / 3 = 1,0407 b) 8 5*e 3*T = 7 5*e 3*T = 7 8 = -1 5*e 3*T = 1 e 3*T = 1 / 5 = 0,2 [ln] [0,2] = -1,6094 3*T = -1,6094 T = -1,6094 / 3 = -0,5368 e) 12 5*X = 930 [log] [930] / [log] [12] = 2,5939 5*X = 2,5939 X = 2,5939 / 5 = 0,5188 c) 9 2*e 4*T = 3 2*e 4*T = 3 9 = -6 2*e 4*T = 6 e 4*T = 6 / 2 = 3 [ln] [3] = 1,0986 4*T = 1,0986 T = 1,0986 / 4 = 0,2747 f) 48 2*X = 4500 [log] [4500] / [log] [48] = 2,1729 2*X = 2,1729 X = 2,1729 / 2 = 1,0864 Pagina 5/7
g) 5 2*W+8 = 155 [log] [155] / [log] [5] = 3,1337 2*W+8 = 3,1337 2*W = 3,1337 8 = -4,8663 W = -4,8663 / 2 = -2,4331 h) 26-2*X-5 = 430 [log] [430] / [log] [26] = 1,8611-2*X-5 = 1,8611-2*X = 1,8611 + 5 = 6,8611 X = 6,8611 / -2 = -3,4306 i) 554 4*Z+5 = 96 [log] [96] / [log] [554] = 0,7225 4*Z+5 = 0,7225 4*Z = 0,7225 5 = -4,2775 Z = -4,2775 / 4 = -1,0694 Voorgaande e-machten spelen een grote rol in formules voor het laden en ontladen van condensatoren via weerstanden. We bekijken het volgende voorbeeld waarbij we exponentiële vergelijkingen moeten oplossen. We laden een condensator C via een weerstand R: Voor de uitgangsspanning U uit geldt de formule U uit = U in ( 1 e -t/ʈ ). t is daarbij de tijd in seconden en Ʈ de tijdconstante van de schakeling in seconden. De tijdconstante Ʈ (Griekse t, spreek uit als touw ) berekenen we door de waarden van de weerstand en de condensator met elkaar te vermenigvuldigen dus Ʈ = R*C. Voorbeeld: als R = 100 kω en C = 33 uf geldt Ʈ = 100*10 3 *33*10-6 = 3,3 s. Pagina 6/7
Pagina 7/7