9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je twee punten op deze lijn weet, kun je de grafiek van deze vergelijking tekenen. Punt 1: Neem x = 0 => y = 8, dus het punt (0, 8) ligt op de lijn; Punt 2: Neem y = 0 => x = 2, dus het punt (2, 0) ligt op de lijn. Algemeen: Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y wordt geschreven als: ax + by = c. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. 1

9.1 Vergelijkingen van lijnen[2] Algemeen: De vergelijking x a y 1 b volgende snijpunten met de assen: Snijpunt met de x-as: Invullen van y = 0 geeft: Het snijpunt met de x-as is dus het punt (a, 0) Snijpunt met de y-as: Invullen van x = 0 geeft: Het snijpunt met de y-as is dus het punt (0, b) is de assenvergelijking van een lijn. Deze heeft de x 1 x a a y 1 y b b x y De lijn k : 1 snijdt de assen dus in de punten (-3, 0) en (0, 6) 3 6 2

9.1 Vergelijkingen van lijnen[2] Voorbeeld: De lijn l gaat door de punten (-1, 6) en (2, 15). Stel van l een vergelijking op. De lijn door de punten A(x A, y A ) en B(x B, y B ) heeft de vergelijking: y ax b a y x B B y x A A Invullen geeft: 15 6 9 a 3 2 1 3 y 3x b 15 3 2 b 15 6 b b 9 y 3x 9 3

9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een strijdig stelsel: 2x 3y 5 3 y 5 2x y x 4x 6 y 7 6 y 7 4x y x 2 5 3 3 2 7 3 6 Er is sprake van een tweetal evenwijdige lijnen. Evenwijdige lijnen hebben geen snijpunt. Er geldt dan: a b c p q r 4

9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een afhankelijk stelsel: 2x 3y 5 3 y 5 2x y x 4x 6 y 10 6 y 10 4x y x 2 5 3 3 2 5 3 3 Er is sprake van een tweetal gelijke lijnen. Bij gelijke lijnen bestaan geen snijpunten. Er geldt dan: a b c p q r 5

9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een onafhankelijk stelsel: 2 5 2x 3y 5 3 y 5 2x y x 3 3 3 3x 5y 10 5y 10 3x y x 2 5 Er is sprake van twee lijnen, die een snijpunt hebben. Dit geldt als: a b p q 6

9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Gegeven zijn de functies f(x) = 2x + 2 en g(x) = -½x + 1 De grafieken van deze twee functies snijden elkaar loodrecht. In het punt waar ze elkaar loodrecht snijden geldt het volgende: f(x) = g(x) f (x) g (x) = -1 Door het oplossen van dit stelsel van vergelijkingen kun je dus nagaan of een tweetal grafieken elkaar in een punt loodrecht snijden. 7

9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Voorbeeld 1: Gegeven zijn de lijnen k p : px +(p + 1)y = 5 en l p : (p 1)x + (p 3)y = 6 Bereken exact voor welke p de twee lijnen evenwijdig zijn. p p 1 p 1 p 3 p( p 3) ( p 1)( p 1) 2 2 p 3p p 1 3p 1 p 1 3 Zie opmerking strijdig stelsel 8

9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de lijnen k p : px +(p + 1)y = 5 en l p : (p 1)x + (p 3)y = 6 Bereken exact voor welke p de twee lijnen elkaar loodrecht snijden. p p 1 1 p 1 p 3 p 2 2 p p 1 2p 3 2 2 p p p p 2 3 2 2p 3p 3 0 D 2 ( 3) 4 2 3 33 3 33 3 33 p p 4 4 Omschrijven geeft: p 5 kp : y x p 1 p 1 p 1 6 lp : y x p 3 p 3 Bij loodrecht snijden zijn de richtingscoëfficiënten van beide lijnen keer elkaar gelijk aan 1. 9

9.2 Punten, lijnen en afstanden [1] Gegeven zijn de punten A(x A, y A ) en B(x B, y B ) De afstand tussen deze twee punten kun je berekenen met de stelling van Pythagoras: AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 AB x x y y d A B 2 2 ( B A) ( B A) (, ) Voor elk punt P op de middelloodlijn m van het lijnstuk AB geldt: d(p, A) = d(p, B) Op deze manier kun je de vergelijking van deze middelloodlijn opstellen. 10

9.2 Punten, lijnen en afstanden [1] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A(1, 2) en B(7, 5). Stel een vergelijking op van de middelloodlijn m van het lijnstuk AB. Voor elk punt P op de middelloodlijn geldt: d(p, A) = d(p, B) ( x 1) ( y 2) ( x 7) ( y 5) 2 2 2 2 P P P P ( x 1) ( y 2) ( x 7) ( y 5) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x x y y 2 1 4 4 14 49 10 25 12x 6 y 69 m: 4x 2y 23 11

9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Hiernaast is de lijn x y k : 1 a b ofwel k : bx + ay = ab getekend. Er geldt: OA = a, OB = b en AB = a b 2 2 De afstand van O tot lijn k is OC = d(o, k). Met behulp van de zijde x hoogte methode krijg je: d(o, k) AB = OA OB d(o, k) d(o, k) = a b 2 2 a ab b 2 2 = ab 12

9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Hiernaast is de lijn k : ax + by = c getekend. l is een hulplijn evenwijdig aan lijn k door het punt P. Dus l : ax + by = ax p + by p. d(p, k) = d(l, k) = d(o, l) d(o, k) De afstand van punt P(x p, y p ) tot de lijn k: ax + by = c is d(p, k) = ax by c p a p b 2 2 Het is mogelijk om de vergelijkingen van de bissectrices van twee lijnen op te stellen. Let op dat een tweetal lijnen, die elkaar snijden steeds twee bissectrices hebben: 13

9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de lijnen k : 3x + 4y = 24 en l: 12x + 5y = 60 Stel de vergelijkingen op van de bissectrices m en n van k en l. Voor een punt P(x, y) op de bissectrice van k en l geldt: d(p, k) = d(p, l). 3x 4 y 24 12x 5 y 60 2 2 2 2 3 4 12 5 3x 4 y 24 12x 5 y 60 5 13 13 3x 4 y 24 5 12x 5 y 60 13(3 x 4 y 24) 5(12 x 5 y 60) 13(3 x 4 y 24) 5(12 x 5 y 60) 39x 52 y 312 60x 25 y 300 39x 52 y 312 60x 25 y 300 21x 27 y 12 99x 77 y 612 7x 9 y 4 99x 77 y 612 14

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] De lijn k in de figuur hiernaast kan genoteerd worden als: x = 2 + 3λ en y = 3 + λ x 2 3 k: y 3 Je komt van punt A naar punt B door 3 naar rechts te gaan en 1 omhoog te gaan. Voor λ = 0 krijg je punt A(2, 3) Voor λ = 1 krijg je punt B(4, 5) Voor elke waarde van λ kom je uit op een punt op de lijn k. Dit is de parametervoorstelling van lijn k. 15

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] De lijn k in de figuur hiernaast kan ook genoteerd worden als: k: Dit is de vectorvoorstelling van de lijn. 2 De steunvector is: s k = 3 De richtingsvector is r k = Let op: x 2 3 y 3 1 3 1 5 4 6 2 is ook een steunvector van de lijn, want het punt (5, 4) ligt ook op de lijn k. is ook een richtingsvector van de lijn. Hiermee krijg je dus een andere parametervoorstelling van deze lijn. 16

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Algemeen: In de parametervoorstelling k: x = a + pλ en y = b + qλ van de lijn k is (a, b) een punt van de lijn en is p q een richtingsvector van de lijn. Voor elke waarde van λ krijg je een punt van de lijn. Voorbeeld 1: De parametervoorstelling van een lijn kun je omzetten in een vergelijking. x 2 3 1 x 2 3 k: y 3 3 3 y 9 3 Het van elkaar afhalen van deze twee vergelijkingen geeft x 3y = -7 en dit is de vergelijking van de lijn k. 17

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Algemeen: De parametervoorstelling van een lijn kun je omzetten in een vergelijking. x a p q qx aq pq k: y b q p py bp pq Het van elkaar afhalen van deze twee vergelijkingen geeft qx py = aq bp en dus de vergelijking k: qx py = c q p De vector staat loodrecht op de vector. Dit volgt uit het plaatje hiernaast. p q De vector q p is de normaalvector. Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op een lijn staat. Een normaalvector n l van de lijn l:ax + by = c is n l = a b 18

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Voorbeeld 2: Gegeven is: l : x = 4-5λ en y = 3 + 2λ. Stel de vergelijking op van een lijn die bij deze parametervoorstelling hoort. De richtingsvector is nu: De normaalvector is nu: 5 2 2 5 Dit geeft de vergelijking l : 2x + 5y = c. Het punt (4, 3) ligt op deze lijn. Invullen geeft: l : 2x + 5y = 23. 19

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [2] Voorbeeld: Gegeven is het punt A(0,4). Het punt P beweegt vanuit O naar rechts over de positieve x-as. Het punt Q bevindt zich in het Eerste kwadrant zo, dat steeds geldt: APQ = 90 en PQ = ½AP. Toon aan dat Q langs een rechte lijn beweegt en stel de vergelijking op van deze lijn. De coördinaten van P zijn steeds te schrijven als: P(λ, 0). Er geldt: O = Q = 90 A + P 1 = 90 P 3 + P 1 = 90 Hieruit volgt A = P 3 en ook PQ Q AOP (hh) 20

9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [2] Voorbeeld: Uit de gelijkvormigheid en PQ = ½AP volgt PQ = ½ AO = ½ 4 = 2. QQ = ½ OP = ½ λ = ½λ. Voor P geldt: x = λ en y = 0. Voor Q geldt dus: x = 2 + λ en y = ½λ. T.o.v. punt P komt er bij de x-coördinaat 2 bij en bij de y-coördinaat ½ λ 2 Dus Q ligt op de lijn met s = en r = 0 1 1 Hieruit volgt dat n = 1 2 en een vergelijking is van de lijn x 2y = 2 2 1 1 2 21

9.4 Cirkel en raaklijn [1] Voorbeeld 1: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (-3, 4) en straal 12. Deze vergelijking kan ook als volgt geschreven worden: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 x 2 + 6x + 9 + y 2 8y + 16 = 12 x 2 + y 2 + 6x 8y + 13 = 0 Als je x 2 + y 2 + 6x 8y + 13 = 0 wilt schrijven als (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 gaat dit met behulp van kwadraatafsplitsen. Voorbeeld 2: Splits het kwadraat af van: 3x 2 + 12x + 33 x 2 + 4x + 11 = (x + 2) 2 4 + 11 = Splits het kwadraat af (x + 2) 2 +7 22

9.4 Cirkel en raaklijn [1] Algemeen: Een vergelijking van de cirkel kan op de volgende twee manieren geschreven worden: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 Dit is een cirkel met middelpunt M(x M, y M ) en straal r. Voorbeeld 3: Gegeven is de vergelijking x 2 + y 2 + ax + 10 = 0 Bereken voor welke waarden van a de vergelijking een cirkel voorstelt. x 2 + y 2 + ax + 10 = 0 x 2 + ax + y 2 + ax + 10 = 0 (x + ½a) 2 ¼a 2 + y 2 + 10 = 0 (x + ½a) 2 + y 2 = ¼a 2-10 Bij een cirkel moet gelden: ¼a 2-10 0 ¼a 2 10 a 2 40 a - 40 (= -2 10)of a 40 23

9.4 Cirkel en raaklijn [2] Een raaklijn aan een cirkel heeft één punt gemeenschappelijk met deze cirkel. De tweedegraadsvergelijking die ontstaat, heeft dus één oplossing. De discriminant van deze vergelijking zal dus nul zijn. Dit is de discriminant-methode. Voorbeeld 1 (Oplossen via discriminant-methode) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. De vergelijking van de cirkel is: x 2 + y 2 = 10 De vergelijking van de raaklijn is: k : y = 3x + b Substitutie van de vergelijking van de raaklijn in die van de cirkel geeft: x 2 + (3x + b) 2 = 10 24

9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. x 2 + (3x + b) 2 = 10 x 2 + 9x 2 + 6bx + b 2 = 10 10x 2 + 6bx + b 2 10 = 0 met D = 0 D = (6b) 2 4 10 (b 2 10) = 36b 2 40b 2 + 400 = -4b 2 + 400-4b 2 + 400 = 0 b 2 = 100 b = 10 b = - 10 Hieruit volgt: k 1 : y = 3x + 10 of k 2 : y = 3x 10. 25

9.4 Cirkel en raaklijn [2] Een raaklijn aan een cirkel heeft één punt gemeenschappelijk met deze cirkel. De afstand van het middelpunt van de cirkel tot een raaklijn is gelijk aan de straal van de cirkel. Voorbeeld 1 (Oplossen via straal) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. De cirkel heeft een middelpunt M(0,0) en r = 10. Er geldt: k: y = 3x + b k: 3x y + b = 0 Vanwege het raken geldt: d(m, k) = r 26

9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 1 (Oplossen via straal) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. Vanwege het raken geldt: d(m, k) = r 0 0 b 3 ( 1) 2 2 b 10 b 10 10 b 10 b 10 10 27

9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 2 Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Stel de vergelijkingen op van de lijnen die de cirkel raken en door het punt (10, 0) gaan. Voor de vergelijking die door (10, 0) gaat geldt: l: y = ax + b l: y = 10a + b b = -10a en dus: l : y = ax 10a l : ax y 10a = 0 Vanwege het raken geldt: d(m, l) = r 0 0 10 a 2 2 a ( 1) 10 a 2 a 1 2 10 a 10a 10 2 2 100a 10a 10 a 2 1 9 a a 10 1 1 3 3 10 1 3 Dus l 1 : y = (x 10) en l 2 : y = - (x 10) 1 3 28

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Voorbeeld: Het punt A(3, 4) ligt op de cirkel x 2 + y 2 = 25 De lijn k raakt de cirkel in A. Er geldt : k OA. => n k = r OA = 3 4 Dus k : 3x + 4y = c (3, 4) ligt op k. Hieruit volgt: 3x + 4y = 25. Algemeen: De lijn k die de cirkel x 2 + y 2 = r 2 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking l: x A x + y A y = r 2. 29

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Algemeen: De lijn k raakt de cirkel x 2 + y 2 = r 2 in A(x A, y A ) en er geldt dus k: x A x + y A y = r 2. De lijn k gaat ook door P(x P, y P ) en er geldt dus k: x A x P + y A y P = r 2. Hieruit volgt dat A op de lijn ligt met vergelijking x P x + y P y = r 2 De lijn l raakt de cirkel x 2 + y 2 = r 2 in B(x B, y B ) en er geldt dus l: x B x + y B y = r 2. De lijn l gaat ook door P(x P, y P ) en er geldt dus k: x B x P + y B y P = r 2. Hieruit volgt dat B op de lijn ligt met vergelijking x P x + y P y = r 2. 30

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Algemeen: De lijn AB (poollijn van pool P ten opzichte van de cirkel) heeft de vergelijking: x P x + y P y = r 2. Bij een cirkel met middelpunt M(x M, y M ) en straal r hoort : (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 Bij een punt P(x P, y P ) buiten de cirkel geldt: (x P x M )(x x M ) + (y P - y M )(y y M ) = r 2 31

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Voorbeeld: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 13. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(1, 5) die de cirkel raken. De poollijn van A t.o.v. de cirkel is: x + 5y = 13 x = 13 5y Invullen hiervan in de vergelijking van de cirkel geeft: (13 5y) 2 + y 2 = 13 169 130y +25y 2 + y 2 = 13 26y 2 130y + 156 =0 y 2 5y + 6 =0 (y 2)(y 3) = 0 y = 2 (met x = 3) y = 3 (met x = -2) Raaklijn in (3, 2) is 3x + 2y = 13 Raaklijn in (-2, 3) is -2x + 3y = 13 32

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Bij een cirkel met middelpunt M en straal r is PM 2 r 2 de macht van het punt P t.o.v. de cirkel. In het plaatje ligt punt P buiten de cirkel. Dan geldt: PM 2 r 2 = PA 2 > 0. Ligt P binnen de cirkel dan geldt: PM 2 r 2 < 0. Als P op de cirkel ligt geldt PM 2 r 2 = 0. 33

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Voorbeeld: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 met middelpunt M en straal r. Toon aan dat voor een punt P(x P, y P ) buiten de cirkel geldt: PM 2 r 2 = x P2 + y P2 + ax P + by P + c x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 x 2 + ax + y 2 + by + c = 0 (x + ½a) 2 ¼a 2 + (y + ½b) 2 ¼b 2 + c = 0 (x + ½a) 2 + (y + ½b) 2 = ¼a 2 + ¼b 2 c Het middelpunt is nu M(-½a, -½b) 2 1 2 1 2 1 2 1 ( x a) ( y b) a b 2 c PM 2 r 2 = p 2 p 2 4 4 PM 2 r 2 = (x P + ½a) 2 + (y P + ½b) 2 - ¼a 2 - ¼b 2 + c PM 2 r 2 = x 2 P + ax p + ¼a 2 + y P2 + by p + ¼b 2 - ¼a 2 - ¼b 2 + c PM 2 r 2 = x P2 + y P2 + ax P + by P + c De macht van het punt P(x P, y P ) ten opzichte van de cirkel x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 is gelijk aan: x P2 + y P2 + ax P + by P + c. 34

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Voorbeeld: Stel een vergelijking op van de cirkel c 1 met middelpunt M(3,1) die de cirkel c 2 : x 2 + y 2 + 4x 6y + 8 = 0 loodrecht snijdt. Gebruik dat voor de straal r van cirkel c 1 geldt dat r 2 de macht is van M t.o.v. c 2. De vergelijking van cirkel c 1 is van de vorm: (x 3) 2 + (y 1) 2 = r 2 Voor r van c 1 geldt r 2 = 3 2 + 1 2 + 4 3 6 1 + 8 = 24 Hieruit volgt: (x 3) 2 + (y 1) 2 = 24 35

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 1: Gegeven is het punt P(x P, y P ) met gelijke machten ten opzichte van c 1 : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 en c 2 : x 2 + y 2 + px + qy + r = 0 Hieruit volgt: x P2 + y P2 + ax P + by P + c = x P2 + y P2 + px P + qy P + r ax P - px P + by P - qy P + c r = 0 (a p)x P + (b q) y P + c - r = 0 Dit betekent dat P op de lijn (a p)x + (b q) y + c - r = 0 ligt. Algemeen: De macht van twee niet-concentrische cirkels is de lijn waarop alle punten liggen die gelijke machten hebben ten opzichte van beide cirkels. Van de cirkels c 1 : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 en c 2 : x 2 + y 2 + px + qy + r = 0 Is de vergelijking van de machtlijn: (a p)x + (b q) y + c - r = 0 36

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Het middelpunt M van c 3 ligt op de machtlijn k van c 1 en c 2 en op de raaklijn in A aan c 1. Stap 1: Machtlijn k van c 1 en c 2 : (a p)x + (b q) y + c - r = 0 (0 - - 6)x + (0 - - 8)y 10 - - 20 = 0 6x + 8y = - 10 37

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 2: Raaklijn l in (3, 1) aan c 1 opstellen. Het punt A(3, 1) ligt op de cirkel x 2 + y 2 = 10 De lijn l raakt de cirkel in A. 3 Er geldt : l OA. => n k = r OA = 1 Dus l : 3x + y = c (3, 1) ligt op l. Hieruit volgt: 3x + y = 10. 38

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 3: 6x 8 y 10 3x y 10 3x 4 y 5 3x y 10 3 y 15 y 5 Invullen van y = -5 in 3x + y = 10 geeft x = 5 39

9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 3: Het middelpunt van de gezochte cirkel is: M(5, -5). c 3 : (x 5) 2 + (y + 5) 2 = r 2 Voor r van c 3 geldt: r 2 = 5 2 + (-5) 2 10 = 40 En dus: c 3 : (x 5) 2 + (y + 5) 2 = 40 40

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 1: Breng een assenstelsel aan zoals in de figuur hiernaast. 41

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 2: Stel vergelijkingen op voor OM en BN. OM: y = ½x en BN: y = -2x + 4. Stap 3: Bepaal het snijpunt S van OM en BN. 1 2 x 2x 4 2 x 4 1 2 x 8 5 Dus S, 8 4 5 5 42

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 4: Bereken de lengte van lijnstuk DS. 4 8 2 2 64 36 5 5 25 25 DS 2 4 2 Omdat OD = 2 geldt DS = OD en dus DS = AD 43

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 1: Breng een assenstelsel aan en gebruik dat P op de cirkel ligt met middelpunt A en straal r en tevens op de cirkel met middelpunt B en straal 2r. Stap 2: Stel de vergelijkingen op van de twee cirkels. A(-½d, 0) en B(½d, 0) met P op de cirkel: (x + ½d) 2 + y 2 = r 2 EN op de cirkel: (x ½d) 2 + y 2 = (2r) 2 44

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 3: Stel de vergelijkingen op van de twee cirkels. A(-½d, 0) en B(½d, 0) met P op de cirkel: (x + ½d) 2 + y 2 = r 2 EN op de cirkel: (x ½d) 2 + y 2 = (2r) 2 Stap 4: Geef een uitdrukking voor r 2 met behulp van een stelsel van vergelijkingen. 2 1 2 2 2 x dx d y r 4 2 1 2 2 2 x dx d y 4r 4 2dx 3r r 2 2 3 dx 2 45

9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 5: Substitueer de gevonden oplossing in één van de vergelijkingen van de cirkels. ( x d) y dx 1 2 2 2 2 3 x 1 dx d y 0 2 2 1 2 2 3 4 ( x d) d d y 0 5 2 25 2 1 2 2 6 36 4 ( x d) y d 5 2 2 4 2 6 9 Hieruit volgt dat de punten P liggen op een cirkel 5 met middelpunt d,0 2 6 en straal. 3 d 46