Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 5 Oktober 1 / 20
1 Kansrekening Indeling: Binomiaalcoëfficiënten Monty Hall Geschiedenis Filosofie 2 / 20
Binomiaalcoëfficiënten 3 / 20
Binomiaalcoëfficiënten St. Dus (a + b) n = 2 n = nx i=0 nx i=0 n i a i b n i. n i. Bew. Stelling 3.7 op bladzijde 103 in het boek. 4 / 20
Antwoord op een vraag: de vraag van Pim AH geeft 6 willekeurige puzzelstukjes bij elke keer boodschappen doen. Aangezien er miljoenen puzzels in omloop zijn mag je aannemen dat het om pakken met terugleggen gaat. De puzzel bestaat uit 144 unieke stukjes. Zijn studentenhuis miste nog 3 puzzelstukjes toen de actie afliep. Hoevaak hadden zij nog boodschappen moeten doen zodat de kans om de puzzel compleet te krijgen groter dan 0.9 is? Voor het gemak nemen we aan dat bij elke keer boodschappen doen 1 puzzelstukje verkregen wordt. De kans dat na precies m maal boodschappen doen de puzzel compleet is (k is het aantal maal dat er geen van de drie plaatjes verkregen wordt): 3 Pm 3 k=0 m 1 ( k 141 144 )k ( 144 1 ` P )m k m k 2 i=1 m k 1 i P = 3 m 3 m 1 ( k=0 k 141 144 )k ( 144 1 `2 )m k m k 1 2 (144) m. (m 1 omdat bij de laatste boodschappen het laatste puzzelstukje verkregen wordt.) Dus is de kans dat na hoogstens n maal boodschappen doen de puzzel compleet is: nx 3 Pm 3 m 1 ( k=0 k 141 144 )k ( 144 1 )m k `2 m k 1 2 (144) m. m=3 (Volgens mij) is voor n 484 deze kans groter dan 0.9. 5 / 20
Monty Hall Achter één van drie gesloten deuren staat een auto, achter de andere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv: geit geit jij auto De quizmaster Monty Hall opent een van de twee deuren waar jij niet voor staat en waarachter een geit staat. In het geval Monty Hall een keuze heeft, kiest hij willekeurig. In dit voorbeeld: geit geit jij auto Jij mag blijven staan of voor de andere gesloten deur gaan staan. Vervolgens win je dat wat achter jouw deur staat. Is het beter altijd van deur te veranderen (indien je geen geit wilt)? Het is beter om van deur te veranderen. Om dit in te zien helpt het om een boomdiagram te tekenen, zie Voorbeeld 4.6 op bladzijde 136 in het boek. 6 / 20
Geschiedenis 7 / 20
Geschiedenis 1500-1900 Girolamo Cardano (1501-1576) Liber de Ludo Aleae (Boek van het Spel met de Dobbelstenen) 8 / 20
Geschiedenis 1500-1900 Antoine Gombaud, M. le Chevalier de Méré (1607-1684) Blaise Pascal (1623-1663) en Pierre de Fermat (1601-1665) Pascal in 1654: Ik zie dat waarheid hetzelfde is in Toulouse als in Parijs. 9 / 20
Geschiedenis 1500-1900 Jakob Bernouilli (1654-1705) Ars Conjectandi (De Kunst van de Veronderstelling) Thomas Bayes (1702-1761) An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances 10 / 20
Geschiedenis 1500-1900 Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Essai Philosophique sur les Probabilités (Philosophical Essay on Probabilities) In een deterministische wereld is de kans de mate van onwetendheid. 11 / 20
Filosofie van de kansrekening 12 / 20
Filosofie Vraag: Wat is een kans? Wat betekent de uitspraak: de kans op A is p? Wat is de rechtvaardiging voor de axioma s van de kansrekening? 13 / 20
Filosofie: drie theorieën Logische theorie Subjectieve theorie Frequentietheorie 14 / 20
Filosofie: Logische theorie John Maynard Keynes (1883-1946) Henry Moore: Principia Ethica. Regels voor ethisch handelen. Bertrand Russell en Alfred Whitehead: Principia Mathematica. Deductie (logica). Keynes: Treatise on Probability. Inductie (waarschijnlijkheid/kansrekening). 15 / 20
Filosofie: Logische theorie Waarschijnlijkheid is de mate van rationeel geloof. Het is objectief (in de Platonistische zin van het woord). Het is mogelijk dat er aan de waarschijnlijkheid van zekere gebuertenissen geen numerieke waarde toe te kennen is. 16 / 20
Filosofie: Principe van Onvoldoende Reden Principe van Onvoldoende Reden (Principle of Indifference) Als er geen reden bekend is om een mogelijkheid over een andere te verkiezen, dan is, gegeven deze kennis, de waarschijnlijkheid van elk van de mogelijkheden gelijk. 17 / 20
Filosofie: paradoxen door het Principe van Onvoldoende Reden Hoewel het Principe van Onvoldoende Reden redelijk lijkt, leidt het in sommige gevallen tot paradoxen. Betrands Paradox: (College 1) Water-Wijn Paradox: Stel dat over een glas dat wijn en water bevat slechts bekend is dat het van het een 1 ten hoogste 3 maal zoveel bevat als van het ander: 3 wijn water 3. Met het Principe van Onvoldoende Reden is de kansdichtheid van de verhouding wijn/water uniform op het interval [ 1, 3]. Daarom geldt 3 P( wijn water 2) = 2 1 3 3 1 3 Omdat tevens 1 3 water 3 is ook de kansdichtheid van de verhouding water/wijn wijn uniform op het interval [ 1, 3]. Daarom geldt 3 P( water wijn 1 2 ) = 3 1 2 3 1 3 = 5 8. = 15 16. Maar P( wijn water 2) = P( water wijn 1 2 ). Tegenspraak. 18 / 20
Filosofie: paradoxen door het Principe van Onvoldoende Reden Water-Wijn Paradadox Sommigen van jullie bedachten het volgende over de Water-Wijn paradox. In plaats van de verhoudingen wijn water en kan ook het percentage water of wijn in water wijn het glas als uniform verdeeld beschouwd worden. Dat geeft: Het percentage wijn in het glas ligt tussen 25% ( wijn water = 1 wijn ) en 75% ( = 3), en is 3 water uniform verdeeld over het interval [25, 75]. En hetzelfde geldt voor het percentage water. Er geldt P( wijn water 2) = P(percentage wijn 2 2 3 100%) = 100 25 3 = 41.66667 = 0.8333334. 75 25 50 P( water wijn 1 2 ) = P(percentage water 1 3 100%) = 75 1 3 100 = 41.66667 = 0.8333334. 75 25 50 Dus ontstaat onder deze opvatting van de situatie geen tegenspraak: Een goede oplossing! P( wijn water 2) = P( water wijn 1 2 ). 19 / 20
Finis 20 / 20