Modulewijzer RivWis00 W. Oele 21 juni 2006
Inhoudsopgave 1 Bijspijker module wiskunde voor het mbo 2 1.1 Inleiding.............................. 2 1.2 wiskunde en informatica: twee goede vrienden van elkaar..... 2 1.2.1 Efficiëntie van computerprogramma s........... 3 1.2.2 3D-engines en vectoranalyse............... 3 1.2.3 Bewijsvoering en programmeren.............. 4 1.2.4 Fractals.......................... 5 1.3 Wiskunde: de taal van de informaticus.............. 6 2 Studiehouding 7 2.1 Wiskunde kost moeite........................ 7 2.2 Hoe je wiskunde kunt leren..................... 8 3 Opbouw van de module 9 3.1 Inhoud............................... 9 3.2 Leermiddelen............................ 10 3.3 Theorie en practicum....................... 10 3.4 Toetsing.............................. 10 3.5 Planning.............................. 11 1
Hoofdstuk 1 Bijspijker module wiskunde voor het mbo 1.1 Inleiding Hoi! Als je dit leest, betekent dat dat je de toets wiskunde die je aan het begin van dit jaar hebt gedaan niet hebt gehaald. Daar je de toets niet gehaald hebt kan geconcludeerd worden dat je kennis van het vak wiskunde onvoldoende is en dus zal moeten worden bijgewerkt. Deze module is speciaal geschreven om dat te bereiken. Alvorens we gaan kijken naar de opbouw van de module, is het verstandig eerst eens te bezien wat wiskunde en informatica met elkaar te maken hebben, opdat je ziet waarom het beheersen van wiskunde zo belangrijk is. 1.2 wiskunde en informatica: twee goede vrienden van elkaar. Wiskunde en informatica hebben veel met elkaar te maken. Dat is niet zo vreemd daar alles wat er in een computer omgaat beschouwd kan worden als het resultaat van een berekening. Om je te laten zien hoe belangrijk het is om wiskundige formules en symbolen te kunnen lezen, laat ik je enkele belangrijke formules zien die je in de komende jaren in je opleiding zult tegenkomen. Het is niet de bedoeling dat je meteen begrijpt wat daar staat. Ik heb ze hier neergezet, opdat je ze een keer gezien hebt en goed begrijpt dat je in de komende maanden wat te doen hebt. 2
1.2.1 Efficiëntie van computerprogramma s. Kijk eens goed naar onderstaande formule: (n) O(g(n)) = {T (n) lim T c, 0 c < } (1.1) n g(n) Bovenstaande formule staat vol met vreemde symbolen en als je het zonder begeleidende tekst leest, zul je weinig begrijpen van wat dit betekent. Bovenstaande formule wordt gebruikt om van een computerprogramma te kunnen bepalen hoeveel instructies dit programma oplevert wanneer het programma wordt uitgevoerd. Hoe kleiner het aantal instructies dat een programma uitvoert, hoe efficiënter (en dus sneller ) het programma is. Uitspraken doen over de efficiëntie van computerprogramma s is voor een programmeur of softwarespecialist belangrijk. Stel je maar eens voor dat je erin slaagt een computerprogramma te schrijven dat het weer van morgen met 100% nauwkeurigheid kan voorspellen. Het schrijven van een dergelijk programma zou al een prestatie op zich zijn. Stel je nu ook eens voor dat je na het schrijven van dat programma een pijnlijke ontdekking doet: het programma werkt, maar een computer heeft twee dagen de tijd nodig om het weer van morgen te kunnen voorspellen! Met formule 1.1 Zou je al tijdens het ontwerpen van dat programma hebben ingezien dat het onmogelijk is een programma dat het weer van morgen met 100% nauwkeurigheid voorspelt, te kunnen schrijven. Het leren lezen van bovenstaande formule is dus belangrijk daar het je een hoop tijd en onzinnig werk scheelt. 1.2.2 3D-engines en vectoranalyse Bekijk onderstaande formule: r (P ) = r (λ) = r1 + λ a (1.2) x x 1 a x x 1 + λa x y = x 2 + λ a y = y 1 + λa y (1.3) z x 3 a z z 1 + λa z Formule 1.2 wordt gebruikt bij het opbouwen van een 3d-engine. De formule vertelt ons hoe een rechte lijn in een assenstelsel kan worden voorgesteld door een punt P op een rechte lijn en een gegeven ander punt P 1 op diezelfde lijn. Formule 1.3 doet hetzelfde, maar nu worden de twee punten m.b.v. zogenaamde vectoren genoteerd. De tak van wiskunde die men de vectoranalyse noemt, vormt de basis voor het bouwen van een hele verzameling grafische toepassingen zoals 3d- spelletjes, cad/cam systemen, caves en ook het bekende Macromedia Flash. 3
1.2.3 Bewijsvoering en programmeren. Bekijk, om het af te leren, onderstaande vergelijkingen: Bewijs dat: n 0=1 Welnu, er geldt: i = 1 n(n + 1) (1.4) 2 1 0 Ook geldt: i = 1.1.(1 + 1) = 1 (1.5) 2 m=n+1 m=0 m=n+1 m=0 Derhalve: m = 1 (n + 1).(n + 1 + 1) (1.6) 2 m = m=n m=0 m + n + 1 = 1 n(n + 1) + n + 1 2 1 2 (n + 1).(n + 1 + 1) = 1 n(n + 1) + n + 1 2 (1.7) 1 2 (n2 + 3n + 2) = 1 2 n2 + 1 2 n + n + 1 1 2 n2 + 1 1 2 n + 1 = 1 2 n2 + 1 1 2 n + 1 In vergelijking 1.4 wordt beweerd dat het herhaald optellen van een rijtje getallen hetzelfde is als het uitrekenen van één enkele formule. In vergelijking 1.6 wordt deze bewering ook daadwerkelijk bewezen. Voor een programmeur is het kunnen bewijzen van formule 1.4 een belangrijke vaardigheid daar je met dergelijke methodes de correcte werking van een computerprogramma kunt bewijzen. Bovendien werkt een computerprogramma dat slechts één formule hoeft uit te rekenen een stuk efficiënter dan wanneer het programma een enorme hoeveelheid getallen bij elkaar moet optellen. Dat het uitrekenenen van één formule inderdaad efficiënter werkt dan het herhaald optellen van een lange rij getallen, kan men op zijn beurt weer bewijzen met formule 1.1. 4
1.2.4 Fractals De Franse wiskundige Julia (1893-1978) kwam op het idee om een complexe getal eindeloos te vermenigvuldigen met zichzelf. Dit wordt uitgedrukt in formule 1.8. x n+1 = x 2 n + C (1.8) Formule 1.8 drukt uit dat in een rij getallen het getal dat op positie n + 1 is te vinden wordt verkregen door het getal op positie n met zichzelf te vermenigvuldigen en er een waarde C bij op te tellen. Met deze gedachte legde Julia de basis voor wat later de fractale geometrie zou gaan heten. Fractale geometrie is een tak van de wiskunde die met succes in informatica wordt toegepast bij het opbouwen van 3d modellen. Daar men in de tijd van Julia niet over de rekenkracht beschikte van de huidige generaties computers, heeft Julia nooit de schoonheid van zijn eigen gedachtengoed kunnen aanschouwen. De Franse wiskundige Mandelbrot (in dienst van IBM) slaagde er in de jaren 80 als eerste in om een programma te schrijven, waarmee de Julia set kon worden aanschouwd. In figuur 1.1 is de Mandelbrot fractal afgebeeld. Figuur 1.1: De Mandelbrot Fractal 5
1.3 Wiskunde: de taal van de informaticus Zoals je in de vorige paragraaf al hebt kunnen lezen, wordt er in de informatica veel gebruik gemaakt van wiskundige formules en symbolen. Alleen al in de vorige paragraaf is gebruik gemaakt van breuken, constantes, variabelen, vectoren, matrices, sommatietekens, verzamelingen, functies, limieten, absolute waarde, vergelijkingen, machten en inductieve bewijsvoering. Wanneer je, later in je studie, een boek gaat lezen over bijvoorbeeld databases, programmeertalen, algoritmen, 3d-engines, encryptie, informatietheorie, compressie of netwerken, zul je zien dat deze boeken vol staan met wiskundige formules. De schrijvers van die boeken gaan er van uit dat de lezer van het boek alle gebruikte wiskundige symbolen kent en bovendien over de vaardigheid beschikt op zeker niveau om te kunnen gaan met het manipuleren van wiskundige vergelijkingen. Ook in de opleidingen informatica en technische informatica zul je allerlei belangrijke concepten tegenkomen die uitsluitend met wiskunde worden noteerd daar ze niet op een andere manier uit te drukken zijn. Aan jou, de beginnende student, de taak om het wiskundige taaltje dat informatici in hun werk gebruiken, te leren spreken. De module RivWis00 vormt de eerste module van een lange reeks, waarin we je dat gaan leren. In het overige gedeelte van deze modulewijzer vind je de leermiddelen die je nodig hebt, de methode van toetsen en een planning voor de komende anderhalve maand. 6
Hoofdstuk 2 Studiehouding 2.1 Wiskunde kost moeite... Van wiskunde wordt met enige regelmaat beweerd dat het een moeilijk vak is. Welnu: de vraag of wiskunde een moeilijk vak is, zal door iedereen op een andere manier worden beantwoord. De één zal er meer moeite mee hebben dan de ander, bijvoorbeeld omdat de één er meer tijd in steekt of meer aanleg heeft voor het vak dan de ander. Ongeacht de vraag of je veel of weinig aanleg hebt voor wiskundig denken, geldt voor iedereen die zich ermee bezighoudt het volgende: Het leren van wiskunde kost moeite. Het is niet zo moeilijk dat in te zien. Stel je eens voor dat je in leven nergens moeite voor hoeft te doen. Zijn de dingen die je in je leven meemaakt dan nog leuk? Nee! Het winnen van een voetbal wedstrijd is een stuk minder bevredigend als je er niets voor hoeft te doen. Het wonen in een mooi huis wordt een stuk leuker als je dat huis eigenhandig hebt verbouwd. Het behalen van een diploma is niet interessant als je dat diploma voor niets krijgt (Een dergelijke diploma is ook weinig waard). In plaats daarvan ervaar je pas trots en voldoening wanneer je voor het behalen van dat diploma jarenlang hebt moeten knokken. Geluk en bevrediging zijn geen absolute begrippen. Bij het bereiken van een doel ben je gelukkiger dan in de periode, waarin je hebt moeten zwoegen om dat doel te bereiken. Het geschreven hebben van een computerprogramma wordt bevredigender als je uren lang hebt moeten ploeteren om die computer zo ver te krijgen. Het geluk en de bevrediging die je ervaart bij het bereiken van een doel wordt groter naarmate je meer moeite hebt moeten doen om dat doel te bereiken. Men zegt daarom wel eens dat tegenslag een voorwaarde is voor vooruitgang. Voor wiskunde geldt dit in extrema. Ook mensen met 7
een zogenaamde wiskundeknobbel moeten iedere keer weer moeite doen om wiskundige teksten te kunnen lezen en begrijpen. Het leren beheersen van wiskundige kennis heeft dan ook niet zozeer te maken met intelligentie, maar vooral met je houding. In de komende anderhalve maand zul je moeten aantonen dat je iemand bent met een lange adem; iemand die karakter toont, bereid is vast te houden en hard te werken tot het doel is bereikt. De bevrediging van al dat harde werk zul je ervaren wanneer je een mooi boek pakt over bijvoorbeeld computergraphics en je ervaart dat de wiskunde die erin staat niet langer een probleem is, maar zonder problemen door jou kan worden gelezen, opdat de mooie aspecten van informatica toegankelijk voor je worden. Dat je met hard werken ook nog eens een voldoende kunt halen voor dit vak is in dit licht mooi meegenomen, maar niet het hoofddoel. 2.2 Hoe je wiskunde kunt leren... Wiskunde kan men in zekere zin opvatten als een taal. Het bijzondere van wiskunde is alleen dat deze taal extreem compact in elkaar zit en bovendien consistent (=niet tegenstrijdig) is. Waar je met een natuurlijke taal zoals het Nederlands hele pagina s met tekst nodig hebt om een concept uit te leggen, volstaat in de wiskunde vaak één korte formule die haarscherp laat zien waar het om gaat. Het compacte karakter van wiskunde heeft dus het voordeel dat je met slechts enkele formules ingewikkelde concepten zeer kort, helder en duidelijk kunt weergeven. Het nadeel is echter dat wiskundige formules niet altijd even eenvoudig te lezen zijn. Ook voor mensen die wiskunde gestudeerd hebben of vaak met wiskunde werken (informatici?) geldt dat zij met enige regelmaat een wiskundige formule moeten lezen, moeten herlezen en nog eens moeten herlezen, voordat ze eindelijk eens begrijpen wat er met die formule wordt bedoeld. Laat je dus niet uit het veld slaan wanneer je niet meteen doorziet wat een fomule betekent. Het lezen van wiskundige teksten is een stuk lastiger dan het lezen van een krantenartikel. Accepteer dat je met enige regelmaat wiskundige formules herhaaldelijk zult moeten lezen en ermee moet oefenen, voordat je begrijpt hoe die formules werken. Vooral dit laatste aspect, oefenen, blijkt al jaren lang de beste methode te zijn om te leren omgaan met wiskundig gereedschap. Oefening baart kunst 8
Hoofdstuk 3 Opbouw van de module 3.1 Inhoud In deze module worden de volgende onderwerpen behandeld: verzamelingen (databases en programmeren) logica (databases en programmeren) lineaire algebra (simulaties, gaming, grafische software, bedrijfskunde, statistiek en programmeren) diverse getalstelsels (programmeren en computersystemen) functies van één en meer variabelen (databases, grafische software) eenvoudige meetkunde, oppervlakken en volumes (gaming, grafische software en robotica) numerieke methoden (coderingen, cryptografie, programmeren en statistiek) combinatoriek(coderingen, cryptografie, statistiek, programmeren, gaming, grafische software en robotica) vectoranalyse(informatietheorie, gaming, grafische software en robotica) operationele analyse, optimaliseringsmethoden (simulatietechnieken en bedrijfskunde). 9
3.2 Leermiddelen Voor deze module heb je het volgende nodig: reader RivWis00 deficiëntiemodule wiskunde. De reader is te downloaden op http://med.hro.nl/oelew. hersenen discipline tijd een goed geslepen potlood 3.3 Theorie en practicum De module RivWis00 bestaat uit twee uur theorie en nog eens twee uur practicum per week. In de theorie legt de docent de stof voor die week uit. In het practicum oefen je met de leerstof door met de hand oefenopgaven te maken. 3.4 Toetsing Toetsing van deze module geschiedt als volgt: Aan het begin van iedere practicumles krijg je, op papier en zonder computer, een toets die bestaat uit tien vragen. Iedere student krijgt het blad met opgaven, voldoende kladpapier en een uitwerkingen blad. De tien vragen worden in 50 minuten tijd door jou persoonlijk gemaakt, d.w.z. met de hand en zonder rekenmachine. Het kladpapier kun je gebruiken voor het uitrekenen van het antwoord. Op het uitwerkingenblad schrijf je het alleen het eindantwoord. Per goed beantwoorde vraag krijg je een punt. Het aantal goed beantwoorde vragen levert je het cijfer voor die deeltoets. Het gemiddelde alle deeltoetsen levert je het uiteindelijke eindcijfer voor de module. Studenten die het niet lukt middels de deeltoetsen een voldoende te halen, kunnen aan het einde van de module nog een hertentamen maken dat gaat over de gehele stof. Wanneer ook dat cijfer onvoldoende is, vervallen de resultaten van alle deeltoetsen en dient de student het vak het jaar daarop opnieuw te doen. 10
3.5 Planning Daar er voor deze module in de verschillende opleidingen variërende hoeveelheden tijd ter beschikking staan en dit bovendien ook nog per jaar verandert, is het niet mogelijk een volledige planning van week tot week te geven voor deze module. De docent zal daarom, in overleg met de leiding een planning overeenkomen en deze doorgeven aan de de student aan het begin van de module. 11