inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
1 de grote lijn de zijlijn hoofdlijn Het begrip afstand wordt geïntroduceerd. Tekenen op schaal. Cirkel, met binnen- en buitengebied. De driehoeksongelijkheid. De afstand van een punt tot een figuur. De afstand van een punt tot een lijn. De afstand van een punt tot een cirkel. Isoafstandslijnen bij meetkundige eilanden. Definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk. Stelling van de middelloodlijn. De drie middelloodlijnen van een driehoek. De omgeschreven cirkel van die driehoek. Meetkundig spiegelen in een lijn; lijnsymmetrie. Meetkundig spiegelen in een punt; puntsymmetrie. Definitie van de bissectrice van een hoek. Stelling van de bissectrice van een niet-inspringende hoek. Stelling: De bissectrices van twee snijdende lijnen vormen twee lijnen die loodrecht op elkaar staan. De middelloodlijn tekenen met passer en liniaal. De omgeschreven cirkel tekenen met passer en liniaal. Meetkundige eilanden verdelen tussen bewoners met middelloodlijnen als grenzen (zoals in Voronoi-diagrammen). De molentjesdriehoek: een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde tweemaal zo lang is als de andere. Dit leidt tot een vlakvulling met alleen maar schaalsymmetrie De bissectrice tekenen met passer en liniaal. Stelling van de drie bissectrices van een driehoek. De ingeschreven cirkel van de driehoek. De omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek. Onderzoekjes.
2 applets cirkelapplet bij 1.5 CABRI-applet. Je kunt een punt bewegen. Daarbij wordt steeds de afstand van het punt tot het middelpunt van een cirkel getoond. driehoeksongelijkheidapplet bij 1.6 CABRI-applet. Je kunt een punt bewegen. Nu worden de twee tot de grenspunten van een lijnstuk getoond en tevens de som van die twee. De som van die is minimaal wanneer je het beweegbare punt op het lijnstuk legt. balinwaterrondeilandapplet bij 1.8 CABRI-applet. Je kunt een punt P over een cirkel bewegen. Daarbij wordt de afstand tot de bal B in het water getoond. De afstand PB is minimaal, wanneer P op het lijnstuk MB ligt. omgeschrevencirkelapplet bij 2.5 CABRI-applet. De leerlingen worden stap voor stap door het bewijs geleid dat de drie middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan. Uiteindelijk wordt de omgeschreven cirkel getekend. CrusoeApplet bij 3.1 CABRI-applet. Een meetkundig eiland, gevormd door een cirkelvormig gebied waaruit een cirkelsector is weggenomen. Er is een isoafstandslijn getekend. In het inwendige van de cirkelsector ligt een punt P op de isoafstandslijn dat gelijke heeft tot de twee benen van de hoek die de grens vormt van de weggenomen sector. Door de bij de isoafstandslijn behorende afstand te variëren, beschrijft P een baan: de bissectrice van de hoek. IngeschrcirkelApplet bij 3.8 CABRI-applet. Stap voor stap zien de leerlingen de ingeschreven cirkel van een driehoek ontstaan, met de daarbij horende redenering. LangstraatApplet bij O.3 CABRI-applet. Dit is een uitbreiding van de driehoeksongelijkheidapplet. Nu liggen er zeven punten op een lijnstuk. Punt P kan bewegen, de afzonderlijke van P tot elk van de zeven punten en ook de som van die zeven wordt getoond. Daarmee kunnen de leerlingen op zoek naar de plek waar de som van die zeven minimaal is. Dit geeft een verrassende uitkomst met minstens twee mooie redeneringen. BlackspelApplet1 bij O.5 De leerlingen kunnen met zijn tweeën het Blackspel spelen. BlackspelApplet2 bij O.5 De leerlingen kunnen het Blackspel spelen tegen de computer; en steeds verliezen.
3 bespreking per paragraaf de driehoeksongelijkheid Het begrip afstand wordt geïntroduceerd, in combinatie met tekenen op schaal. Cirkel wordt gedefinieerd, met binnen- en buitengebied. Territoriale wateren als voorbeeld van isoafstandslijnen. Dan volgt de driehoeksongelijkheid. Deze levert het belangrijkste argument voor de stellingen die in dit hoofdstuk worden behandeld. De afstand van een punt tot een figuur wordt gedefinieerd als de lengte van het kortste verbindingslijnstuk. De afstand van een punt tot een lijn wordt daarom gemeten langs de loodlijn van dat punt op die lijn. De afstand van een punt tot een cirkel wordt gemeten langs de lijn die door dat punt en het middelpunt van de cirkel gaat. Dit wordt allemaal netjes beredeneerd met gebruik van de driehoeksongelijkheid. Isoafstandslijnen bij meetkundige eilanden leveren een aantal oefenopgaven. middelloodlijnen De middelloodlijn van een lijnstuk is bij definitie de lijn die door het midden daarvan gaat en er loodrecht op staat. Dat leidt tot de stelling van de middelloodlijn: Het zijn precies de punten die op gelijke afstand van de grenspunten van het lijnstuk liggen. De leerlingen leren hoe ze de middelloodlijn kunnen tekenen met passer en liniaal. De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dat punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek. De omgeschreven cirkel leren ze ook te tekenen met passer en liniaal. Lijnsymmetrie wordt nu in verband gebracht met meetkundig spiegelen in een lijn. Ook puntsymmetrie komt aan de orde: meetkundig spiegelen in een punt. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde. Als oefening is gekozen het verdelen van Meetkundige eilanden tussen bewoners met middelloodlijnen als grenzen (zoals in Voronoi-diagrammen). Een boeiende toepassing is ook de molentjesdriehoek: een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde tweemaal zo lang is als de andere. Dit leidt tot een vlakvulling met alleen maar schaalsymmetrie. bissectrices De bissectrice van een hoek is bij definitie: de halve lijn die die hoek in twee gelijke hoeken deelt. Voor niet-
inspringende hoeken is er een stelling: het zijn precies de punten die op gelijke afstand van de benen van die hoek liggen. Er komen nog twee stellingen: De bissectrices van twee snijdende lijnen vormen twee lijnen die loodrecht op elkaar staan. De drie bissectrices van een driehoek gaan door één punt. Dat punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek. Natuurlijk moeten de leerlingen ook de bissectrice kunnen construeren met passer en liniaal, evenals de ingeschreven cirkel van een driehoek. De paragraaf eindigt met oefenopgaven waarin weer hoekberekeningen worden gevraagd. onderzoek a b c Bij niet-inspringende hoeken bestaat de bissectrice precies uit de punten van de hoek die op gelijke afstand tot de benen liggen. Bij inspringende hoeken is dat anders. Goed om even uit te zoeken. Vierhoekige eilanden kun je verdelen vanuit de hoekpunten of vanuit de zijden. Dat leidt tot allerlei vragen en bijzonderheden. De kaartclub van de Langstraat. Dit is een generalisatie van de driehoeksongelijkheid. Het gunstigste punt bij een oneven aantal leden is altijd het middelste punt; bij een even aantal zijn dat de beide middelste en alle punten daartussen. Er zijn twee elegante manieren om dat te beredeneren: 1 Verdeel de punten in tweetallen, van buiten naar binnen: dus eerst de twee die uiterst links en rechts liggen, dan de twee die op een na het meest aan de buitenkant liggen,.., en tenslotte het middelste punt of het middelste tweetal. Zo ontstaat er een nest van lijnstukken. De som van de twee van het ontmoetingspunt tot de eindpunten van het grootste lijnstuk is minimaal als het ontmoetingspunt op dit grootste lijnstuk ligt. Om dezelfde reden moet het ook op het een na grootste lijnstuk liggen, enzovoort. Het moet dus op alle lijnstukken liggen, en dus op het kleinste: het middelste punt of het middelste lijnstuk. 2 Je kunt het probleem ook democratisch oplossen. Stel de zeven leden (punten) zijn A, B,., G. De club kaart in B en G doet het voorstel om de volgende keer niet in B maar in C te kaarten. Dat is ongunstig voor A en B, maar gunstig voor C, D, E, F en G. Verplaatsen dus. De totale som van de vermindert daardoor met 3 keer de afstand BC. De week daarna wordt gestemd over verplaatsing van C naar D. Dat komt er ook door. Maar dan is het afgelopen. D is het gunstigste punt.
d e Gemeenschappelijke raakcirkels aan drie lijnen. Naast de ingeschreven cirkel komen nu ook de drie aangeschreven cirkels aan bod. Het Blackspel. Eerst kunnen ze het gewoon spelen, met zijn tweeën. Er is echter een winnende strategie. Als de eerste speler gezet heeft, is er een dominosteen ontstaan. Als het doelvakje even buiten beschouwing blijft, dan kan de tweede speler de overige vierentwintig vakjes van het bord verder in twaalf dominostenen verdelen. De tweede speler komt met zijn zet een schone dominosteen binnen. Door de goede zet te kiezen kan de eerste speler gedwongen worden deze nieuwe dominosteen vol te maken. Dit kan telkens weer, totdat de eerste speler tegen de rand komt, of tegen het doelvakje. In beide gevallen wint speler twee. Je kunt ook proberen een zo lang mogelijke weg te maken. Je zou als volgt kunnen redeneren. De weg kan slechts eenmaal in een randvakje komen zonder tegen de rand te botsen. De middenvakjes kunnen tweemaal worden aangedaan. De weg kan dus zeker niet langer worden dan 16*1+9*2=34 stukjes. Maar ook die 34 kan niet worden bereikt. Zie het veld maar als een dambord van vijf bij vijf, de vakjes om en om zwart en wit gekleurd. Stel dat het eerste vakje zwart is, dan is het doelvakje dat zeker het laatste vakje in de weg is ook zwart. Maar de weg gaat steeds van zwart naar wit, en omgekeerd. Als het eerste vakje zwart is, dan is het 34-ste vakje wit. De weg zou dus maximaal 33 stukjes lang kunnen zijn. Met enig puzzelen is zo n weg van 33 stukjes ook wel te vinden. 4 Tijdsplan de driehoeksongelijkheid middelloodlijnen bissectrices onderzoek proeftoets toets 3 lessen 3 lessen 3 lessen 1 les 1 les 1 les
5 materialen voor een klassengesprek gereedschappen 1 afstand van punt tot figuur (lijn, cirkel) 2 isoafstandslijnen 3 driehoeksongelijkheid 4 middelloodlijn en hoofdeigenschap 5 omgeschreven cirkel van een driehoek 6 bissectrices en hoofdeigenschap 7 de twee bissectrices van twee lijnen 8 ingeschreven cirkel van een driehoek Vragen Je hebt een cirkelvormig meer en daarbinnen een cirkelvormig eiland. Kees staat ergens aan de rand van het eiland en wil naar het vasteland zwemmen. Wat is de kortste route vanaf die plek? Vanaf welke plek moet Kees gaan zwemmen als hij de allerkortste route wil zwemmen? Beredeneer je antwoorden met de driehoeksongelijkheid. (Antwoorden: Stel M is het middelpunt van het meer en N dat van het eiland. In het eerste geval zwemt Kees langs de lijn MK, zoals behandeld in paragraaf 1. Noem de plek waar hij dan aan land komt L. De gunstigste plek om in het water te gaan ligt op de lijn MN. Noem die plek G en de plek waar hij in dat geval aan land komt H. Dan kun je als volgt redeneren: Weg M-L is evenlang als weg M-H. Weg M-N-G is evenlang als weg M-N-K. Weg M-N-K is langer dan weg M-K. Dus weg G-H is korter dan weg K-L.) Kees Nog even alle constructies met passer en liniaal bij elkaar. Stel je hebt een maatlijnstukje. Hoe maak je daarbij een lijnstukje dat vier keer zo lang is? En hoe verdeel je het in drie gelijke stukjes? Kun je een driehoek maken met zijden 2⅓, 1⅔ en 4? Als je een driehoek wilt maken met zijden 2⅓, en 1⅔, hoe lang kan dan de derde zijde zijn? Hoe maak je een driehoek met zijden 2⅓, 1⅔ en 3? Hoe construeer je de omgeschreven cirkel van die driehoek? En hoe de ingeschreven cirkel? Je hebt een molentjesdriehoek bekeken met rechthoekszijden 1en 2. Met vier van die driehoekjes kreeg je een grotere molentjesdriehoek en met vijf een nog grotere, die bovendien een beetje gedraaid lag. Kun je zoiets ook doen met een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden 1 en 3? Hoe gaat dat dan? En met rechthoekszijden 1 en n? Hoeveel driehoekjes heb je dan nodig voor een vergroting? Kan het ook als de rechthoekszijden 2 en 3 zijn? (Dan heb je KGV(2,3) nodig.)
Hoe spiegel je een vierhoek in een lijn? En in een punt? Hoe gaat dat bij een cirkel? Waarom heet een vlakvulling met molentjesdriehoeken schaalsymmetrisch? hoofdzaken Redeneren met de driehoeksongelijkheid. De middelloodlijn van een lijnstuk, de hoofdeigenschap, de omgeschreven cirkel van een driehoek. De bissectrice van een hoek, de hoofdeigenschap, de twee bissectrices van twee snijdende lijnen, de drie bissectrices van een driehoek en de omgeschreven cirkel. Constructies. Land verdelen met middelloodlijnen en bissectrices. samenhang Zijn er lijnsymmetrische driehoeken? En puntsymmetrische? (En schaalsymmetrische?) Welke vierhoeken zijn lijnsymmetrisch? En puntsymmetrisch? Welke ruimtelijke vormen zijn puntsymmetrisch? En lijnsymmetrisch? En vlaksymmetrisch? leerling-opgaven Maak een opgave over hoekberekeningen waarin je middelloodlijnen of bissectrices gebruikt. Maak een opgave over hoekberekeningen in een rechthoekige driehoek en de omgeschreven cirkel.