Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database
ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 0 6. ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 Auteurswet j o het Besluit van augustus 98, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Hogere machtsverbanden. Tekenen van de grafiek van een machtsverband. Snijpunten berekenen van machtsverbanden. Vergelijkingen oplossen met machtsverbanden 9 Gebroken functies 0. Tekenen van de grafiek van een gebroken functie 0. Functieonderzoek en het oplossen van vergelijkingen Inleiding logaritmen. Rekenen met logaritmen. Logaritmische schaalverdeling. Rekenregels bij logaritmen 7. De natuurlijke logaritme 0 Logaritmische en eponentiële verbanden. Eponentiële verbanden. Eponentiële vergelijkingen 60. Logaritmische verbanden 6. Logaritmische vergelijkingen 69
Hogere machtsverbanden TEKENEN VAN DE GRAFIEK VAN EEN MACHTSVERBAND We hebben als eens kennisgemaakt met eerstegraads en tweedegraads verbanden. Dit zijn eenvoudige vormen van machtsverbanden. Een voorbeeld van een eerstegraads verband is f( )=, terwijl f( )= + een voorbeeld is van een tweedegraads verband. Deze verbanden kunnen we op eenvoudige wijze weergeven met een grafiek. De grafiek van een eerstegraads verband is een rechte lijn. De grafiek van een tweedegraads verband is een parabool. We kunnen, als de parabool de -as snijdt, de snijpunten met de -as berekenen. Ook kunnen we het snijpunt met de -as berekenen. Bij parabolen gebruiken we voor het berekenen van de snijpunten met de -as de zogenaamde abc-formule. Ook kunnen we daarbij de coördinaten van de top bepalen. Nu gaan we kennismaken met hogeremachtsverbanden, zoals derde-, vierde- of vijfdemachtsverbanden. We herkennen zo n hogeremachtsverband door de aanwezigheid van termen als, of. f( )= 6 + 6 is dus een voorbeeld van een derdemachtsverband (de hoogste macht telt). Bij het tekenen van deze hogeremachtsverbanden zullen we zien dat bij kleine verschillen in de -waarden er grote verschillen kunnen optreden in de -waarden. Vb. Teken de grafiek van = voor. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 8 0 8 Tabel ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden De berekende punten tekenen we vervolgens in een assenstelsel en we trekken er een vloeiende kromme doorheen. Zie figuur. 0-0 - 0 - -0 Figuur Oefeningen Teken de grafiek van: a = voor ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden b f( )= voor c = voor d f( )= + voor ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden e = 0, voor f = 6 voor 8 g f( )= voor ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden h f( )= voor SNIJPUNTEN BEREKENEN VAN MACHTSVERBANDEN Vb. Gegeven De vergelijkingen = en =. Gevraagd a. Teken de grafieken van deze functies in één figuur voor. b. Bereken de snijpunten. Oplossing a. Zie tabel. 0 = 6 8 0 8 6 = 8 8 0, 0 0, 8 8 Tabel Alle berekende punten tekenen we vervolgens in een assenstelsel en we trekken er twee vloeiende krommen doorheen. Zie figuur. ThiemeMeulenhoff december 0
6 Hogere machtsverbanden - - 0 8 6 - - - - - -6-8 -0 Figuur b. Voor het berekenen van de snijpunten stellen we de functies aan elkaar gelijk: = = 0 ( buiten haakjes brengen) ( ) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = = 0 of = = 0 = 0 = 0 = = = 8 dus snijpunt ( 0, ) dus snijpunt (, 8) Oefeningen Gegeven is het vierdemachtsverband =. 6 Teken de grafiek voor. ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden 7 a Teken de grafieken van f( )= en f( )= in één figuur voor. 6 b Bereken de snijpunten. r 9 cm r Figuur Een bolvormige en een kegelvormige kaars zijn getekend. Zie figuur. Voor het volume van de bol geldt de formule Vbol = π r. De kegelvormige kaars ( Vkegel = π r h ) heeft een hoogte van 9cm. Voor het volume van deze kegelvormige kaars met een hoogte van 9cm geldt de formule: V = π r 9 V = π r. kegel kegel ThiemeMeulenhoff december 0
8 Hogere machtsverbanden a Teken de grafieken van beide kaarsformules in één figuur voor 0 r. b Bereken voor welke r beide voorwerpen hetzelfde volume hebben. a Teken de grafieken van = en = voor - in één figuur. b Bereken de snijpunten. ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden 9 6a Teken de grafieken van f( ) = 0, en f( ) = 0, voor in één figuur. b Bereken de snijpunten. VERGELIJKINGEN OPLOSSEN METMACHTSVERBANDEN Vb. Los de volgende vergelijkingen op: a. = b. + 7= Oplossing = = = (De omgekeerde bewerking van de vijfde macht is de vijfdemachtswortel.) CASIO f-8ms: TI-0 X: a. + 7= = 7 = = = 8 = 8 = 7 Los de volgende vergelijkingen op: a 6 = 79 b = 7 ThiemeMeulenhoff december 0
0 Hogere machtsverbanden c + = d = 0 e 8 = 8 f = 7 g 0, b + =, h 0, a 8 = 0, 6 Vb. Los de volgende vergelijking op: = Oplossing = = 0 ( buiten haakjes halen) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = = 0of = ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden Oefeningen 8 Los de volgende vergelijkingen op: a = b 6 = 6 c = 0 d = e =, f 6 8 = ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden 8 7 g 0, = 7, 6 h 07, + 6= + 6 ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden Antwoorden a Zie tabel. 0 8 0 8 Tabel -0-8 0 8 6-6 - - 6 8 0 - - -6-8 -0 Figuur b Zie tabel. 0 6 0 6 Tabel 0 6 0 8 6-0-8-6 - - 6 8 0 - Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden c Zie tabel. 0 6 0 6 Tabel -0-8 -6 - - 6 8 0 - - -6-8 -0 - - -6-0 Figuur 6 d Zie tabel. 0 7 0 9 Tabel 6 0 8 6-0-8-6 - - 6 8 0 - Figuur 7 - -6-8 -0 ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden e Zie tabel. 0 0, 0 0, Tabel 7 0 8 7 6 - - - - - - Figuur 8 f Zie tabel. 0,,9 0,9, Tabel 8 8 6-8 -6 - - 6 8 - - -6-8 Figuur 9 ThiemeMeulenhoff december 0
6 Hogere machtsverbanden g Zie tabel. 0 0, 0 0, Tabel 9 8 6-8 -6 - - 6 8 - - -6-8 Figuur 0 h Zie tabel. 0 7 Tabel 0 8 6-8 -6 - - 6 8 - - -6-8 Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden 7 0 = 6, 7 7, 0, 0 0, 7,, 7 Tabel 0 0 0 0 - - - - - Figuur a - - - - - - - - - 6 - Figuur b (0, 0) en (,,) ThiemeMeulenhoff december 0
8 Hogere machtsverbanden a 00 00 V kegel V bol 00 00-6 7 8 9 Figuur b r =, ( r = 0 is natuurlijk geen zinvolle oplossing) a - - 0 0 - - - - -0 - -0 - Figuur b (0, 0),(, 6), (, 6) ThiemeMeulenhoff december 0
Hogere machtsverbanden 9 6a 0, - - - - - - - - 0, - - Figuur 6 b (0, 0) en (,,6) 7a = b = c = d =, 6 e = f = g b = h a = 6, 8a = 0 of = 0 b = 0 of = of = c = 0 of =, 8 of = 8, d = 0 of = e = 0 of = of = f = 0 of = 8 g = 0 of = h = 0 of =, ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies TEKENEN VAN DE GRAFIEK VAN EEN GEBROKEN FUNCTIE Een functie waarbij de variabele in de noemer van een breuk staat noemen we een gebroken functie. c Een dergelijke functie heeft dus de vorm van = of = c waarbij c een getal is. We spreken ook wel van een omgekeerd evenredig verband tussen en. De grafiek heeft de vorm van een hperbool. Om deze grafiek te kunnen tekenen, maken we gebruik van een tabel waarin we voor een aantal waarden voor de bijbehorende waarde van uitrekenen. Vb. Teken de grafiek van =. Oplossing Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij een aantal -waarden de waarde van uit te rekenen. Als we voor de waarde 0 invullen, wordt de noemer gelijk aan nul en dat is niet toegestaan. We zeggen ook wel dat de grafiek niet getekend kan worden voor = 0. Zie figuur. 0 0, 0, 0 0, 0, 0 0 0, 0, Tabel ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies - - - - - - - - - - Figuur Oefeningen Teken voor de grafieken van: a = ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies b = 6 c f( ) = d f( ) = ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies Een voorbeeld van een omgekeerd evenredig verband uit de natuurkunde is de Wet van Bole. Deze wet zegt dat het product van spanning p en volume V van een gas bij gelijkblijvende temperatuur constant is. In formulevorm luidt deze wet a p V = c. Met bijvoorbeeld c = wordt deze formule dan V =. p Vul de volgende tabel in (negatieve druk bestaat natuurlijk niet). p 6 8 V b Teken de grafiek. FUNCTIEONDERZOEK EN HET OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN c We hebben bij voorgaande opgaven gezien dat in de formulevorm = er geen waarde voor wordt gevonden als = 0, dus als de noemer gelijk wordt aan nul. Als de noemer bijna nul wordt, nadert de grafiek tot een verticale lijn. We noemen dit de verticale asmptoot (V.A.). In dit geval is = 0 de verticale asmptoot van c =. Ook hebben we gezien dat als de waarde voor heel groot wordt, de waarde van vrijwel 0 wordt. Deling door iets heel groots wordt namelijk heel klein. De grafiek nadert dan tot een horizontale lijn. We noemen dit de horizontale asmptoot (H.A.). ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies Vb. Gegeven De vergelijking = Gevraagd a. Bepaal de vergelijking van de verticale asmptoot. b. Bepaal de vergelijking van de horizontale asmptoot. c. Teken de grafiek voor 8 8. d. Bereken, waarvoor geldt =. Oplossing a. V.A.: = 0 = b. Als heel groot wordt, dan wordt bijna 0, dus H.A.: = 0. Zie figuur. c. = {links en rechts vermenigvuldigen met ( ) } = ( ) {haakjes wegwerken} = 6 {termen links en rechts van het = teken verwisselen} 6 = {links en rechts + 6 } = + 6 = 0 0 = = 8 6-8 -6 - - - Figuur - -6-8 6 8 Oefeningen Gegeven is de vergelijking = a Bepaal de verticale asmptoot. ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies b Bepaal de horizontale asmptoot. c Teken de grafiek voor 8 8. d Bereken = Gegeven is de functie f( ) = a Bepaal de verticale asmptoot. b Bepaal de horizontale asmptoot. c Teken de grafiek voor 8 8. ThiemeMeulenhoff december 0
6 Gebroken functies d Bereken = 0 Gegeven is de functie f( ) = a Bepaal de verticale asmptoot. b Bepaal de horizontale asmptoot. c Teken de grafiek voor 8 8. d Bereken = 0 6 6 Gegeven is de vergelijking = + a Bepaal de verticale asmptoot. b Bepaal de horizontale asmptoot. ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies 7 c Teken de grafiek voor 8 8. d Bereken 6 + = 7 Los de volgende vergelijkingen op: a = b + = c + = d + = e = ThiemeMeulenhoff december 0
8 Gebroken functies f 0, + = g =, h = 6 ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies 9 Antwoorden a b Zie figuur. - - - - - - - - - - Figuur Zie figuur. - - - - - - - - - - Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
0 Gebroken functies c Zie figuur. - - - - - - - - - - d Figuur Zie figuur. - - - - - - - - - - Figuur 6 ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies a Zie tabel. p 6 8 V 6, 0, Tabel b Zie figuur. v 0 0 0 0 p Figuur 7 a = b = 0 c Zie figuur. 8 6-8 -6 - - - - -6-8 6 8 d = Figuur 8 ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies a = 0, b = 0 c Zie figuur. 8 6-8 -6 - - - - -6-8 6 8 Figuur 9 d = 06, a = 0 b = c Zie figuur. - - - - - - - - - - Figuur 0 d = 0, ThiemeMeulenhoff december 0
Gebroken functies 6a = b = 0 c Zie figuur. 8 6-8 -6 - - - - -6-8 6 8 Figuur 9 d = 7a = b = c = 0, d = e = f = g = h = 0, ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen REKENEN MET LOGARITMEN We hebben in een eerder stadium kennisgemaakt met machten. Als voorbeeld nemen we de macht : = = 8 Hierbij is: het grondtal; de eponent; 8 de uitkomst van de macht. Als we de eponent willen berekenen uit de vergelijking = 8, maken we gebruik van de -logaritme. Dat betekent een logaritme met grondtal. We nemen de -logaritme van de macht 8 en de uitkomst is de eponent, dus. We schrijven dit als: = 8 = log8 = log = Dus achter het teken voor de -logaritme log staat het getal waarvan we de logaritme moeten nemen (hier 8). Dit getal herschrijven we als macht met hetzelfde grondtal als in log 8. De eponent is dan de uitkomst van de -logaritme. Vb. Bereken: log8 Oplossing: log8 = log = Oefeningen Bereken de volgende logaritmen: a log9 b log7 ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen c log6 d log e 7 log7 f 8 log6 g log6 h log i 0 log000 j log We kunnen 0 log 000 natuurlijk ook uitrekenen met onze rekenmachine. We maken gebruik van de toets log. Met deze toets kunnen we de 0 log van ieder willekeurig getal uitrekenen. In het vervolg zullen we 0 log 000 steeds schrijven als log000. Vb. Bereken met de rekenmachine 0 log 000. Oplossing: log ThiemeMeulenhoff december 0
6 Inleiding logaritmen Oefeningen Bereken met de rekenmachine: a log00 b log0000 c log0 d log e log 0, f log 0, 00 We hebben bij oefening steeds de eponent kunnen vinden. In de meeste gevallen lukt deze methode helaas niet. Een voorbeeld hiervan is log. We kunnen de niet eenvoudig schrijven als een macht met als grondtal. We kunnen log echter wel uitrekenen met onze rekenmachine. We maken daarbij gebruik van de genoemde log- toets. Als we de logaritme b log a moeten berekenen, gebruiken we de formule: b loga loga =. log b Vb. Bereken: log. Oplossing: log log = =, 8 log, 8 Ter controle: = 000, (we krijgen niet eact, omdat we met, 8 een afgerond getal gebruiken). ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 7 Oefeningen Bereken: a log b log c log8 d log0 e 0, log f, log 8, g log8 h log8 ThiemeMeulenhoff december 0
8 Inleiding logaritmen LOGARITMISCHE SCHAALVERDELING Tot nu toe hebben we voor de assen van een grafiek altijd gebruikgemaakt van een getallenlijn, waarbij elke volgende stap ontstond door er een gelijke hoeveelheid bij op te tellen. We noemen dat een lineaire schaalverdeling. Enkele voorbeelden: + + + 0 6 7 8 9 0 + + + 0 0 0 0 0 0 60 + + + - -0-8 -6 - - 0 6 8 9 Figuur In de techniek komen we vaak schaalverdelingen tegen die gebaseerd zijn op machten van 0. Dit noemen we een logaritmische schaalverdeling. In figuur zien we hiervan voorbeelden. 0,000 0,00 0-0 - 0,0 0-0, 0-0 0 0 0 0 00 0 000 0 0 000 0 6 7 8 90 0 0 0 0 60 70 80 90 00 Figuur Door gebruik te maken van logaritmische schaalverdelingen kunnen we met vergelijkbare precisie hele grote en hele kleine waarden langs dezelfde as weergeven. Grafiekpapier dat op één as een logaritmische schaalverdeling heeft, noemen we enkel-logaritmisch papier. Als beide assen een logaritmische schaalverdeling hebben, spreken we van dubbel-logaritmisch papier. ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 9 In figuur is het verband weergegeven tussen de weerstand R in Ω en de temperatuur t in C. Vb. Gegeven R (Ω) Figuur 0 7 0 6 0 0 0 0 0-0 0 0 00 0 t ( o C) Gevraagd a. Lees de weerstand af uit de grafiek bij een temperatuur van 0 C. b. Bij welke temperatuur is de weerstand 0kΩ? Oplossing a. We zoeken op de horizontale as 0 C op, daarna volgen we de lijn naar boven tot we de grafiek snijden. Vanaf dat snijpunt gaan we horizontaal naar links en komen uit tussen 0 en 0. Om precies te zijn wordt het 0 = 000Ω. b. 0kΩ = 0000 Ω = 0 Ω. We zoeken de waarde op de verticale as en gaan horizontaal naar rechts tot we de grafiek snijden. Vanaf dat snijpunt gaan we verticaal naar beneden en komen dan uit bij 0 C. ThiemeMeulenhoff december 0
0 Inleiding logaritmen Oefeningen Gegeven is figuur. a Lees de weerstand af uit de grafiek bij een temperatuur van 70 C. b Bij welke temperatuur is de weerstand 0, kω? Figuur L (db) 60 0 0 00 80 60 0 0 0 pijndrempel -0 0 00 000 0000 00000 gehoordrempel 0 foon 00 foon 80 foon 60 foon 0 foon 0 foon foon f (Hz) Het menselijk oor is niet voor alle tonen even gevoelig. Een toon van 000 Hz (Hertz) en 60dB (decibel) ervaren we even luid als een lagere toon van 00 Hz en 70dB. Ze liggen namelijk beide op dezelfde foon, dat is een lijn van gelijke luidheid. In figuur is een nomogram getekend van isofonen, dit is een bundel van lijnen van gelijke luidheid. a Lees uit de grafiek het geluidsniveau L af bij 0 foon voor f = 00 Hz, f = 000 Hz en f = 0000 Hz. b Lees alle frequenties f af waarvoor geldt dat L = 00dB. ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 6 snijkanttemperatuur ( o C) 000 800 600 00 00 00 00 00 6 8 0 0 0 0 v (m/min) Figuur In figuur is het verband weergegeven tussen de snijkanttemperatuur en de snijsnelheid van een draaibank. a Lees uit de grafiek de snijsnelheid af bij een temperatuur van 00 C. b Hoe hoog is de temperatuur bij een snijsnelheid van 0 m/min? 7 P (kw) 000 0 V 0 V 00 0 V V V 0 0 00 000 I (A) Figuur 6 ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen In figuur 6 is op dubbel-logaritmisch papier voor verschillende spanningen een nomogram getekend van het verband tussen het vermogen P in kw (kilowatt) en de stroomsterkte I in A (ampère). a Lees voor elk van de spanningen de stroomsterkte af bij een vermogen van 0kW. b Bij welke spanning(en) is een vermogen van 00kW volgens dit nomogram niet mogelijk? c Lees voor elk van de spanningen de waarde van het vermogen af voor I = 70A. In figuur 7 zien we een diagram met transistorkarakteristieken. H ie (kω) Figuur 7 0 0 0-0 - V CE = 0 V V CE = V 0 I C (ma) BC7C BC8C BC6B BC7B BC8B BC6A BC7A BC8A We zien dat zowel de horizontale als de verticale as logaritmisch zijn. Het grote voordeel is dat de grafieken over een groot gebied afleesbaar zijn. Het nadeel is dat de waarden op de assen soms moeilijk te bepalen zijn. We zien eenvoudig waar 0, ma en ma liggen, maar waar ligt bijvoorbeeld 0, ma? Om deze vraag te beantwoorden, moeten we eerst wat dieper ingaan op de theorie van het aflezen van logaritmische diagrammen. ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen f () 000 00 0,6 Figuur 8 In figuur 8 zien we een diagram waar een voldoende fijne schaalverdeling van de logaritmische -as ontbreekt. Daarom is het bijzonder moeilijk om voor bijvoorbeeld = de bijbehorende waarde van f( )op die -as af te lezen. We zien wel dat f ()in het logaritmische interval [, 0 ] ligt. De f( ) waarde kunnen we berekenen met de formule: B f( )= O O 0 6 7 8 a, waarbij: O de ondergrens is van het logaritmische interval; B de bovengrens is van het logaritmische interval; a is de verhouding van de afstand van de ondergrens tot het snijpunt en de afstand OB. Vb. Gegeven Figuur 8. Gevraagd Bereken f( ). Oplossing O = en B = 0 Afstand van O naar het snijpunt = mm en OB = 0 mm. Deze waarden meten we op met een meetlat. Voor a volgt dan: mm a = = 07, 0 mm a 07, B f( ) = O f(), O = 0 = 6 ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen Oefeningen 8 Gegeven figuur 9: f () 000 00 0,6 Figuur 9 0 6 7 8 Gevraagd: a f( 0) b f( ) c f( ) d f( ) e f( ) ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen f f( 6) g f( 7) h f( 8) Als we in figuur 0 g( 0,) willen bepalen, moeten we eerst de eacte plaats van = 0, op de horizontale as bepalen. g () 000 00 9,9 0 Figuur 0 0, 0, 0 00 We gaan daarvoor de bijbehorende a bepalen met de formule: log O a =, waarbij: B log O O de ondergrens is van het logaritmische interval op de -as; B de bovengrens is van het logaritmische interval op de -as; de waarde is waarvan we de eacte plaats willen bepalen. ThiemeMeulenhoff december 0
6 Inleiding logaritmen Vb. Gegeven Het dubbel-logaritmische diagram van figuur 0. Gevraagd a. Bereken de bij = 0, behorende a. b. Bereken f( 0,). Oplossing a. O = 0,, B = en = 0, 0, log log O 0, a = a = = 07, B log log O 0, Vervolgens meten we de afstand in mm tussen 0, en en vermenigvuldigen deze afstand met 07,. Het resultaat is de afstand tussen 0, en de waarde = 0, waarmee de plaats van 0, vastligt. Is de afstand tussen 0, en bijvoorbeeld 0 mm, dan is de afstand tussen 0, en 0, gelijk aan 07, 0 mm = mm. De waarde 0, kunnen we nu door een stip op de -as vastleggen. Vanaf dit punt gaan we loodrecht omhoog totdat we de grafiek snijden. Vanaf dit snijpunt gaan we horizontaal naar links tot we de -as snijden. De waarde f( 0,) bij dit snijpunt gaan we nu berekenen. b. O = 0 en B = 00 De afstand van O tot het snijpunt = 6mm en OB = 0 mm 6mm a = = 0, 0 mm a 0, B f( ) = O f(,) O = 00 0 0 = 99, 0 Oefeningen 9 Gegeven: figuur 0. Gevraagd: a a en g( 08, ) b a en g( 6) ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 7 c a en g( ) d a en g( 7) 0 Gegeven: het dubbel-logaritmische diagram met transistorkarakteristieken. Zie figuur 7. Gevraagd: bereken de h ie voor de BC8 A bij: a U CE = V en I C = 0, ma. b U CE = V en I C = 0, ma. c U CE = 0 V en I C = ma. d U CE = 0 V en I C = ma. REKENREGELS BIJ LOGARITMEN Voor het optellen van logaritmen geldt de volgende regel: loga+ logb = loga b a Voor het aftrekken van logaritmen geldt de regel: loga logb = log b Vb. Bereken in de volgende opgave: log = log+ log log7 Oplossing: log = log+ log log7 log = log 7 log = log, 7 = 7, ThiemeMeulenhoff december 0
8 Inleiding logaritmen Oefeningen Bereken in de volgende opgaven. a log = log log 0, + log6 b log = log8+ log6 log c log = log7 log log d log6 = log9 + log e log = log96 + log log Bereken in de volgende opgaven. a log = log+ log8 log9 b log = log log7+ log9 c = log log d log = log log+ log6 e log = log 0, log+ log 8 ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 9 Voor de logaritme van een macht geldt de volgende regel: loga n loga n n Voor a = 0 geldt log0 = n log0 log0 = n (want log0 = ). We kunnen dus elk getal als een logaritme schrijven. n = Vb. 6 Schrijf het getal als een logaritme met grondtal 0. n Oplossing: n = log0 = log0 = log00 Bereken in de volgende opgave: log = log+ log log6 Oplossing: log = log+ log log6 log = log + log log6 log = log8+ log8 log6 8 8 log = log 6 log = log8 = 8 Oefeningen Bereken in de volgende opgaven. a log = log+ log0 b log = log+ log 7 log c = log + log ( log0 + log ) d log0 = log+ log log0 ThiemeMeulenhoff december 0
0 Inleiding logaritmen Bereken in de volgende opgaven. a log = log + log6 b = log ( log log ) + log c log = log log+ log d log = log + log8 + log00 DE NATUURLIJKE LOGARITME De natuurlijke logaritme heeft als grondtal de wiskundige constante e. De natuurlijke logaritme van het getal, e log, wordt in de praktijk genoteerd als ln( ) De constante e kunnen we op eenvoudige wijze met onze rekenmachine berekenen met: e, 788 Op onze rekenmachine vinden we de natuurlijke logaritme onder de toets ln. Vb. 7 Bereken: ln 8 Oplossing: ln 8 =, 08 Vb. 8 Bereken in: ln = ln+ ln 8 ln Oplossing: ln = ln+ ln 8 ln ln = ln+ ln 8 ln 8 ln = ln ln = ln, =, ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen Oefeningen Bereken: a ln b ln 67, c ln e d ln e 6 Bereken : a ln = ln6+ ln ln9 b ln= ln 8 ln + ln8 c ln = ln e+ ln e 8 ln e d ln e = ln e ln e ln ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen a b c d e f g h 0 i j a b c d 0 e f Antwoorden a 6, b, c 0, d 66, e, f 860, g 8, h 89, a 00Ω b 60 C a Ongeveer db ; ongeveer 0dB ; ongeveer 8dB. b 60 foon ca. Hz ; 80 foon ca. 0 Hz ; 00 foon ca. 7, 000,. 000 en 8000 Hz ; 0 foon ca. 8. 000 en. 000 Hz 6a ca. 8m/min b ca. 7 C 7a 0 V ca. A ; 0 V ca. 90 A ; 0 V ca. 80 A ; V ca. 80 A ; V ca. 80 A b V en V c V ca. 7, kw ; V ca. kw ; 0 V ca. 77, kw ; 0 V ca. 7kW ; 0 V ca. kw ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 8a 0, b c d 6 e 00 f 8 g 7 h 6 9a a = 09, ; g( 08, ) = b a = 078, ; g( 6) = 8 c a = 08, ; g( ) = 7 d a = 0, 87 ; g( 7) = 7 0a 9kΩ b 0kΩ c kω d 7, kω a 60 b 6 c d 7 e a 8 b c 0, 0 d 8 e a = 80 b =, c = d = 8 a 096, b, 98 c 8, d 0, a 76, b 0, c d ThiemeMeulenhoff december 0
Inleiding logaritmen 6a = b = 6 c = e = 00, d = e = 8, ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden EXPONENTIËLE VERBANDEN Bij een eponentieel verband staat de onafhankelijke variabele in de eponent. De algemene gedaante van zo n eponentieel verband is: = b g Daarbij noemen we g het grondtal. Dat grondtal g mag niet 0 of zijn, want een willekeurige macht van 0 is altijd 0 (behalve 0 0 ). Een willekeurige macht van is altijd. Ook mag g niet negatief zijn. In de techniek zien we voornamelijk de grondtallen 0 en e( 7, ). Vb. Teken de grafiek van = op het interval [, ]. Oplossing: Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij een aantal -waarden de waarde van uit te rekenen. 0 0,06 0, 0, 0, 8 6 Tabel - - - - 6 0 8 6 - - Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
6 Logaritmische en eponentiële verbanden Vb. Teken op het interval [, ] de grafiek met de volgende vergelijking: = e. Oplossing 0 0,0 0,0 0, 0,7,7 7, 0,,6 Tabel 9 8 7 6 - - - - - - Figuur Oefeningen Teken op het interval [, ] de grafieken van de volgende functies: a = ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 7 b = c = d = + ThiemeMeulenhoff december 0
8 Logaritmische en eponentiële verbanden e = f = g = + ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 9 h = e 0, i = e ThiemeMeulenhoff december 0
60 Logaritmische en eponentiële verbanden EXPONENTIËLE VERGELIJKINGEN Bij een eponentiële vergelijking staat de onbekende in de eponent, zoals bij = 8. Vb. Maak een tabel en teken de grafiek van f( ) = op het interval [, ] en los op = 8. 0 0,06 0, 0, 0, 8 6 Tabel - - - - 8 6 0 8 6 - - Figuur = 8 (links en rechts de logaritme nemen) log log = log log = log = = log ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 6 Oefeningen a Maak een tabel en teken de grafiek van de functie f( ) = op het interval [, ]. b Los op uit: = 9. c Controleer het antwoord in de grafiek. a Maak een tabel en teken de grafiek van f( ) = op het interval [, ]. b Los op uit: 6 =. c Controleer het antwoord in de grafiek. ThiemeMeulenhoff december 0
6 Logaritmische en eponentiële verbanden a Maak een tabel en teken de grafiek van f( ) = op het interval [, ]. b Los op uit: = 6. c Controleer het antwoord in de grafiek. a Maak een tabel en teken in een diagram de grafieken van f( ) = 8, en g ( ) = 8, op het interval [, ]. b Leg uit in welk punt de grafieken elkaar snijden. c De grafieken zijn het spiegelbeeld van elkaar, in welke lijn zijn ze gespiegeld? ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 6 6 Los op uit de volgende vergelijkingen en controleer het antwoord door een grafiek te tekenen: a = 7 b + = 9 c = 8 ThiemeMeulenhoff december 0
6 Logaritmische en eponentiële verbanden d = 9 e = 7 ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 6 LOGARITMISCHE VERBANDEN Bij een logaritmisch verband is de algemene formule: g = log Hierbij is g het grondtal. Als we deze vergelijking willen tekenen, is het handig om een logaritmische functie te herschrijven als een eponentiële functie: g = log wordt herschreven als = g. Vb. Teken de grafiek van f( ) = log. Oplossing = log herschrijven we als =. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij een aantal -waarden de waarde van uit te rekenen. 0 0,0 0,0 0, 0, 9 7 8 Tabel - - - - - - 6 7 8 9 Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
66 Logaritmische en eponentiële verbanden Oefeningen 7 Teken de grafieken met de volgende vergelijkingen: a f( ) = log b f( ) = log( ) c f( ) = log( + ) ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 67 d f( ) = log( ) e g ( ) = log f = log( ) ThiemeMeulenhoff december 0
68 Logaritmische en eponentiële verbanden g = log( ) h f( ) = ln i = ln( ) ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 69 LOGARITMISCHE VERGELIJKINGEN Vb. Teken de grafiek van = log en los op uit log =. Oplossing = log herschrijven we als =. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij een aantal -waarden de waarde van uit te rekenen. 0 0,06 0, 0, 0, 8 6 Tabel - - - - - - 6 8 0 6 8 Figuur log =, dit gaan we herschrijven als =, dus = 8. ThiemeMeulenhoff december 0
70 Logaritmische en eponentiële verbanden Oefeningen. 8 Gegeven zijn de functies f( ) = log en g ( ) = log a Teken beide grafieken in een diagram. b Wat is het snijpunt van beide grafieken? c Los op uit: log = d Los op uit: log = - 9 Gegeven zijn de functies f( ) = log en g ( ) = log( ). a Teken beide grafieken in een diagram. b Los op uit: log = 0. c Los op uit: log( ) =. ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 7 0 Gegeven is de vergelijking = log( + ). a Teken de grafiek van deze vergelijking. b Los op uit: log( + ) = 0. c Los op uit: log( + ) =. Gegeven is de vergelijking = log( ). a Teken de grafiek van deze vergelijking. b Los op uit: log( ) = 7. c Los op uit: log( ) =. ThiemeMeulenhoff december 0
7 Logaritmische en eponentiële verbanden Antwoorden a Zie tabel. 0 0,0 0,0 0, 0, 9 7 8 Tabel 6 Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur 6 b Zie tabel. 0 6 8 0, 0, 0, 0,06 Tabel 7 Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur 7 ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 7 c Zie tabel. 0 6 8 0, 0, 0, 0,06 Tabel 8 Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur 8 d Zie tabel. 0 0, 8 6 6 8 Tabel 9 Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur 9 ThiemeMeulenhoff december 0
7 Logaritmische en eponentiële verbanden e Zie tabel. 0 0,0 0,0 0,06 0, 0, 0, 0 Tabel 0 Zie figuur. - - - - 8 7 6 - - Figuur 0 f Zie tabel. 0,9,87,7, Tabel Zie figuur. - - - - 0 8 6 - - - Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 7 g Zie tabel. 0,06,,, 6 0 8 Tabel Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur h Zie tabel. 0 0, 0, 0,7 0,6,6,7, 7, Tabel Zie figuur. - - - - 9 8 7 6 - - Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
76 Logaritmische en eponentiële verbanden i Zie tabel. 0,98,9,86,6 0,8, 7,,6 Tabel Zie figuur. - - - - 6 - - - - - Figuur a Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - Figuur b = c - ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 77 a Zie figuur. - - - - 6 0 8 6 - - b = c - Figuur 6 a Zie figuur. - - - - 8 6 0 8 6 - - b = c - Figuur 7 ThiemeMeulenhoff december 0
78 Logaritmische en eponentiële verbanden a Zie figuur. b (,) 0 c = 0 - - - - 8 7,8-6,8 Figuur 8 6a = b = c =, d =, 07 e = 6 - - - 7a = log herschrijven we als = Zie figuur. - - - - - - 6 7 8 9 Figuur 9 ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 79 b = log( ) herschrijven we als = of = + Zie figuur. - - - - - - Figuur 0 6 7 8 9 c = log( + ) herschrijven we als + = of = Zie figuur. - - - - - - - - 6 7 Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
80 Logaritmische en eponentiële verbanden d = log( ) herschrijven we als = Zie figuur. of = + - - - - - - 6 7 8 9 Figuur e = log herschrijven we als Zie figuur. = - - - - - - 6 8 0 6 8 Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 8 f = log( ) herschrijven we als = of = + Zie figuur. - - - - - - 6 8 0 6 8 Figuur g = log( ) herschrijven we als = of = + Zie figuur. - - - - - - 6 8 0 6 8 Figuur ThiemeMeulenhoff december 0
8 Logaritmische en eponentiële verbanden h f( ) = ln herschrijven we als = e Zie figuur. - - - - - - 6 7 8 9 Figuur 6 i = ln( ) herschrijven we als = e + Zie figuur. - - - - - - 6 7 8 9 Figuur 7 ThiemeMeulenhoff december 0
Logaritmische en eponentiële verbanden 8 8a Zie figuur. - - - - - - Figuur 8 b (, 0) c = 7 d = 7 log 6 8 0 6 8 log 9a Zie figuur. - - - - - - Figuur 9 log log ( - ) 6 8 0 6 8 b = c = ThiemeMeulenhoff december 0
8 Logaritmische en eponentiële verbanden 0a Zie figuur. - - - - - - Figuur 0 b = 0 c =, 089 6 8 0 6 8 a Zie figuur. - 6 8 0 6 8 - - - - - Figuur b = c = 7 ThiemeMeulenhoff december 0