Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 2 Inhoud dit deel college Het begrip verzameling en basisoperaties op verzamelingen Relaties en uncties Grootte van verzamelingen, cardinaal getallen Verzamelingen asisbegrippen en basisoperaties Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 3 Verzamelingen en elementen Een verzamelingen is een (eindige o oneindige) welgedeinieerde collectie objecten, de zgn elementen van de verzameling Notatie (eindige) verzameling: = {a 1, a 2,, a n } a : a is een element van {a conditie(a)}: verzameling van alle elementen uit die voldoen aan conditie(a) Universele en lege verzameling Universele verzameling (Universum) Lege verzameling U Ø Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 5 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 6 1
Deelverzameling en gelijkheid Venn-diagram, deelverzameling is een deelverzameling van elk element van is een element van x U : x x Verz is gelijk aan verz = en hebben precies dezelde elementen x U : x x Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 7 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 8 Eigenschappen Voor elke verz : Ø U Voor elke verz : en C C = en Strikte deelverzameling is een strikte deelverzameling van is een deelverz van en is ongelijk en Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 9 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 10 Vereniging, doorsnede, complement Vereniging van en : = {x U x o x } Vereniging, doorsnede, complement, Doorsnede van en : = {x U x en x } Complement van : c = {x U x } Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 11 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 12 2
Vereniging Doorsnede Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 13 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 14 Complement c U Verschil en symmetrisch verschil Verschil van en \ = {x U x en x } \ = c Symm verschil van en = ( ) \ ( ) = ( \ ) ( \ ) Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 15 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 16 Verschil \ Symmetrisch verschil Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 17 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 18 3
Disjuncte verzamelingen De algebra van verzamelingen en heten disjunct als ze geen elementen gemeenschappelijk hebben Maw: = Ø = ( ) C = ( C) = ( C) = ( ) ( C) ( c ) c = U = U Ø = c = U U c = Ø ( ) c = c c = ( ) C = ( C) = ( C) = ( ) ( C) ( c ) c = U = Ø = Ø c = Ø Ø c = U ( ) c = c c Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 19 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 20 lgebra, # Dit is een oole se algebra net als de algebra van proposities!! Voor eindige verzameling S, geven we met #(S) het aantal elementen van S aan Klassen verzamelingen en de machtsverzameling Een klasse verzamelingen is een collectie die bestaat uit verzamelingen Gegeven een verzameling S, is de machtsverzameling van S de klasse van alle deelverzamelingen van S Notatie: P(S) o 2 S Feit: #(P(S)) = 2 #(S) voor eindige S Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 21 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 22 Voorbeeld Zij S = {1, 2, 3} Dan is P(S) = { Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3} } Partitie Zij S een verzameling Een deelklasse C P(S) heet een partitie als Ø C U, V C : U V U V = Ø ongelijke verzamelingen in C zijn disjunct a S U C : a U elk element van S behoort tot een verzameling in C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 23 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 24 4
Partitie S Relaties en uncties a U V U,V C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 25 Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a = c en b = d Productverzameling (Cartesisch product) van en : = {(a, b) a en b } (inaire) relatie R van naar R Notatie: R(a, b) o arb voor (a, b) R Relatie, R a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 27 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 28 Universele, lege, gelijkheidsrelatie, inverse relatie Gegeven een verzameling, is de universele relatie Ø is de lege relatie = = {(a, a) a } is de gelijkheidsrelatie op Gegeven een relatie R van naar is: De inverse relatie R -1 gedeinieerd als R -1 = {(b, a) (a, b) R} Inverse relatie, R a -1 b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 29 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 30 5
Compositie van relaties Zij R en S C, dan is de compositie R S van R en S is gede: R S = {(a, c) b : (a, b) R en (b, c) S} Dwz a(r S)c b : arb en bsc Compositie van relaties R S C Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 31 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 32 Compositie van relaties R S C Typen relaties Relexieve relatie op verz a : ara Symmetrische relatie op verz a, b : arb bra ntisymmetrische relatie op verz a, b : arb en bra a = b Transitieve relatie op verz a, b, c : arb en brc arc Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 33 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 34 Relexieve relatie Symmetrische relatie Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 35 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 36 6
Transitieve relatie Stelling Zij R een relatie op R relexie = R R symmetrisch R -1 R R transitie R R R Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 37 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 38 Equivalentierelatie Een relatie R op een verz is een equivalentierelatie als: R is relexie, R is symmetrisch, en R is transitie Notatie: vaak ~ o Voorbeeld: gelijkheid = op will verz Equivalentieklassen en quotiëntverzameling Zij R een equivalentierelatie op De equivalentieklasse van a onder R [a] R = {x (a, x) R} De quotiëntverzameling van onder R / R = {[a] R a } Stelling / R is een partitie van Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 39 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 40 Equivalentieklassen en quotiëntverzameling Partiële ordening a [a] R [a] R /R Een relatie R op verz is een partiële ordening op als: R is relexie, R is antisymmetrisch, en R is transitie Notatie: vaak Voorbeeld: deelverzamelingsrelatie Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 41 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 42 7
n-aire relaties n-aire relatie R op is een verzameling n-tuples (a 1,, a n ) Maw: n-aire relatie R op : R n = (n keer) Functies Een unctie (abeelding) van naar : Een relatie F van naar met de eigenschap dat, voor elke a, 1 b : (a, b) F 2 b,b : (a, b) F en (a, b ) F b = b Notatie: (a) = b voor (a, b) F N (a) verwijst naar uniek element in Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 43 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 44 Functie, Functie, a b a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 45 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 46 Functie, Functie, a b ok ok Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 47 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 48 8
Identiteitsunctie en unctiecompositie Gegeven een verz Identiteitsunctie 1 : 1 (a) = a voor elke a Gegeven : en g : C Compositie g is de unctie die hoort bij de relatie F G (Let op volgorde!) a : (g )(a) = g((a)) Speciale typen uncties Functie : is injectie (o 1-1 ) a, a : (a) = (a ) a = a Functie : is surjectie (o onto ) b a : (a) = b Functie : is bijectie als zowel injectie als surjectie is Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 49 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 50 Niet-injectieve unctie, Niet-surjectieve unctie, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 51 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 52 Inverteerbare uncties Functie Gegeven unctie : (en geassocieerde relatie F ) Functie is inverteerbaar als de inverse relatie F -1 van de relatie F weer een unctie is Stelling: is inverteerbaar is bijectie Notatie: inverse unctie -1 :, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 53 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 54 9
Inverse unctie, Geen inverse unctie, a -1 b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 55 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 56 Geen inverse unctie, Geen inverse unctie, a b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 57 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 58 Geen inverse unctie, a -1 b Eigenschappen inverse unctie Zij : bijectie (inverteerbaar) Dan geldt voor -1 : : -1 = 1 Dwz -1 ((a)) = a -1 = 1 Dwz ( -1 (b)) = b Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 59 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 60 10
Probleem van grootte van verzamelingen Grootte van verzamelingen Cardinaalgetallen Voor eindige verzamelingen geen probleem om vast te stellen hoe groot een verzameling is: we hebben de cardinaliteitsunctie # eerder gezien Maar hoe zit dit met oneindige verzamelingen? Zijn deze allemaal even groot? Intuitie: sommige verzamelingen zijn groter dan andere?!? Maar intuitie is gevaarlijk bij oneindige verzamelingen Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 62 Gelijkmachtige verzamelingen Verzamelingen en zijn gelijkmachtig ls er een bijectie : bestaat Stelling: is een equivalentierelatie Stelling: voor eindige verz en : #() = #() Voorbeelden {1, 2, 3} {4, 9, 13} Niet: {a, b, c, d} {1, 2, 3} Verrassend: E N (strikt!), maar toch: N = {0, 1, 2, 3, } bijectie! E = {0, 2, 4, 6, } Dus: N E Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 63 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 64 Oneindige verzamelingen Zijn alle oneindige verzamelingen gelijkmachtig? ntwoord: neen! telbaar vs overatelbaar Een verz is atelbaar oneindig als Er is een bijectie : N Een verz is atelbaar als is eindig o atelbaar oneindig Een verz heet overatelbaar als is niet atelbaar Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 65 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 66 11
Eigenschappen Propositie: atelbaar oneindig N Dus, per deinitie: ls overatelbaar, dan niet N telbare verzamelingen N is atelbaar: triviaal: N N E is atelbaar: E N Z is atelbaar: Z N Q is atelbaar: Q N Zijn er overatelbare verzamelingen? Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 67 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 68 Relatie op verzamelingen Om erachter te komen o er overatelbare verzamelingen bestaan, bekijken we eerst een relatie op verzamelingen: De relatie is gedeinieerd als: Er bestaat een injectieve unctie : Eigenschappen van Relexiviteit Transitiviteit en C C Stelling van Schroeder-ernstein: en Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 69 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 70 De strikte relatie De relatie is gedeinieerd als: asea en niet Wet van trichotomie o o Stelling van Cantor Voor elke verzameling geldt: P() Ihb N P(N) Dwz P(N) is overatelbaar! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 71 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 72 12
Terzijde Zij 2 de verzameling uncties {0,1} Stelling: P() 2 ewijs: deinieer unctie :P() 2 als volgt Voor X P(): (X) = g : {0,1} zdd g(a) = 1 als a X g(a) = 0 als a X Er kan worden bewezen dat een bijectie is QED Verband met continuum Er geldt: R P(N) Dus: N R, en dus niet: R N Maw R is overatelbaar!! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 73 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 74 Cardinaalgetallen Voor eindige verzamelingen deinieerden we simpelweg #() als het aantal elementen in Nu breiden we het begrip cardinaliteit uit en deinieren #(N) = ℵ 0 en #(R) = c en stipuleren dat voor # geldt: #() #() #() < #() Continuumhypothese Dus: er geldt: 0 < 1 < 2 < < ℵ 0 < c Vraag: is er β : ℵ 0 < β < c? Cantor s Continuumhypothese: neen! Cohen (1963): zowel de continuumhypothese als haar negatie kan consistent aan (standaard) verzamelingtheorie worden toegevoegd ( onahankelijkheid )!!! Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 75 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 76 Cardinale rekenkunde De kardinaalgetallen kunnen worden opgevat als superset van N Je kunt er ook mee rekenen De rekenkundige operaties worden gedeinieerd mbv verzamelingstheoretische operaties Cardinale rekenkunde Zij α = #() en β = #() α + β = #( ) α β = #( ) α β = #( ) waarbij is de verzameling van alle uncties Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 77 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 78 13
Wetten cardinale rekenkunde (α + β) + γ = α + (β + γ) α + β = β + α (α β) γ = α (β γ) α β = β α α (β + γ) = (α β) + (α γ) (α β) γ = α γ β γ α β α γ = α β+γ (α β ) γ = α β γ Speciale wetten mbt ℵ 0 en c n + ℵ 0 = ℵ 0 (n N) ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 2 ℵ0 = c c + c = c c = c c ℵ0 = c c c = 2 c Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 79 Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 80 Onbegrensdheid cardinaalgetallen ltijd een groter cardinaalgetal te vinden, nl volgens de stelling van Cantor geldt: 0 < 1 < 2 < < ℵ 0 < c < 2 c < 2 2c < 2 22c < Verzamelingenleer J-J Ch Meyer 81 14