ALBERT, BERNARD, ANN, BETTY ET LES AUTRES Rustig zit Bernard op een driepotig keukenkrukje in zijn voortsuizend ruimtetuig. Zorgvuldig noteert hij de tijd die hij afleest op een koekoeksklok. Tegelijkertijd knipt hij zijn zaklantaarn aan. In een rechte lijn vertrekt de lichtstraal naar de tegenoverstaande wand, waar een spiegel haar teruggooit volgens dezelfde rechte lijn naar Bernard toe, die bij aankomst weer nauwgezet de tijd afleest op de klok en die in zijn schriftje noteert. Om alle latere discussies te vermijden heeft Bernard een foto genomen van de wijzerplaat van zijn klok, bij het begin en het einde van zijn meting. Albert, die dit fenomeen vanop de Aarde gadeslaat, ziet iets helemaal anders. Hij ziet de lichtstraal eerst schuin bewegen, samen met het zich verplaatsende ruimtetuig, dan bij de spiegel teruggekaatst weer schuin afbuigen, verder met het ruimtetuig mee, en terugkeren naar Bernard. De lichtstraal heeft dus een soort van driehoeksfiguur afgelegd wanneer ze terug arriveert bij Bernard, die ondertussen ettelijke kilometers in de bewegingsrichting is opgeschoven. Albert noteert ook het tijdsverloop op zijn koekoeksklok en neemt ook een foto van zijn klok, zowel bij het begin als bij het einde van de proefneming. Wanneer Bernard weer op Aarde is, worden de metingen naast elkaar gelegd. Bernard s klok was precies één streepje opgeschoven, die van Albert iets verder. Mijn klok, zegt Albert, heeft een langere tijd gemeten dan die van Bernard: Bernard s klok tikt trager. Na deze merkwaardige vaststelling besluit men om de proef over te doen. Deze keer zal Albert, op Aarde, de lichtstraal afvuren naar een spiegel en terug opvangen. Na de terugkeer van Bernard blijkt nu dat Bernard s klok een 1/8
langere tijd heeft gemeten. Hij zegt: Albert, mijn klok heeft een langer tijdsverloop gemeten dan de jouwe. Jouw klok tikt trager. Dit eenvoudig gedachtenexperiment, aangevuld met de oeroude stelling van Pythagoras én het postulaat van Einstein, zeggende dat de lichtsnelheid constant is voor elke waarnemer hoe die zich ook beweegt -, deze drie ingrediënten dus, volstaan om de tijddilatatie van de (speciale) relativiteitstheorie te berekenen. De geïnteresseerden onder u vinden de eenvoudige berekening aan het eind van deze tekst. Een gedachtenexperiment is werkelijk het summum in de theoretische fysica. Stel je voor: geen behoefte aan een gesofisticeerd laboratorium, geen dure raket of ruimtetuig, geen slimme ingenieurs of astronauten, geen verzekeringspolis voor genomen risico s, geen exclusieve meetapparatuur zo deze zelfs al de vereiste nauwkeurigheid zou kunnen hebben. Een pendule die hoorbaar de minuten aangeeft is voldoende. Meer nog, we behoeven helemaal niets. We hoeven alleen maar te denken. Het experiment op zich, noch de meting ervan is realiseerbaar. Het is het gedacht dat telt. De relativiteitstheorie en de kwantumfysica zijn ontwikkeld met behulp van menigvuldige gedachtenexperimenten waarin voor- en tegenstanders zich hebben uitgeput om hun gelijk te halen: de kat van Schrödinger, de tweelingparadox, de EPR-paradox zijn legendarische twist-appels gebleken en gebleven. In populariserende teksten heten de erin optredende acteurs meestal Albert (hij blijft op Aarde) en Bernard (hij is de reiziger), althans in Europa. In Amerika gaat het doorgaans om twee frisse meiden, Ann en Betty of Alice en Bob. De vakliteratuur identificeert ze als A en B. 2/8
Hoe zit dat nu met de relativiteitstheorie: wie heeft gelijk, Albert of Bernard? Snelheid is een relatief begrip. Je hebt een bepaalde snelheid ten opzichte van iets of iemand anders. Wijzelf menen pal stil te staan op een vaste Aarde. Niettemin draaien we op onze breedtegraad tegen 1.000 km/uur rond de aardas. Met de Aarde bewegen we tegen 30 km per seconde om de zon heen, die zelf, met het hele zootje planeten om zich heen, rond het centrum van de Melkweg draait tegen 250 km per seconde. Onze Melkweg suist (tegen 600 km per seconde?) naar de Andromeda nevel toe. Een eenparig rechtlijnige beweging (d.i. een rechtlijnige beweging tegen een constante snelheid, dus zonder versnelling of bochtenwerk) voel je niet. Het is even correct te stellen : Ik beweeg NIET, de anderen draaien om mij heen. Eeuwenlang heeft de mensheid overigens gedacht dat het er zo aan toe ging. Het vreemde gevoel van onzekerheid in het station wanneer de trein naast u vertrekt (vertrekt mijn trein of is het de andere?) illustreert de relativiteit van snelheid maar al te goed. Het is trouwens geen toeval dat de relativiteitstheorie ontstaan is in de periode waarin voor het eerst de trein belangrijke snelheden kon halen en fenomenen als naast elkaar in dezelfde of tegengestelde richting rijden tot de dagelijkse ervaring gingen behoren. Periode, waarin men ook de tijd zoals die werd gemeten in de verschillende steden moest gaan harmoniseren tot een uniek systeem van eenduidige tijden van aankomst en vertrek. Tot hiertoe, geen noemenswaardige ontdekking. Maar nu komt Einstein. Schijnbaar in tegenspraak met het relatieve karakter van snelheid, zegt Einstein dat er niettemin een absolute grens is aan de snelheid, met name de lichtsnelheid (300.000 km/sec). Het genie Newton had in de late 17 e eeuw al twijfelend gesteld: Het kan toch niet dat twee lichamen zonder enige vertraging ogenblikkelijk mekaar over 3/8
onmetelijke afstanden aantrekken. Kijk, dat lijkt ook logisch: de Natuur heeft tijd nodig om zich te manifesteren. De lichtsnelheid is niets anders dan de snelheid waarmee de Natuur aan zijn omgeving meedeelt wat er gebeurt. Als de zon ontploft, duurt het acht minuten vooraleer wij op Aarde dat in de gaten hebben. Hoe en wanneer wordt de relatieve snelheid dan éénzelfde absolute limietsnelheid? Hier verschijnt het genie van Einstein. Hij redeneert consequent door als volgt: iedere waarnemer kan met recht beweren: ik sta stil, jij bent het die beweegt. De énige manier om te kunnen beweren dat de lichtsnelheid absoluut begrensd is, is te zeggen dat élke waarnemer, hoe hij ook al dan niet beweegt, steeds diezelfde snelheid voor een lichtstraal zal meten. Bernard reist tegen een snelheid van 290.000 km/sec (relatief t.o.v. Albert op de Aarde) naast een lichtstraal mee; Bernard zal de snelheid van die lichtstraal toch als 300.000 km/sec meten. Albert, op Aarde dit fenomeen bekijkend, zal Bernard tegen 290.000 km/sec zien bewegen en de lichtstraal tegen 300.000 km/sec. Bernard zal Albert zien bewegen tegen 290.000 km/sec in de tegenovergestelde richting. Bernard denkt namelijk dat hij zelf stil staat. Het licht beweegt voor Bernard tegen 300.000 km/sec, zoals iedereen het zal meten, immers denkend dat hijzelf stil staat. Als we het erover eens zijn dat er een absolute grens is aan snelheid, met name de lichtsnelheid, dan kàn het niet anders zijn. Oef, dat was even moeilijk. Maar nu komen we in iets nog véél moeilijkers terecht. We herhalen dat alles en iedereen hoe ie ook beweegt dezelfde natuursnelheid (lichtsnelheid) zal meten. Vermits de definitie van snelheid is afgelegde weg gedeeld door het tijdsverloop, ervaart alles en iedereen, voor zichzelf, (bij gelijke afgelegde weg) ook hetzelfde tijdsverloop. Maar, hoe ervaart iemand het tijdsverloop bij iemand anders? 4/8
Kijk even naar de tekening achteraan de tekst: Bernard ziet het licht bewegen van A naar A en weer terug. Albert ziet datzelfde licht bewegen van A naar B en dan naar C. Dit is een veel langere afstand. Afgelegd tegen dezelfde lichtsnelheid c moet dit betekenen dat het tijdsverloop dat Albert op zijn klok meet, langer is. Albert ziet dus de klok van Bernard trager lopen. Wanneer de grote wijzer op Bernards klok één streepje is opgeschoven tijdens het wegen-weer gaan van het licht, is Alberts wijzer verder dan één streepje opgeschoven. De reden hiervoor is in wezen eenvoudig: terwijl Albert het fenomeen meet, heeft Bernard-met-het-licht zich verplaatst, terwijl Bernard iets meet dat zich niet verplaatst heeft. Diegene die stilstaat ziet dus altijd een langere afstand afgelegd, tegen éénzelfde snelheid, en zal dus een langere tijd meten. Het gaat hier om een gebrekkige meting (niet een foutieve meting!), die NIET de situatie ter plaatse IN de ruimtecapsule beschrijft. Evenzo zal Bernard meten dat de klok van Albert trager loopt, omdat hijzelf meent stil te staan en voor hem Albert samen met de Aarde in tegenovergestelde richting wegzoeft. Hun beider metingen zijn niet foutief, want elk van hen meet wel degelijk juist, maar zij krijgen een verschillende informatie aangeboden (dan diegene die hun collega krijgt). Wil hij de informatie bij de collega bekomen, moet hij zijn eigen meting corrigeren (met de tijdsdilatatiefactor). Hoe eigenaardig ook, dit is helemaal geen uitzonderlijke situatie. Dagelijks hebben we te maken met een gelijkaardig en voor ons allen doodnormaal gebeuren, met name het perspectief. Ik zie jou in de verte klein en, omgekeerd, jij ziet mij ook klein. We weten dat elk van ons beiden groter is en we kunnen onze verre meting perfect corrigeren naar werkelijke grootte. Onze meting is zelfs coherent juist in de zin dat als we op afstand een auto en een garage zien, we met behulp van de twee perspectiefmetingen kunnen besluiten of die auto in die garage binnen kan. Maar als we 5/8
willen weten of die verre auto in de garage-naast-mij binnen kan, moet ik een correctiefactor toepassen op mijn meting van de (verre) auto. Perspectief is een correctie op plaats. Nu een voorbeeld van correctie op tijd. Neem de boer die in de verte een ijzeren paal met een zware voorhamer de grond inklopt. We zien eerst de hamer de paal raken en pas even later horen we de slag. Hier worden we geconfronteerd met het effect van de heel trage geluidssnelheid. Wel, alhoewel veel sneller, is de lichtsnelheid toch ook beperkt, wat tot aberraties bij het meten zal leiden. Dat gebeurt dus in de (speciale) relativiteitstheorie. Als we een meting doen op een zich snel bewegend voorwerp, dienen we te beseffen dat deze meting NIET overeenstemt met wat IN datzelfde voorwerp gemeten zou worden. We meten niet foutief : we kunnen niets anders dan meten wat we zien, maar op zulk een gebrekkige meting moeten we dus een correctiefactor toepassen wanneer we de lokale situatie in het bewegend voorwerp willen vatten. Kortom: de koekoeksklokken van Albert en Bernard lopen even snel of even traag. Alleen de meting die de ene van de andere maakt is gebrekkig, omdat de andere niet stil wil zitten. Nauwkeuriger uitgedrukt : wanneer je een tijdsinterval wil meten, moet voor een ideale meting de plaats waarop je begin- en eindtijd meet, dezelfde zijn (of je meet een tijddilatatie). Evenzo, wanneer je een afstands/lengtemeting verricht, moet je ervoor zorgen dat je het begin- en eindpunt van de afstand op hetzelfde tijdsmoment meet (of je meet een lengtecontractie). Dit laatste fenomeen wordt ook vaak verkeerdelijk geformuleerd als snel bewegende voorwerpen krimpen in de bewegingsrichting. Omwille van het feit dat de Natuur een eindige informatiesnelheid heeft (alhoewel zeer snel, is ze toch beperkt), kunnen we echter zulke ideale meting NIET uitvoeren: daarom stellen we dus 6/8
bij lengte- en tijdsmetingen van zeer snel bewegende voorwerpen, lengtecontractie en tijddilatatie vast. Bewegende voorwerpen zijn niet korter, we zien ze alleen korter, daarenboven overigens in kleuren naar het blauw verschoven als ze naar ons toe bewegen, naar het rood verschoven als ze van ons wegrazen (Doppler effect). Bij zeer hoge snelheden worden zintuigen en meetinstrumenten zeer onbetrouwbaar, want ze worden gevoed met informatie die tegen dezelfde snelheid binnenkomt als de voorwerpen waarover ze iets willen vertellen. Optisch bedrog alom. Ziezo, dat is een geruststelling: bewegende klokken lopen NIET trager of sneller en bewegende meetlatten worden NIET korter. Althans, zo denken we nu. Op gevaar af van u teleur te stellen, dierbare lezer, moet ik u herinneren aan wat ik u bij de aanvang vertelde. Dit stukje gaat alleen over eenparig rechtlijnige bewegingen : géén versnelling, géén bochtenwerk. Als we deze restrictie laten vallen, dan komen we terecht in de algemene relativiteitstheorie, waarvoor Albert Einstein zelve nog 10 jaar méér nodig had om ze te begrijpen. In het échte leven, waar massa s zorgen voor versnelde bewegingen, zal blijken dat klokken écht trager gaan lopen en dat soms de tijd zelfs blijft stille staan. Overigens moeten we ook nog verklaren hoe Einstein aan zijn wereldschokkende formule E=mc 2 is gekomen. Maar ook dat is een verhaal voor een volgende keer Leo Schreurs, november 2005 Toelichting bij de tekst. Bernard ziet het licht bewegen volgens A naar A (spiegel) en weer terug naar A. Het ruimtetuig beweegt met een snelheid v naar rechts t.o.v. de Aarde. Albert ziet het licht bewegen van A naar B (spiegel) en verder naar C (waar bij aankomst van de lichtstraal ook Bernard zich bevindt in het ondertussen opgeschoven ruimtetuig). 7/8
A B A B C snelheid v AA = BB. Pythagros leert : (AB) 2 = (BB ) 2 + (AB ) 2 Weze T de tijd door Bernard gemeten, T die door Albert gemeten. (T /2 x c) 2 = (T/2 x c) 2 + (v x T /2) 2 Einstein zegt dat beiden het licht tegen de snelheid c zien bewegen. T 2 (c 2 v 2 )/4 = T 2 c 2 /4 T 2 = T 2 (c 2 /c 2 -v 2 ) T = T 1/(1 v 2 /c 2 ) T is dus steeds groter dan T. Opmerking : Albert staat ergens opgesteld t.o.v. de proefneming, b.v. ter hoogte van het punt A. Nemen we aan dat Bernard op dat ogenblik dus bij de start van het experiment - precies over Albert s hoofd zoeft. Albert zal de informatie dat het licht is toegekomen op punt C pas na een tijdje vernemen, want het licht moet nog van punt C naar punt A komen om hem dat te melden. Als men dus werkelijk deze proef zou uitvoeren, zal Albert een nog grotere tijd meten dan T, nl. T groot. T groot = T + (AC)/c = T + vt /c = T (1 + v/c). Uit T groot kan dus T berekend worden en van daaruit ook weer T. 8/8