8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn alle gehele getallen...., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de gehele getallen is 1

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Rationale getallen: Dit zijn alle gehele getallen en alle breuken. Er zijn twee soorten breuken: 1. Breuken met een eindig aantal decimalen: 0,25 0,125 0,03125 1 1 1 4 8 32 2. Breuken met een oneindig aantal decimalen, die zich steeds herhalen: 1 0,3333... 0,3 3 9 0,81818181... 0,81 11 5 0,714285714285... 0,714285 7 2

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Irrationale getallen: Dit zijn alle getallen met oneindig veel decimalen, waarbij de decimalen zich niet herhalen. Een irrationaal getal is dus niet te schrijven als een breuk. Getallen zoals 2 en π zijn irrationale getallen. Reele getallen: Dit zijn alle rationale en irrationale getallen bij elkaar. Dit is de verzameling van alle getallen die bestaan en op de getallenlijn liggen. 3

8.1 Rekenen met complexe getallen [2] Voorbeeld 1: De vergelijking x 2 = -1 heeft geen oplossing in IR. Er wordt afgesproken dat vanaf nu geldt: i 2 = -1. x 2 = -1 x 2 = i 2 x = i of x = -i Voorbeeld 2: (2x 4) 2 = - 5 heeft geen oplossing in IR. Met behulp van i 2 = -1 is deze vergelijking wel op te lossen. (2x 4) 2 = - 5 (2x 4) 2 = 5 i2 2x 4 = 5 i of 2x 4 = - 5 i 2x = 4 + i 5 of 2x = 4 i 5 x = 2 + ½i 5 of x = 2 - ½i 5 De twee uitkomsten zijn voorbeelden van complexe getallen. 4

8.1 Rekenen met complexe getallen [2] Algemeen: Een getal van de vorm a + bi met a en b reële getallen en met i 2 = -1 heet een complex getal. De twee uitkomsten zijn voorbeelden van complexe getallen. a is het reële deel van het complexe getal. b is het imaginaire deel van het complexe getal. Een complex getal van de vorm bi is een zuiver imaginair getal. Je gebruikt bij het rekenen met complexe getallen dezelfde rekenregels als je tot nu toe gebruikt hebt bij het rekenen met reële getallen. 5

8.1 Rekenen met complexe getallen [2] Voorbeeld 3: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 4: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 = i 6 of 2x + 3 = - i 6 2x = -3 + i 6 of 2x = -3 - i 6 x = -1½ + ½i 6 of x = -1½ - ½i 6 6

8.1 Rekenen met complexe getallen [3] Voorbeeld 1: Herleid tot de vorm a + bi (2 + 4i) (1 + i) = 2+ 4i 1 i = 1 3i Voorbeeld 2: Herleid tot de vorm a + bi (2 + 4i) (1 + i) = 2 + 2i + 4i + i 2 = 2 + 6i 4 = -2 + 6i 7

8.1 Rekenen met complexe getallen [3] Voorbeeld 3: Herleid tot de vorm a + bi 2 4i 3 4i 2 4i 3 4i 3 4i 3 4i 2 6 8i 12i 16i 2 9 16i 6 4i 16 9 16 22 4i 22 4 i 25 25 25 8

8.1 Rekenen met complexe getallen [4] Gegeven is het complexe getal z = a + bi Het reële deel a van dit complexe getal wordt genoteerd met Re(z) Het imaginaire deel b van dit complexe getal wordt genoteerd met Im(z) De geconjungeerde van dit complexe getal is a bi (of z a bi ) Voorbeeld: 2 2 (a bi) a bi (a bi) (a bi) 2 2 2 a abi abi b i a b (Re(z)) (Im(z)) 2 2 9

8.2 Het complexe vlak [1] Hiernaast is het complexe getal a + bi getekend in een assenstelsel. De horizontale as is de reële as. De verticale as is de imaginaire as. Dit complexe vlak wordt ook wel het vlak van Gauss of een Argand-diagram genoemd. Hiernaast worden vectoren gebruikt om twee complexe getallen bij elkaar op te tellen. z 1 = 2 + i z 2 = 2 + 4i z 1 + z 2 = 2 + i + 2 + 4i = 4 + 5i (= z) Er ontstaat nu een parallellogram-constructie 10

8.2 Het complexe vlak [1] De lengte van de vector (ook modulus of absolute waarde) die bij het complexe getal z hoort, is te berekenen met de stelling van Pythagoras: z = 4 + 5i = z 1 = 2 + i = z 2 = 2 + 4i = 2 2 4 5 16 25 41 2 2 2 1 4 1 5 2 2 2 4 4 16 20 Let op 1: Er geldt nu: z z 1 + z 2 (Dit is over het algemeen zo) 2 Let op 2: Er geldt nu: z z z (Te bewijzen in opgave 20) Let op 3: Er geldt nu: z 1 z 2 = z 1 z 2 (Te bewijzen in opgave 21) 11

8.2 Het complexe vlak [1] 4i im De lijn a beschrijft alle getallen z waarvoor geldt: Re(z) = 4 De lijn b beschrijft alle getallen z waarvoor geldt: Re(z) = Im(z) b 3i 2i i 0 -i re -2i a 12

8.2 Het complexe vlak [2] In het assenstelsel is het complexe getal z 1 = 1 + i getekend. Hierbij hoort een draaiingshoek (φ) of argument (Arg(z 1 )) van 45. Het argument tussen -180 en 180 is de hoofdwaarde van het argument. Alle waarden voor het argument van het complexe getal z 1 zijn: 45 + k 360 waarbij k een geheel getal is. Op de GR kun het argument berekenen via MATH CMPLX 4: ANGLE De letter i krijg je met 2ND 13

8.2 Het complexe vlak [2] Voorbeeld: Teken de getallen z waarvoor geldt: 90 Arg(z) 135 1 z 1,5 Stap 1: Teken één lijnstuk dat begint in de oorsprong met een hoek van 90 graden t.o.v. de reële as. Teken één lijnstuk dat begint in de oorsprong met een hoek van 135 graden t.o.v. de reële as. 14

8.2 Het complexe vlak [2] Voorbeeld: Teken de getallen z waarvoor geldt: 90 Arg(z) 135 1 z 1,5 Stap 2: Alle punten die voldoen aan z = 1 liggen op een afstand 1 van de oorsprong. Teken een cirkel met middelpunt O en straat 1. Teken een cirkel met middelpunt O en straal 2. Stap 3: Markeer het gezochte gebied. 15

8.2 Het complexe vlak [3] 16

In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek te zien. Hieruit volgen: Im( z) sin( ) Im( z) z cos( ) z Re( z) cos( ) Re( z) z cos( ) z z is de afstand van het punt tot de Oorsprong. We noemen deze afstand nu r. 8.2 Het complexe vlak [3] Het reële en imaginaire deel van het complexe getal z zijn nu te schrijven als: Re(z) = r cos(φ) en Im(z) = r sin(φ). r (= z ) en φ (= arg(z)) zijn de poolcoördinaten van het complexe getal z. 17

8.2 Het complexe vlak [3] Het complexe getal z = a + bi kan genoteerd worden m.b.v. poolcoördinaten: z = r cos(φ) + i r sin(φ) = r (cos(φ) + i sin(φ)) Voorbeeld 1: Schrijf z = 3 4i met poolcoördinaten. Rond het argument zo nodig af op 1 decimaal. 2 2 z 3 ( 4) 9 16 5 φ = arg(z) = arg(3 4i) = - 53,1 (Gebruik de GR!!!) Hieruit volgt: z = 5(cos(-53,1 ) + i sin(-53,1 )) 18

8.2 Het complexe vlak [3] Voorbeeld 2: Schrijf z = (2 + i) 2 met poolcoördinaten. (2+ i) 2 = (2 + i)(2 + i) = 4 + 2i + 2i + i 2 = 4 + 4i 1 = 3 + 4i 2 2 z 3 4 9 16 5 φ = arg(z) = arg(3 + 4i) = 53,1 (Gebruik de GR!!!) Hieruit volgt: z = 5(cos(53,1 ) + i sin(53,1 )) Voorbeeld 3: Schrijf het volgende getal zonder poolcoördinaten. Geef een exacte uitkomst: z = 20(cos 60 + i sin 60 ) 20(cos 60 + i sin 60 ) = 20 cos 60 + 20 i sin 60 = 20 ½ + 20 i ½ 3 = 10 + 10 3 i 19

8.3 De formule van De Moivre [1] Er gelden vanaf nu de volgende regels als z 1 en z 2 complexe getallen zijn: 1) z 1 z 2 = z 1 z 2 2) arg(z 1 z 2 ) = φ 1 +φ 2 = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z z 1 1 3) z z 2 2 4) z 1 arg arg( z1) arg( z2) z2 Voorbeeld 1: Bereken de modulus en een argument van: (2 + 2i)(-1 + i) (2 + 2i)(-1 + i) = 2 + 2i -1 + i = 2 2 2 2 ( 1) 1 8 2 16 4 arg((2 + 2i)(-1 + i) ) = arg(2 + 2i) + arg(-1 + i) = 45 + 135 = 180 20

8.3 De formule van De Moivre [1] Er gelden vanaf nu de volgende regels als z 1 en z 2 complexe getallen zijn: 1) z 1 z 2 = z 1 z 2 2) arg(z 1 z 2 ) = φ 1 +φ 2 = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) z z 1 1 3) z z 2 2 4) z 1 arg arg( z1) arg( z2) z2 Voorbeeld 2: Bereken de modulus en een argument van: 6 2(cos40 i sin40 ) 6 2 2 2 3(cos15 isin15 ) 3 6 2(cos40 isin40 ) arg 40 15 25 3(cos15 isin15 ) 6 2(cos40 isin40 ) 3(cos15 isin15 ) 21

8.3 De formule van De Moivre [2] Uit z 1 z 2 = z 1 z 2 volgt: z n = z z z z = z z z z = z n Uit arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) volgt: arg(z n ) = arg(z z z z) = arg(z) + arg(z) + + arg(z) = n arg(z) Voor z = r cos(φ) + i r sin(φ) krijg je: z n = r n en arg(z n ) = n φ. Hieruit volgt: z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ) ) Als r een waarde van 1 heeft ontstaat de formule van De Moivre: z n = (cos(φ) + i sin(φ) ) n = cos(nφ) + i sin(nφ) 22

8.3 De formule van De Moivre [2] Voorbeeld 1: Herleid tot de vorm a + bi: ( 3 + i) 5 2 2 r ( 3) 1 4 2 φ = arg(z) = arg( 3 + i) = 30 ( 3 + i) 5 = (2(cos 30 + i sin 30 )) 5 = 2 5 (cos (5 30 ) + i sin (5 30 )) = 2 5 (cos (150 ) + i sin (150 ) = 32 (-½ 3 + ½i) = -16 3 + 16i Voorbeeld 2: Herleid tot de vorm a + bi: (9(cos 45 + i sin 45 )) -2 (9(cos 45 + i sin 45 )) -2 = 9-2 (cos (-2 45 ) + i sin ((-2 45 )) 1 = 81 (cos (-90 ) + i sin (-90 )) = 1 (0 + i -1) 81 1 = - 81 i 23

8.3 De formule van De Moivre [3] De vergelijking z 3 = 1 heeft drie oplossingen: Oplossing 1: (cos 0 + i sin 0 ) 3 = cos(3 0 ) + i sin(3 0 ) = cos 0 + i sin 0 = 1 + i 0 = 1 cos 0 + i sin 0 = 1 + i 0 = 1 Oplossing 2: (cos 120 + i sin 120 ) 3 = cos(3 120 ) + i sin(3 120 ) = cos 360 + i sin 360 = 1 + i 0 = 1 cos 120 + i sin 120 = - ½ + ½i 3 Oplossing 3: (cos (-120 ) + i sin (-120 )) 3 = cos(3-120 ) + i sin(3-120 ) = cos (-360 ) + i sin (-360 ) = 1 + i 0 = 1 cos (-120 ) + i sin (-120 ) = ½ - ½i 3 24

8.3 De formule van De Moivre [3] Er is aangetoond dat de vergelijking z 3 = 1 drie oplossingen heeft. Deze wortel is driewaardig. Elke complexe wortel is meerwaardig. De vergelijking z n = c met c 0, heeft n oplossingen in Deze oplossingen zijn de uitkomsten van de n-demachtswortel van c. 25

Voorbeeld 1: Los exact op in : z 3 = -8 8.3 De formule van De Moivre [3] z 3 = 8(cos 180 + i sin 180 ) v z 3 = 8(cos 540 + i sin 540 ) v z 3 = 8(cos 900 + i sin 900 ) 1) cos 180 + i sin 180 = -1 + i 0 = -1; 2) Dit geldt ook voor een argument dat 360 van 180 verschilt; 3) Je noteert nu drie argumenten die steeds 360 verschillen, omdat er drie oplossingen zijn. z = 2(cos 60 + i sin 60 ) v z = 2(cos 180 + i sin 180 ) v z = 2(cos 300 + i sin 300 ) Hier gebruik je de formule van De Moivre. z = 2(½ + ½i 3) v z = 2(-1 + 0i) v z = 2(½ - ½i 3) z = 1 + i 3) v z = -2 v z = 1 - i 3 26

8.3 De formule van De Moivre [3] Voorbeeld 2: Los exact op in : (z 2i) 2 = -i (z 2i) 2 = cos (-90 ) + i sin (-90 ) v (z 2i) 2 = cos 270 + i sin 270 ) 1) cos (-90) + i sin (-90) = 0 + i -1 = -i; 2) Dit geldt ook voor een argument dat 360 van 180 verschilt; 3) Je noteert nu twee argumenten die steeds 360 verschillen, omdat er twee oplossingen zijn. z 2i = cos (-45 ) + i sin (-45 ) v z 2i = cos 135 + i sin 135 ) Hier gebruik je de formule van De Moivre. z 2i = ½ 2 - ½i 2 z = ½ 2 + 2i - ½i 2 z = ½ 2 + (2 - ½ 2)i v z 2i = -½ 2 + ½i 2 z = -½ 2 + 2i + ½i 2 z = -½ 2 + (2 + ½ 2)i 27

8.4 Complexe functies [1] Voorbeeld 1: Gegeven zijn de functies f(z) = 3 + 2i en g(z) = 5 + 5i (= 3 + 2i + 2 + 3i) De functie g(z) ontstaat uit de functie van f(z) door het toepassen van de translatie (2, 3) Algemeen: Bij de functie f(z) = z + a + bi hoort de translatie (a, b). Voorbeeld 2: Gegeven is het rode vierkant. Pas hierop de functie f(z) = 2z toe. Linksonder: z = 1 + i => f(1 + i) = 2 (1 + i) = 2 + 2i Rechtsonder: z = 3 + i => f(3 + i) = 2 (3 + i) = 6 + 2i Linksboven: z = 1 + 4i => f(1 + 4i) = 2 (1 + 4i) = 2 + 8i Rechtsboven: z = 3+ 4i => f(3 + 4i) = 2 (3 + 4i) = 6 + 8i Algemeen: Bij de functie f(z) = az met a een reëel getal hoort de Vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a. 28

8.4 Complexe functies [1] Voorbeeld 3: Gegeven is de driehoek met de hoekpunten 1 + 2i, 3 + i en 1 + 3i. Teken het beeld bij de functie f(z) = -2z + 4 + 3i. Stap 1: Een vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor -2 van de rode driehoek geeft de groene driehoek. Stap 2: De translatie (4, 3) van de groene driehoek geeft de blauwe driehoek. 29

8.4 Complexe functies [1] Voorbeeld 4: Het getal 0 ligt op de blauwe driehoek (het beeld). Een getal dat door een functie f op 0 wordt afgebeeld, heet een nulpunt van f. Het oplossen van f(z) = 0 geeft het nulpunt. -2z + 4 + 3i = 0-2z = -4 3i 2z = 4 + 3i z = 2 + 1½i Voorbeeld 5: Een dekpunt van de complexe functie f is een getal dat op zichzelf wordt afgebeeld. Het oplossen van f(z) = z geeft het dekpunt. -2z + 4+ 3i = z -3z = -4 3i 3z = 4 + 3i 1 z = 1 + i 3 30

8.4 Complexe functies [2] Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a + bi Voorbeeld 1: Gegeven is de functie f(z) = (1 i)z. Teken het beeld bij de functie f van het rode vierkant met hoekpunten -2 + i, 3 + i, 3 + 6i, -2 + 6i. 2 2 1 i = 1 ( 1) 2 arg(1 i) = -45 Er is sprake van een rotatie over -45 en een vermenigvuldiging t.o.v. 0 met 2. Zo ontstaat het groene vierkant. 31

8.4 Complexe functies [2] Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a + bi Voorbeeld 1: Het lijnstuk van O tot het punt -2 + i op het rode vierkant wordt -45 graden geroteerd. De lengte die 5 was, wordt 2 5 = 10. Zo ontstaat het punt -1 + 3i op het groene vierkant. Het lijnstuk van O tot het punt -2 + 6i op het rode vierkant wordt -45 graden geroteerd. De lengte die 40 was, wordt 2 40 = 80. Zo ontstaat het punt 4 + 8i op het groene vierkant. 32

8.4 Complexe functies [2] Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a + bi Voorbeeld 1: Het lijnstuk van O tot het punt 3 + i op het rode vierkant wordt -45 graden geroteerd. De lengte die 10 was, wordt 2 10 = 20. Zo ontstaat het punt 4-2i op het groene vierkant. Het lijnstuk van O tot het punt 3 + 6i op het rode vierkant wordt -45 graden geroteerd. De lengte die 45 was, wordt 2 45 = 90. Zo ontstaat het punt 9 + 3i op het groene vierkant. 33

8.4 Complexe functies [2] Bij de functie f(z) = a + bi hoort de draaivermenigvuldiging die bestaat uit de rotatie over arg(a + bi) en de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met factor a + bi Voorbeeld 2: Geef het bereik van f bij het domein z 2-45 Arg(z) 45 Er is een vermenigvuldiging met 2. Hieruit volgt bij het bereik: z 2 2 Er is een rotatie van -45. Hieruit volgt bij het bereik: -90 Arg(z) 0 34

8.4 Complexe functies [3] Bij de functie f(z) = (a + bi)z + c + di met a, b, c en de reëel hoort de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met de factor a + bi en de rotatie over arg(a + bi) gevolgd door de translatie (c, d) Voorbeeld 1: Gegeven is de functie f(z) = (1 + i)z 2 + 3i. Teken het beeld bij f van het vierkant met de hoekpunten 1 + i, 3 + i, 3 + 3i en 1 + 3i 2 2 1 + i = 1 1 2 arg(1 + i) = 45 Het roteren van het rode vierkant over 45 en het vermenigvuldigen t.o.v. 0 met 2 geeft het groene vierkant. De translatie (-2, 3) van het groen vierkant geeft het blauwe vierkant. 35

8.4 Complexe functies [3] Bij de functie f(z) = (a + bi)z + c + di met a, b, c en de reëel hoort de vermenigvuldiging t.o.v. 0 met de factor a + bi en de rotatie over arg(a + bi) gevolgd door de translatie (c, d) Voorbeeld 2: Gegeven is de functie f(z) = (1 + i)z 2 + 3i. Wat is het origineel van f bij 10 + i? f(z) = 10 + i (1 + i)z 2 + 3i = 10 + i (1 + i)z = 12 2i z 12 2i 12 2i 1 i 12 12i 2i 2 5 7 i 1 i 1 i 1 i 2 36

8.4 Complexe functies [4] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(z) = z 3. Teken in twee aparte figuren de cirkelsector z 1,5-30 Arg(z) 30 en het beeld bij f. f(z) = z 3 = z 3 =1,5 3 = 3,375. arg(z 3 ) = 3 arg(z) dus -90 Arg(z) 90. 37

8.5 Krachten en snelheden [1] Voorbeeld: Op een voorwerp werken drie krachten. Bereken de grootte en de richting van de resultante van deze krachten. Noteer de complexe getallen die bij de krachten horen. z 1 = 20 z 2 = 15(cos 40 + i sin 40 ) z 3 = 25(cos 160 + i sin 160 ) De grootte van de resultante is de absolute waarde van de som van de drie complexe getallen: z 1 + z 2 + z 3 19,9. De richting van de resultante is het argument van de som van de drie complexe getallen: arg(z 1 + z 2 + z 3 ) 66,3. 38

8.5 Krachten en snelheden [2] In de luchtvaart en scheepvaart wordt vaak met een kompas gewerkt; Als je naar het zuiden vaart, vaar je met een koers van 180 ; Als je naar het noordwesten vaart, vaar je met een koers van 315. 39

8.5 Krachten en snelheden [2] Een ijsschots drijft met een snelheid van 3 km/uur naar het zuidoosten. Op de ijsschots loopt een persoon op zijn kompas pal naar het zuiden met een snelheid van 4 km/uur. Bereken in één decimaal nauwkeurig de resulterende snelheid van deze persoon en in graden nauwkeurig zijn koers. Bij de snelheden horen de complexe getallen: z 1 = 3(cos(-45 ) + i sin(-45 )) z 2 = 4(cos(-90 ) + i sin(-90 )) z 1 + z 2 6,48 arg(z 1 + z 2 ) - 70,9 De resulterende snelheid van de persoon is 6,5 km/uur. De koers van de persoon is 90 + 71 = 161. (Gebruik hiervoor het plaatje op de vorige pagina) 40