De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen Vraagstuk : In een houtbedrijf heeft schrijnwerker een balk hout met een breedte van 231 cm, een lengte van 735 cm en een hoogte van 210 cm. Hij wil uit die balk kubusvormige blokken zagen die zo groot mogelijk zijn en zonder hout te verspillen. Bereken voor hem de ribbe van die kubussen en ook het aantal kubusjes dat hij zo bekomt. Dit vraagstuk kan je oplossen door gebruik te maken van de grootste gemeenschappelijke deler en wordt hieronder uitgelegd. We behandelen: 1. DELERS VAN EEN GETAL 2. DE GROOTSTE GEMEENSCHAPPELIJKE DELER VAN TWEE OF MEERDERE GETALLEN 3. EXTRA 3.1. DE GROOTSTE GEMEENSCHAPPELIJKE DELER VAN TWEE GETALLEN - ONVEREENVOUDIGBARE BREUK 3.2 DE GROOTSTE GEMEENSCHAPPELIJKE DELER VAN TWEE OF MEERDERE GETALLEN - ONTBINDEN IN PRIEMFACTOREN 3.3 DE GROOTSTE GEMEENSCHAPPELIJKE DELER VAN TWEE GETALLEN- HET KLEINSTE GEMEENSCHAPPELIJK VEELVOUD VAN TWEE GETALLEN 4. MOGELIJKE PROBLEMEN 5. OPMERKING 6. NOG EEN VRAAGSTUK Grootste gemeenschappelijke deler 1
1. Delers van een getal Stel de modus in op TABLE w4 (TABL) Maak een tabel waarbij 231 gedeeld wordt door alle opeenvolgende getallen van 1 tot 231 231P[V Kies 1 als startwaarde - als 1 niet als startwaarde ingesteld is, dan kies je 1V - als 1 wel al als startwaarde ingesteld is, druk dan op V om over te gaan naar het invoeren van de eindwaarde. Voer 231 als eindwaarde in qd( ) 231V en voer 1 als stapgrootte in 1V Wanneer X en F(X) natuurlijke getallen zijn, dan zijn deze getallen ook delers van 231. Lees nu de delers van 231 af door te scrollen in de tabel met!, E, $ en R. Grootste gemeenschappelijke deler 2
Opgave 1: Lees de delers van 231 af en vul aan: de delers van 231 zijn... Druk op C C om de delers van een ander getal te kunnen zoeken. (In plaats van de twee keer op C te drukken kan je ook één keer op C te drukken en daarna vijf keer op o ) Opgave 2 : Voer nu dezelfde werkwijze uit om de delers van 210 en van 735 te zoeken en vul aan: de delers van 210 zijn. de delers van 735 zijn Grootste gemeenschappelijke deler 3
2. De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen Opgave 3: Orden de gevonden delers van delers van 231, 210 en 735 van klein naar groot en schrijf ze in onderstaande tabel: De delers van 231 zijn: De delers van 210 zijn: De delers van 735 zijn: Opgave 4: Zijn er getallen die tegelijkertijd een deler zijn van 231, van 210 èn van 735? Welke?.. Zo n getal wordt een gemeenschappelijke deler van 231, 210 en 735 genoemd (In plaats van gemeenschappelijke wordt soms ook het woord gemene gebruikt. Het woordje gemeen heeft verschillende betekenissen. Hier is gemeen een synoniem voor gemeenschappelijk ) Opgave 5: Vul aan: De grootste gemeenschappelijke deler van 231, 210 en 735 is :.... Kort kan je schrijven : ggd { 231, 210, 735 } =.. En zo vind je de oplossing van het vraagstuk In een houtbedrijf heeft schrijnwerker een balk hout met een breedte van 231 cm, een lengte van 735 cm en een hoogte van 210 cm. Hij wil uit die balk Grootste gemeenschappelijke deler 4
kubusvormige blokken zagen die zo groot mogelijk zijn en zonder hout te verspillen. Bereken voor hem de ribbe van die kubussen en ook het aantal kubusjes dat hij zo bekomt : De lengte van de ribben van de kubussen die de schrijnwerker uit de balk hout met een breedte van 231 cm, een lengte van 735 cm en een hoogte van 210 cm kan zagen is 7 cm. Hij bekomt zo (231:7). ( 735 : 7 ). ( 210 : 7 ) = 33. 105. 30 = 103 950 kubussen. 3. Extra 3.1. De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen onvereenvoudigbare breuk De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen kan je nog vlugger met je rekentoestel berekenen. Als je bijvoorbeeld de grootste gemeenschappelijke deler van 231 en 140 moet 231 berekenen, dan voer je de breuk in je rekentoestel in en je 140 herleidt dit tot een onvereenvoudigbare breuk. Ga daarvoor terug naar de comp-mode: w1 (COMP) en 231 voer de breuk in 140 231a140V 231 33 Je bekomt = 140 20 De grootste gemeenschappelijke deler van 231 en 140 vind je nu door het quotiënt te bereken van de eerste en de derde term (of van de tweede en de vierde term). 231 Dus : ggd { 231, 140 } = = 7 33 Of, met de tweede en de vierde term: ggd { 231, 140 } = 140 = 7 20 Grootste gemeenschappelijke deler 5
3.2. De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen ontbinding in priemfactoren De grootste gemeenschappelijke deler van twee of meerdere getallen kan ook berekend worden door de getallen te ontbinden in priemfactoren. Dit doe je door telkens te delen door de kleinst mogelijke priemfactor. Schematisch wordt dit als volgt voorgesteld: 231 3 77 7 11 11 1 De ontbinding in priemfactoren van 231 is 3. 7. 11 want 231 = 3. 7. 11 210 2 105 3 35 5 7 7 1 De ontbinding in priemfactoren van 210 is 2. 3. 5. 7 want 210 = 2. 3. 5. 7 735 3 245 5 49 7 7 7 1 De ontbinding in priemfactoren van 735 is 3. 5. 7² want 735 = 3. 5. 7² De grootste gemeenschappelijke deler van de getallen 231, 210 en 735 is het product van de gemeenschappelijke priemfactoren die in de ontbindingen voorkomen, elk met hun kleinste exponent. ggd { 231, 140, 735 } = 7 3.3. De grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee getallen Als je de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen a en b ( genoteerd door ggd { a, b } ) bestudeert, dan leer je ook over het kleinste gemeenschappelijk veelvoud ( kgv { a, b } ). Omdat a. b = ggd { a, b }. kgv { a, b } kan je het kgv { a, b } berekenen als je ggd { a, b } al bepaald hebt: a.b kgv { a, b } = ggd { a,b} In dit voorbeeld is kgv { 231, 140 } = 231.140 = 462 7 Grootste gemeenschappelijke deler 6
Je kan ook het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee of meerdere getallen berekenen door zelf de gemeenschappelijke veelvouden van deze getallen te zoeken en dan het kleinste van nul verschillend veelvoud te nemen. Wanneer je weer met twee getallen a en b werkt, dan moet : a. b = ggd { a, b }. kgv { a, b } Dit kan je met je rekentoestel controleren. Stel de modus in op VERIF: w15 (VERIF) Voer in het linkerlid het product van de twee getallen 231 en 140 in. In het rechterlid voer je het product van de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van deze twee getallen in. 231O140=7O4620V Op het scherm verschijnt TRUE (waar). Dit betekent dat het product voor het gelijkheidsteken en het product na het gelijkheidsteken inderdaad aan elkaar gelijk zijn. 4. Mogelijke problemen Je kan in één tabel 30 waarden berekenen. Van zodra je 31 waarden wil berekenen, krijg je de foutmelding Insufficient MEM (onvoldoende geheugen). Wil je toch meer dan 30 waarden berekenen, dan splits je de tabel op in twee (of meer) tabellen, waarbij je telkens de starten eindwaarden aanpast. Druk, als deze foutmelding op het scherm verschijnt, op C,$of!om terug te keren naar het voorschrift en verder te werken. Wanneer in de modus Comp LineIO gekozen is om de invoer weer te geven, dan bekom je bij de invoering van de breuk de schrijfwijze op één lijn. 231 Je herleidt de breuk dan tot een onvereenvoudigbare 140 breuk als volgt: 231a140V Of door : 231P140V Grootste gemeenschappelijke deler 7
Druk nu op n om de vorige schermafdruk te bekomen. Je kan de natuurlijke schrijfwijze ook terug oproepen door q w (SETUP) 1 (MthIO) M V 5. Opmerking Om alle delers van een getal te zoeken wordt bij het opstellen van de tabel als eindwaarde de vierkantwortel van dat getal genomen. - Dit volstaat om alle delers te bekomen: voer je een grotere eindwaarde in, dan zullen in de eerste kolom delers komen, die je daarvoor al gevonden had in de tweede kolom. - De vierkantswortel van een getal is niet altijd een natuurlijk getal. Het rekentoestel neemt dan zelf als laatste waarde het grootste natuurlijk getal dat nog kleiner is dan, of gelijk is aan de ingevoerde vierkantswortel. 6. Nog een vraagstuk Een klant bestelt bij een chocolatier 126 fijne pralines en 216 chocolaatjes en vraagt aan om die in geschenkdoosjes te verpakken zodat elk doosje een identieke inhoud heeft. 1. Hoeveel geschenkdoosjes ontvangt de klant? 2. Met hoeveel pralines en chocolaatjes vult de chocolatier elk geschenkdoosje? Grootste gemeenschappelijke deler 8
Antwoordsleutel Opgave 1: Lees de delers van 231 af en vul aan: de delers van 231 zijn 1, 231, 3, 77, 7, 33, 11, 21 Opgave 2: Voer nu dezelfde werkwijze uit om de delers van 210 en van 735 te zoeken en vul aan: de delers van 210 zijn 1, 210, 2, 105, 3, 70, 5, 42, 6, 35, 7, 30, 10, 21, 14, 15 de delers van 735 zijn 1, 375, 3, 245, 5, 147, 7, 105, 15, 49 Opgave 3: Orden de gevonden delers van 231, 210 en 735 van klein naar groot en schrijf ze in onderstaande tabel: De delers van 231 zijn: 1 3 7 11 21 33 77 231 De delers van 210 zijn: 1 2 3 5 6 7 10 14 15 21 30 35 42 70 105 210 De delers van 735 zijn: 1 3 5 7 15 49 105 147 245 735 Opgave 4: Zijn er getallen die tegelijkertijd een deler zijn van 231, van 210 èn van 735? Welke? 1, 3, 7 Opgave 5: Vul aan: De grootste gemeenschappelijke deler van 231, 210 en 735 is : 7 Kort kan je schrijven : ggd { 231, 210, 735 } = 7 Nog een vraagstuk: De chocolatier maakt 18 geschenkdoosjes en verpakt daarin 7 pralines en 12 chocolaatjes. Grootste gemeenschappelijke deler 9
10