Straal van een curve Arnold Zitterbart Schwarzwald-Gymnasium Triberg Duitsland (Vertaling: L. Sialino) Niveau Vwo-scholieren Hulpmiddelen Grafiek toepassing, Run-Matrix toepassing Doel Bepaal de straal van een machtsfunctie in een extreem. Overzicht De stijging van een kromme in een punt P(x 0 y 0 ) wordt normaal gesproken ingevoerd door de richtingscoëfficiënt te bepalen van de rechte lijn door P en een nabijgelegen punt Q (op de kromme). In een limietproces breng je Q naar P en zo krijg je de richtingscoëfficiënt van de kromme in P als de limiet van richtingscoëfficiënten van de rechte lijn door P en Q. Het middelpunt van de passercirkel kan door een soortgelijk proces verkregen worden, als je het snijpunt van twee dicht bij elkaar liggende loodlijnen op een kromme bekijkt. 1
Opgave 1 4 Gegeven is de parabool met de vergelijking: y = x. Voor deze parabool moet een cirkel gevonden worden die zo goed mogelijk met de top van de parabool samenvalt. a) Beargumenteer waarom het middelpunt van zo n cirkel op de loodlijn door de top van de parabool ligt. Welke bijzondere positie heeft die lijn in dit geval? b) Onderzoek het snijpunt van de loodlijn door een punt Q op de parabool met de y-as als punt Q de top van de parabool nadert. c) Teken de passercirkel en bepaal de straal. ( 1 + f'(x )) 3 0 d) Voor de straal van de passercirkel geldt de formule: r = f''(x 0) Laat zien dat de gevonden waarde van de straal goed met de waarde van de formule overeenkomt. Oplossing a) De straal van een cirkel staat altijd loodrecht op de raaklijn aan de cirkel, dus ligt in dit geval op de loodlijn door de top van de parabool, die in dit geval de y-as is. b) De parabool wordt in het functiescherm ingevoerd. De vensterinstellingen worden ingesteld en met DRAW wordt de parabool getekend. Voor een geschikt beeld van de grafiek kan met ZOOM / IN het beeld worden vergroot. Met SKETCH / Norm kan de loodlijn getekend worden. Het punt waar de loodlijn getekend moet worden kan met de cursor uitgekozen worden, of de x-coördinaat van het punt kan met de toets: X,θ,t direct worden ingevoerd. Als men in Set up de Optie voor Derivative op ON heeft staan verschijnt de vergelijking van de loodlijn. In de situatie van de afbeelding hiernaast is het snijpunt met de y-as in 1,018. Op dezelfde manier werden de volgende afbeeldingen gemaakt:
De grafieken wekken het vermoeden dat de afstand van de normaal tot de x-as de waarde 0,85 heeft. c) Het middelpunt van de passercirkel is dus M(0 0,85), de straal is 0,85. Met SKETCH / Circle kan de cirkel getekend worden. d) In dit geval: 8 f'(x) = x, 8 f''(x) = 3 (1 + 0) r = = = 0, 85. 8 8 3
Opgave Gegeven is de parabool 3 met de vergelijking: y = 0.05(x 5)(x + 1)(x + 3). Voor deze parabool moet een cirkel gevonden worden die zo goed mogelijk samenvalt met de top van de parabool. a) Bepaal op dezelfde manier als in de vorige opgave de straal van deze cirkel. b) Controleer de antwoorden met behulp van de formule. Oplossing De functie wordt ingetoetst. De vensterinstellingen worden ingesteld en met DRAW wordt de grafiek getekend. Met behulp van de cursor kan het venster verschoven worden zodat het er hetzelfde uitziet als in de afbeelding hiernaast. Met G-Solve worden de coördinaten van het minimum bepaald. De x-coördinaten van het minimum moeten voor later gebruik in Run-toepassingen opgeslagen worden. Het middelpunt van de cirkel ligt op de loodlijn door het minimum. Nu wordt een punt dat naast het minimum ligt gekozen en in dit punt wordt de loodlijn getekend. Het snijpunt van de twee loodlijnen is een benadering van het middelpunt. Experimenteer je met de loodlijn dan zie je dat het snijpunt een waarde nadert. Deze waarde kies je als middelpunt van de cirkel. 4
Het mimimum kies je als ander punt van de cirkel. Berekenen van de waarde van de straal: Omdat het middelpunt door een snijpunt met de vergelijking x =,3 (=loodlijn in het minimum) en de getekende loodlijn verkregen is, kan deze y-coördinaat berekend worden door de x-coördinaat van het minimum in de getekende vergelijking in te vullen. Het verschil met de y-coördinaat van het minimum levert dan de gezochte straal op, in dit geval 1,34 Het middelpunt van de cirkel kan ook bepaald worden als je de loodlijn definieert van een punt dat heel dicht naast de loodlijn van het minimum ligt. (Bijvoorbeeld bij B =,9). De y-coördinaat van het middelpunt bereken je dan als Y(A). De straal van de cirkel is dan hetzelfde als in de afbeelding hiernaast, namelijk 1,35. 5
Als je verder wil experimenteren dan kan dat door de loodlijn op dezelfde manier als in de afbeelding hiernaast te definiëren. Als je de loodlijn als x =,8 kiest, dan is de straal van de cirkel 1,3. Bij x =,5 heeft men een straal van 1,38. ( 1 + f'(x )) 3 0 b) De formule is r =. f''(x 0) Met behulp van de grafische rekenmachine kun je ook de waarde van de afgeleide berekenen. Dan kan de formule op de manier als in de afbeelding hiernaast worden berekend. 6