Statistiekcursus aan het Gymnasium

Transcriptie

1 Statistiekcursus aan het Gymnasium Hannes Stoppel Max-Planck-Gymnasium Gelsenkirchen Duitsland (Bewerking: L. Sialino en S. Biesheuvel) Niveau VWO-Leerlingen die de basis van de statistiek kennen. Kennis over regressie kan tijdens de taak ontwikkeld worden. Hulpmiddelen Spreadsheet en statistiek, lineaire regressie en andere regressies. Doel Het ontdekken van verschillende regressies en de kennis dat lineaire regressie maar in beperkte mate geschikt is. Overzicht Bij de wiskunde op school komen bijna alleen maar lineaire regressies voor. Ze zijn echter niet voor alle records geschikt; kwadratische of andere regressies kunnen zinvoller zijn. Dit wordt onderzocht bij de analyse van het aantal leerlingen dat kiest voor een extra statistiek cursus. Opgave Opgave 1: Bij een gymnasium kozen van de wiskunde B leerlingen in klas 5 in de afgelopen jaren steeds verschillende aantallen leerlingen de extra statistiek cursus. De tabel geeft de data weer van de laatste jaren. Jaar Leerlingen in klas Leerlingen met de extra statistiek cursus a) Stel het verloop en een mogelijke herkenbare trend in de ontwikkeling van de keuzes van de leerlingen in een grafiek op. b) Voorspel de relatieve hoeveelheid leerlingen die een extra statistiek cursus in klas 5 zal kiezen in de komende jaren. c) Wanneer zal het aantal leerlingen dat voor de cursus kiest in klas 5 weer zakken naar 45? Bediscussieer de geloofwaardigheid van het antwoord in de praktijk. 1

2 Oplossing opgave 1 opgave 1a Stap 1. Open het [STATISTIK]-Overzicht via MENU 2 (Statistics), en voer de waarden van 2002 t/m 2007 in de lijsten List1 tot List3 in. (Let op de namen van de geselecteerde kolommen.) Stap 2. Toets [F1] (GRAPH) en dan [F6] (SET), zo kunnen de instellingen voor de grafiek gemaakt worden. Met deze instellingen krijg je onderstaande grafiek: opgave 1b Stap 1. In List 4 wordt de relatieve hoeveelheid van de cursisten in de jaren berekend, d.w.z. STAT./TOTAAL Als eerst wordt de kolom ST:TOT gedefinieerd. Toets eerst EXIT. 2

3 Stap 2. Om de verhoudingen van de kolommen te berekenen, zet je de cursor op het woord List 4 en toets dan [OPTN]. Met behulp van: [F1] (LIST) [F1] (List) [3] [ ] [OPTN] [F1] (LIST) [F1] (List) [2] [EXE] worden de relatieve hoeveelheden in List 4 ingevuld. Stap 3. Met [EXIT]-[EXIT] ga je terug naar de vorige menu s. Toets [F1] (GRAPH) en dan [F6] (SET), dan kun je weer de instellingen voor de grafiek aangeven en op dezelfde manier als hierboven de grafiek teken van de relatieve hoeveelheden van de leerlingen (List 4), afhankelijk van de jaren (List 1). Stap 4. Met [F1] (COLOR) wordt het overzicht van de kleurinstellingen geopend; kies 3 voor de kleur rood. Toets [EXE] en met [F1] (GRAPH1) verschijnt dan de grafiek. 3

4 Stap 5. Regressies kunnen met [F1] (CALC) gemaakt worden. Voor een lineaire regressie kies je: [F2] (X) [F1] (ax+b) en krijg je de gegevens voor de lineaire regressie. Met [F6] (DRAW) kan je de grafiek tekenen. Stap 6. De gegevens laten zich beter door een derdegraads regressie benaderen. 3 Om dit te bereiken toets je: [EXIT] [EXIT] [EXIT] [F1] (GRAPH1) [F1] (CALC) [F5] ( X ); er verschijnt hetzelfde als bij stap 5: Om het voorschrift van de regressie grafiek op te slaan toets je [F5] (X 3 ) [F5] (COPY) [EXE]. Toets nu [MENU] 7 (Table) en je ziet daar het voorschrift staan. Met deze grafiek kan de relatieve hoeveelheid leerlingen die een extra statistiek cursus in klas 5 zal kiezen in de komende jaren voorspeld worden. opgave 1c Stap 1. Gebruik nu List1 en List3 Kies weer voor [MENU] 2 (Statistics). De grafiek van opgave 1a lijkt veel op een sinusgrafiek. De berekening wordt met behulp van de sinus regressie doorgevoerd. Toets [F1] (GRAPH) en dan [F6] (SET), en kies voor List1 en List3 en plot de grafiek 4

5 Met [F1] (CALC) [F6] (>) [F5] (Sin) teken je op dezelfde manier als in opg 1b stap 5 een regressie, alleen nu een sinus regressie. Stap 2. Om de Sinus regressie als functie f met f ( x) = 15,63 sin(1,37 x + 1,62) + 110,69 te definiëren, toetst je [F5] (Sin) [F5] (COPY) EXE. Toets nu [MENU] 5 (Graph) en je ziet het voorschrift staan. Stap 3. De oplossing van de vergelijking f ( x ) = 45 moet bepaald worden. Omdat het antwoord op een geheel getal afgerond moet worden, moet je de grafieken tekenen van de functies die onder Y1 en Y2 opgeslagen zijn. Selecteer eerst grafiek Y1 via [F1] Stap 4. De cursor wordt met [SHIFT] [F1] (TRACE) geopend. Hier is te herkennen, dat voor x < 2009 de functiewaarden bij f ( x ) > 45 liggen, terwijl f ( x ) < 45 voor x > 2010 geldt. Het aantal leerlingen dat een cursus zal kiezen zal in het jaar 2010 naar 45 zakken. 5

6 Het resultaat is niet geloofwaardig, omdat het totaal aantal leerlingen zich waarschijnlijk niet precies overeenkomstig de afgelopen jaren gaat ontwikkelen. Voor een voorspelling zou men daarom ook met de geboortecijfers rekening moeten houden. Oefeningen Oefening 1. In de periode van 1921 tot 1996 wordt meerdere keren de bevolking in een land geteld. De gemiddelde bevolking voor 1 jaar is berekend als het gemiddelde van 12 maanden. Gemiddelde bevolking in een land JAAR X 1000 JAAR X Geef de tijdelijke bevolkingsontwikkeling weer door een histogram te maken. Geef met behulp van regressies de mogelijke ontwikkelingen van de bevolking tot het jaar 2015 aan. Literatuur Stochastiek en Statistiek, von Stoppel, Hannes, Aulis, 2010, ISBN