Staltet van het evenwcht Knk en de Voorschrten Knk en de Eurocode 3 Bj het dmensoneren van een constructe op knk wordt n de Eurocode 3 utgegaan van een toets n de uterste grenstoestand waarj de rekenwaarde van de optredende normaalkracht klener moet zjn dan de rekenwaarde voor de sterkte. In deze paragraa zal deze toets worden toegelcht. Daarvoor zal eerst een utstapje gemaakt worden naar een toets de etrekkng heet op spannngen aangezen de toets drect gerelateerd kan worden aan de vloespannng van het materaal. Vervolgens wordt de aanpak van de Eurocode gepresenteerd waarmee de overeenkomst en het verschl met de theore van Euler dudeljk wordt gemaakt. We eperken ons n dt oek tot de aanpak voor staalconstructes en zullen zoveel als mogeljk, de smolen en utdrukkngen volgen zoals deze n de Eurocode worden gehanteerd. Knkspannng en slankhed Voor een op druk elast element met knklengte L cr kan de Eulerse knkkracht worden epaald met: F I Euler Lcr Een spannng heet als dente : F De Eulerse knkspannng, aangedud met de ndex van de Engelse aandudng ucklng (knk), kan daarmee geschreven worden als : F Euler Lcr I In deze ormule zjn de geometrsche gegevens (, L cr en I ) gescheden van de materaalegenschap, de elastctetsmodulus E. De actor I/ s een proelgroothed. Hervoor s het egrp traaghedsstraal, ook wel oppervlaktemomentarm ngevoerd : I Hermee kan de ormule voor de Eulerse knkspannng worden herschreven tot : L cr De knkspannng wordt daarmee epaald door de stjhed van het materaal, de elastctetsmodulus en de verhoudng van de knklengte en de traaghedsstraal. Deze laatste verhoudng wordt ook wel de slankhed van de staa genoemd : L cr Hermee kan ten slotte de Eulerse knkspannng worden geschreven als : Lcr met en I Ir J.W. Welleman
Staltet van het evenwcht Knkcurve Knk en de Voorschrten De Eulerse knkspannng moet altjd klener zjn dan de vloespannng van het materaal. Voor een epaalde staalsoort kan daarmee worden ageled wat de mnmale slankhed van de drukstaa moet zjn waarvoor geldt dat de knkspannng klener s dan de vloespannng. > dus > Voor S 355 met een E-modulus van. 0 5 /mm en een vloegrens van 355 /mm geldt : 3 π 0 0 > 76,4 355 Voor S 35 met een E-modulus van. 0 5 /mm en een vloegrens van 35 /mm geldt : 3 π 0 0 > 93,9 35 Voor klene slankheden, zogenaamde gedrongen constructes, geldt dat de vloespannng maatgevend s terwjl voor grote slankheden de Eulerse knkspannng maatgevend wordt. Dt s n de onderstaande graek van guur a weergegeven. [/mm ] 355 35 S 355 S 35,0 76,4 93,9 Fguur a : Knkcurve met maatgevende spannng voor S 355 en S 35,0 : Dmenseloze knkcurve volgens Euler zonderljke knkcurven voor edere staalsoort zjn onwenseljk. De ovenstaande guur kan vereenvoudgd worden door de assen dmenseloos te maken. Vertcaal wordt de knkspannng gedeeld door de vloespannng van het materaal en op de horzontale as wordt de slankhed gedeeld door de mnmale slankhed ehorende j de speceke staalsoort. Hervoor voeren we een neuw egrp n, de relateve slankhed. Deze relateve slankhed s de slankhed van de staa gedeeld door de mnmale slankhed en s een verhoudngsgetal: Door de utdrukkng voor de knkspannng lnks en rechts te delen door de vloespannng s eenvoudg n te zen dat moet gelden: Ir J.W. Welleman
Staltet van het evenwcht Knk en de Voorschrten De verhoudng van de knkspannng t.o.v. de vloespannng kan hermee worden herschreven tot: In guur s deze algemene relate n de vorm van de knkcurve volgens Euler weergegeven. Dt resultaat kan als volgt worden geïnterpreteerd. Door de nvloed van het knkverschjnsel zal de maxmale spannng waarj ezwjken optreedt, worden gereduceerd. De mate van reducte wordt weergeven met de ovenstaande knkcurve waardoor de gevonden knkspannng kan worden geschreven als het product van een knk-reducteactor met de vloespannng van het materaal. χ Euler De knk-reducteactor volgens Euler s just geljk aan de recproque van het kwadraat van de relateve slankhed: L cr E χ Euler met: en π () Helaas zet de werkeljkhed er ets anders ut dan de volgens Euler. Tal van nvloeden leden tot knkcurven de onder de gevonden knkcurve van Euler lggen. Het hanteren van de ormule van Euler s daarmee onvelg. Dat etekent dat n de praktjk er een andere utdrukkng voor de knk-reducteactor ook wel knkactor χ wordt gehanteerd. In de Eurocode 3 wordt deze knkactor eschreven. Eurocode 3 E 993-- De werkwjze n de voorschrten voor staalconstructes s ets anders dan de heroven weergegeven theore maar het prncpe van de Eulerse theore zt er wel n verwerkt. In de voorschrten moet een constructe op druk n het geval van een staltetstoets worden getoetst met de volgende toetsngsregel : Ed, Rd Hern s : Ed,Rd s de rekenwaarde van de drukkracht ten gevolge van de elastng s de rekenwaarde van de uterst opneemare knkkracht voor de gegeven doorsnede De uterst opneemare knkkracht van de doorsnede kan worden opgevat als de maxmale drukkracht de de doorsnede kan opnemen vermengvuldgd met een reducte actor voor de nvloed van knk op het draagvermogen. De rekenwaarde voor de normaal (druk) kracht van de doorsnede s voor gangare proelen (doorsnedeklasse t/m 3) n de Eurocode gedeneerd als: Ir J.W. Welleman 3
Staltet van het evenwcht c, Rd γ M0 Knk en de Voorschrten Door knk zal dt draagvermogen moeten worden gereduceerd en wordt een aangepaste ormule gehanteerd waarj de nvloed van knk op de sterkte s verwerkt n de knk-reducteactor, ook wel aangedud met knkactor χ : met: χ γ γ,rd,rd e M0 M χ γ M e χ γ M doorsnede-klasse t/m 3 doorsnede-klasse 4 knkactor oppervlakte van de doorsnede voor doorsnedeklasse t/m 3 eecteve doorsnede voor doorsnedeklasse 4 controle algemeen;,0 voor geouwen, controle staltet;,0 voor geouwen De knkactor χ s een actor de volgt ut een emprsche ormule: χ Φ + Φ en χ,0 met: ( ) Φ 0,5 + α 0, + L en cr π E Met deze ormule wordt rekenng gehouden met dverse awjkngen en onvolkomenheden (mperectes) de kunnen ontstaan door restspannngen, szeeects zoals grote o klene plaatdkte en de nhomogentet van het materaal. hankeljk van de vorm van de doorsnede moet een speceke waarde voor de mperecteactor α worden aangehouden. De Eurocode edt vj verschllende mogeljkheden voor de vorm van de zgn. nstaltetskrommen o knkcurven a 0, a,, c en d. De keuze van de knkcurve s vastgelegd met tael 6. ut de Eurocode 3. De te hanteren waarde voor de mperecteactor α wordt epaald met: Tael : Proelcongurates a 0 a c d α 0,3 0, 0,34 0,49 0,76 Hoewel ormule () er geheel anders ut s komen te zen dan ormule (), s de theoretsche grondslag nog wel herkenaar. De knkactor s nog steeds ahankeljk van de recproque waarde van de relateve slankhed n het kwadraat. () Ir J.W. Welleman 4
Staltet van het evenwcht Grasche weergave Knk en de Voorschrten De voorgestelde ormule kan ook grasch worden weergegeven. In guur zjn de nstaltetskrommen a t/m d ut de Eurocode volgens ormule () en de theoretsche oplossng van Euler volgens ormule () weergegeven. χ a 0 d Euler a 0 a c d Fguur : Instaltetskrommen volgens Eurocode 3 Relateve slankhed versus knkactor Hermee wordt dudeljk zchtaar dat de oplossng volgens Euler een hogere elastng toestaat dan n werkeljkhed mogeljk s. De theoretsche oplossng s daarmee alleen waardevol om egrp te krjgen voor de kwaltateve aspecten van knk. Voor de praktsche toepassng moeten de voorschrten worden gevolgd. De keuze voor de staltetskromme s a te lezen ut tael 6. ut Eurocode 3. In guur 3 s deze overgenomen. Fguur 3 : Proelcongurates en keuze staltetskromme volgens Eurocode 3 De her weergegeven guur s overgenomen ut Eurocode 3 E993--: 005. Ir J.W. Welleman 5
Staltet van het evenwcht Knk en de Voorschrten Knkactoren n taelvorm Uteraard kan er ook een tael worden opgesteld met daarn de waarden voor de knkactor voor een gegeven relateve slankhed. Voor alle vj nstaltetskrommen zjn deze actoren n tael weergegeven. Tael : Knkactor Knkactor χ a0 a c d 0,0,000,000,000,000,000 0,,000,000,000,000,000 0,,000,000,000,000,000 0,3 0,986 0,977 0,964 0,949 0,93 0,4 0,970 0,953 0,96 0,897 0,850 0,5 0,95 0,94 0,884 0,843 0,779 0,6 0,98 0,890 0,837 0,785 0,70 0,7 0,896 0,848 0,784 0,75 0,643 0,8 0,853 0,796 0,74 0,66 0,580 0,9 0,796 0,734 0,66 0,600 0,5,0 0,75 0,666 0,597 0,540 0,467, 0,648 0,596 0,535 0,484 0,49, 0,573 0,530 0,478 0,434 0,376,3 0,505 0,470 0,47 0,389 0,339,4 0,446 0,48 0,38 0,349 0,306,5 0,395 0,37 0,34 0,35 0,77,6 0,35 0,333 0,308 0,84 0,5,7 0,35 0,99 0,78 0,58 0,9,8 0,83 0,70 0,5 0,35 0,09,9 0,56 0,45 0,9 0,4 0,9,0 0,3 0,3 0,09 0,96 0,77, 0, 0,04 0,9 0,80 0,63, 0,94 0,87 0,76 0,66 0,5,3 0,78 0,7 0,63 0,54 0,40,4 0,64 0,59 0,5 0,43 0,30,5 0,5 0,47 0,40 0,3 0,,6 0,40 0,36 0,30 0,3 0,3,7 0,30 0,7 0, 0,5 0,06,8 0, 0,8 0,3 0,08 0,00,9 0,4 0, 0,06 0,0 0,094 3,0 0,06 0,04 0,099 0,095 0,088 voor tussenlggende waarden mag lnear worden geïnterpoleerd Voor verdere toepassngen van de voorschrten wordt verwezen naar de colleges Staalconstructes. Ir J.W. Welleman 6