Basisbegrippen van de eindige elementen methode Dimitri Debruyne Onderzoeksgroep machine- en prototypebouw Inhoud cursus 1. Algemene situering van de EEM 2. Korte herhaling van matrixalgebra 3. Veerkettingen en vakwerken 4. 2D problemen: lineaire driehoeken 5. Demonstratie + praktijkvoorbeelden 6. 2D problemen: andere vlakspanningselementen 7. Raamwerken 8. Platen 9. En verder (3D elementen, plasticiteit, contact, ) 10. Inleiding tot het labo eindige elementen (+ tips) 1
Algemene situering van de eindige elementen methode Waarvoor worden EEM gebruikt? Definitie Basisidee Praktische werkwijze Praktijkvoorbeelden Waarvoor worden eindige elementen methodes niet gebruikt? Mechanische, thermische, problemen met eenvoudige geometrie eenvoudige belastingen eenvoudige randvoorwaarden eenvoudige materiaaleigenschappen én eenvoudige resultaten gewenst! Bijvoorbeeld: Doorbuiging van een as t.g.v. een puntbelasting Temperatuursverloop in een plaat t.g.v. een stationaire bron Stromingsenergie van een stationaire vloeistof in een leiding 2
Ingeklemd aan één zijde Uniforme druk P Elasticiteitsleer 4 Pl U = 8EI Ingeklemd aan beide zijden Uniforme temperatuursverlaging T Thermische spanningen σ = E α T 3
Waarvoor worden eindige elementen methodes wel gebruikt? Mechanische, thermische, problemen met minder eenvoudige geometrie minder eenvoudige belastingen minder eenvoudige randvoorwaarden minder eenvoudige materiaaleigenschappen én voor gedetailleerde oplossingen Bijvoorbeeld: Spanningsverloop in een doorgebogen as Thermische spanningen in een plaat t.g.v. een stationaire T-bron Wrijvingsenergie van een stationaire vloeistof in een leiding Ingeklemd aan één zijde Uniforme druk P Gedetailleerd spanningsverloop 4
Ingeklemd aan beide zijden Uniforme temperatuursverlaging T Laterale compressie Basisidee 3000 toeren per minuut 625 C Verschillende materialen Asymmetrische belasting Las- en boutverbindingen Eenvoudige formules niet langer bruikbaar 5
Basisidee Verdeel in kleine elementen Definieer in elk element randvoorwaarden Splits de uniforme krachten op in puntkrachten Los fysische vergelijkingen op in elk element Plak tenslotte alles terug samen Basisidee Analyse van: Spanningen Rekken Verplaatsingen Temperaturen Wrijving Lassen Gasstroming Turbulentie 6
Definitie The finite element method is a computer-aided mathematical technique for obtaining approximate numerical solutions to the abstract equations of calculus that predict the response of physical systems subjected to external influences Burnett, 1988 D.S Burnett, Finite Element Analysis From Concept to Applications, 1988 O.C. Zienkiewicz en R.L. Taylor, The Finite Element Method, Volume 1,2 en 3, 1991 R.D. Cook, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 1989 K.J. Bathe, Finite Element Procedures, 1996 D.R.J. Owen en E. Hinton, Finite Elements in Plasticity, 1982 EEM is een benaderende oplossing De nauwkeurigheid van de resultaten kan in principe onbeperkt opgedreven worden, maar Technische beperkingen: computerkracht Economische factor: tijd Kwaliteit van de input: materiaalgegevens, belastingen, Bepaalde vereenvoudigingen dienen gemaakt te worden Introductie van modelleerfouten De taak van de ontwerpingenieur is deze fouten te minimaliseren. Dit vereist ervaring en een grondige kennis van de theorie van EEM! 7
EEM lost algebraïsche vergelijkingen op Dit kunnen differentiaal-, integraal-, variationele, integrodifferentiaal vergelijkingen zijn die de onderliggende fysische wetmatigheden beschrijven Elasticiteit: σ = Eε Plasticiteit: dε 1 /σ 1 = dε 2 /σ 2 = dε 3 /σ 3 = dλ Warmte-overdracht door geleiding: dt/dt = a d 2 T/dx 2 Warmte-overdracht door straling: E = σt 4 Stromingsenergie van een vloeistof: E = ½ ρv 2 + ρgz + p Alle fysische processen die beschreven kunnen worden via analytische wetten kunnen (in principe) gemodelleerd worden! EEM wordt toegepast op een fysisch systeem Dit kunnen zowel vaste stoffen, vloeistoffen als gassen zijn, en combinaties van deze Sterkteberekeningen op mechanische constructies Vormgevingsprocessen Breuk en faalmechanismen Thermische en elektromagnetische systemen Stroming en diffusie van gassen en vloeistoffen Akoestiek, trillingen en schokanalyses Quantummechanische fenomenen Alle macroscopische fysische systemen kunnen (in principe) gemodelleerd worden! 8
EEM modelleert externe invloeden De aard van deze invloeden definieert de aard van het probleem. EEM is geschikt voor Randvoorwaardeproblemen: geen tijdsafhankelijkheid statische krachten (verplaatsingen bij mechanische problemen, temperatuur bij stationair warmtetransport, vloeistofsnelheden bij stationaire stroming, ) Beginvoorwaardeproblemen: tijdsafhankelijke krachten en/of randvoorwaarden (vormgevingsprocessen, crash test, turbulente stroming, ) Eigenwaardeproblemen: onafhankelijk van externe krachten (trillingen, knikanalyse, laminaire stroming, ) Oplossingsmethode wijzigt naargelang het beschouwde probleem Praktische werkwijze van een EEM analyse 3 fazen Pre-processing fase Processing fase Post-processing fase 9
Pre-processing fase 1. Modellering van de geometrie (CAD) 2. Assemblage van de verschillende onderdelen 3. Input van de materiaalgegevens 4. Definiëren van het probleem 5. Interacties tussen verschillende componenten definiëren 6. Aanbrengen van randvoorwaarden 7. Aanbrengen van externe krachten 8. Elementkeuze en vermazing Illustratie: drukvat op trailer Realiteit Maximale interne druk 3 bar Al constructie Knikgevaar 10
Stap 1&2: Modellering van geometrie en assemblage Stap 3: Input van de materiaalgegevens Elasticiteitsmodulus Densiteit Plastisch gedrag Thermische eigenschappen Elektrische eigenschappen. 11
Stap 4&5: Definitie van het probleem en interacties Definiëren van lassen, boutverbindingen, contactzones, wrijving e.d. Statische sterkteberekening Stap 6&7: Aanbrengen van randvoorwaarden en belastingen Gewicht (zwaartekracht) Interne druk Symmetrie Bevestiging op chassis 12
Stap 8: Elementkeuze en vermazing 2D kwadratische shell elementen Combinatie gestructureerde/gesweepte mesh Elementgrootte: 4 x plaatdikte Processing fase Verloopt volledig automatisch Systeemvergelijkingen worden opgelost (eventueel kan aangegeven worden hoe de vergelijkingen opgelost dienen te worden) Tijdsduur afhankelijk van: Aantal en soort elementen Soort analyse Lineair of niet- lineair materiaalgedrag Aanwezigheid van contact, 13
Post-processing fase Analyse van relevante systeemeigenschappen Spanningen Verplaatsingen en rekken Energieën Temperatuur Elektromagnetische velden Stroming Manipulatie van berekende gegevens Post-processing Evaluatie van lassen en plaatdiktes 14
Illustratie: buishydroforming Buishydroforming: typische toepassingen 15
Hydroformen van een Y-stuk Relevante parameters Hoogte van de protrusie Afrondingsstralen Helling van de protrusie Minimale vereiste wanddikte Optimaliseren van Inwendige druk Axiale kracht Matrijsgeometrie Stap 1: Modellering van geometrie Buis: Lengte Diameter Wanddikte Matrijs (onvervormbaar) Protrusie Afronding Counterpunch 16
Stap 2: Assemblage Stap 3: Input van de materiaalgegevens σ true = σ (1 + e) ε true = ln(1 + e) Elasticiteitsmodulus E Coëfficiënt van Poisson ν Plastisch gedrag (ware rekken en spanningen!) Densiteit ρ 17
Stap 4: Definitie van het probleem (oplossingsmethode) Dynamisch Niet-lineair materiaalgedrag Expliciete oplossingsmethode Stap 5: Interacties vastleggen Wrijving tussen matrijs en buis Coulomb wrijving µ = 0.1 18
Stap 6: Aanbrengen van randvoorwaarden Matrijs fixeren Buisuiteinden aansturen Sturing van de counterpunch Stap 7: Aanbrengen van de belasting Inwendige druk 19
Stap 8: Elementkeuze en vermazing Buis: kwadratische 2D quads Matrijs: lineaire 3D tets Uiteindelijke simulatie 20
Von Mises spanningen Verplaatsingen 21
Wanddikte Vervormingsenergie 22
Lineaire elastische analyse: trailer Bron: wtbk.org Warmteontwikkeling: actuator Bron: wtbk.org 23
Dynamisch gedrag: crash test Bron: Oak Bridge National Laboratory Bron: LS-Dyna Vormgeving: plooioperatie op buis Bron: wtbk.org 24
Knik: eigenmodes van een buis onder torsie Bron: wtbk.org Luchtstroming door convectie: gloeilamp Bron: Comsol 25
Akoestiek: knalpot Bron: Comsol Elektromagnetisme: signatuur van een duikboot Bron: Comsol 26
Airbag Bron: LS-Dyna 27