10 Eindige Elementenmethode

Transcriptie

1 10 Eindige Elementenmethode In Autodesk Inventor Professional 10 is voor het berekenen van spanningen en vervormingen opgenomen de Eindige Elementen Methode (EEM). De EEMfaciliteiten zijn gebaseerd op het EEM-pakket ANSYS. Op het benutten van dit gereedschap in Inventor zal kort worden ingegaan. Laten we het onderwerp Eindige Elementen Methode beginnen met een stelling: EEM is een gevaarlijk stuk gereedschap voor niet-deskundigen Met een niet-deskundige wordt bedoeld iemand die weinig kennis heeft van spanningen en vervormingen in belaste constructie-onderdelen. De werkwijze bij EEM (in het Engels Finite Element Analysis, ofwel FEA) is: a. Invoeren: Materiaaleigenschappen; Geometrie; Elementtype; Ondersteuning en belasting. b. De spanningen en vervormingen berekenen. c. De resultaten interpreteren. De keuze van het elementtype hangt af van de constructie. De volgende opsomming van elementtypes heeft een oplopende moeilijkheidsgraad met betrekking tot het modelleren en het interpreteren van de resultaten: 1. staafelement voor vakwerken (een element dat alleen normaalkrachten doorvoert); 2. balkelement voor raamwerken (een element dat normaalkrachten, dwarskrachten en momenten doorvoert); 3. plaatelementen voor platen die alleen belast worden in het vlak van de plaat (vlakspanningselementen); 4. elementtypes voor platen, die ook loodrecht op de plaat worden belast; 5. axiaal symmetrische elementen voor axiaal symmetrische constructies, belasting en ondersteuning; 6. schaalelementen; 7. 3D-elementen. In Autodesk Inventor Professional is alleen een 3D Solid element opgenomen, dus een elementtype van de laatst genoemde groep. Zoals voor alle berekeningssoftware geldt, is het een goede zaak om te beginnen met het vertrouwd raken met de software door een paar voorbeelden in te voeren waarvan de resultaten kunnen worden geverifieerd met op een andere wijze verkregen berekeningsresultaten. Dit gaan we ook hier doen.

2 Voorbeeld 10.1 Resultaten EEM verifiëren met de buigbalktheorie Voor het behandelen van de acties die we moeten uitvoeren bij een EEM-onderzoek doet het er niet toe of we een eenvoudig of een complex onderdeel nemen. We gaan EEM toepassen op een ingeklemde balk belast op buiging. Voor zo n constructieonderdeel is een balk-element het meest geschikt. In Inventor-EEM is dit elementtype echter niet opgenomen en daarom passen we het enige wel beschikbare elementtype toe, namelijk het 3D Solid element. File New: Standard.ipt Modelleer een balk: een rectangle van 1000 breed en hoogte 100, extrusion distance 10. Via de kop van de kop van de Panel Bar overschakelen van Part Features op Stress Analysis, figuur Figuur 10.1 Van het Panel Part Features overschakelen naar het Panel Stress Analysis Figuur 10.2 Een inklemming aanbrengen in vlak A en een kracht op het eindvlak B

3 Als er voor het onderdeel nog geen materiaalsoort is ingevoerd bij het modelleren, dan verschijnt een dialoogbox waarin u alsnog een materiaal kunt invoeren, kies Steel. Isometric View Stress Analysis Panel Fixed Constrained Klik het vlak A, figuur 10.2 (het inklemvlak, eventueel inzoomen en hidden edge display toepassen) Stress Analysis Panel Force Klik het vlak B, figuur 10.2 In de dialoogbox Edit Force, figuur 10.2, de Meer-knop klikken. Activeer hierin Use Components Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Browser Results Equivalent Stress Figuur 10.3a verschijnt met daarin afgebeeld de vergelijkspanning σ von Mises Browser Results Deformation Figuur 10.3b verschijnt met daarin afgebeeld de vervormingen Figuur 10.3 De vergelijkspanningen en de vervormingen

4 Figuur 10.4 Overschakelen van Stress Analysis naar Modal Analysis en de elementenverdeling Modal Analysis In plaats van spanningen en vervormingen berekenen met Stress Analysis kunnen met Modal Analysis eigenfrequenties en daarbijbehorende trillingsvormen worden berekend. Stress Analysis Panel Stress Analysis Settings Wijzig Stress Analysis in Modal Analysis Met Preview Mesh wordt de elementenverdeling getoond, figuur 10.4 Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Figuur 10.5 De eerste drie eigentrillingsvormen in de z-richting

5 Browser Results Modes Frequency Mode 1 in Range Figuur 10.5a toont de eigentrilling met de kleinste eigenfreqentie (de grondtoon van een stemvork ). Browser Results Modes Frequency Mode 2 in Range Figuur 10.5b toont de eigentrilling met de op één na kleinste eigenfreqentie (de eerste boventoon van een stemvork ). In figuur 10.5 zijn getoond de trillingsvormen in de richting van de kleinste afmeting van de balk (d=10 mm), in het model de z-richting. De trillingsvorm horend bij mode 3 is in deze figuur niet getoond, dat is de trillingsvorm met de laagste eigenfrequentie, 83 Hz, in de y- richting (h=100 mm). U kunt een animatie van de trillingen realiseren. Stress Analysis Panel Animate Results Met name is een animatie van de trillingsmode 5 interessant omdat dat een torsietrilling betreft. EEM-resultaten vergelijken met de buigbalktheorie Uit de buigbalktheorie 1 volgt voor een ingeklemde balk met een kracht F op het uiteinde: Met 2 max. verplaatsing = waar 1 bh 3 FL 3EI I = 3, W b 12 0, 5 h FL, max.vergelijkspanning =, W b I =, υ = massa per lengte-eenheid f 2 1 λn = 2π l n 2 EI υ λ 1 =1.87, λ 2 =4.69, λ 3 =7.85, υ=0,00785 kg/mm geeft dit de in tabel 10.1 getoonde resultaten. Stress Analysis Modal Analysis balk maximale maximale verplaatsing vergelijkspanning f 1 f 2 f 3 EEM 1,9 mm 60 MPa 8,4 Hz 53,1 Hz 149,2 Hz theorie 1,9 mm 60 MPa 8,3 Hz 52,3 Hz 146,5 Hz Tabel 10.1 EEM-resultaten vergeleken de resultaten van de buigbalktheorie Rechthoekige balk wijzigen in een buis Bij het wijzigen van de rechthoekige balk in een buis verandert in de balkbuigtheorie alleen de formule voor het kwadratisch oppervlaktetraagheidsmomemt. 1 Polytechnisch zakboekje PBNA 2 Flügge, Handbook of Engineering Mechanics

6 In EEM neemt het aantal 3D Solid elementen toe en derhalve de rekentijd. In figuur 10.6 is de elementenverdeling getoond van de buis met lengte 1000 mm, uitwendige diameter 200 mm en inwendige diameter 180 mm. Bij de standaardinstelling worden dan 2881 elementen aangebracht. Figuur 10.6 EEM toegepast op ingeklemde buis In tabel 10.2 zijn de resultaten van de stress analysis getoond voor dezelfde ondersteuning en belasting als voor de rechthoekige balk. Voor het aanbrengen van de kracht F y =-1000 N is het eindvlak van de buis geselecteerd waardoor de kracht gelijkmatig wordt verdeeld over het geselecteerde oppervlak. Stress Analysis buis maximale verplaatsing maximale vergelijkspanning EEM 0,059 mm 3,9 MPa theorie 0,059 mm 3,7 MPa Tabel 10.2 EEM en balktheorie vergeleken voor een holle buis De resultaten van de beide berekeningsmethode komen nog redelijk overeen ondanks het feit dat de verhouding L/D (=5) tamelijk klein is voor de geldigheid van de buigtheorie. Deze verhouding is gekozen om de elementenverdeling in figuur 10.6 redelijk te kunnen tonen.

7 Voorbeeld 10.2 Resultaten EEM verifiëren met dunwandige-cilinder-theorie We gaan de buis van het vorige voorbeeld met nu als enige belasting een inwendige druk p onderzoeken. De resultaten worden vergeleken met de dunwandige-cilinder-theorie. Op deze theorie zijn de ketelformules gebaseerd. Voor dit onderzoek is een axiaal symmetrisch element het meest geschikt, omdat de geometrie, de ondersteuning en de belasting axiaal symmetrisch zijn. In Inventor-EEM is dit elementtype echter niet opgenomen en daarom passen we weer het enige beschikbare elementtype toe: het 3D Solid element. Om met Inventor-EEM de spanningen in de cilinderwand te berekenen kan geen Fixed Constraint op een van de twee uiteinden van de buis worden toegepast, zoals in het vorige voorbeeld, omdat in Inventor alleen de maximale vergelijkspanning wordt gepresenteerd en deze tengevolge van de inklemming juist daar optreedt. Weliswaar worden met EEM ook de andere spanningen berekend maar Inventor laat deze niet aan de gebruiker zien. We moeten dus een andere ondersteuning toepassen. Omdat spanningen en vervormingen onafhankelijk van de lengte zijn, doet het er niet toe welke lengte we voor de cilinder nemen. Om het aantal elementen en dus de rekentijd te beperken wordt een lengte genomen die gelijk is aan de dikte van de cilinderwand. Opgemerkt wordt dat de berekening ook betrekking heeft op het oprekken van de diameter van een ring. File New: Standard.ipt Modelleer een cilinder: uitwendige diameter 200 mm, inwendige diameter 180 mm en lengte 10. Materiaal: Steel Via de kop van de kop van de Panel Bar overschakelen van Part Features naar Stress Analysis. Stress Analysis Panel Pressure Isometric View Klik de binnenwand en voer in een druk van 10 MPa. Stress Analysis Panel Frictionless Constraint Klik van de cilinder de vlakke bovenkant. Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Figuur 10.7 Te weinig constraints ingevoerd

8 Na afloop van de berekeningen verschijnt de dialoogbox Stress Analysis Feedback, figuur De ingevoerde Frictional Constraint houdt in dat de bovenkant van de cilinder niet in axiale richting kan verplaatsen maar nog wel in zijn eigen vlak. We hadden dus meer constraints moeten aanbrengen. Uit de resultaten blijkt dat de constraints die Inventor-EEM heeft toegevoegd juist de gewenste zijn. Figuur 10.8 De vervormingen en de vergelijkspanningen In figuur 10.8 zijn getoond de spanningen en de vervormingen (Browser Results Equivalent Stress en Deformation). In dit geval is de vergelijkspanning σ von Mises gelijk aan σ φ, de normaalspanning in de omtreksrichting en de vervorming gelijk aan R, de toename van de straal. EEM-resultaten vergelijken met de dunwandige-cilindertheorie Volgens de dunwandige-cilinder-theorie 3 is Met 2 R R σ ϕ = p R = p t Et R=95 mm, t=10 mm (de dikte van de cilinderwand), E= MPa en p=10 MPa geeft dit tabel 10.3 getoonde resultaten. Stress Analysis buis R σ vonmises (= σ φ ) EEM 0,043 mm 105 MPa theorie 0,043 mm 95 MPa 3 Holzmann, Technische Mechanik, Teil 3 Festigkeitslehre

9 Tabel 10.3 Vervorming en vergelijkspanning in een op een inwendige druk belaste buis Voorbeeld 10.3 We gaan de spanningen in het onderdeel van figuur 10.9 onderzoeken. De ondersteuning en belasting van het onderdeel is zodanig dat een vlakspanningselement geschikt is. Echter Inventor-EEM heeft alleen een 3D Solid element. Door dit elementtype worden in de richting van de dikte onnodig drie of vier lagen elementen aangebracht, zie figuur File New: Standard.ipt Modelleer het onderdeel: lengte 60 mm, breedte 20 mm en dikte 10 mm, zie figuur 10.9b. Materiaal: Steel Via de kop van de kop van de Panel Bar overschakelen van Part Features naar Stress Analysis. Isometric View Stress Analysis Panel Fixed Constrained Klik het vlak A, figuur 10.9b (het inklemvlak, eventueel inzoomen en hidden edge display toepassen) Stress Analysis Panel Force Klik het vlak B, figuur 10.9b In de dialoogbox Force via de Meer-knop activeren Use Components en invoeren F y =-1000N en de andere twee componenten 0 N. In plaats van de kracht via het vlak B aanbrengen hadden we ook kunnen kiezen voor lijn ab van vlak B of voor hoekpunten van dit vlak. Het kan dan voorkomen dat de contactspanningen tengevolge van de kracht groter zijn dan de spanningen in hoek C. Omdat Inventor-EEM alleen de maximale vergelijkspanning toont kunnen dan de spanningen in de hoek C niet worden onderzocht. Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Browser Results Equivalent Stress Browser Results Deformation De resultaten van deze berekening staan in de eerste rij van tabel 10.4.

10 Geen afronding Maximale vergelijkspanning Maximale deformatie Mesh Relevance Mpa 0.13 mm Result Convergence uit Mesh Relevance MPa 0.13 mm Result Convergence uit Mesh Relevance 0 zie figuur (260.5 MPa) (0.13 mm) Result Convergence aan Mesh Relevance 100 Result Convergence aan zie figuur (328,2 MPa) (0.13 mm) Tabel 10.4 De EEM-resultaten met geen afronding in de hoek met de grootste vergelijkspanning Figuur 10.9 a) Mesh Relevance aanpassen, b) Mesh Relevance 0, c) Mesh Relevance 100 Mesh Relevance Als meteen na het invoeren van de belasting en de ondersteuning wordt overgegaan naar Stress Analysis Update dan bepaalt Inventor de elementenverdeling. De elementenverdeling (de mesh) kunt u beïnvloeden door Stress Analysis Panel Stress Analysis Settings Met de schuifbalk bij Mesh Relevance kunt u op een schaal van -100 tot 100 de elementenverdeling verkleinen of vergroten. Met Preview Mesh wordt de elementenverdeling getoond, figuur 10.9 Stel de Mesh Relevance op 100 OK Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Browser Results Equivalent Stress

11 Browser Results Deformation De resultaten van deze berekening staan in de tweede rij van tabel Result Convergence Inventor kan de elementenverdeling in een gebied rondom de maximale vergelijkspanning verfijnen. Stress Analysis Panel Stress Analysis Settings Vink aan Result Convergence OK Stress Analysis Panel Stress Analysis Update Om te bepalen of de elementenverdeling fijn genoeg is, berekent Inventor-EEM meerdere keren de maximale vergelijkspanning en vergelijkt deze keer op keer. Zodra de maximale vergelijkspanning tussen twee runs minder dan 10% verschilt, wordt er gestopt. Als na vier verfijningen het verschil nog groter is dan 10% verschijnt een waarschuwingsdialoogbox, figuur Deze dialoogbox verschijnt in dit voorbeeld zowel bij Mesh Relevance 0 als bij 100, zie de laatste twee rijen van de tabel De resultaten van de laatste run kunnen nog worden opgeroepen via Results in de browser en zijn in tabel 10.4 tussen haken geplaatst. Figuur Foutmelding als na vier elementenverfijningen de maximale vergelijkspanning tussen de laatste twee runs nog groter is dan 10% Een afronding aanbrengen Uit tabel 10.4 blijkt dat er niet goed is gemodelleerd. In Error Message wordt terecht gesuggereerd een afronding aan te brengen. Ook zal in de werkelijkheid een bepaaalde afronding optreden. In het EEM-model moet deze dan ook worden opgenomen, tenminste als

12 er wordt verwacht dat daar grote spanningen optreden. Keer via de kop van de Panel Bar terug naar de Panel Bar Part Features Browser-contextmenu Extrusion Edit Sketch Breng een fillet van 2 mm aan, figuur Keer via de kop van de Panel Bar terug naar de Panel Stress Analysis Voer weer de vier Stress Analysis van tabel 10.4 uit. Er treedt nu bij Result Convergece aangevinkt geen foutmelding op. De resultaten van deze vier Stress Analysis staan in tabel Afronding r = 2mm Maximale vergelijkspanning Maximale deformatie Mesh Relevance Mpa 0.13 mm Result Convergence uit Mesh Relevance MPa 0.13 mm Result Convergence uit Mesh Relevance MPa 0.13 mm Result Convergence aan Mesh Relevance 100 Result Convergence aan MPa 0.13 mm Tabel 10.5 De EEM-resultaten met een afronding in de hoek met de grootste vergelijkspanning Orde van grootte contoleren met de buigbalktheorie Voor dit voorbeeld kunnen de EEM-berekeningen niet theoretisch worden geverifieerd. Wel kan met de buigbalktheorie nagegaan worden of de orde van grootte van de resultaten goed is. Voor een ingeklemde lange, onder 90 graden gebogen, balk met beide poten een lengte L is (met L=50 mm) 4FL FL f max = = mm σ vonmises, max = = 75 MPa 3EI I / h / 2 De maximale verplaatsing van 0.12 mm in het uiteinde met de kracht F klopt goed. Het was te verwachten dat de maximale vergelijkspanning niet goed overeenkomt, omdat in de buigbalktheorie wordt aangenomen dat een doorgevoerd moment leidt tot een lineaire normaal spanningsverdeling in die doorsnede en dat is hier zeker niet het geval met doorsneden door het hoekpunt. Volgens empirische kerftheorieën is in zo'n doorsnede de maximale normaal spanning ongeveer driemaal zo groot en dat klopt aardig met het EEMresultaat. Is het EEM-gereedschap in Inventor Professional geschikt voor niet-specialisten? De behandelde voorbeelden geven slechts een beperkt beeld van wat mogelijk is met EEM. Met EEM kunnen bijvoorbeeld ook spanningen ten gevolge van temperatuurverschillen en van niet-lineair elastisch gedrag worden onderzocht. Dit is niet mogelijk met de in Inventor opgenomen EEM-faciliteiten.

13 EEM komt in grote lijnen neer op: 1. De stijfheidsmatrix van een element vastleggen. De elementstijfheidsmatrix legt, vanuit de spanning-rek-relaties (wet van Hooke), vast de relatie tussen de krachten en de verplaatsingen in de knooppunten van het element (doorgaans de hoekpunten van het element). Voor ieder elementtype is de elementstijfheidsmatrix anders. Voor het meest eenvoudige element, een staafelement, is de elementstijfheidsmatrix in een 2Druimte een 2*2-matrix. 2. Met gebruikmaking van de de elementstijfheidsmatrix de stijfheidsmatrix S van het gehele constructie-onderdeel te bepalen door - krachtenevenwicht op ieder knooppunt toe te passen - te eisen dat de knooppunten door de verplaatsingen aan elkaar blijven verbonden. In het geval van een Stress Analysis worden bij een gegeven belasting F en ondersteuning de verplaatsingen u berekenend uit het stelsel lineaire vergelijkingen Su=F (voor een simpele constructie zijn dit bij het 3D Solid element van Inventor-EEM al snel duizenden vergelijkingen). In het geval van een Modal Analysis worden van S de eigenwaarden berekend. Bij iedere eigenwaarde hoort een eigenfrequentie en trillingsvorm. Bij het berekenen van de eigenwaarden wordt een iteratieve berekeningsmethode toegepast waarbij begonnen wordt met het berekenen van de kleinste eigenwaarde, daarna de op één na kleinste en zo voort. Een kenner van EEM zal het bovenstaande kunnen beamen, een niet-kenner zal er weinig aan hebben. Voor het toepassen van EEM is dat ook niet nodig. Voor een EEM-toepasser is veel belangrijker dat hij bereid is om met behulp van de formules uit de lineaire elasticiteitstheorie en de daarin gebruikelijke aannames betreffende spanningsverdelingen een orde van grootte van de spanningen en de vervormingen te bepalen om daarmee tot op zekere hoogte de EEMresultaten te verifiëren. In Inventor Professional is het werken met EEM simpel gehouden waardoor het een toegankelijk gereedschap voor een ontwerper is geworden. De gebruiker hoeft zich geen zorgen te maken over welk elementtype het meest geschikt is, want Inventor-EEM heeft slechts één elementtype. Ook de elementenverdeling kan nauwelijks door de gebruiker worden beïnvloed. De mogelijkheden van ondersteuning en belasting op het model zijn beperkt. Vooral de output is zeer summier gehouden. De berekende normaal en schuifspanningen in een element worden getransformeerd naar de vergelijkspanning σ von Mises, ook wel de ideële spanning genoemd of in Inventor de Equivalent Stress. Alleen de waarde van de maximale vergelijkspanning en van de maximale verplaatsing worden verstrekt. Waar deze optreden moet aan de hand van plaatjes met isolijnen worden vastgesteld. Alle andere berekeningsresultaten worden voor de gebruiker verborgen gehouden. Voor een ontwerper is deze beperkte output doorgaans voldoende. Voor een onderzoeker niet. Voor een niet-deskundige zijn de EEM-faciliteiten van Inventor bruikbaar mits zijn houding tegenover de verkregen resultaten kritisch is. Deze kritische houding is nodig, niet omdat EEM fouten zou maken, maar omdat de EEM-invoer van een niet-deskundige vaak niet correct is. Of zoals een Delft s hoogleraar ooit stelde: 'Een eindige-elementenanalyse is per definitie fout mits je tot bepaalde hoogte kan aantonen dat het kan kloppen.'

14