Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de stationsklokken af terwijl Ingrid haar horloge afleest. Welk soort tijdinterval meten Henk en Ingrid? Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron C. Eigentijd D. Ruimtetijd
Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de stationsklokken af terwijl Ingrid haar horloge afleest. Welk soort tijdinterval meten Henk en Ingrid? Ingrid meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron C. Eigentijd D. Ruimtetijd
Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de stationsklokken af. Hij meet een coördinaattijdinterval. Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron
Lichtklok We beschouwen een zgn. lichtklok spiegel De lichtklok bestaat uit twee spiegels waartussen een lichtpuls heen en weer kaatst. De tijd wordt gemeten door bij een van de spiegels het aantal reflecties te tellen. spiegel Als de klok in rust is in een inertiaalstelsel dan is het tijdverschil tussen twee reflecties een ruimtetijdverschil. telmechanisme De tijd tussen twee reflecties bedraagt dan: s = L c ofwel: s = L
De metrische vergelijking Beschouw vanuit het Home Frame een lichtklok die in rust is in het Other Frame. De klok is loodrecht op de x -as opgesteld. Beschouw twee gebeurtenissen A en B: twee opeenvolgende reflecties bij de onderste spiegel. De tijd tussen deze gebeurtenissen in het Other Frame is: In het Other Frame is dit een ruimtetijdverschil, dus: x L s = L x t = L c = L In het Home frame wordt tussen de gebeurtenissen A en B het volgende tijdverschil gemeten: t = L + x c = L + x = 4L + x t = 4L + x s = t x t = s + x
Metrische vergelijking s = t x Snelheid van het Other Frame t.o. v. het Home Frame is willekeurig. De relatie geldt voor willekeurig welke twee intertiaalstelsels. s = t x = t x Het ruimtetijdverschil tussen twee gebeurtenissen is hetzelfde in alle inertiaalstelsels! Het ruimtetijdverschil is een zgn. Lorentzinvariant.
Loodrechte verplaatsing Bij de afleiding van de metrische vergelijking is er van uitgegaan dat L (de lengte van de lichtklok dwars op de bewegingsrichting) in het Home Frame hetzelfde is als in het Other Frame. Is dit wel zo? Als coördinaatverschillen tussen gebeurtenissen afhangen van de keuze van het intertiaalstelsel, zou dan de lengte van een staaf wel alle stelsels hetzelfde zijn? Beschouw twee staven die elkaar op kleine afstand passeren (bij beweging dwars op de lengte van de staven) in de x-, resp. x -richting. z A z B z z A B x x y y x x y y Stel dat de staven verfspuitjes hebben op 1 meter onderlinge afstand.
Loodrechte verplaatsing Bekijk de zaak nu vanuit het Home Frame (staaf A in rust). z z A B Als staaf B bij beweging bijv. zou krimpen, dan zouden de verfstrepen op staaf A binnen de spuitmonden komen en op staaf B buiten de spuitmonden. Bekijk de zaak nu vanuit het Other Frame (staaf B in rust). Op grond van het relativiteitsbeginsel zou nu staaf A moeten krimpen. Dit betekent dat dan de verfstrepen op staaf A buiten de spuitmonden komen en op staaf B binnen de spuitmonden. Dit is strijdig met elkaar. Na afloop zitten de verfstrepen op staaf A en staaf B ergens. Dit kan niet afhangen van het stelsel waaruit we de zaak bekeken hebben. Strijdig, dus de aanname dat een bewegende staaf krimpt is onjuist. M.a.w. de lengte van de lichtklok in de richting dwars op de beweging is L. L = L, hetzelfde in beide stelsels. x x y y
Metrische vergelijking Voor afstandsverschillen tussen twee gebeurtenissen geldt dus ook y = y en z = z. De metrische vergelijking: s = t x = t x kan dan worden uitgebreid naar drie ruimtelijke dimensies: s = t x y z = t x y ( z ) of wel: s = t d = t d Δd Δz Pythagoras in drie dimensies: d = x + y + z Δx Δy
Enkele opmerkingen over meetkunde In het platte vlak geldt de Euclidische meetkunde, d.w.z. dat de stelling van Pythagoras van toepassing is. Afstanden kunnen worden berekend met de zgn. metriek: d = x + y De ruimtetijd is een voorbeeld van een niet-euclidische meetkunde. In de ruimtetijd geldt de zgn. Minkovsky meetkunde. De metriek wordt dan gegeven door: in drie dimensies: d = x + y + z s = t x in vier dimensies: s = t x y z Het ruimtetijd interval is in de Minkovsky ruimte (ruimte-tijd) het equivalent van wat de afstand is in de gewone Euclidische ruimte. Kenmerkend voor de Euclidische meetkunde is ook dat de stelling van Pythagoras van toepassing is. Bij een niet-euclidische meetkunde is in het algemeen niet het geval.
Aardoppervlak: gekromde tweedimensionale ruimte Een ander voorbeeld van een niet-euclidische meetkunde is de bijvoorbeeld de bolmeetkunde (b.v. op het aardoppervlak). De metriek is dan: d = R θ + R cos θ φ waarbij R de straal van de aarde is, en θ en φ resp. de breedte en de lengtegraad zijn. Rcosθ φ R Rdθ Omdat het om een gekromde ruimte gaat, geldt de metriek alleen voor kleine d. De stelling van Pythagoras is op het oppervlak van de aarde niet van toepassing.
Afstanden op aarde Als men een niet-euclidische meetkunde probeert weer te geven op het platte vlak (waarin de Euclidische meetkunde geldt) dan doet men de metriek geweld aan. a b Equidistante cylinderprojectie van het aardoppervlak op het platte vlak. Op het aardoppervlak is de niet-euclidische bolmeetkunde van toepassing. Bij weergave op het platte vlak zijn er dan vertekeningen in de afstand tussen twee punten. De breedte van Groenland is in werkelijkheid kleiner dan de breedte van Afrika. Doordat het boloppervlak op het platte vlak is weergegeven worden de afstanden niet goed weergegeven.
Afstand in het platte vlak en ruimtetijd in het platte vlak Als men een niet-euclidische meetkunde probeert weer te geven op het platte vlak (waarin de Euclidische meetkunde geldt) dan doet men de metriek geweld aan. Afstanden worden dan niet goed weergegeven. De verzameling van de punten die in het platte vlak (waarin Euclidische meetkunde geldt) dezelfde afstand tot oorsprong hebben, wordt gegeven door een cirkel.. De afstand tussen twee punten (gebeurtenissen) in het ruimtetijd diagram, waarin de Minkovsky meetkunde geldt, is niet proportioneel met s. De verzameling van de gebeurtenissen die (in de Minkovski ruimte) hetzelfde ruimtetijd interval met de oorspronggebeurtenis hebbben, wordt gegeven door een hyperbool.
Een test voor de metrische vergelijking wordt o.a. geleverd door het experiment van Frisch en Smith in 196. Hierbij worden de aantallen muonen ten gevolge van kosmische straling op een berg (Mount Washington, New Hampshire) vergeleken met de aantallen op zeeniveau (bij MIT, Cambridge, Massachusetts)
Muonverval Een muon in rust heeft een halfwaardetijd τ ½ = 1,5 μs. d.w.z.: het aantal muonen op tijdstip t wordt gegeven door: N t = N(0) 1 t τ ½ bijv.: Als t = 1,5 μs dan is N t = N(0)/, d.w.z. dat nog de helft van de muonen over is. Muonen worden hoog in de atmosfeer gevormd en komen met grote snelheid naar beneden: v = 0,994 Door Frisch en Smith werden op twee hoogtes de aantallen muonen gemeten.. Het hoogte verschil bedroeg d = 1907 meter. In SR eenheden: d = 1907 8 = 6,36 μs. De tijd die de muonen in het stelsel van de aarde nodig hebben om deze afstand te overbruggen is: t = d v = 6,36 0,994 Als we deze tijd gebruiken om het aantal muonen te berekenen dat bij het aardoppervlak nog aanwezig is dan vinden we: N t = N 0 1 6,40 1,5 = 6,40 μs. = N 0 1 d.w.z. dat het aantal muonen bij het aardoppervlak slechts 5,4% is van het aantal dat op een hoogte van 1907 meter wordt gemeten. Frisch en Smith vonden echter 7%! 4,1 = 0,054 N 0 3 10
Muonverval Nu doen we een relativistische berekening, waarbij we in rekening nemen dat tijdverschillen in verschillende inertiaalstelsels niet hetzelfde zijn. In het ruststelsel van de muonen geldt voor het (coördinaat)tijdinterval tussen ontstaan en verval van het muon: t = s x = 0. s = t x = t x = 6,40 6,36 = 0,51 = 0,71μs Tijdinterval tussen ontstaan en verval in het stelsel van de aarde Tijdinterval tussen ontstaan en verval in het stelsel van de aarde D.w.z. t = 0,71 μs Gebruiken we deze tijd in de vervalswet: N t = N(0) 1 0,71 0,47 1 1,5 1 Men vindt: N t = N 0 = N 0 = 0,7 N(0) 7% van de muonen zou nog aanwezig moeten zijn! Dit is in overeenstemming met het experiment. Het coördinaattijdverschil in het stelsel van de aarde is anders dan in het stelsel van het muon. Dat laatste is bepalend. Het is een uniek stelsel m.b.t. het muon. t τ ½