Panama Praktijktip nummer 0 De gulden rechthoek M. Kindt Freudenthal Instituut, Uniersiteit Utrecht Neem uw giropas en chippas (of ander pasje met dezelfde afmetingen) en leg die op de olgende manier tegen elkaar (fig.). giropas figuur Leg een liniaal langs de diagonaal an de giropas (an links onder naar rechts boen). U kunt nu iets bijzonders constateren, namelijk dat de lijn door de liniaal bepaald, precies door het hoekpunt (rechts boen) an de chippas gaat. Dat heeft alles te maken met de erhouding tussen lengte en breedte an de rechthoek die met de giropas of creditcard of treinabonnement of... correspondeert. Bij twee identieke rechthoeken met een andere erhouding an lengte en breedte gaat die lieger niet op (fig.). figuur De orm an een rechthoek kan worden gekarakteriseerd door het quotiënt lengte : breedte. We noemen dit het ormgetal an de rechthoek. figuur Het ormgetal an een ierkant is. Het ormgetal an een krantenpagina (hetzij A, hetzij A) is ongeeer chippas,44. Hoe zit het nu met het ormgetal an een rechthoek die de diagonaaleigenschap an de giropas heeft? Stel de breedte an die rechthoek en het ormgetal (fig.). De rechthoek die om de twee grijze rechthoeken past heeft dan de breedte en de lengte +. Uit de diagonaal eigenschap olgt dat de omhullende rechthoek gelijkormig is met de twee grijze rechthoeken. Daaruit olgt: + ----------- = Vermeniguldiging an beide leden met geeft: en hieruit kan de waarde an worden berekend. Het ergt geen timmermansoog om te zien dat die waarde wel ergens tussen en zal liggen. Een wat proberen:, + =, en, =,. Jammer, het wijkt teeel af. Tweede poging,6 + =,6 en,6 =,6. Dat is al een stuk beter. Voor wie een exacte uitkomst wil, zit er niets anders op dan het oplossen an de boenstaande tweede-graadsergelijking in. In de schoolboekjes oor het oortgezet onderwijs is daartoe een formule te inden, maar het lukt bijoorbeeld ook zo: Stel nu dat m het getal is dat precies midden tussen en ligt. Dan geldt = m + -- en = m -- en dus Hieruit olgt dan m 4 -- = dus m 4 -- = = -- : Kortom: = -- + -- ~ 6, De golden ratio + = + = ( m + -- ) m -- = ( ) = ( ) = Het zojuist berekende getal, wordt wel de golden ratio (gulden erhouding) genoemd. De rechthoek, waaran lengte en breedte zich erhouden als :, staat bekend 46
als de gulden rechthoek. Sommige belogen auteurs, zoals. Fra Liuca Paciola, tijdgenoot en riend an Leonardo da Vinci, spreken an de goddelijke rechthoek. Deze rechthoek lijkt oeral op te duiken in de beeldende kunst en de architectuur, maar de mythen rond de gulden erhouding (ook wel gulden-snede-getal) moeten met een flinke korrel zout worden genomen (Van der Schoot, 99). In de wiskunde speelt de gulden erhouding op erschillende plaatsen wel degelijk een prominente rol. In een eerdere jaargang an dit tijdschrift belichtte E. de Moor (9) ooit de rol an het gulden-snede-getal bij de regelmatige ijfhoek en de daarin beschreen ijfpuntige ster. In dit stukje beperken we ons tot de gulden rechthoek. Een andere manier om die te introduceren is de olgende. Ga uit an een willekeurige rechthoek (in de figuur grijs) en plak aan de langste zijde daaran (buitenwaarts) een ierkant. Er ontstaat zo een nieuwe, grotere rechthoek (zie A; fig.4). A figuur 4 Gaan we uit an een smalle rechthoek A (met een ormgetal groter dan ), dan zien we bijna in één oogopslag, dat de grote rechthoek een kleiner ormgetal heeft dan die an A. Bij rechthoek B is het juist omgekeerd; het ormgetal an B is kleiner dan die an de grote rechthoek. Zal er nu een tussenrechthoek () bestaan waaran het ormgetal gelijk is aan dat an de grote rechthoek? Een retorische raag natuurlijk, denk maar aan de giropas! figuur Het komt er dus op neer dat als we aan de lange zijde an een gulden rechthoek een ierkant plakken er weer een gulden rechthoek ontstaat. Dit is een karakteristieke eigenschap an de gulden rechthoek (fig.)! De rij an Fibonacci We gaan uit an een ierkant an bij en plakken daar een ierkant aan ast; er ontstaat nu een rechthoek an bij. Plakken we aan de lange zijde daaran weer een ierkant ast, dan krijgen we een rechthoek an bij. Herhalen we deze handelwijze, dan komt er een rechthoek an bij, enzooort. B Het opmerkelijke is nu dat de zo ontstane rechthoeken steeds beter op een gulden rechthoek gaan lijken. Voor een erklaring hieran, letten we eerst op de lange zijden an de rechthoeken. Die zijn achtereenolgens,,,,,,... (fig.6). figuur 6 Sommige lezers zullen hier de getallen an Fibonacci in herkennen. De wet olgens welke deze rij kan worden oortgezet is snel duidelijk aan de hand an figuur 6: elk getal is precies de som an zijn twee oorgangers. De ormgetallen an de serie rechthoeken (ofwel de quotiënten an opolgende getallen in de rij an Fibonacci) zijn achtereenolgens (fig.7). -- -- =,, -- = 6, -- 667 ----- =, 6 -----, 6 figuur 7 Het lijkt er inderdaad op dat deze quotiënten steeds dichter bij het gulden-snede-getal komen. Met een grafische rekenmachine kunnen we razendsnel deze rij uitkomsten en het erolg daarop inden met behulp an de Ans(wer)toets. Dat gaat zó. Startend met de beginwaarde, toetsen we de herhaalformule + / Ans in. Na tien keer enter komt er.67977 op het scherm, na nog eens tien keer komt er.609, en een later zien we geen erandering meer op het scherm, het blijft.6099, dat is de benadering an het gulden-snedegetal in negen decimalen. De erklaring an dit trucje berust weer op algebra. Als het ormgetal is an een rechthoek, dan is het ormgetal an de rechthoek die na aanplakken an het ierkant ontstaat gelijk aan + ----------- = + -- jaargang herfst 006 47
De rekenmachine suggereert dat de uitkomsten conergeren naar een zeker getal en als we hier aannemen dat dit inderdaad zo is, zal dat getal moeten oldoen aan: = + -- met als oplossing de golden ratio. Het bewijs an de conergentie laten we hier achterwege. Wel merken we nog op dat welke rechthoek ook als startpunt gekozen wordt, het herhaald ierkant-aanplak-proces na enige stappen een goede benadering an de gulden rechthoek geeft. Op het internet is er an alles oer the golden ratio te inden, maar oor wie een aardig boekje oer het onderwerp erkiest, erwijzen we naar Kleijne & Konings (000). Literatuur Schoot, A. an der (99). De ontstelling an Pythagoras, Kampen: Kok Agora. Moor, E. de (9). De gulden snede en het Gildeglas. Panama- Post, 6(), 70-7. Kleijne, W. & T. Konings (000). De Gulden Snede. Utrecht: Epsilon uitgaen. 4
Panama Praktijktip nummer 0 De gulden rechthoek Twee ierkanten, hoe erschillend an grootte ook, zijn gelijkormig. Dat wil zeggen dat je het ene ierkant met een zekere factor kunt ergroten of erkleinen om hem identiek te maken met de andere. Voor twee rechthoeken geldt dat niet. Er zijn smalle rechthoeken en bijna-ierkante rechthoeken. In de wiskunde wordt trouwens een ierkant ook als (bijzondere) rechthoek bestempeld. De orm an een rechthoek wordt bepaald door de erhouding tussen lengte en breedte. Het quotiënt an lengte en breedte zullen we het ormgetal an de rechthoek noemen: ormgetal = lengte breedte Teken een rechthoek met ormgetal 4. Teken aan de buitenkant langs de lange zijde een ierkant. De rechthoek en het ierkant ormen nu samen een nieuwe rechthoek. Wat is het ormgetal an die nieuwe rechthoek? Teken een rechthoek en breidt die, net als in de orige opgae, met behulp an een ierkant uit tot een nieuwe rechthoek. Zorg er oor dat het ormgetal an de grote rechthoek groter is dan dat an de kleine rechthoek. Je oelt het misschien al aankomen: er zijn ook rechthoeken waarbij de met een ierkant uitgebreide rechthoek hetzelfde ormgetal heeft als de oorspronkelijke rechthoek. Stel het ormgetal an zo n speciale rechthoek. Laat zien dat oor dat ormgetal geldt: = +. 4 Omdat ormgetal te bepalen moet je dus een ergelijking oplossen. Daar is een formule oor, maar als je die niet meer zo precies weet, is hier een tip. Verang op de twee plaatsen in de ergelijking door w + -- en los w op uit de nieuwe ergelijking (alleen de positiee oplossing telt). Als je genoegen wilt nemen met een benadering an het ormgetal, bijoorbeeld in drie decimalen, kun je de ergelijking an de orige opgae ook met behulp an een rekenmachine oplossen. Doe dat en ergelijk je uitkomst met de exacte uitkomst. 6 Het getal dat je in de orige opgaen hebt geonden wordt de golden ratio ( gulden erhouding ) genoemd en een rechthoek met dat ormgetal is een gulden rechthoek. Gulden rechthoeken of bijna-guldenrechthoeken kom je oeral tegen in de architectuur en de schilderkunst. Misschien is het scherm an jouw grafische rekenmachine ook een gulden rechthoek. jaargang herfst 006 49
Giropas, chipkaart, treinabonnement..., lijken gulden rechthoeken (in de hoeken afgerond). Je kunt natuurlijk lengte en breedte opmeten en constateren dat het niet eel scheelt, maar er is een leukere manier. Leg twee an zulke pasjes aan elkaar met de lange zijde an de één aan de korte zijde an de ander als in figuur. Leg nu een liniaal langs de diagonaal an het linkerpasje (an linksonder naar rechtsboen). Die liniaal gaat dan ook door de hoek rechtsboen an het andere pasje. Verklaar hiermee dat het pasje een gulden rechthoek is. figuur In het oorgaande heb je gezien hoe je een rechthoek kunt uitbreiden door aan de lange zijde een ierkant te plakken. Begin nu met een ierkant an bij cm. Aanplakken an een ierkant geeft een rechthoek an bij cm. Aanplakken an een ierkant aan de nieuwe rechthoek leidt tot een rechthoek an bij cm (fig.). figuur Dit proces kun je blijen herhalen, zodat er een steeds grotere rechthoek ontstaat. Leg uit dat je na een aantal stappen een rechthoek an bij cm kunt krijgen (dat is de grootste rechthoek die nog op een A4-el past). Bereken op je rekenmachine het ormgetal an die rechthoek. Doe dat ook oor een paar rechthoeken die je bij oortzetting an dit proces zou krijgen. Als je dit correct uitoert merk je dat de rechthoek steeds meer op een gulden rechthoek gaat lijken! 0