De Kwantumcomputer Patrick De Causmaecker Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk
Mezelf Licentiaat Wiskunde (Gent) Doctor in de Fysica (Leuven) Professor Informatica (Leuven-Kortrijk) Richtingen Wiskunde, Fysica, Informatica
Mijn Groep ~2 onderzoekers Artificiele intelligentie voor complexe combinatorische optimalisatie Optimalisatie in gedistribueerde systemen/planning en Scheduling/Roosters voor personeel/bioinformatica/e-learning/digitale beeldverwerking/
De professor en zijn doctoraatsstudenten I am currently Professor of Chemistry and I am also Associate Vice President for Research at UNT. I therefore maintain two offices on campus Chemistry Department (office hours only) VP for Research Office (most times) Mail s ochtends: Doe het volgende experiment Laad de shaker Start de machine Start de analyse Zend me het rapport
De doctoraatsstudenten van de professor Hij komt toch nooit in het labo. Kunnen we het niet zonder ons laten gebeuren? We kunnen het experiment simuleren. Maar dan hebben we wel een kwantumcomputer nodig
De student van de professor Ik wil wel een mooie zonnige dag. Kunnen we het weer exact en met zekerheid voorspellen? Misschien wel. Maar dan heb ik een kwantumcomputer nodig.
De kwantumcomputer is nog in een vroeg stadium Maar wat is Quantum Computing De Kwantumcomputer doet aan Quantum Computing
Wat is het verschil met het gewone computeren Wat is Computing Gewone computers doen aan computing
936 : Alan Turing On Computable Numbers Turing Machine Kan elk getal berekend worden? Wat is dat eigenlijk, berekenen? Gewoon computeren
Een machine van Turing. Hypothetisch, wiskundig model Toestand Afhankelijk van de toestand en de waarde onder de leeskop: Schrijf //spatie Schuif Kop rechts/links Ga naar toestand X Leeskop x y Aandrijfwiel band Oneindige band
Bijvoorbeeld: vermenigvuldig met 2 Input: een band met het getal in het binair stelsel Een verzameling regels # -> L 2; -> L ; -> L ; # -> R 2; -> L ; -> L ; 2 # -> # L h; 2 * -> * R 2; x x http://math.hws.edu/tmcm/java/labs/xturingmachinelab.html
Een ander voorbeeld: spring Input: een band met willekeurige tekens Verplaats de kop over een aaneensluitende rij tekens (L of R) y y z x * -> * L ; # -> # R 2; * -> * L 3; 2 # -> # R 4; 2 * -> * R 2; 3 # -> # L 5; 3 * -> * L 3; 4 # -> # L 5; 4 * -> * R 4; 5 * -> * R h; y y z x
Nog een ander voorbeeld Een machine die niet stopt y z x # -> L ; * -> * R h; y z x
Een algemene machine? Bestaan er Turing machines die alle andere Turing machines kunnen simuleren? Turing bewees dat dergelijke machines bestaan. We noemen ze universele Turing machines Hun eindige versies zijn doorgedrongen in ons dagelijks leven. Input voor de machine Beschrijving van de machine
Vraag van Turing Kunnen we zeker zijn dat een Turing machine stopt voor een bepaalde input? (de toestand h bereikt) Kunnen we voor elke machine bepalen of ze ooit stopt op een bepaalde input?
Even nadenken Als we dat konden, dan zouden we een machine kunnen maken die een functie h berekent. We kunnen de beschrijving van p op een band schrijven en als invoer gebruiken. Wat is de waarde van h(p,p)? Machine p Met invoer i h(p,i) = als machine p niet stopt op invoer i h(p,i) = als machine p stopt op invoer i : machine stopt niet : machine stopt
Even nadenken Gegeven een willekeurige machine die een functie van twee argumenten berekent: f(x,y) Maak een machine voor het algoritme g(x,y) Deze machine stopt enkel als f(x,y) = Zolang (f(x,y) <> ) doe niks g(x,y) = Wat is de waarde van h(g,g)?
Even nadenken We tonen aan dat h(e,e) <> f(e,e). Maar f was een WILLEKEURIGE machine h verschilt dus van alle mogelijke machines!!! f(e,e) = => g(e,e) stopt, h(e,e) = f(e,e) <> => g(e,e) stopt niet, h(e,e) = h(e,e) <> f(e,e)!!! Een Turing machine kan dus niet alle mogelijke functies berekenen!
These van Turing en Church Voor elke functie die we natuurlijkerwijs beschouwen als berekenbaar bestaat er een Turing machine om ze te berekenen. There exists or can be built a universal computer that can be programmed to perform any computational task that can be performed by any physical object" http://math.hws.edu/tmcm/java/labs/xturingmachinelab.html
Gegeven een lijst met steden. Je moet alle steden juist keer bezoeken, terugkeren waar je begon en een ZO KORT MOGELIJKE AFSTAND AFLEGGEN Is alles gezegd?
Bestaat er een Turing machine voor het probleem van de reizende koopman? Ja, er zijn immers slechts een eindig aantal mogelijkheden. (Zij het zeer veel!) Traveling Salesman
Traveling Salesman Bestaat er een Turing machine die de beste oplossing vindt in een aanvaardbare tijd? Dat weten we niet. Alle bekende methodes hebben een tijd nodig die exponentieel toeneemt met het aantal steden. 6 4 2 8 6 4 2 effect van het aantal steden n n^2 log(n) exp(n) n! 2 3 4 5 6 n
Kunnen we beter doen? Noteer de steden a,b,c,d,e,f, abcdef bacdef acbdef cabdef... bcadef cbadef abdcef Kunnen we alle mogelijkheden tegelijkertijd onderzoeken? Parallelle computers zijn geen optie: het aantal benodigde processoren neemt toe met de exponent van het aantal steden.
Bestaat er dan een manier om verschillende waarden tegelijk voor te stellen? Ja KwantumTOESTANDEN
Twee spleten experiment http://www.youtube.com/watch?v=dfpeprq7ogc
Op het ogenblik van de passage bevindt het electron zich in een soort mengtoestand: superpositie Deze wordt verbroken door de waarneming Kwantumtoestanden
Laten we eenvoudig beginnen Een beam splitter is een halfdoorlatende spiegel De helft van het inkomende licht kaatst terug (Reflectie) De andere helft gaat door (Transmissie) Dit gebeurt ook met één foton
Beam splitters : de reflectie of de transmissie van foton kan niet deterministisch zijn.
Beam splitters : interferentie Intensiteit afhankelijk van stand van de spiegel Constructieve/destructieve interferentie
Beam splitters : hoe kan dit gebeuren met foton R TT RR T TR RT
Wat is de waarschijnlijkheid van TT,RR,RT,TR? Laplace: indien we niets weten over de waarheid van een uitspraak, dan is de waarschijnlijkheid ervan ½. Bayes: A en B (onafhankelijke) gebeurtenissen, P A en P B de waarschijnlijkheden, waarschijnlijkheid P A of B = P A + P B
Toegepast op de Beam Splitter R U TT RR T P TT = P RR = P RT = P TR = ¼ P U = P TT of RR = P TT + P RR P L = P TR of RT = P TR + P RT EN KAN DUS NOOIT NUL ZIJN L TR RT
Waarschijnlijkheidsamplitudes Feynman: als de gebeurtenissen fysisch niet te onderscheiden zijn, gebruik dan waarschijnlijkheidsamplitudes! A TT =(½, ½), A RR =(-½, ½) A TR =(½, -½), A RT =(-½, ½) A TT of RR = (½ - ½, ½+½) = (,) P TT of RR = (½ - ½) 2 + (½+½) 2 =
Waarschijnlijkheden en hun amplitudes ½ -½ ½ -½
L en U dectector amplitudes R T TT RR TR RT U-detector L-detector TR RT Alles naar U TT RR RT TR Gedeeld U en L TT RR
Zien in het donker R T L U TT RR P RT = P RR = ½ P TT = P TR = TR RT Hoewel de bom afgaat bij één foton is er een kans dat we hem zien!
Een ander voorbeeld: Polarisatie Licht is gepolariseerd Loodrecht op de richting kunnen we de polarisatie meten Dit gebeurt ten opzichte van twee assen (V en H) H V
Een ander voorbeeld: Polarisatie Een polarisatiefilter laat licht van een bepaalde polarisatie door Als deze polarisatie geroteerd is t.o.v. die van de invallende lichtbundel wordt slechts een deel doorgelaten H V V H
Een ander voorbeeld: Polarisatie Dit gebeurt (klassiek) door projectie Wat in het geval van foton? -> amplitudes!
Een ander voorbeeld: Polarisatie Bij opeenvolgende polarisatieschermen wordt de kans van transmissie telkens bepaald door de grootte van de amplitude na projectie Het foton heeft na transmissie de juiste polarisatie.
982: Richard Feynman Elk eindig fysisch object kan door een universele simulator nagebootst worden
Bits en Qubits Computers : en Natuur (dna) : AGCT (Adenine, Guanine, Cytosine, Thymine) Hoeveel informatie bevat bit?
Shannon s informatietheorie Informatie is complementair aan willekeur Eens we weten wat de uitkomst is hebben informatie gewonnen Munt : P(kop) = ½ P(letter) = ½ Na de opworp kennen we bit meer
Hoe zit dat in de Kwantumwereld? Het foton beslist niet op voorhand Het kiest bij elke spiegel Het bevat een oneindige hoeveelheid informatie! Een qubit
Rekenen met qubits gebeurt met amplitudes R U TT RR T U L TR RT L TR RT Alles U TT RR RT TR U en L TT RR
In het geval van polarisatie Na passage door een P. filter heeft het foton een polarisatie volgens de as van het filter Bij het volgende filter zal het passeren of niet passeren op basis van de amplitude
Kwantum poorten Klassieke computers zijn opgebouwd uit logische poorten Bestaat er iets dergelijks voor Kwantumcomputers?
Principe van Landauer Waarom warmen computers op? Landauer (96*): Wanneer er een bit informatie wordt vernietigd moet warmte afgegeven worden
Belang voor de Kwantum computer Warmte vertelt iets over wat er in de computer gebeurt, dit is een observatie Kwantum poorten mogen geen informatie verloren laten gaan. Ze moeten reversibel zijn
Kwantum poorten: Toffoli poorten Poorten worden gekarakteriseerd door waarheidstabellen Output And Input C B A C B A Toffoli output Toffoli input
Not en And met Toffoli poorten Garbage (rommel) bits C NOT C A A B B A AND B Bennet: reversibele Turing machines
Kwantum geheugen D U P = ½=( ½) 2 A = ( ½, ½ ) (T,R) U One QUBIT D Superpositie P = ½=( ½) 2
Effect van een beam splitter D D (,) ( ½, ½ ) (,) ( ½, - ½ ) U D 45 U D U U 45
Kwantum geheugen D U (,) ( ½, ½ ) (, ) D 45 U D 45 U D U
Waar zit de computer? D U D U Kwantum computer: parallel reversibel rekenen D U
Poorten Een Beam Splitter roteert de amplitueds 45 graden We noemen dit een Hadamard poort Klassiek hebben twee H s het effect van een NOT D U (,) (, ) D U H H NA METING!
Universele Kwantum poorten Het is niet moeilijk om Toffoli of analoge poorten te maken Deze laten toe om alle KLASSIEKE poorten te bouwen Maar Wat we nodig hebben zijn Kwantum poorten (bijv. Hadamard) Universele poorten laten toe alle reversibele berekeningen te doen.
Aangepaste these van Turing en Church There exists or can be built a universal quantum computer that can be programmed to perform any computational task that can be performed by any physical object"
Controlled Not poorten CN poort target inverteer target a.s.a control = control Implementatie met behulp van beam splitters en gepolariseerd licht is mogelijk. Tar Con Tar Con
Een eenvoudige kwantumcomputer Onze computer zal kunnen vermenigvuldigen met 2! Hij wordt wel reversibel gedefinieerd : een bit extra voor de overdracht Input Output O Input Output CY One CY One O
Realisatie met CN poorten Input CY One O Output CY One Nog geen Quantum computing! http://jquantum.sourceforge.net/jquantumapplet.html target control target control
Een Kwantum CN poort De Hadamard poort maakt een superpositie van en! De computer berekent nu ZOWEL x2 als x2 De uitkomst is natuurlijk ook een superpositie Probeer die te lezen en Je krijgt of SO WHAT?! target control H
Het probleem van David Deutsch Gegeven een ja/nee vraag (voorbeelden genoeg!) die misschien afhangt van een ja/nee beslissing (ook voorbeelden). Kan ik uitmaken of de beslissing inderdaad invloed heeft? De berekening zal lang duren ik kan ze geen twee keer doen.
Het algoritme van Deutsch David Deutsch bedacht het schema hiernaast. De rode operator transformeert de amplitudes H? H H y y(-) f(x) x
Het algoritme van Deutsch (,) H ½ (,) y y(-) f(x) x (,) H ½ (-,) H? 45 MAGIC CIRCLE
Het algoritme van Deutsch (,) H ½ (,) Product van de amplitudes * ½ y= y= ½ (-,) (,)? H H x= x= -(-) f() (-) f() -(-) f() (-) f() y MAGIC CIRCLE *(-) f(x) 45 Na de laatste Hadamard *½ x= y= y= -(-) f() -(-) f() -(-) f() -(-) f() x= -(-) f() +(-) f() -(-) f() +(-) f() x
Het algoritme van Deutsch (,) H ½ (,) ½ (-,) (,)? H H De Kwantumcomputer beslist f()=f() in één keer! Als f() = f() meten we x = *½ x= x= Als f() <> f() meten we x = *½ x= x= y= y= y= y=
Andere algoritmen Uitbreiding van Deutsch algoritme tot functies van n bits Factorisatie algoritme van Shor: vindt waarschijnlijk de priemfactoren van een getal Zoekalgoritme van Grover: vindt met 5% zekerheid een willekeurig element in een verzameling van N elementen in een tijd evenredig met vierkantswortel N
Toestand Veel theoretische vragen blijven open Wat is Kwantuminformatie? Welke problemen kunnen we (niet) oplossen met een QC? 26 cage a qubit in a buckyball 2 qubit Kwantum computer Seven atoms -> Kwantum gate, 27 Single electron qubit memory. D-Wave Systems 28-qubit qc 28 quantum bit stored Superior qc test developed http://en.wikipedia.org/wiki/timeline_of_quantum_computing