Fundamentele Informatica IN 3005 Deel 2
|
|
- Ine Timmermans
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Fundamentele Informatica IN 3005 Deel 2 Laatste College! Cees Witteveen witt@cs.tudelft.nl
2 Onderwerpen Parallelle machines en complexe problemen - circuits als berekeningsmodel - wanneer loont parallellisme? Random en Quantum Turing Machines - Quantum computing - Quantum complexiteit Turing machines voor onberekenbare problemen - hoe het stop probleem op te lossen - lerende machines - boost your IQ
3 Parallelle berekeningen: circuits als berekeningsmodel Een (m,n) circuit is een gerichte acyclische graaf (DAG). Knopen: m+n poorten (gates), verbonden door lijnen. De eerste m gates zijn input gates, de overige n gates zijn circuit gates, met g m+n de output gate. Iedere gate berekent een boolese functie. g 18 g 10 g 1 g 9
4 Parallelle berekeningen: PGS circuits hardware sequentiële tijd size(c) = aantal circuit gates van C depth(c) = lengte langste pad van input element naar output parallelle tijd size = 9 depth = 5
5 Voorbeeld: : parity functie f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ) mod 2 Ÿ Ÿ size = O(n) depth = O(log n) Ÿ Ÿ Ÿ x 1 x 2 x 3 Ÿ x4 x 4
6 Circuit families Voor iedere input grootte n is er een circuit C n nodig om berekening uit te voeren: algoritme specificatie { C 1, C 2,..., C n, } Resultaat Als P/poly NP dan heeft geen enkel NPC probleem polynomiale circuits.
7 Wanneer loont parallellisme een probleem is parallelliseerbaar als het kan worden opgelost - in extreem korte tijd NC NC = Nick s class polylogaritmische tijd depth = O(log O(1) n) - met een redelijk aantal processoren polynomiaal begrensd # processoren size = O(n O(1) )
8 NC : realistisch parallellisme PGS Een NC-algoritme is een algoritme dat in O(log O(1) )- tijd en met O(n O(1) ) processoren kan worden uitgevoerd. Er geldt: NC Õ P. Een NC-reductie van probleem A naar probleem B NC is een Karp-reductie berekenbaar met een NC algoritme P-complete problemen: A is P-compleet als A Œ P en voor iedere B Œ P geldt B NC A. Vermoeden : P - NC
9 Voorbeeld NC-probleem probleem: PGS max van een rij depth = O(log n) 9 size = O( n)
10 NC : vervolg PGS Voorbeeld P-compleet probleem: Naam : Instantie Circuit Value Problem (CVP) Gegeven een boolean circuit met AND, OR en NOT poorten en binaire inputs x 1, x 2,, x n en binaire output y. Vraag Geldt y = 1 voor de inputs x 1, x 2,, x n? Resultaat: CVP is P-compleet onder NC-reducties. Andere voorbelden: LP, unificatie in Prolog, Depth First Search Als P-complete problemen efficient parallelliseerbaar zijn dan geldt P = NC. Vermoeden: P-complete problemen zijn niet efficient parallelliseerbaar
11 Onderwerpen Parallelle machines en complexe problemen - circuits als berekeningsmodel - wanneer loont parallellisme? Random en Quantum Turing Machines Turing machines voor onberekenbare problemen - hoe het stop probleem op te lossen - lerende machines - boost your IQ
12 Test of polynoom 0 input: polynoom p(x 1,x 2,..., x n ), integer N > 0 output: yes or no begin k : = 0; d:= degree(p); while k < N do for i =1 to n do a i := random(-n.d, +n.d) if p(a 1,a 2,..., a n ) 0 then return no else k := k+1 return yes end Nb: Pr [ output yes p(x) 0 ] 0.5 N
13 randomized complexity Probabilistische Turingmachines (PrTm): toestandsovergangsfunctie specificeert kans Pr[ (q..) (q, input, ) ] RP (Klasse problemen met Monte Carlo algoritmen) A in RP als er een polynomiale PrTM M bestaat waarvoor geldt: x Œ Y A Pr ( M(x) = accept] 0.5 (alleen false negatives) x œ Y A Pr ( M(x) = reject ] = 1 co-rp A in co-rp als er een polynomiale PrTM M bestaat waarvoor geldt: x œ Y A Pr ( M(x) = reject ] 0.5 (alleen false positives) x Œ Y A Pr ( M(x) = accept ] = 1 ZPP = RP «co-rp (klasse problemen met Las Vegas algoritmen) [ Intuitief: run RP en co-rp algoritme totdat RP-algoritme accepteert of co-rp algoritme verwerpt. De kans dat dit na k ronden nog niet gebeurd is, is kleiner dan 0.5 k ]
14 randomized complexity PP A in PP als er een polynomiale PrTM M bestaat waarvoor geldt: x Œ Y A Pr ( M(x) = accept] 0.5 x œ Y A Pr ( M(x) = reject ] 0.5 BPP A in BPP als er een polynomiale PrTM M bestaat waarvoor geldt: x Œ Y A Pr ( M(x) = accept] 0.75 x œ Y A Pr ( M(x) = reject ] 0.75 Relaties: ZPP Õ RP Õ NP Õ PP en RP Õ BPP Õ PP als BPP Õ NP dan NP = RP m.a.w. niet waarschijnlijk dat BPP Õ NP. BPP Õ S 2 «P 2 alle problemen in BPP hebben polynomiale circuits
15 P, NP, ZPP, RP, BPP en PP PP Co-NPC NPC BPP Co-NP co-rp ZPP P RP NP
16 Quantum Computing Conventionele machines opereren op 0-1 bitrijtjes met logische poorten (AND, OR, NOR, NAND,... ) Quantum computers - opereren op quantum bits (qubit). Een qubit kent twee basistoestanden: spin-down ( Ø of 0 >) en spin-up ( of 1 > ). - Een rijtje van k-qubits kan in een superpositie van 2 k toestanden verkeren (parallellisme!) - alternatieve berekeningspaden van een quantum machine kunnen interfereren
17 Quantum Computing Conventionele machines opereren op 0-1 bitrijtjes met logische poorten (AND, OR, NOR, NAND,... ) Quantum computers - opereren op quantum bits (qubit). Een qubit kent twee basistoestanden: spin-down ( 0>) en spin-up ( 1> ). - Een qubit bevindt kan zich ook in een superpositie van toestanden bevinden: a 0> + b 1> met a 2 + b 2 = 1. - Meting van zo n toestand resulteert in een basistoestand: 0> met kans a 2 en 1> met kans b 2 - Een k-qubit systeem kan bestaan in iedere superpositie van de 2 k basistoestanden: a > + a > a 2^k 111 1> met a 2 i = 1
18 Quantum Computing een niet geobserveerd quantum systeem evolueert volgens een unitaire tranformatie Zo n transformatie T opereert op een superpositie vector u T = (a 1, a 2,, a 2^n ) en heeft de eigenschap dat (u T T) 2 i = (u it ) 2 = a 2 i = 1 (T bewaart de L2-norm) Vb 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T = (a 1 a 2 ) = (a 1 -a 2 )/ 2, (a 1 +a 2 )/ 2 ) -1// 2 1/ 2-1// 2 1/ 2 merk op dat T t T = I
19 Quantum fenomenen Als een foton een halfdoorlaatbare spiegel passeert, wordt met p =.5 het foton gedetecteerd door d1 of d2 Plaatsen we twee halfdoorlaatbare en twee niet-doorlaatbare spiegels, dan zou je opnieuw met p =.5 het foton verwachten bij d1 of d2. Het foton verschijnt echter alleen bij d1 Plaatsen we nu een ondoorlaatbaar object op een pad, dan wordt opnieuw met p =.5 het foton gedetecteerd door d1 en d2
20 Quantum fenomenen door de halfdoorlaatbare spiegel wordt toestand (1,0) getransformeerd in toestand 1/ 2 1/ 2 (1, 0) = (1/ 2 1/ 2 ) -1// 2 1/ 2 na 2e spiegel wordt de toestand (1/ 2, 1/ 2 ) wordt getransformeerd in (1/ 2, 1/ 2 ) 1/ 2 1/ 2 = (0, 1) -1// 2 1/ 2 blokkade reduceert superpositie (1/ 2 1/ 2 ) tot (1, 0)
21 Quantum Turing machines Doel: presentatie quantum complexiteits theorie zonder fysica-ballast Hoe: introductie Turingmachines en configuratie transitiematrices 1. deterministische Tm 2. nondeterministische Tm 3. probabilistische Tm 4. quantum Tm bron: Lance Fortnow: One Complexity Theorist s view of Quantum Computing
22 Configuratie overgangen Configuratie van een Tm M voor input x is een beschrijving van - input - inhoud van de werktapes, - huidige toestand - posities van de lees- en schrijkoppen op de tapes. Transitiematrix T is aanpassing van transitiefunctie d van M voor configuraties Definitie Voor een DTM M met configuratieverzameling C en input x: T(c, c ) = 1 M in configuratie c voor input x, kan in één stap overgaan naar configuratie c
23 DTM : transitiematrix T PGS T(c a,c b ) =1 c b is in een stap vanuit c a te bereiken, anders T(c a,c b ) = 0 T k (c a,c b ) =1 als M voor input x in c a start, is M na k stappen in configuratie c b T t( x ) (c init,c acc ) =1 M accepteert x efficient berekenbare klasse c init : beginconfiguratie c acc : accepterende configuratie P : klasse van problemen oplosbaar met polynomiale DTM
24 NDTM: transitiematrix T T(c a,c b ) =1 c b is in één stap vanuit c a te bereiken, anders T(c a,c b ) = 0 T n (c a,c b ) = k aantal berekeningpaden ter lengte van n vanuit c a naar c b is gelijk aan k T t( x ) (c init,c acc ) > 0 efficient berekenbare klasse M accepteert x NP : klasse van problemen oplosbaar met polynomiale NDTM
25 Quantum TM: transities Transitiematrix voor configuraties (T(c a,c b )) 2 = z 2 Pr [ c b vanuit c a in een stap] = z 2 z Œ Q arbitrair T is unitair : voor alle vectoren u geldt u T T 2 = S i=1.. C u i 2 (T t( x ) (c init,c acc )) 2 = p Pr [ M accepteert x ] = p BQP : klasse van efficient quantum-berekenbare problemen A Œ BQP " x Œ Yes A (T t( x ) (c init,c acc )) 2 > 0.75 " x œ Yes A (T t( x ) (c init,c acc )) 2 < 0.25 (t(n) is polynoom in n)
26 PrTm : Transitie matrix T Transitiematrix T(c a,c b ) = p kans om c b in één stap vanuit ( 0 p 1) c a te bereiken is p. T n (c a,c b ) = p Pr[ c b in n stappen vanuit c a te bereiken ] = k "c  c ŒC T(c,c ) = 1 : T is een stochastische matrix T t( x ) (c init,c acc ) = p efficient berekenbare klasse Pr [ M accepteert x ] = p L Œ BPP " x Œ L T t( x ) (c init,c acc ) > 0.75 (t(n) is polynoom in n) " x œ L T t( x ) (c init,c acc ) < 0.25
27 Quantum complexity : BQP PSPACE PP BQP BPP P BPP Õ BQP Õ PP Õ PSPACE
28 Opmerkingen Quantum Comp quantum turing machine (qtm) zijn krachtiger dan standaard Tm s Commentaar: Nee, iedere quantum computer kan gesimuleerd worden door een klassieke Tm. Voor een aantal problemen is mogelijkerwijs een speedup t.o.v. kllassieke berekeningsmodellen te behalen. reversibele operaties zijn een kenmerk van quantum berekeningen Commentaar: reversibiliteit is een consequentie van het feit dat T unitair is. Unitaire matrices zijn inverteerbaar: als Tu = v, dan is het mogelijk uit toestand v weer u te verkrijgen: T -1 v= u. quantum computers zijn sneller dan klassieke computers Commentaar Teruggebracht tot de vraag geldt BPP Ã BQP? luidt het antwoord, dat weten we niet. Dit zou namelijk impliceren P PSPACE en dit is nog open.
29 QC: nog een paar resultaten Bennett et al 1997: er bestaat een random orakel zodat een qtm exponentiele tijd nodig heeft om een NPC probleem op te lossen. Varizani 2000 BQP is waarschijnlijk niet bevat in NP; BQP Œ BPP NP is open Grover (1996) : quantum computing algoritme voor vinden item in een ongesorteerde database van n items in O( n)-tijd. (Bennet: Grover s algoritme is optimaal) Schor (1994) factorizering : O(n 3 ) quantum computing algoritme
30 BQP en NPC Onwaarschijnlijk dat NPC «BQP gegeven een blackbox programma dat op precies één n-bit string een 1 oplevert. Er is geen enkel quantum algoritme dat deze string kan vinden in minder dan 2 n/2 - tijd
31 NP, BPP en BQP? PGS Co-NPC NPC Co-NP BQP P BPP NP
32 Onderwerpen Parallelle machines en complexe problemen - circuits als berekeningsmodel - wanneer loont parallellisme? Random en Quantum Turing Machines Turing machines voor onberekenbare problemen - hoe het stop probleem op te lossen - lerende machines - boost your IQ
33 Turingmachines en PGS onberekenbaarheid Turingmachine model om te bepalen wat berekenbaar is en wat doenlijk is om te berekenen. onberekenbare problemen zijn er interessante problemen die onberekenbaar zijn? kunnen we machines definieren die deze problemen oplossen? Er zijn Turingmachines voor niet-berekenbare functies
34 Leren van functies n f(n) g(n) h(n) f(n) = n de priemgetal g(1) = 1 g(n) = S i=1,2,3; n-i >0 g(n-i), n >1 h(n) = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
35 en meer open functie-inductie n f(n) ? zes acht twaalf tien
36 nodig: PGS mind changing machines n-trial machine Turing machine die n verschillende outputs mag geven en waarbij det laatst geproduceerde output telt. resultaten 2-trial machines kunnen het STOP-probleem voor turing machines oplossen voor iedere eindige n is er een berekenbare functie f zodat f niet geidentificeerd kan worden door een n-trial Tm.
37 Vb: tm voor stop-probleem probleem Solve Stop input : < M, x > ( turingmachine M, invoer x voor M) output : yes als M(x) stopt voor x, anders no 1. print no op output tape; 2. simuleer M voor input x; 3. als simulatie stopt (dwz M(x) stopt voor x), print yes op output tape. laatste antwoord gegeven door deze 2-trial machine is correct!
38 en wat zegt de theorie... kunnen zwak lerend niet alle berekenbare functies P is is zwak lerend als leren P oneindig lang doorgaat met voorspellen; vanaf een zeker tijdstip steeds een juiste voorspelling doet. sterk lerend kunnen alle berekenbare P is is sterk lerend als functies leren P oneindig lang doorgaat met voorspellen; oneindig vaak een juiste voorspelling doet (maar af af en en toe de de mist in in gaat).
39 Onverwachte conclusies wetenschap volgens leertheorie een verzameling speciale kennisproducten K bereikt met speciale zwak lerende machines M. M. resultaat uit leertheorie er er zijn oneindig veel alternatieve verzamelingen van (lerende) machines M M met kennisproducen K K zodat K K «K = en en M M «M = Conclusie de de kans dat we resultaten van een buitenaardse beschaving kennen en/of hun methoden begrijpen is is praktisch 0!!
40 Voorlopige conclusie wat is de waarde van IQ-tests? wat is de waarde van het oordeel van een Tm (testconstructie+afname) over een niet-berekenbaar proces?
41 Boost your IQ (i) hints voor aanvulling polynomiale reeksen f(n) = p(n) voor een polynoom p. pas methode van geitereerde verschillen toe f(n)
42 Boost your IQ (ii) In IQ-tests komen wel eens vragen over extrapolatie van letter reeksen. De volgende truc kan gebruikt worden voor zgn Thurstone series: wat zijn de volgende letters in de reeks d e f g e f g h f g h i...
43 programma voor extrapolatie d e f g e f g h f g h i 1. < > fi d 2 2. x fi x (2 2 2) 3. y... fi y 2 1. < > fi d 2 2. x fi x x x 3 3. y... fi y 2 1. < > fi d 2 2. x fi x x x x 2
44 Nog een voorbeeld n p a o q a p r a q s a 1. < > fi n 2. x fi x 3. x fi a 4. x. fi x < > fi n 2 2. x fi x a x 2
45 Einde in3005 deel 2 Op de in345/in3005-site: - proeftentamen + uitwerking - uitwerkingen oefenopgaven - lijst met NP-problemen - korte handleiding te bestuderen - leerstof uit Moret. Succes!
46 TOT ZIENS!
Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120
Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120 Probabilistische Turing Machines - Probabilistisch beslissen - de klasse en PP College 7 Cees Witteveen witt@cs.tudelft.nl Quantum Turing Machines - Quantum
Nadere informatie(On)Doenlijke problemen
Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke
Nadere informatieQuantum computing. Dirk Nuyens. dept. computerwetenschappen KULeuven. [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be]
Quantum computing Dirk Nuyens [dirk.nuyens@cs.kuleuven.ac.be] dept. computerwetenschappen KULeuven qc-sim-intro.tex Quantum computing Dirk Nuyens 18/12/2001 21:25 p.1 Mijn thesis plannen Proberen een zo
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2
Vorig college College 2 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Welke problemen zijn (niet) algoritmisch oplosbaar? Wat is een probleem? Wat is een algoritme? 13 april 2009 1 2 Turingmachines Turingmachine
Nadere informatieBeslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7
Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is
Nadere informatieStelling. SAT is NP-compleet.
Het bewijs van de stelling van Cook Levin zoals gegeven in het boek van Sipser gebruikt niet-deterministische turing machines. Het is inderdaad mogelijk de klasse NP op een alternatieve wijze te definiëren
Nadere informatieNegende college complexiteit. 9 april NP-volledigheid I: introductie
College 9 Negende college complexiteit 9 april 2019 NP-volledigheid I: introductie 1 Handelbaar/onhandelbaar -1- N 10 50 100 300 1000 log 2 N 3 5 6 8 9 5N 50 250 500 1500 5000 N log 2 N 33 282 665 2469
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 7 mei NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1
college 12 Twaalfde college complexiteit 7 mei 2019 NP-volledigheid IV Cook-Levin Savitch 1 Turing machine {0 n 1 n n 0} q Y 0/b, +1 b/b, 0 q N 0/0, +1 1/1, +1 b/b, 1 q 1 q 2 q 0 1/1, 0 b/b, +1 0/0, 0
Nadere informatieTentamen IN3105 Complexiteitstheorie
Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Voorbeeld NDTM. Aanbevolen opgaven. College 3
Vorig college College 3 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Multi-tape TM s Vergelijking rekenkracht 1-TM en k-tm (k >1) Niet-deterministische TM s Berekeningsboom 16 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven
Nadere informatieTentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieNP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi
NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is
Nadere informatieVorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers
Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Nadere informatieFundamentele Informatica
Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65
Nadere informatieTentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie
Tentamen TI3300 / IN3105 Complexiteitstheorie 24 juni 2013, 9.00-12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal
Nadere informatieNP-volledigheid. Algoritmiek
NP-volledigheid Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme bij inputs van formaat n O(n c ) tijd gebruikt. Sommige problemen
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieParadox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.
Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Practicum: Inschrijven. Practicum
IN2505 II Berekenbaarheidstheorie College 1 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 7 april 2009 Docent: Colleges/oefeningen: dinsdag 5 + 6 (EWI-A), vrijdag 1 + 2 (AULA-A) Boek: Michael Sipser, Introduction
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatieHet computationeel denken van een informaticus Maarten van Steen Center for Telematics and Information Technology (CTIT)
Het computationeel denken van een informaticus Maarten van Steen Center for Telematics and Information Technology (CTIT) 2-2-2015 1 Computationeel denken vanuit Informatica Jeannette Wing President s Professor
Nadere informatie1 Complexiteit. of benadering en snel
1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Nadere informatieIN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare
Nadere informatieLogische Complexiteit
Logische Complexiteit Universele Turing machines College 12 Donderdag 18 Maart 1 / 11 Hoog-niveau beschrijvingen en coderen Vanaf nu: hoog-niveau beschrijvingen van TM s. Daarbij worden objecten die geen
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieQuantum aanvallen op de 3-round Feistel Cipher
Quantum aanvallen op de 3-round Feistel Cipher Sander Bet, Sebastian Zur 9 juli 2015 Projectverslag jaar 2 Begeleiding: dhr. dr. C. Schaffner Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieMasterproef Quantum Computing
2013 2014 FACULTEIT WETENSCHAPPEN master in de informatica Masterproef Quantum Computing Promotor : Prof. dr. Jan VAN DEN BUSSCHE De transnationale Universiteit Limburg is een uniek samenwerkingsverband
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 8: 118-125 orakels en reducties met orakels Turing-berekenbare functies de bezige bever Orakelmachines I 2/14 we kennen al: een TM die een
Nadere informatieBenaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Nadere informatieModule Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Nadere informatieQuantum-computing toegepast op het n-queens probleem
Quantum-computing toegepast op het n-queens probleem Erik Jongsma 5 Seminar Computational Algorithms Leiden University september Introductie Abstract Quantum-computing is een onderwerp binnen de informatica
Nadere informatieQ-bits en Quantumcomputers
Q-bits en Quantumcomputers Computers in the future may weigh no more than.5 tons (Popular Mechanics, forecasting the relentless march of science, 949) I think there is a world market for maybe five computers.
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatie8C080 deel BioModeling en bioinformatica
Vijf algemene opmerkingen Tentamen Algoritmen voor BIOMIM, 8C080, 13 maart 2009, 09.00-12.00u. Het tentamen bestaat uit 2 delen, een deel van BioModeling & bioinformatics en een deel van BioMedische Beeldanalyse.
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort
Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 18 mei 018 Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort 1 Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Uit college 10: Voorb. -1- A B C D
Nadere informatieHoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit
Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance
Nadere informatieLogische Complexiteit Hoorcollege 12
Logische Complexiteit Hoorcollege 12 Jacob Vosmaer Bachelor CKI, Universiteit Utrecht 22 maart 2011 Tijdscomplexiteit Inleiding Grote O en kleine o Complexiteitsanalyse van een simpele taal Complexiteitsverschillen
Nadere informatieWaarmaken van Leibniz s droom
Waarmaken van Leibniz s droom Artificiële intelligentie Communicatie & internet Operating system Economie Computatietheorie & Software Efficiënt productieproces Hardware architectuur Electronica: relais
Nadere informatieAlgoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen
Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen
Nadere informatieZevende college Algoritmiek. 6 april Verdeel en Heers
Zevende college Algoritmiek 6 april 2018 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2018/Backtracking Programmeeropdracht 2 Puzzel 2: D O N A L D G E R A L D + R O B E R T Elke letter stelt een cijfer voor (0,1,...,9)
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 24 maart 2016 Verdeel en Heers 1 Verdeel en heers 1 Divide and Conquer 1. Verdeel een instantie van het probleem in twee (of meer) kleinere instanties 2. Los de kleinere instanties
Nadere informatieInleiding Programmeren 2
Inleiding Programmeren 2 Gertjan van Noord November 26, 2018 Stof week 3 nogmaals Zelle hoofdstuk 8 en recursie Brookshear hoofdstuk 5: Algoritmes Datastructuren: tuples Een geheel andere manier om te
Nadere informatieAutomaten & Complexiteit (X )
Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 23/24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 23/24 maart 2017 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht 0 1 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht
Nadere informatie8. Complexiteit van algoritmen:
8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2018
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 018 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatiePracticum Ox intro. Practicum Ox intro. VU Numeriek Programmeren 2.5. Charles Bos. Vrije Universiteit Amsterdam. 3 april /18
1/18 VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam 3 april 2013 2/18 Overzicht Vlotte intro in Ox Hands on 3/18 Minimale elementen Minimale elementen Ox-programma: voeg de standaard
Nadere informatieBerekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015
erekenbaarheid 2015 Uitwerkingen Tentamen 5 november 2015 1. Definieer een standaard Turing-machine M 1 met input alfabet Σ = {a, b} die twee a s voor zijn input plakt, dus met M 1 (w) = aaw voor alle
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieDe Kwantumcomputer. Patrick De Causmaecker Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk
De Kwantumcomputer Patrick De Causmaecker Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk Mezelf Licentiaat Wiskunde (Gent) Doctor in de Fysica (Leuven) Professor Informatica (Leuven-Kortrijk) Richtingen
Nadere informatieVierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Nadere informatieAlgoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?
Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ
Nadere informatieVierde college algoritmiek. 23/24 februari Complexiteit en Brute Force
Algoritmiek 2017/Complexiteit Vierde college algoritmiek 23/24 februari 2017 Complexiteit en Brute Force 1 Algoritmiek 2017/Complexiteit Tijdcomplexiteit Complexiteit (= tijdcomplexiteit) van een algoritme:
Nadere informatieFundamenten van de Informatica
Fundamenten van de Informatica Luc De Raedt Academiejaar 2006-2007 naar de cursustekst van Karel Dekimpe en Bart Demoen A.1: Talen en Eindige Automaten 1 Deel 1: Inleiding 2 Motivatie Fundamenten van de
Nadere informatieTU Delft. TU Delft. TU Delft. TU Delft. IN3100 Fundamentele Informatica. Practicum. Practicum: Inschrijven. Practicum: LET OP
1 2 IN3100 Fundamentele Informatica Docenten: Hans Tonino (IN3110) & Cees Witteveen (IN3120) Colleges: Maandag 1 + 2, in zaal D, Mekelweg 4. Boek: Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation,
Nadere informatieGegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )
OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieDomJudge-Practicum. Open Dag UU
1 Introductie DomJudge-Practicum Open Dag UU Bij veel vakken die je volgt tijdens je studie informatica aan de UU, moet je programmeeropdrachten maken. Soms moet je die inleveren zodat ze door de docent
Nadere informatieVierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie
Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieVierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen
College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then
Nadere informatieInleiding Programmeren 2
Inleiding Programmeren 2 Gertjan van Noord November 28, 2016 Stof week 3 nogmaals Zelle hoofdstuk 8 en recursie Brookshear hoofdstuk 5: Algoritmes Datastructuren: tuples Een geheel andere manier om te
Nadere informatieTENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING
TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de
Nadere informatieLimits of algorithmic computation. Introductie 213. Leerkern 214. Zelftoets 222. Terugkoppeling 223
Limits of algorithmic computation Introductie 213 Leerkern 214 1 Some problems that cannot be solved by Turing machines 214 1.1 Computability and decidability 214 1.2 The Turing machine halting problem
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/39637 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Smit, Laurens Title: Steady-state analysis of large scale systems : the successive
Nadere informatiec, X/X a, c/λ a, X/aX b, X/X
ANTWOORDEN tentamen FUNDAMENTELE INFORMATICA 3 vrijdag 25 januari 2008, 10.00-13.00 uur Opgave 1 L = {x {a,b,c} n a (x) n b (x)} {x {a,b,c} n a (x) n c (x)}. a. Een stapelautomaat die L accepteert: Λ,
Nadere informatieBerekenbaarheid, onberekenbaarheid en complexiteit: een aanvullende studie. Gijs Vermeulen
Berekenbaarheid, onberekenbaarheid en complexiteit: een aanvullende studie Gijs Vermeulen gijs.vermeulen@gmail.com 25 augustus 2005 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Niet context vrije talen 5 2.1 Pumping
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
Nadere informatieREEKS I. Zaterdag 6 november 2010, 9u
TEST INFORMATICA 1STE BACHELOR IN DE INGENIEURSWETENSCHAPPEN - ACADEMIEJAAR 2010-2011 REEKS I Zaterdag 6 november 2010, 9u NAAM :... VRAAG 1: MINSTENS [5 PUNTEN] Schrijf een methode minstens(), met twee
Nadere informatieDerde college complexiteit. 7 februari Zoeken
College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande
Nadere informatieSequentiële Logica. Processoren 24 november 2014
Sequentiële Logica Processoren 24 november 2014 Inhoud Eindige automaten Schakelingen met geheugen Realisatie van eindige automaten Registers, schuifregisters, tellers, etc. Geheugen Herinnering van week
Nadere informatiestart -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c
Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer
Nadere informatieComputationale Intelligentie Dirk Thierens
Computationale Intelligentie Dirk Thierens Organisatie Onderwijsvormen: Docent: Topic: Collegemateriaal: Boek: Beoordeling: hoorcollege, practicum, werkcollege Dirk Thierens Deel : Zoekalgoritmen Toets
Nadere informatieCredit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken
Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.
Nadere informatieProgrammeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding:
Programmeren A Genetisch Programma voor het Partitie Probleem begeleiding: Inleiding Het Partitie Probleem luidt als volgt: Gegeven een verzameling van n positieve integers, vindt twee disjuncte deelverzamelingen
Nadere informatieOnafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms
Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieSemantiek (2IT40) Jos Baeten. HG 7.19 tel.: Hoorcollege 3 (12 april 2007)
Jos Baeten josb@wintuenl http://wwwwintuenl/~josb/ HG 719 tel: 040 247 5155 Hoorcollege 3 (12 april 2007) Voorbeeld [Bewijstechniek 2 niet altijd succesvol] Executie van commands is deterministisch: c
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieVierde college algoritmiek. 2 maart Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search
Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Vierde college algoritmiek 2 maart 2018 Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search 1 Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Kannen Voorbeeld 4: Kannenprobleem We hebben
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 13 mei Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify
Algoritmiek 2016/Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 13 mei 2016 Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify 1 Algoritmiek 2016/Branch & Bound TSP met Branch & Bound Mogelijke ondergrenzen voor de
Nadere informatieRecursion. Introductie 37. Leerkern 37. Terugkoppeling 40. Uitwerking van de opgaven 40
Recursion Introductie 37 Leerkern 37 5.1 Foundations of recursion 37 5.2 Recursive analysis 37 5.3 Applications of recursion 38 Terugkoppeling 40 Uitwerking van de opgaven 40 Hoofdstuk 5 Recursion I N
Nadere informatieElliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
Nadere informatieHet vreemde van de Quantum mechanica
Het vreemde van de Quantum mechanica Eric Eliel Klassieke lichtgolven Een klassieke lichtgolf valt in op een bundelsplitser,.5p die de helft van het licht doorlaat en de andere helft reflecteert (spiegelt).5p
Nadere informatien-queens Local Search met Conflict Minimalizatie
n-queens Local Search met Conflict Minimalizatie Efficient Local Search with Conflict Minimalization: A Case Study of the n-queens Problem, door Rok Sosič en Jun Gu. Sjoerd van Egmond svegmond@liacs.nl
Nadere informatieMARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.
MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten
Nadere informatieControle structuren. Keuze. Herhaling. Het if statement. even1.c : testen of getal even of oneven is. statement1 statement2
Controle structuren De algemene vorm: 1 bloks door middel van indentatie Keuze Herhaling if expressie :...... In de volgende vorm is het else gedeelte weggelaten: if expressie :... Het if keuze- of conditioneel
Nadere informatie