HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014
Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen Oefeningen Bronnen 1
Historische achtergrond Claudius Ptolemaeus was een beroemd Grieks sterrenkundige, geograaf, wiskundige en muziektheoreticus die leefde in Alexandrië van 87 tot 150 na Christus. Zijn belangrijkste werk schreef hij in het jaar 137 onder de naam Megalè suntaxis tès astronomias. Dat betekent: Grote verhandeling over de sterrenkunde. Dit werk bestaat uit maar liefst 13 delen. Het geeft een compleet overzicht van de sterrenkunde in de Oudheid. Ook bevat het werk de oudst bekende catalogus van helderheden van meer dan duizend sterren alsmede 48 namen van sterren beelden die heden ten dage nog steeds word en gebruikt. In de negende eeuw werd dit werk vanuit het Grieks in het Arabisch vertaald. Onder zijn Arabische titel Almagest dat grootste betekent, is dit werk wereldberoemd geworden. In de 12e eeuw volgde nog een Latijnse vertaling. Tot in de 16e eeuw is de Almagest het belangrijkste sterrenkundige werk geweest. Het geeft een compleet overzicht van de sterrenkunde in de Oudheid. Ptolemaeus dacht dat de aarde in het middelpunt van het heelal stond. De zon, planeten en sterren zouden om de aarde heen bewegen. Dit wereldbeeld noemen we het geocentrische wereld beeld omdat de aarde hierin centraal staat. Ptolemaeus heeft nog veel meer wetenschappelijke boeken geschreven. Zijn Geographia, een gids voor het maken van kaarten, heeft grote invloed gehad. Niet alleen op ontdek kingsreizen, maar ook op de cartografie. Dat is de weten schap die betrekking heeft op geografische kaarten en haar vervaardiging. Andere werken van Ptolemaeus waarin wiskundige hulpmiddelen voor de astronomie behandeld worden zijn Analemna, Planis phaerium en Hypotheses planetarum dat over de beweging van de planeten gaat. Zijn Optica bevat onder meer metingen over lichtbreking en zijn Harmonica vormt een van de belangrijkste bronnen voor de kennis van de antieke muziektheorie. 2
Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Wij gaan de stelling bewijzen op de manier zoals Ptolemaeus het had gedaan. Er zijn nog andere manieren om de stelling van Ptolemaeus te bewijzen. Stelling ALS ABCD is een vierhoek die is ingeschreven in een cirkel DAN de som van de producten van lengtes van de paren overliggende zijden is gelijk aan het product van de lengtes van de diagonalen. Met andere woorden: AB. CD + AD. BC = AC. BD Kies op de diagonaal BD een punt P, zodat ACB = PCD. Omdat de hoeken BAC en BDC op dezelfde boog staan, zijn ze aan elkaar gelijk. De driehoeken ABC en DPC zijn dus gelijkvormig, waaruit volgt, dat CD/PD = CA/BA, of AB. CD = AC. PD. De hoeken BCP en ACD zijn eveneens gelijk, zodat de driehoeken BCP en ACD eveneens gelijkvormig zijn, waaruit volgt BC/BP = AC/AD, of BC. AD = AC. BP Tellen we beide resultaten op, dan vinden we AB. CD + BC. AD = AC. PD + AC. BP = AC. (BP + PD) = AC. BD AB. CD + BC. AD = AC. BD (Q.E.D.) 3
Toepassingen De stelling van Ptolemaeus kan gebruikt worden om verschillende stellingen en regels te bewijzen. Het belang van deze stelling wordt vaak over het hoofd gezien. In de wiskrant van december 2012 wordt het belang van de stelling voor de ontwikkeling van de goniometrie erg benadrukt. Al moet de schrijver van het artikel helaas opmerken dat zelfs zijn collega s niet met de stelling bekend zijn. De eerste regel die bewezen kan worden met de stelling van Ptolemaeus, is de cosinusregel. Men maakt hier gebruik van een gelijkbenige trapezium (uiteraard een koordenvierhoek). Cosinusregel Geg: koordenvierhoek ABCD is een gelijkbenige trapezium AD = CB AC = BC Hoek A = hoek B TB: b 2 = a 2 + c 2-2ac cos B Cos A = AE/AD AE = AD cos A AE = AD cos B AE = a cos B d = c 2 AE d = c 2 a cos B Stelling Ptolemaeus: b. b = a. a + c. d = a. a + c (c 2 a cos B) b 2 = a 2 + c 2-2ac cos B 4
Som- en verschilformule sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β geg: koordenvierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel met diameter BC = 1 TB: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β ABC is een omtrekshoek Hoek BAC = 90 cos α = AB/BC en sin α = AC/BC AB = cos α, AC = sin α, BC = 1 (Thales) (rechthoekige driehoek) (BC = 1) BCD is een omtrekshoek Hoek BDC = 90 cos β = BC/BC en sin β = DC/BC BC = cos β en DC = sin β (Thales) (rechthoekige driehoek) (BC = 1) ABD is ingeschreven in de cirkel met diameter 1 AD/sin(α+β) = 2r = 1 sin(α+β) = AD (sinusregel) Stelling Ptolemaeus AD. BC = AC. BC + AB. CD sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (q.e.d.) 5
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β geg: koordenvierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel met diameter BC = 1 TB: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β ABC is een omtrekshoek Hoek BAC = 90 cos α = AB/BC en sin α = AC/BC AB = cos α, AC = sin α, BC = 1 (Thales) (rechthoekige driehoek) (BC = 1) BCD is een omtrekshoek Hoek BDC = 90 cos β = BC/BC en sin β = DC/BC BC = cos β en DC = sin β 6 (Thales) (rechthoekige driehoek) (BC = 1)
ABD is ingeschreven in de cirkel met diameter 1 AD/sin(α-β) = 2r = 1 (sinusregel) sin(α-β) = AD Stelling Ptolemaeus AD. BC = AC. BC + AB. CD AD. BC = AC. BC AB. CD sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β (q.e.d.) Stelling van Pythagoras TB: a 2 + b 2 = c 2 Stel: koordenvierhoek ABCD is een rechthoek AB = CD en BC = AD (Stelling Ptolemaeus) AB. CD + AD. BC = AC. BC AB 2 + AD 2 = AC 2 7
Stelling van Ptolemaeus: gelijkzijdige driehoek Gegeven: ABC is gelijkzijdig met zijde z P is willekeurig punt op omgeschreven cirkel van ABC Te Bewijzen: PC = PA + PB APBC is een koordenvierhoek Stelling Ptolemaeus AP. CB + AC. PB = AB. PC AP.z + PB.z = PC.z ( ABC is gelijkzijdig) PA + PB = PC (Beide leden delen door z) Q.E.D. Stelling van Ptolemaeus: De ongelijkheid van Ptolemaeus Gegeven: Driehoek ΔABD Punt C willekeurig punt binnen de omgeschreven cirkel van ΔABD Te Bewijzen: BA. DC + BC. AD AC. BD Constructie: P zodat ΔBPA en ΔDCB gelijkvormig zijn. BD / DC = BA / AP (1) Omdat dit een draaigelijkvormigheid is is ΔABD gelijkvormig met ΔPBC BD / AD = BC / PC (2) Uit (1) en (2) volgt: BD = ( BA. DC )/ AP = ( BC. AD )/ PC Uit de driehoeksongelijkheid volgt: AP + PC AC We vermenigvuldigen beide kanten met BD BA. DC + BC. AD AC. BD (Q.E.D) Ring van leuven Oefeningen Om onze stelling uit te testen gaan we afstanden meten binnen Leuven. Helaas is de ring niet een correcte cirkel, dus nemen we als middelpunt onze klas en dan een straal van 1.2 km om ongeveer bij de ring uit te komen. We testen of de stelling hier uitkomt. Als eerste punt nemen we het Martelarenplein. De tweede is Sportoase en meer bepaald de speeltuin want die komt beter uit onze de straal. Dan de Abdij Keizersberg, en uiteindelijk aan de Vaartkom. 8
AB: Station - Sportoase :1 300m BC:2 250m BD:2 000m AB. CD + BC. AD = 2 935 000 AC:1 467.5m AC. BD = 2 935 000 AD:900m CD:700m Vwo vraag Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen 1, 2 en 3 en een gelijkzijdige driehoek zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van deze driehoek ligt. Bereken de lengte van de zijden van deze driehoek. BEWIJS. Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. De omgekeerde stelling van Ptolemaeus zegt: Als het product van de lengtes van de diagonalen van een convexe vierhoek gelijk is aan de som van de producten van de lengtes van de paren overstaande zijden, dan is deze vierhoek een koordenvierhoek (m.a.w. de vier hoekpunten van deze vierhoek liggen op een cirkel). 9
Stel dat M het middelpunt is van de drie concentrische cirkels (zie figuur) en dat A,B en C de hoekpunten zijn van de driehoek. Dan is MA. BC = AC. MB + AB. MC (want AB = AC = BC en MA =3= 2+1 = MB + MC ) zodat de omgekeerde stelling van Ptolemaeus geldig is. Dan is AMC = ABC (omtrekshoeken op dezelfde boog) en dus is AMC = 60. Pas nu in driehoek AMC de cosinusregel toe: AC ² = MA ² + MC ² 2. MA. MC.cos 60. Hieruit volgt dat AC ² = 9 + 1 2.3.1.(1/2) = 7 zodat AC = 7. De zijden van driehoek ABC hebben lengte 7. Bronnen http://www.sterrenkunde.nl/index/encyclopedie/ptolemaeus.html http://www.pandd.nl/downloads/wbptol.pdf http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/322/322december_wtbi59.pdf http://www.bloggen.be/gnomon/archief.php?id=2233936 http://www.stuvia.com/doc/22136/de-stelling-van-ptolemaeus-pratische-opdracht http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/ptolemy%27s_inequality KINDT, M. Wat te bewijzen is Nieuwe Wiskrant, Nr. 2, Jaargang 32, 2012, p. 11 10