Grafieken, functies en verzamelingen Eerst enkele begrippen Grafiek In een assenstelsel teken je een grafiek. Assenstelsel Een assenstelsel bestaat uit twee assen die elkaar snijden: een horizontale en een verticale as. Dit is een assenstelsel: Oorsprong Het snijpunt van de verticale en de horizontale as heet de oorsprong. Coördinaten De coördinaten van punt P zijn (4,2) Stapgrootte In het assenstelsel hiernaast is de stapgrootte op de horizontale as 10. 10 20 30 40 stapgrootte Stijgen/dalen Eerst stijgt de grafiek, daarna daalt de grafiek
Constant De grafiek daalt niet en stijgt niet, de grafiek is constant. Steil De grafiek stijgt eerst langzaam en dan snel. De grafiek gaat dan steiler. Zaagtand/scheurlijn Wanneer je het onderste stukje van de verticale as weglaat, teken je een zaagtand (of scheurlijn). Verband In de grafiek zie je het verband tussen de leeftijd en de lengte van mensen: kinderen groeien. Ze worden steeds een beetje langer. lengte leeftijd Tabel In een tabel staan gegevens overzichtelijk bij elkaar. Dit is een tabel:
Grafieken ruitjespapier roosterpapier roosterlijn roosterpunt assenstelsel x-as (de) en y-as schaalverdeling (de) Hiernaast is op ruitjespapier ( of: roosterpapier) getekend. Het roosterpapier bestaat uit roosterlijnen ( horizontaal en verticaal) en roosterpunten. Er is op het roosterpapier een assenstelsel getekend zoals wij dat in de wiskunde vaak doen. Het assenstelsel bestaat uit een horizontale as ( vaak de x-as genoemd) en daar loodrecht op een verticale as ( vaak de y-as genoemd). Verder geef je op de assen een schaalverdeling aan. oorsprong (de) x-coördinaat (de) x-waarde (de) y-waarde (de) kwadrant grafiek (de) Bij het snijpunt van de assen zetten we een O van oorsprong. Met dit assenstelsel kunnen we nu elk punt van het vlak aangeven ( zie de voorbeelden in de tekening). Bijv.: (4,2) is het punt met x-coördinaat 4 en y-coördinaat 2; je vindt dit punt door vanuit de oorsprong 4 naar rechts en 2 naar boven te gaan. en: (-2,-3) vind je door vanuit de oorsprong 2 naar links te gaan en 3 naar beneden. Op de x-as is de y-waarde altijd 0 en op de y-as is de x-waarde altijd 0. Tenslotte: door het assenstelsel wordt het vlak in vier delen verdeeld:de kwadranten. We benoemen de kwadranten tegen de klok in, rechtsboven beginnend: het eerste, tweede, derde en vierde kwadrant. In zo'n assenstelsel tekenen we vaak grafieken. uitzetten tegen Zo is bijvoorbeeld in het voorbeeld hiernaast de grafiek getekend waarin de lengte van een meisje is uitgezet tegen haar leeftijd. Let op dat de schaalverdeling van de horizontale en verticale as nu niet meer dezelfde is! De getekende lijn noemen we de lengte-grafiek. Zo ligt op die grafiek het punt (7,110). De betekenis is duidelijk: toen het meisje 7 was, was haar lengte 110 cm.
Functies Meer wiskundig zeggen we: aan 7 wordt 110 gekoppeld óf: aan 7 wordt 110 toegevoegd óf: bij 7 hoort 110. We noteren wel: 7 110 uitspraak: 7 wordt 110 ( of één van de uitspraken hierboven) óf: L(7) = 110 beeld origineel uitspraak: de L van 7 is 110 ( waarbij de L staat voor: de lengte) We noemen 7 een origineel en 110 het bijbehorende beeld. Zo geldt bijvoorbeeld ook: het beeld van 9 is 120 (notaties: L(9) = 120 of 9 120 ) én: het origineel van 100 is 5. domein bereik functie (de) Alle originelen bij elkaar ( hier 1 t/m 18) heten: het domein (vaak: D) Alle beelden bij elkaar ( hier 75 t/m 165) heten: het bereik (vaak: B) We hebben hier een voorbeeld van wat in de wiskunde een FUNCTIE genoemd wordt ( aan elk origineel wordt precies één beeld gekoppeld). Een meer wiskundig voorbeeld: tabel (de) Elk vierkant heeft een oppervlakte. je kunt de volgende tabel maken : Lengte ½ 1 1½ 2 2½ 3 3½ 4 oppervlakte ¼ 1 2¼ 4 6¼ 9 12¼ 16 visgraattabel Zo'n tabel noemen we een visgraattabel. Ook hier weer bijvoorbeeld: 3 9 Algemener: functievoorschrift l l 2 Dit heet het functievoorschrift.
Ook noteren we : O : l l 2 én ook: O ( l ) = l 2 uitspraak: de O van l is l-kwadraat. (O staat voor oppervlakte en l voor lengte) De grafiek: y-as of Opp -as 1 O 1 x-as of l-as In de wiskunde zullen we de originelen vaak met x en de beelden vaak met y aangeven ( zoals ook de horizontale as meestal x-as en de verticale as meestal y- as genoemd wordt); ook geven we functies vaak aan met een f. Zo krijg je dan: f : x x 2 of: f(x) = x 2 of: y = x 2 In onze grafiek vind je zo het domein op de x-as ( zie de stippellijnen): D = [ 1, 4 ] en het bereik vind je op de y-as: B = [ 1, 16 ] Hierbij hebben we gebruik gemaakt van de zogenaamde interval-notatie.
gesloten interval getallenlijn (de) open interval oneindig interval Verzamelingen en intervallen -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 [1, 4] heet een gesloten interval; we bedoelen hiermee alle getallen tussen 1 en 4 met de grenzen 1 en 4 erbij. Vaak wordt dat op de getallenlijn zoals hiernaast aangegeven: de dichte punten bij 1 en 4 geven aan dat deze grenzen erbij horen. Hiernaast is een open interval getekend. Notatie: 3,2 we bedoelen hiermee alle getallen tussen -3 en 2 maar nu zonder degrensgetallen -3 en 2. Op de getallenlijn wordt dat zoals hiernaast aangegeven: de open punten bij -3 en 2 geven aan dat deze grenzen er niet bij horen. Tenslotte heb je nog de oneindige intervallen: vb: alle getallen groter dan of gelijk aan 1 Notatie: 1, verzameling (de) en -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 alle getallen kleiner dan 2 Notatie:, 2 Voor al deze intervallen is er ook nog de op de Nederlandse scholen niet meer veel gebruikte verzamelingnotatie: ( hierin betekent x : al die x-en waarvoor gedlt ) Uitspraak: alle x-en groter of gelijk 1, 4 x 1 x 4 aan 1 én kleiner of gelijk aan 4 3, 2 x 3 x, 2 x x 2 1, x x 1 2 Er bestaan natuurlijk ook half-open - half-gesloten intervallen: 1, 3 x 1 x 3
getallenverzamelingen Al deze intervallen zijn (aaneengesloten delen) van de verzameling van de reële getallen. De bekende getallenverzamelingen zijn: natuurlijke getallen gehele getallen rationale getallen reële getallen irrationaal N = { 0, 1, 2, 3, 4,. } de verzameling van de natuurlijke getallen Z = {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } de verzameling van de gehele getallen 1 1 Q = {., -3, -1, 0, 1, 5, 2, 2 3 } de verzameling van de rationale getallen ( de gehele getallen maar ook de gebroken getallen) 1 1 R = {., -3, -1, 0, 1, 5, 2, 2 3, 2,, } de verzameling van de reële getallen; ( de rationale getallen en de irrationale getallen) Bijvoorbeeld 2 is irrationaal omdat zij niet als een gebroken getal geschreven kan worden. Alle getallen van R worden vaak op een rechte lijn gedacht, de getallenlijn: even oneven -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 Terug naar de natuurlijke getallen; we onderscheiden nog: 2,4,6,8,10, zijn de even getallen 1,3,5,7,9,11,13, zijn de oneven getallen priemgetallen vijfvoud (de) veelvoud 1,3,5,7,11,13,17, zijn de priemgetallen ( de getallen die alleen door 1 en zichzelf deelbaar zijn) 5, 10,15,20,25, zijn de vijfvouden of ook: veelvouden van 5 lijngrafiek diagram statistiek (de) staafdiagram frequentie (de) Typen grafieken Naast de bovenstaande lijngrafieken bestaan er ook nog vele andere soorten grafieken of diagrammen. Vooral in de statistiek worden deze andere soorten veel gebruikt. We benoemen er een aantal: Dit staafdiagram laat zien hoeveel werknemers van een bepaald bedrijf met welk soort vervoer naar hun werk komen. Je noemt dat de frequenties. ov: openbaar vervoer f: fiets a:auto v: voetganger
cirkeldiagram Dezelfde gegevens als in het vorige voorbeeld zijn nu in een cirkeldiagram weergegeven. histogram aaneengesloten Het histogram. De staafjes van het histogram worden aaneengesloten getekend. vb: er zijn 6 werknemers die 4 keer per week sporten stapeldiagram óf: samengesteld staafdiagram toenamendiagram Een stapeldiagram of een samengesteld staafdiagram vb: van de 9 werknemers, die met openbaar vervoer naar hun werk komen zijn er 2 laag, 3 middelbaar en 4 hoog opgeleid Toenamendiagram We kunnen van de lengte-grafiek van het meisje op pagina 3 een zogenaamde toenamendiagram maken. Eerst maken we daarvoor een tabel van de grafiek: De tabel: Leeftijd Lengte 0? 1 74 2 84 3 90 4 94 5 100 6 104 7 110 8 114 9 120 10 124 11 130 12 135 13 141 14 150 15 159 16 165 17 165 18 165 +? +10 +6 +4 +6 de toenamen Hiermee kan je de toenamentabel maken: interval toename [0,1]? [1,2] 10 [2,3] 6 [3,4] 4 [4,5] 6 [5,6] 4 [6,7] 6 [7,8] 4 [8,9] 6 [9,10] 4 [10,11] 6 [11,12] 5 [12,13] 6 [13,14] 9 [14,15] 9 [15,16] 6 [16,17] 0 [17,18] 0
Nu kunnen we het toenamendiagram tekenen, door boven elk interval een staafje te tekenen met als hoogte de toename over dat interval: Minder inzichtelijk maar zeker zo gangbaar is de volgende vorm, waarbij de toenames als punten met verticale lijnstukjes boven de rechtergrenzen worden gezet: Je kunt de stapgrootte van het toenamendiagram veranderen. Bijvoorbeeld bekijk je niet de toename per jaar, maar per twee jaar. De lengte van de tijdsintervallen worden dan dus twee jaar in plaats van één jaar.
per jaar differentiequotiënt differentie (de) Als we vragen wat de gemiddelde groeisnelheid is van het meisje van haar 10 e tot haar 16 e verjaardag, weet je vast wel wat je moet uitrekenen: 165 124 41 6,8 cm/jaar (Uitspraak: centimeter per jaar). 16 10 6 In de wiskunde noemen we dit een differentiequotiënt, een quotiënt van differenties ofwel een deling van verschillen: we delen het verschil in lengtes door het verschil in leeftijd. We noteren: lengte leeftijd 165 124 41 6,8 16 10 6 cm/jaar ( Δ (de Griekse letter delta) staat voor differentie en dat betekent dus verschil) We zeggen dat het differentiequotiënt is berekend over het tijdsinterval [10, 16].