Voortbouwen op IMAGINARY

Voortbouwen op IMAGINARY Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be IMAGINARY Kick-off event KULeuven, 3 juni 2015 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 1 / 31

Componenten van de tentoonstelling Posters met uitleg 3D objecten met uitleg Interactieve software op reuzegrote aanraakschermen Inspiratie voor boeiende wiskundelessen! Of voor SETOCs... Software is vrij verkrijgbaar op http://imaginary.org Werkt ook op SMARTBoard! Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 2 / 31

Girih betegeling Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 3 / 31

Girih betegeling Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 4 / 31

Penrose betegeling met vliegers en pijlen Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 5 / 31

Betegelingen met meer symmetrie Reguliere betegelingen: alle tegels zijn congruente regelmatige veelhoeken. Semi-reguliere betegelingen: tegels zijn regelmatige veelhoeken en in elk hoekpunt zien we hetzelfde patroon. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 6 / 31

Periodieke vlakvullingen Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 7 / 31

Behangpapier Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 8 / 31

morenaments Ontwerpen van betegelingen die ontstaan uit herhaling van eenzelfde standaardtegel. Men kan de symmetriegroep kiezen. Er zijn juist 17 tweedimensionale kristallografische groepen, zogenaamde wallpaper groups : p1, pm, pg, cm, p2, pmm, pmg, pgg, cmm, p4, p4m, p4g, p3, p3m1, p31m, p6, p6m. p3 p3m1 p6 p6mm Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 9 / 31

Schoolreis Kleine Zavel in Brussel Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 10 / 31

Friezegroepen Eendimensionale betegelingen = friezen. Er zijn juist 7 friezegroepen: p1, p1m1, p11m, p11g, p2, p2mg, p2mm. p1 Philippe Cara (VUB) p11m IMAGINARY in de klas p11g p2mg 3 juni 2015 11 / 31

Friezen volgens Coxeter en Conway 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Definitie Een getallenfries bestaat uit een eindig aantal oneindig lange rijen van natuurlijke getallen met op de eerste en laatste rij enkel 1 en voor elke ruit a b c d de eigenschap ad bc = 1. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 12 / 31

Friezen volgens Coxeter en Conway Definitie Een getallenfries bestaat uit een eindig aantal oneindig lange rijen van natuurlijke getallen met op de eerste en laatste rij enkel 1 en voor elke b ruit a d de eigenschap ad bc = 1. c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 2 1 4 1 3 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 13 / 31

Hoe maken we getallenfriezen? Stelling Elke getallenfries met n rijen is afkomstig van een opdeling van een regelmatige (n + 1)-hoek in driehoeken. Kies een top en noem die 0. Elke top die samen met 0 op een driehoek ligt krijgt een label 1. Recursief aanvullen: een top zonder nummer krijgt de som van zijn twee buren op de driehoek. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 14 / 31

Friezen volgens Coxeter en Conway 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 2 1 4 1 3 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 15 / 31

Friezen volgens Coxeter en Conway 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 4 2 1 4 1 3 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 16 / 31

Hoeveel opdelingen in driehoeken? Stelling Het n-de Catalangetal C n = 1 ( ) 2n n + 1 n geeft het aantal triangulaties van een n + 2-hoek. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 17 / 31

Getallenbetegelingen. 1597 610 233 89 34 13 5 2 1 610 233 89 34 13 5 2 1 1 233 89 34 13 5 2 1 1 2 89 34 13 5 2 1 1 2 5 34 13 5 2 1 1 2 5 13 13 5 2 1 1 2 5 13 34 5 2 1 1 2 5 13 34 89 2 1 1 2 5 13 34 89 233 1 1 2 5 13 34 89 233 610. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 18 / 31

Getallenbetegelingen. 265 218 171 124 77 107 137 167 197 203 167 131 95 59 82 105 128 151 141 116 91 66 41 57 73 89 105 79 65 51 37 23 32 41 50 59 17 14 11 8 5 7 9 11 13 57 47 37 27 17 24 31 38 45 154 127 100 73 46 65 84 103 122 405 334 263 192 121 171 221 271 321. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 19 / 31

2013: Bessenrodt, Holm en Jørgensen Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 20 / 31

Functies en krommen y = f (x) Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 21 / 31

Functies en krommen y 2 = x 2 (x + 1) of x 2 (x + 1) y 2 = 0 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 22 / 31

Algebraïsche variëteiten Definitie Een algebraïsch oppervlak is de verzameling nulpunten van een (verzameling van) veeltermen (in meerdere veranderlijken). Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 23 / 31

Singuliere punten x 2 (x + 1) y 2 = 0 x 3 y 2 = 0 Men noemt een punt singulier indien de raakvector er niet eenduidig gedefinieerd is. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 24 / 31

Raaklijnen Als y = f (x), geeft f (x 0 ) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (x 0, f (x 0 )) van de grafiek. De vergelijking van de raaklijn is dus y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ), met y 0 = f (x 0 ). Als we f (x) y = 0 schrijven en de vergelijking van de raaklijn ook herschrijven, krijgen we of nog f (x 0 )(x x 0 ) 1(y y 0 ) = 0. P x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + P y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0, waarbij P(x, y) = f (x) y. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 25 / 31

Singuliere punten Definitie Een singulier punt van een algebraïsche variëteit gegeven door een veelterm P(x, y,...) is een punt (x 0, y 0,...) waarvoor alle partiële afgeleiden nul worden. Typische voorbeelden zijn dubbelpunten en keerpunten. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 26 / 31

Daisy P(x, y, z) = (x 2 y 3 ) 2 (z 2 y 2 ) 3 = 0. Partieel afleiden: P x = 4x(x 2 y 3 ), P y = 6y((y 3 x 2 ) + (z 2 y 2 ) 2 ) en P z = 6z(z2 y 2 ) 2. alle afgeleiden nul z = ±y en x 2 y 3 = 0. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 27 / 31

Surfer Interactieve software die toelaat te experimenteren met algebraı sche oppervlakken. Sommige oppervlakken hebben we ook in 3D geprint! Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 28 / 31

Distel en verder... Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 29 / 31

Leuke varianten NAMESURFER: maak met je naam een algebraïsch oppervlak! SURFER SHUFFLE: randomgenerator voor algebraïsche oppervlakken. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 30 / 31

Overige software FROZENLIGHT: rooster met ronde spiegels waarin het licht soms chaotische patronen maakt. QI: Mooie oppervlakken met constante kromming. Werkt in een webbrowser. THE SPHERE OF THE EARTH: verschillende cartografische projecties. Enkel voor Windows. RHUMB LINES AND SPIRALS: loxodromen en kortste paden op de aarde. Enkel Windows. 3D-XPLORMATH: een beetje zoals SURFER maar met animatiemogelijkheden. jreality: je kan reuzegrote wiskundige objecten beklimmen of erdoor wandelen. CINDERELLA: meetkundepakket vergelijkbaar met GeoGebra. Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 31 / 31