Wiskunde Leerjaar 2 - periode 2 Rekenen met letters Hoofdstuk - Eigenschappen De commutatieve eigenschap. Tel de volgende getallen bij elkaar op: Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen bij elkaar optelt? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a + b = b + a? 2. Trek de volgende getallen van elkaar af: Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen van elkaar acrekt? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b = b a? 3. Vermenigvuldig de volgende getallen met elkaar: 2 + 3 =... 3+ 2 =... 6 + 8 =... 8 + 6 =... 5+ 20 =... 20 +5 =... 2 3 =... 3 2 =... 6 8 =... 8 6 =... 5 20 =... 20 5 =... 2 3 =... 3 2 =... 6 8 =... 8 6 =... 208 H.J. Riksen! Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b = b a? 4. Deel de volgende getallen door elkaar: 0 20 =... 20 0 =... 0 2 =... 2 0 =... 2 4 =... 4 2 =... 00 20 =... 20 00 =... Maakt het uit in welke volgorde je twee getallen door elkaar deelt? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b = b a? 5. Als de volgorde van de getallen in de bewerking NIET uitmaakt, dan is de bewerking commutaoef. Geef hieronder aan of de bewerkingen wel/niet commutaoef zijn. De bewerking optellen is wel/niet commutaoef. De bewerking acrekken is wel/niet commutaoef. De bewerking vermenigvuldigen is wel/niet commutaoef. De bewerking delen is wel/niet commutaoef. a + b = b + a a b = b a De commuta*eve eigenschap
De associatieve eigenschap 6. Reken deze opgaven uit: ( 2 + 3) + 4 =... 2 + ( 3+ 4) =... ( 6 + 8) + 9 =... 6 + ( 8 + 9) =... Maakt het uit waar je de haakjes plaatst in een optelling van drie getallen? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a + b? ( ) + c = a + ( b + 7. Reken deze opgaven uit: ( 2 6) 4 =... 2 ( 6 4) =... ( 6 5) 3 =... 6 ( 5 3) =... Maakt het uit waar je de haakjes plaatst in een acreksom van drie getallen? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b? ( ) c = a ( b 8. Reken deze opgaven uit: ( 2 3) 4 =... 2 ( 3 4) =... ( 6 8) 9 =... 6 ( 8 9) =... Maakt het uit waar je de haakjes plaatst in een vermenigvuldiging van drie getallen? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b? ( ) c = a ( b 9. Reken deze opgaven uit: ( 2 6) 2 =... 2 ( 6 2) =... ( 00 0) 5 =... 00 ( 0 5) =... Maakt het uit waar je de haakjes plaatst in een deelsom van drie getallen? Kun je nu zeggen dat in het algemeen geldt: a b? ( ) c = a ( b 0. Als het NIET uitmaakt waar de haakjes staan in een bewerking van meerdere getallen, dan is de bewerking associaoef. Geef hieronder aan of de bewerkingen wel/niet commutaoef zijn. De bewerking optellen is wel/niet associaoef. De bewerking acrekken is wel/niet associaoef. De bewerking vermenigvuldigen is wel/niet associaoef. De bewerking delen is wel/niet associaoef. ( a c = a ( b ( a + + c = a + ( b + De associa*eve eigenschap 208 H.J. Riksen!2
De distributieve eigenschap. Reken deze opgaven uit: Als je een getal vermenigvuldigt met een optelling tussen haakjes, krijg je dezelfde uitkomst als wanneer je dat getal vermenigvuldigt met de afzonderlijke getallen in die optelling. In het algemeen kun je stellen: Dit noemen we de distribuoeve eigenschap. De eigenschap is ook van toepassing als één of meer getallen negaoef zijn. 2. Schrijf de volgende opgaven eerst zonder haakjes en reken daarna uit. 2 (3+ 4) =... 2 3+ 2 4 =... 5 (2 + 7) =... 5 2 + 5 7 =... 0 (4 + 3) =... 0 4 +0 3 =... a (b + = a b + a c Voorbeeld: 4 3+ 4 5 = 2 + 20 = 32 4 3+ 5 6 2 + 8 7 4 + 6 2 2 + 4 5 0 2 3 7 5 4 5+ 4 8 4 3. Schrijf de volgende opgaven eerst met haakjes en reken daarna uit. Voorbeeld: 6 2 + 6 4 = 6 2 + 4 5 3 + 5 = 4 + 6 = 7 2 + 7 5 = 4 6 + 4 8 = 0 3 + 0 4 = 8 2 + 8 9 = 2 + 2 5 = a (b + = a b + a c De distribu*eve eigenschap 6 6 = 36 208 H.J. Riksen!3
Hoofdstuk 2 - Letters Schrijfwijze I. Als a, b en c getallen voorstellen, wordt bij vermenigvuldiging het vermenigvuldigingsteken meestal weggelaten. Voorbeelden: 2 a b c wordt geschreven als 2abc en 5 a + b wordt geschreven als. ( ) 5( a + II. Het is gebruikelijk de letters in alfabetische volgorde te zetten, met de getallen daarvoor. Getal wordt als factor weggelaten. Voorbeelden: a wordt geschreven als a b a wordt geschreven als ab b a wordt geschreven als ab III. Een optelling van termen met letters kun je korter schrijven als de letters, of de lettergroepjes, gelijk zijn. Voorbeelden: 7x + 4x = x 2ab + 5ab = 7ab 8x + 5y 2x = 6x + 5y 2ab 5ab + 7ac +6ab = 3ab + 7ac. Schrijf korter/werk uit: i) 2. Schrijf korter/werk uit: 2a + 5a = 3xy 4xy = 2a 3c 5b = 2a 3c 5b = 2 3 6 a = 2 3c 6c = 5 7x 4y = y 3x 4 = 2a c 3b = 3a 4a = xy 2yz = 2a + 3ab 3a 4ab = 5a 2b + 7c 5a = 5a + 3a b 8a + b = 3. Schrijf korter/werk uit. Denk daarbij goed om de volgorde; eerst haakjes, dan kwadraten/wortels, dan dan vermenigvuldigen/delen, dan optellen/ acrekken: 4 2a + 5 a = 3 x + 0 2x = 0x + 2y y 8x + z = x + x y + 5x = 2ab 3ab + 5ab 7ab = 2x 3y + y 2x + 5y 2z 3z 8y = 3p 4q + 6q p = TIP: kijk op www.wiskundeacademie.nl voor filmpjes met uitleg. h8ps://wiskundeacademie.nl/onderwerpen/ le8errekenen-de-basis 208 H.J. Riksen!4
Hoofdstuk 3 - Haakjes wegwerken Regel K ( a + = Ka + Kb Vermenigvuldig term K één voor één met de termen a en b die tussen haakjes staan. Cijfers vóór de letters plaatsen en letters altijd op alfabetische volgorde. Voorbeeld 2( 3+ 4) = 2 7 = 4 2( 3+ 4) = 2 3 + 2 4 = 6 + 8 = 4 Voorbeeld 2 2 a + 4 Voorbeeld 3 2 a + 2 4 = 2a + 8 2 a + 2 b = 2a + 2b 2 a + b Voorbeeld 4 2a a + 2a b = 2a 2 + 2ab 2a a + b. Werk de haakjes weg: 2b a + b a 3b + a b 4 + 2b 3a a + 2b x 6 + 3y xy x + y 2y 3xy + 5y p 4 p + 6q 2 Let nu op het min-teken ( ) ( want 2 3 = 6) ( want 2 3 = 6) ( ) a b = ab want 2 3 = 6 a b = ab a b = ab a b = ab want 2 3 = 6 2. Werk de haakjes weg: 2b a b a 3b + a b 4 + 2b 3a a 2b x 6 + 3y xy x y 2y 3xy + 5y p 4 p 6q 2 208 H.J. Riksen!5
Nog een stapje verder 3. Werk de haakjes weg: 3ab + a 3b + a 2x + y 2 ( x + y) = 2x 2 x 2x + x 2 2 p( 6 2q) + pq = ( ) + 4xz + xy = ( x y) + ax + a 2 y = ( ) 2 x2 y = x y + 4z a 2 8a + b + 2a 4 + b 2 x2 2 + y Regel 2 ( a + ( c + = ac + ad + bc + bd Vermenigvuldig eerst a met c en d. Vermenigvuldig dan b met c en d. Je krijgt dus 4 vermenigvuldigingen. Cijfers weer vóór de letters plaatsen en letters altijd op alfabetische volgorde. ( 2 + 3) ( 4 + 5) = 5 9 = 45 Voorbeeld ( 2 + 3) ( 4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5 = 8 +0 +2 +5 = 45 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Voorbeeld 4 ( a + 3) ( b + 5) = a b + a 5 + 3 b + 3 5 = ab + 5a + 3b + 5 ( a 3) ( a + 5) = a a + a 5 3 a 3 5 = a 2 + 5a 3a 5 = a 2 + 2a 5 ( x + y) ( x y) = x x x y + x y y y = x 2 xy + xy y 2 = x 2 y 2 4. Werk de haakjes weg: ( a + 7) ( b + 5) = ( x 2y) ( x + y) = ( x 2y) ( 2x + y) = x y ( )( y x) = ( x 3y) ( x + y) = y 2 + ( y 2x) ( x 2y) = ( 3p + 7) ( 2q + 5) = ( )( 3a 3 = 2a 2b 208 H.J. Riksen!6
Regel 3 Merkwaardige producten Er zijn drie combinaoes met een vaste uitkomst, die we merkwaardige producten noemen. Merkwaardig product ( x + y) ( x y) = x 2 y 2 xy en +xy vallen tegen elkaar weg. Merkwaardig product 2 ( x + y) 2 = ( x + y) ( x + y) = x 2 + 2xy + y 2 +xy +xy +2xy en wordt. Merkwaardig product 3 ( x y) 2 = ( x y) ( x y) = x 2 2xy + y 2 xy xy 2xy en wordt. 5. Werk de haakjes weg: 2x y ( )( 2x + y) = 2xy + ( 3x + 2y) 2 = ( x 2y) 2 = ( 0x + 6) 2 = ( x ) ( x +) ( x 2 +) = ( x 2 + 2) x 2 2 ( 2x + 3) 2 = ( )( 3x +) = 3x + Extra oefeningen ( ) + Let nu goed op de volgorde: Eerst, dan en dan. Voeg gelijksoortige termen samen. 6. Werk uit: 3x + 4x 5x = 3x 2 + 4x 5x = 3x + 4x ( ) 5x = ( ) 4x 3 = 4x 2 4x x ab + a b = a b + a b = ( a + a b ( a + ( a + = 208 H.J. Riksen!7
Hoofdstuk 4 - Buiten haakjes brengen Bij het vorige hoofdstuk hebben jullie geleerd om haakjes weg te werken. We gaan het nu andersom doen, namelijk haakjes toevoegen. Dit heec verschillende namen in de wiskunde: buiten haakjes brengen, buiten haakjes halen of ontbinden in factoren. Voorbeeld We hebben de uitdrukking: We zoeken naar een gemeenschappelijke factor in beide termen. Dat is 2, want die zit in de eerste term en ook (drie keer) in de tweede term. We brengen de 2 buiten haakjes: 2x + 6 2( x + 3) Ter controle kunnen we de haakjes wegwerken en dat staat er weer 2x + 6. Voorbeeld 2 We hebben de uitdrukking: We zoeken naar een gemeenschappelijke factor in beide termen. Dat is x, want die zit (twee keer) in de eerste term en ook (vijf keer) in de tweede term. We brengen de x buiten haakjes: x 2 + 5x x( x + 5) Ter controle kunnen we de haakjes wegwerken en dat staat er weer x 2 + 5x. Voorbeeld 3 We hebben de uitdrukking: We zoeken naar een gemeenschappelijke factor in beide termen. Dat is 2x, want die zit in de eerste term en ook in de tweede term. We brengen de 2x buiten haakjes: 4x 2 + 6x 2x( 2x + 3) Ter controle kunnen we de haakjes wegwerken en dat staat er weer 4x 2 + 6x. Opdrachten. Breng een zo groot mogelijke gemeenschappelijke factor buiten haakjes: 4x +2 3x 2 2x + 24 5x + 30 6x +6 7x 9 9x + 36 4x 2 208 H.J. Riksen!8
2. Breng een zo groot mogelijke gemeenschappelijke factor buiten haakjes: x 2 + 4x x 2 6x x 2 +7x x 2 2x x 3 + 6x x 4 + 4x 2 x 3 + 4x 2 5x x 3 8x 3. Breng een zo groot mogelijke gemeenschappelijke factor buiten haakjes: 2x 2 + 4x 2x 3 + 6x 2 2x 3x 2 6x 4x 2 + 32x + 8 3x 2 39x 3x 5 +2x 2 6x 2 x2 + 6x 2x 4 x3 + 8 x2 x 2 4. Breng een zo groot mogelijke gemeenschappelijke factor buiten haakjes: 24a + 8b 3p 2 +2 pq 3 9 p 3 r 56xy + 2xz xy 2x 2 y + 8xy 2 2 4 x2 y + 2 xy2 3p 2 q 2 + 247 pq 2 22p 2 q 2ab + 4bc + 6ac Dubbele haakjes Het ontbinden in factoren van tweedegraads vergelijkingen. We hebben al eerder gezien dat we dubbele haakjes kunnen wegwerken op de volgende manier: Voorbeeld ( x + 2) ( x + 6) = x 2 + 6x + 2x + 2 = x 2 + 8x + 2 Stel nu dat we andersom willen werken. We beginnen met: y = x 2 + 8x +2 en willen deze vergelijking ontbinden in twee factoren, dus we willen deze vergelijking schrijven als twee paar haakjes. Kijk nog eens goed naar dit voorbeeld: ( x + 2) ( x + 6) = x 2 + 8x +2. Merk op dat het getal 8 (van 8x ) is ontstaan uit 6 + 2. 2. Merk op dat het getal 2 is ontstaan uit 6 2. Met andere woorden: als je de vergelijking y = x 2 + 8x +2 wilt ontbinden, ben je op zoek naar twee getallen a en b die het volgende opleveren:. a + b = 8. 2. a b = 2 Om deze getallen te vinden is het handig om eerst alle mogelijkheden op te schrijven van getallen die keer elkaar 2 opleveren: 208 H.J. Riksen!9
2 = 2 2 6 = 2 3 4 = 2 Nu kijk je of hier een combinaoe bij zit die plus elkaar 8 opleveren. Dat zijn 2 en 6. Het antwoord wordt dan: ( x + 2) ( x + 6). Voorbeeld 2 Ontbind y = x 2 + 9x +4 in twee factoren.. Schrijf eerst alle keersommen op die 4 opleveren: 4 = 4 2 7 = 4 2. Welke combinaoe levert plus elkaar 9 op? Dat zijn 2 en 7. 3. Het antwoord is: ( x + 2) ( x + 7). Voorbeeld 3 Ontbind y = x 2 +x + 24 in twee factoren.. Schrijf eerst alle keersommen op die 24 opleveren: 24 = 24 2 2 = 24 3 8 = 24 4 6 = 24 2. Welke combinaoe levert plus elkaar op? Dat zijn 3 en 8. 3. Het antwoord is: ( x + 3) ( x + 8). Opdrachten 5. Ontbind in twee factoren y = x 2 + 4x + 4 y = x 2 + 5x + 6 y = x 2 + 7x +2 y = x 2 + 7x + 6 y = x 2 + 6x + 9 y = x 2 +2x + 32 y = x 2 + 7x +0 y = x 2 +6x + 48 208 H.J. Riksen!0
Als de laatste term negatief is Als de laatste term van de vergelijking negaoef is, wordt één van beide getallen in de factoren ook negaoef. Je moet dan goed opleeen welke van de twee negaoef moet zijn, om het geheel te laten kloppen. Voorbeeld Ontbind y = x 2 5x 4 in twee factoren.. Schrijf eerst alle keersommen op die 4 opleveren: 4 = 4 2 7 = 4 4 = 4 2 7 = 4 2. Welke combinaoe levert plus elkaar 5 op? Dat zijn 2 en 7. 3. Het antwoord is: ( x + 2) ( x 7). Voorbeeld 2 Ontbind y = x 2 + 5x 6 in twee factoren.. Schrijf eerst alle keersommen op die 6 opleveren: 6 = 6 2 3 = 6 6 = 6 2 3 = 6 2. Welke combinaoe levert plus elkaar 5 op? Dat zijn en 6. 3. Het antwoord is: ( x ) ( x + 6). Opdrachten 6. Ontbind in twee factoren y = x 2 + 3x 4 y = x 2 x 6 y = x 2 + x 2 y = x 2 + 3x 70 y = x 2 + 8x 9 y = x 2 x 56 y = x 2 3x 0 y = x 2 4x 32 208 H.J. Riksen!