Lesbrief voor kinderen van het 4de, 5de en 6de leerjaar (België) en groepen 5 tot 8 (Nederland) DE TELDUIVEL Een spannend rekenavontuur voor al wie bang is van wiskunde
INLEIDING Verhaal De cd-rom De telduivel naar het boek van Hans Magnus Enzensberger vertelt het verhaal van de 10 nachten van Robert. Robert is een jongen met veel fantasie. Hij verveelt zich in zijn reken-/wiskundelessen op school. Al die saaie sommen! s Nachts droomt hij van akelige vissen die hem opslokken of van snelle fietsen met 24 versnellingen die opeens veranderen in dode muizen. Tot in zijn dromen de telduivel verschijnt. De telduivel is een klein driftig baasje die iets kan wat zijn wiskundeleraar niet kan: Robert uitdagen om te ontdekken hoe eigenaardig die getallenwereld en wiskunde in het algemeen in elkaar zit. Het begint nog rustig met oneindig groot en oneindig klein, maar al snel is Robert bezig met gehupte, prima en onverstandige getallen en met het trekken van de radijs uit 169. Elke droom eindigt met een spel. Soms wordt een bepaald aspect van de droom nog eens op een speelse manier aangeboden, een andere keer gaat het om een actiespel. Als alle spelletjes met succes zijn afgewerkt, kom je in de 11e nacht, en die bestaat uit een ingewikkeld masterspel waarin je het opneemt tegen de telduivel en waarbij je scores in de vorige opdrachten een belangrijke rol spelen. Mogelijkheden voor gebruik in de klas Deze cd-rom is geschikt om te gebruiken als ondersteuning van de gewone reken-/wiskundelessen. Kinderen vanaf 10 jaar kunnen ermee aan de slag. Er zijn verschillende manieren om met de cd-rom te werken, afhankelijk van de beschikbaarheid van voldoende computers in de klas. Er kan gekozen worden voor een gebruik van de cd-rom als middel tot individuele verdieping voor de betere rekenaars. Hier en daar zal dan toch begeleiding van de docent(e) nodig zijn. Een andere mogelijkheid is een klassikale aanpak: één keer per week aandacht voor het werken met de cd-rom, met telkens een aansluitend klassengesprek en/of thuisopdracht (die klassikaal besproken kan worden). In deze lesbrief gaan we van die laatste manier van werken uit, en zullen we per droom van Robert bespreken wat de mogelijkheden zijn voor thuisopdrachten en klassikale besprekingen. Doel Het doel is om kinderen kennis te laten maken met allerlei aspecten van de wiskunde. Ze krijgen meer inzicht in breuken. Ze leren rekenen met Romeinse cijfers. Spelenderwijs leren ze iets over machtsverheffen (huppen) en over ontbinden in factoren (met behulp van de prima getallen, de zgn. priemgetallen). Hoewel er soms flink gerekend moet worden is het niet zo dat de "gecijferdheid" centraal staat. Het gaat veel meer om het spelen met de begrippen, om het gefascineerd raken door op het eerste gezicht vreemde regelmatigheden. Spelenderwijs leren kinderen veel bij over wiskunde, hoewel de formele begrippen als machtsverheffen en worteltrekken vermeden worden. Lastig rekenwerk wordt over het algemeen uitbesteed aan een ingebouwde rekenmachine, het zakjapannertje, en je kunt Robert ook een deel van het denkwerk in jouw plaats laten doen. Het verhaal met de verschillende spelletjes en puzzels moet centraal blijven staan. De telduivel l 2
EERSTE NACHT In de eerste droom van Robert komen de volgende onderwerpen aan de orde: - Oneindig groot - Oneindig klein - Een klein rekengrapje met vermenigvuldigen. In het aansluitend spel moeten kinderen aantallen figuren en voorwerpen schatten. Bij oneindig groot gaat het erom dat er nooit een grootste getal kan zijn, omdat je een recept hebt om nog verder te komen. Stel dat je een kandidaat grootste getal hebt, dan kun je er eenvoudig 1 bij optellen, en dan ben je er al weer voorbij. Bij oneindig klein gaat het erom dat er ook geen getal oneindig klein kan zijn, want stel dat je een stukje kauwgum moet verdelen over twee personen, of over drie, vier, vijf enz. mensen, het stukje kauwgum wordt wel steeds kleiner maar je kunt in theorie rustig verder gaan met verdelen. Bij het rekengrapje ontdekken kinderen dat 11 keer 11, 111 keer 111, 1111 keer 1111 enz. een grappige symmetrische getallenvolgorde oplevert. Suggestie voor het werken in de klas Om het werken met de cd-rom op gang te brengen kan de docent(e) leerlingen vragen om thuis of op school te zoeken naar zo groot mogelijke getallen in de krant. Ook kan gekeken worden welke getallen nog gewoon uitgesproken kunnen worden. Een getal bestaande uit 25 cijfers zonder komma bestaat natuurlijk wel maar niemand weet hoe je het moet noemen. Voor een klassengesprek leent zich ook het verhaal over oneindig klein. De docent kan vragen naar een breuk tussen 0 en 1, (ongetwijfeld ), en vervolgens vragen naar een getal tussen 0 en, enzovoort. Een tweede mogelijkheid is te vragen naar wat groter is, 1/7 of 1/8, en hoe je dit kunt afleiden uit het verhaal over kauwgum. Een verdieping van deze laatste mogelijkheid is het vergelijken van 6/7 en 7/8 door te kijken hoever deze getallen van 1 afliggen. De telduivel l 3
DE TWEEDE NACHT In de tweede droom van Robert komen de volgende onderwerpen aan de orde: - het huppen van getallen, in de gewone wiskundetaal het machtsverheffen; - het verschil tussen het cijfer 5 in het getal 15397 en het cijfer 5 in het getal 451, kortom het positiestelsel van ons getallensysteem; - in het spel aan het eind van de droom moeten kinderen getallen in Romeinse cijfers uitdrukken om uiteindelijk de schat van Teplotaxl te vinden. De tweede droom vraagt om een vergelijking van het Romeinse getalsysteem en ons positiestelsel. Terwijl de Romeinen steeds andere letters moesten gebruiken om grotere getallen aan te geven, van I naar V naar X naar L naar C naar D naar M, betekent ons cijfer 5 telkens iets anders afhankelijk van de plaats van dit cijfer in het getal. In het spel komt wel een korte uitleg van dit Romeinse getalsysteem voor, maar dit kan beter klassikaal even ondersteund worden. Het Romeinse getalsysteem is een verder onderzoek waard. Je kunt de leerlingen laten zoeken naar voorbeelden van deze getallen: ze komen voor op oude gebouwen en kerken, op begraafplaatsen, in het voorwoord van sommige boeken. Een leuke opdracht is ook om ieders verjaardag in Romeinse cijfers te laten opschrijven. Bij gehupte getallen gaat het om het volgende: bij 2x2x2x2 is de 2 vier keer gehupt, dit schrijf je ook wel als 24. Bij 8x8x8x8x8 is de 8 vijf keer gehupt, dit schrijven we ook wel als 85. Het huppen van het getal 10 bepaalt uiteindelijk de waarde van een cijfer in een getal. In 15975 is de laatste 5 gewoon het losse cijfer 5 maar de eerste 5 is 5 x 10 x 10 x 10. 15975 is dus opgebouwd uit 10.000 + 5.000 + 900 + 70 + 5. Omdat de Romeinen niet konden huppen konden ze hun getallen niet handig weergeven. Een grappig trucje om de twee keer gehupte getallen tevoorschijn te halen is het volgende: neem kaartjes met daarop de getallen 2 tot en met 50 en leg ze als volgt neer: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Begin bij de twee en draai deze kaart om. Draai daarna alle kaartjes om die een getal hebben dat deelbaar is door 2. Ga naar de 3, draai ze om en vervolgens alle getallen die deelbaar zijn door 3. De 6 wordt dus weer zichtbaar. Draai de 4 om en dan alle kaartjes met een getal dat deelbaar is door 4, enz. Als alle getallen aan de beurt zijn geweest, blijven als het goed is alleen de twee keer gehupte getallen zichtbaar. Dit komt doordat de getallen 4, 9, 16 enz. een oneven aantal delers hebben, 4 heeft namelijk uitsluitend de 2, 9 heeft de 3 en 16 heeft 2, 4, en 8. De andere getallen hebben altijd een even aantal delers, 32 heeft 2, 4, 8 en 16. De twee keer gehupte getallen draai je dus telkens weer met hun cijfer naar boven. Het is voldoende om dit spelletje aan de leerlingen te laten zien en te vragen wat er bijzonder is aan de getallen die zichtbaar blijven. De telduivel l 4
DE DERDE NACHT In de derde droom van Robert gaat het om het ontdekken van de prima getallen, getallen die slechts door 1 en door zichzelf deelbaar zijn. De droom start met de vraag waarom je eigenlijk niet door nul mag delen, en onderzoekt vervolgens bij welke getallen er altijd een rest overblijft na deling door een willekeurig ander getal. Daarna wordt op een systematische manier, door middel van de zgn. zeef van Eratosthenes, onderzocht welke getallen van 2 tot en met 50 prima zijn. Vervolgens wordt gesteld dat zich tussen een even getal en het dubbele van dit getal altijd een prima getal bevindt en dat je een even getal altijd kunt schrijven als de som van twee prima getallen. Het spel na het verhaal van de droom gaat over het snel herkennen van prima getallen, waarbij vooral een goede kennis van de tafels een hulpmiddel kan zijn. De stelling in het verhaal dat je niet door nul mag delen kan klassikaal wel wat toelichting vereisen. 15:3 = 5 omdat je 15 in 5 gelijke delen van 3 kunt verdelen. Stel dat 29:0 een mooie uitkomst had, bijvoorbeeld 223. Dan zou je 29 in 223 gelijke delen van nul moeten kunnen verdelen en dat is natuurlijk onzinnig. Ook de zeef van Eratosthenes kan klassikaal toegelicht worden en uitgebreid tot de 100. De zeef werkt als volgt: noteer de getallen van 2 tot en met 50 op deze manier: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Streep vervolgens alle getallen weg die deelbaar zijn door 2 behalve de 2 zelf, vervolgens alle getallen die deelbaar zijn door 3 behalve de 3 zelf, enzovoort. Wat je overhoudt zijn de getallen die na deling door een ander getal altijd een rest overhouden, de zgn. prima getallen. Ontbinden in factoren kan met een spel worden geoefend: verdeel de kinderen in twee groepen. De ene groep noemt een getal, de andere groep zoekt alle getallen die een geheel aantal keren in het getal passen (de delers) en voor elke deler krijgen ze een punt, dan kiest de andere groep een getal. Het is natuurlijk slim om prima getallen te nemen. Zorg dat de kinderen uit een beperkt aantal getallen kunnen kiezen en dat ze een getal maar één keer mogen gebruiken. De twee feiten over prima getallen, namelijk dat zich tussen een even getal en het dubbele van dit getal altijd een prima getal bevindt en dat je een even getal altijd kunt schrijven als de som van twee prima getallen, kunnen een leuke uitdaging zijn voor de klas. Laat ze maar kijken of ze tegenvoorbeelden kunnen verzinnen. Het is in de wiskunde niet bewezen dat het altijd zo is, dus wie weet Een laatste feit is dat je een oneven getal groter dan 5 kunt schrijven als de som van 3 prima getallen, ook dit vraagt om nader onderzoek door de leerlingen. De telduivel l 5
DE VIERDE NACHT De droom van de vierde nacht gaat over het verschil tussen decimale getallen met regelmaat en decimale getallen zonder regelmaat in de staart. Die laatste noemt de telduivel de onverstandige getallen. In de wiskunde heten ze de irrationale getallen, omdat je ze niet als een breuk (verhouding, ratio) van twee gehele getallen kunt schrijven. Een voorbeeld is 2, in termen van de telduivel: de radijs van 2. Het radijs trekken volgt na een rijtje met voorbeelden van twee keer gehupte getallen, 4, 9, 16, 25 enz. Dat roept namelijk de vraag op of je niet ook terug kunt huppen. De radijs van een getal herken je vervolgens ook als de zijde van een vierkant dat bestaat uit 4, 9 of 16 kleine vierkantjes. Het spel tenslotte bestaat uit het slim opvullen van verschillende vierkanten met kleine vierkantjes. In deze vierde droom krijgen de leerlingen een aantal dingen aangereikt die misschien niet vanzelfsprekend zijn of meteen doorzien worden. Het verhaal vraagt dan ook om het klassikaal experimenteren met de verschillende feitjes over de getallen. Om te onderzoeken welke regelmaat er ontstaat bij een deling, is het nodig dat kinderen door kunnen delen achter de komma. Bij de ouderwetse staartdeling ging dat min of meer automatisch, het kan natuurlijk ook bij de methode van het herhaald aftrekken. Als kinderen dit vervolgens gaan uitproberen, ontdekken ze de regelmaat vanzelf. Waarom de regelmaat ontstaat is vaak ook nog uit te leggen: stel dat je de deling 12/7 hebt, je gaat delen, je krijgt 1 rest 5, dus je deelt door voor de tienden en je maakt er 50/7 van, geeft 7 rest 1, je deelt door voor de tienden (10/7), geeft 1 rest 3, enz. Het aantal resten is dus beperkt: bij rest 0 komt het getal mooi uit, bij rest 7 heb je er 1 te weinig van afgetrokken, je hebt dus maximaal 6 resten. Na maximaal 6 keer herhaalt de getallenvolgorde zich dus. Het onregelmatige van de irrationale getallen kan door de rekenmachine min of meer aangetoond worden. Probeer maar eens de radijs van 3 te vinden, dan teken je een vierkant met oppervlakte 3. De zijde zal tussen 1 en 2 in liggen, dan is de vraag of het tussen 1 en 1 of tussen 1 en 2 ligt. Probeer dus 1, je ziet dat je weer omhoog moet, en zo benader je de radijs steeds dichter. De vierde droom vraagt dus om twee soorten experimenten in de klas: het delen van breuken als 2/7 en het ontdekken van de regelmaat daarin, en het benaderen van de radijs van een getal. De telduivel l 6
DE VIJFDE NACHT De droom van de vijfde nacht gaat over drie- en vierhoeksgetallen. Driehoeksgetallen zijn getallen die voorkomen in de rij 0 1 3 6 10 15 Ze ontstaan als volgt: 1 (+2 geeft) 3 (+3) 6 (+4) 10 enz., je moet er dus steeds één meer bij optellen. Deze getallen hebben een aantal bijzondere eigenschappen. Als je bv. twee naast elkaar liggende driehoeksgetallen optelt, krijg je altijd een mooi kwadraat (tweemaal gehupte getallen). Als je de getallen 1, 2, 3, 4 t/m 12 optelt, dan krijg je het 12 e driehoeksgetal, enzovoort. In het spel gaat het erom dat kinderen kwadraten leren herkennen als de som van twee driehoeksgetallen, en ontdekken dat ze een willekeurig ander getal altijd kunnen schrijven als de som van drie driehoeksgetallen, waarbij deze driehoeksgetallen wel meer dan 1 keer mogen voorkomen (zo is 13 = 6 + 6 + 1, en 12 = 0 + 6 + 6). Het spel na het verhaaltje van de telduivel vraagt om een toelichting. Bij het selecteren van de juiste stapel kokosnoten moet men met de muis de cursor tot midden onder de stapel bewegen vlak onder de grijparmen, totdat de cursor de vorm aanneemt van een klein scheef pijltje, klikken, de grijparmen omhoog of omlaag slepen, op de stapel klikken, de stapel bij het hijstouw nemen en naar de juiste opening slepen en op de stapel klikken. Daarna vallen de kokosnoten in een kist. Een handig hulpje is een lijst met alle getallen tot 63 en hoe ze voor zover mogelijk zijn samengesteld uit de driehoeksgetallen 1,3,6,10,15 of 21. Het optellen van de getallen 1, 2, 3, 4, t/m 22, op de manier van de telduivel vinden kinderen vaak erg aantrekkelijk: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 + 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 Kortom, je kunt ook gewoon 11 keer 23 uitrekenen. Je rekent dus met (eerste getal plus laatste getal) keer het aantal getallen keer. Het verhaal gaat dat de wiskundige Gauss dit uitvond toen hij als strafwerk kreeg het optellen van de getallen 1, 2, 3 tot en met 100. Vraag aan de kinderen uit te zoeken of het ook voor een oneven aantal opgaat (dat is wel het geval). In de klas kan de docent een wedstrijd organiseren tussen een groep kinderen die met de rekenmachine werken en een groep kinderen die met papier en potlood rekenen. Een verdere uitbreiding is het optellen van getallen die telkens twee of drie verschillen, het principe blijft hetzelfde. De telduivel l 7
DE ZESDE NACHT De droom van de zesde nacht gaat over de Bonatsji-getallen, in de wiskunde schrijf je dit als de Fibonaccigetallen. Ze ontstaan door te starten met een 1, nog een 1 en vanaf dat moment steeds de laatste twee getallen bij elkaar op te tellen. 1 + 1-2; 1 + 2-3; 2 + 3-5; 3 + 5-8 enzovoort. Een eigenaardigheid van de Bonatsji-getallen is dat, als je de 4e laat huppen en je laat de 5e huppen en je telt beide samen, dan krijg je het 9e Bonatsji-getal: Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bonatschi-getal 1 1 2 3 5 8 13 21 34 44 De vergelijking wordt gemaakt met de toename in een troep jonge hazen. Als je met één hazenpaartje begint en aanneemt dat ze telkens na 1 maand een jong hazenpaartje werpen, vervolgens aanneemt dat dit jonge hazenpaartje na 1 maand ook begint met het werpen van 1 hazenpaartje, enzovoort, dan volgt het totale aantal hazenpaartjes dat je krijgt precies de Bonatsji-reeks. Het spel is deze keer een opwindend soort pacman waarmee je Bonatsji-getallen kunt verzamelen. De inhoud van deze zesde droom behoeft nauwelijks nadere toelichting en is goed te volgen evenals het spel. Een ander voorbeeld van een Bonatsji-reeks is het zich vertakken van een boom. Stel dat aan elke tak na elk jaar een nieuw twijgje groeit, en na een jaar groeit ook aan dit inmiddels tak geworden twijgje voortaan elk jaar een nieuw twijgje, enzovoort: het totale aantal takken volgt precies de Bonatsji-reeks. De kinderen kunnen een poster of tekening maken waarin ze dit weergeven. De telduivel l 8
DE ZEVENDE NACHT In de zevende nacht laat de telduivel Robert de driehoek van Pascal ontdekken, hij heet daar de getallendriehoek. Een dergelijke driehoek ziet er als volgt uit: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 De volgende rij ontstaat telkens door de twee getallen die erboven staan bij elkaar op te tellen. De 10 komt van 4 + 6, de 4 van 1 + 3 enzovoort, en aan de randen staan telkens enen. In deze driehoek herkennen we allerlei getallenreeksen die in de vorige dromen voorkwamen. Tel je de getallen van elke rij op, dan ontstaat de rij van gehupte tweeën, tel je trapsgewijs naar beneden dan zie je de rij 1, 2, 3, 4, enzovoort, de driehoeksgetallen 1, 3, 6, 10, enzovoort. Ook de Bonatsji-getallen zijn terug te vinden. In het verhaal is ook mooi te zien hoe alle veelvouden van getallen als 2, 3, 4, enzovoort allemaal mooie driehoekige patronen in de driehoek van Pascal te zien geven. In het spel bij deze droom moeten de kinderen zich een weg banen langs allerlei getallen uit de verschillende rijen die in de driehoek zichtbaar zijn om uiteindelijk een raadsel op te lossen. In deze droom komen de kinderen veel informatie uit de voorgaande 6 dromen nog eens tegen. Het is daarbij aangewezen klassikaal aandacht te besteden aan de verschillende soorten getallen die ze hebben gezien: de rij gehupte tweeën, de driehoeksgetallen, de Bonatsji-rij, de prima getallen. Een goede opdracht is een poster te laten maken van de getallendriehoek, waarbij verschillende groepen kinderen met kleur de verschillende getallenrijen kunnen aangeven. Deze posters kunnen uitgehangen worden, en ze zijn ook erg handig voor de onderwerpen uit de volgende dromen. De telduivel l 9
DE ACHTSTE NACHT In de achtste droom gaat het over het aantal volgordes waarin je personen of dingen kunt neerzetten. De droom start met Robert en de telduivel die leerlingen bliksemsnel in een klaslokaal op allerlei manieren naast elkaar zetten. Bij 4 leerlingen blijkt dat te gaan op 4<->3<->2<->1=24 manieren. Dit 4<->3<->2<->1 noteer je als "4!", in de wiskunde "4 faculteit", bij de telduivel uitgesproken als "4 wamm!". Een tweede experiment gaat over het aantal mensen waarmee je handen moet schudden op een feestje met 2, 3, 4 of meer personen. Dit aantal kun je halen uit de rij met driehoeksgetallen. Bij een feestje met 2 personen hoeft er maar één paar handen geschud te worden, bij 3 mensen gaat het al om 3 paar handen, bij 4 mensen om 6 paar handen, de rij is dus 1, 3, 6, 10, 15, enzovoort. Een laatste experiment behelst het samenstellen van schoonmaakploegen uit een grotere groep mensen. In de wiskunde heet dit het aantal combinaties. Dit aantal kun je afleiden door uit te gaan van de rij driehoekige getallen, de 1 en de 3 zijn samen 4, de 6 erbij geeft 10, de 10 erbij geeft 20, de 15 erbij geeft 25, enzovoort. Veel makkelijker is het om een trapje te kiezen uit de getallendriehoek. Bij het spel moeten de leerlingen alle volgordes uitzoeken waarop je 4 gekleurde vakjes naast elkaar kunt leggen. Laat de leerlingen na het werken met de cd-rom zelf experimenteren met aantallen volgordes. Neem een flinke stapel kleine gekleurde kubussen en zet ze in steeds andere volgordes naast elkaar. De leerlingen kunnen dit bijhouden op papier. Al gauw zal blijken dat je op een systematische manier moet werken om geen volgordes te vergeten. Het aantal combinaties kan uitgezocht worden door 10 kleuren kubussen te nemen en uit te zoeken hoeveel verschillende groepjes van 3 kleuren je hieruit kunt nemen. De telduivel l 10
DE NEGENDE NACHT In de negende droom gaat het over hoeveel er van de verschillende getallen zijn. Robert denkt bijvoorbeeld dat er twee keer zoveel natuurlijke getallen (1, 2, 3, 4, 5 ) zijn als even getallen. De telduivel lost dit op door personen te laten verschijnen met natuurlijke en even getallen op hun buik geschreven. Er blijkt dat hij elk even getal kan koppelen aan een natuurlijk getal, dus 1 aan 2, 2 aan 4, 3 aan 6, 4 aan 8 enzovoort, en dit gaat door tot in het oneindige. Hetzelfde kun je doen voor gehupte tweeën, prima getallen, enzovoort. Een tweede onderwerp is het optellen van reeksen getallen. Zo laat de telduivel zien dat als je de breuken 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... enzovoort optelt, je uiteindelijk bij de 1 uitkomt. Dit doet hij door een lengteeenheid van 1 te nemen, bij 1/2 spring je naar de helft, bij 1/4 spring je verder naar 3/4, bij 1/8 spring je verder naar 7/8 enzovoort. Je komt nooit helemaal bij de 1 aan, want de afstand tot de 1 wordt alleen maar steeds gehalveerd. Daarna laat de telduivel zien dat de rij 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9... wel oneindig blijft stijgen, want 1/2 + 1/3 is al meer dan en 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 is samen ook al meer dan dus 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 is samen al meer dan 1, en zo tel je steeds meer breuken op die samen meer dan zijn en toon je aan dat de rij steeds blijft stijgen, zij het steeds langzamer. Het spel bestaat uit het halveren van pijlen waarna er een optelling in een dergelijke breukenrij plaatsvindt. Laat de kinderen experimenteren met het optellen van breukenrijen. Het verhaal van de telduivel laat zich controleren door flink door te rekenen, met de hand of met de rekenmachine. De lengte 1 die nooit gevuld wordt met lijnstukjes met lengte 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... kan in een poster uitgebeeld worden. De kinderen kunnen verder uitzoeken wanneer de rij 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9... de 2 passeert, de 3 passeert, enzovoort. De telduivel l 11
DE TIENDE NACHT De tiende droom start met de verhouding tussen twee opeenvolgende getallen in de Bonatsji-reeks. Er blijkt dat deze verhouding steeds dichter naar een vast getal toe gaat, namelijk naar 1,6180033 Ook blijkt dat het niet uitmaakt met welke twee getallen je start: als je het Bonatsji-principe volgt met twee willekeurige startgetallen, blijkt de verhouding altijd 1,6180033 te worden. Dit getal blijkt gelijk te zijn aan de lengte van een diagonaal in een regelmatige vijfhoek. In deze vijfhoek kun je het getal op nog meer manieren terugvinden. Na dit verhaal over de verhouding tussen twee opeenvolgende getallen in de Bonatsji-reeks, volgt een stukje over een regelmatigheid van figuren in het platte vlak, en daarna over ruimtefiguren. Bij platte figuren blijkt te gelden dat het aantal knopen (hoekpunten) + het aantal vlakken - het aantal lijnen = 1, in de ruimtefiguren blijkt dat het aantal hoekpunten + het aantal vlakken - het aantal lijnen = 2. Dit laatste wordt gedemonstreerd aan de hand van een aantal figuren. Het spel bij deze droom is een hindernisspel waarbij je al sleeënd ruimtelijke figuren moet verzamelen en andere voorwerpen moet vermijden. De verhouding tussen twee opeenvolgende getallen kan bekeken worden voor wisselende startgetallen waarna je steeds de laatste twee optelt om de volgende te vinden. De regelmaat tussen het aantal hoekpunten, lijnen en vlakken - in de wiskunde heet dat de stelling van Euler - kan gecontroleerd worden door verscheidene mooie ruimtefiguren in elkaar te zetten, en telkens het aantal hoekpunten, vlakken en lijnen te tellen en in te vullen in K + V L = 2 ( De K komt van knopen, dat zijn de hoekpunten). Als bijlage bij deze les vind je een aantal uitslagen van ruimtefiguren. Deze kunnen door de kinderen in elkaar gezet worden. Meer uitslagen vind je op www.korthalsaltes.com of via www.wisfaq.nl De telduivel l 12
ACHTVLAK
KUBUS 4 5 1 3 2 6 VIERVLAK 3 4 2 1
TWAALFVLAK
TWINTIGVLAK