Transcriptie

1 Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie, perfecte vormen hebben. Wiskundigen houden er ook erg van omdat ze heel bijzondere (wiskundige) eigenschappen hebben. Maak ze, onderzoek ze en lees er meer over. Vijf regelmatige veelvlakken De regelmatige veelvlakken hebben Oudgriekse namen. Dat komt omdat in die tijd deze vijf regelmatige veelvlakken voor het eerst werden bestudeerd. Die namen vallen nog niet mee. Hou je vast, want hier komen ze: De tetraëder, dit betekent letterlijk het viervlak De kubus heeft zes vlakken. De octaëder. Octo is Grieks voor acht. Een achtvlak dus. De dodecaëder, ook wel een twaalfvlak. 1 of :52

2 Je kunt ze allemaal zelf maken: Maken Nodig: De icosaëder heeft maar liefst twintig vlakken. - Dik papier zodat het niet zo makkelijk kreukelt. - Schaar - Lijm - Liniaal - De bouwplaten van de verschillende veelvlakken Maken: 1. Print de modellen. Je vind ze hier. Knip een model uit. 2. Leg de liniaal langs de lijntjes en trek met de scherpe kant van je schaar de lijntjes na. Daarna kun je ze beter en preciezer vouwen. 3. Vouw het papier langs de vouwlijnen en plak hem in elkaar. Tip: Gebruik plakband om de laatste randjes dicht te plakken. Onderzoeken 2 of :52

3 KLEUREN op de kubus en het achtvlak. 1. Geef elke rand op de kubus een kleur, maar wel zodanig dat de randen die bij elkaar komen in een hoekpunt niet dezelfde kleur hebben. Hoeveel kleuren heb je dan minstens nodig? 2. Geef nu de randen van het achtvlak allemaal een kleur. Ook hier geldt weer: randen die bij elkaar komen in een hoekpunt mogen niet dezelfde kleur hebben. Hoeveel kleuren heb je nu minstens nodig? Kijk ook nog eens naar het schemaatje hierboven. Kun je dat verklaren? Eigenschappen ontdekken Je kunt, als je goed naar je veelvlak kijkt, bijzondere eigenschappen ontdekken. Vul dit maar eens in voor de veelvlakken die jij gemaakt hebt. Naam: Viervlak Kubus Achtvlak Twaalfvlak Twintigvlak Randen (=ribben): Zijvlakken: Hoekpunten: Ribben per hoekpunt: Ribben per zijvlak: Randen, hoeken en vlakken Kijk nog eens goed naar de kubus. Hoeveel is het aantal zijvlakken plus het aantal hoekpunten min het aantal randen? En hoe zit dat bij de andere veelvlakken? Vraag over de 12-vlak en 20-vlak: Wat valt je op, als je kijkt naar de hoekpunten en zijvlakken van het twaalfvlak en het twintigvlak? Pak er eens een regelmatig twintigvlak bij. Zet in het midden van elk vlak een punt. Hoeveel punten heb je dan getekend. Ja, dat lijkt me dus wel logisch, zul je wel denken. Stel dat elk punt een hoekpunt is van een veelvlak. Je verbeeldt je dan een veelvlak dat in je 20-veelvlak zit. Hoe zou dat veelvlak er dan uitzien? Klopt dat met je bevindingen bij de vorige vraag? Probeer ook eens met een kubus! Dobbelstenenspel Maak er dobbelstenen van! Van alle veelvlakken kan je een soort dobbelsteen maken. De Tetraëder (viervlak): Die dobbelt wat onhandig: het getal dat onderop ligt is wat je gooit. De kubus: dat is een gewone dobbelsteen. Weet jij welk cijfer waar moet op de dobbelsteen? Leer er meer overbij de dobbelsteenknutsel. De octaëder (achtvlak): hoeveel getallen moet je daar op schrijven? Kan je ook bedenken waar ze moeten op de plattegrond van de octaëder? Let op: ditmaal moeten de getallenparen steeds samen 9 zijn. Een dodecaëder heeft 12 vlakken. Wat moeten de getallenparen dus steeds zijn? Maak het maar. En een icosaëder? Spel: hinkelen als ganzen 3 of :52

4 Wat heb je nodig: - Gekleurd stoepkrijt - Dobbelstenen Teken met krijt een lange hinkelbaan van 30 tegels. Geef ongeveer 6 tegels een andere kleur. De jongste mag beginnen. Gooi met je dobbelsteen en hinkel zoveel stappen als je gegooid hebt. Als je op een gekleurde tegel komt mag de ander je een opdracht geven. Bijvoorbeeld 10 rondjes om een lantaarnpaal, 5 keer zo hoog mogelijk springen, proberen op je handen te staan of 10 seconde een dansje doen. Als je met meer dan twee spelers bent, wissel je van beurt in het bedenken van een opdracht. Je moet precies op de laatste steen eindigen. Het aantal stappen dat je teveel hebt gegooid moet je terug hinkelen. Zoals bij ganzenbord. Tip: Maak ook een paar gaten in je hinkelbaan. Tegels waar je niet met krijt op tekent. Hier moet je in één keer overheen hinkelen. De perfecte wereld en het idee Denk eens aan een fiets Waarschijnlijk dacht je aan jouw eigen fiets. Wanneer je iemand anders aan een fiets laat denken, zal hij of zij niet jouw fiets in gedachten hebben. Iedereen denkt eigenlijk aan een andere fiets en al die fietsen zijn verschillend! Toch zijn het allemaal fietsen. Een fiets kan blauw of groen zijn. Er bestaan fietsen van ijzer, maar ook van aluminium. En hoeveel wielen hoort een fiets eigenlijk te hebben? En hoe groot moeten die wielen dan zijn? Je kunt een eindeloze lijst met eigenschappen van een fiets maken: het gewicht van een fiets, de hoogte van het zadel, wel of geen zijwieltjes, fietst 'ie wel of niet lekker, noem maar op! Zouden er ook eigenschappen tussen zitten die voor elke fiets gelden? "Elke fiets heeft een bel!" "Nee hoor, ik heb een fiets met een toeter!" Geef eens een aantal eigenschappen waar elke fiets volgens jou aan moet voldoen. Denk nog eens goed na. Geldt het altijd? Als het goed is heb je nog maar een erg kort lijstje eigenschappen over. Eigenlijk is er voor elke eigenschap wel een fiets te verzinnen die deze eigenschap niet bezit en dan geldt deze eigenschap dus niet voor alle fietsen. 4 of :52

5 Wat is dan precies de Fiets? Eigenlijk bestaat de Fiets niet. Het is maar een algemeen begrip dat niet in de gewone wereld bestaat. Zo n algemeen begrip is alleen wel erg handig als je met elkaar praat. Lang voordat er fietsen bestonden, was men al bezig met algemene begrippen jaar geleden braken Griekse filosofen al hun hoofd over wat nou precies de Koe, het Brood en de Peripontiakolos was. Van de Koe en het Brood konden ze zich nog wel een voorstelling maken, maar tot op de dag van vandaag weten ze nog niet wat de Peripontiakolos is. Peripontiakolos, wat is nou weer een Peripontiakolos!? Plato was een van de grote denkers in de tijd van de Oude Grieken. Hij bedacht dat de Koe en het Brood eigenlijk maar algemene begrippen waren, die alleen maar in onze ideeënwereld bestonden. Onze ideeënwereld was volgens hem de perfecte wereld. Alles wat in de werkelijkheid voorkwam was eigenlijk maar een onvolmaakte afspiegeling van onze ideeën. Van alle ideeën in onze ideeënwereld waren er vijf ideeën die Plato een bijzondere eigenschap toedichtte. Deze vijf ideeën waren de vijf regelmatige veelvlakken. Wat is er nou zo bijzonder aan de regelmatige veelvlakken? Plato en zijn Oud-Griekse vrienden ontdekten dat het mogelijk is om een regelmatig veelvlak te beschrijven met maar vier regeltjes. Deze regeltjes zijn lastig te begrijpen: het zijn wiskundige regels. Alles dat aan deze vier regeltjes voldoet is een regelmatig veelvlak. Altijd. En wat ook bijzonder is: het is onmogelijk om meer dan vijf verschillende regelmatige veelvlakken te vinden. Deze vier bijzondere regeltjes zijn erg moeilijk en zijn voor nu ook niet belangrijk. Als je ze toch wilt weten, lees dan gauw het artikel over veelvlakken op de website van Pythagoras (wiskunde tijdschrift): Plato vond deze regelmatige veelvlakken zo bijzonder dat hij dacht dat het algemene begrippen waren voor de bouwstenen van de wereld. In die tijd dacht men dat alles was opgebouwd uit vuur, aarde, lucht en water. 5 of :52

6 Het viervlak stond voor vuur vanwege de scherpe punt. De kubus stond voor aarde, omdat de vorm zo stevig staat. Het achtvlak stond voor lucht. Het twintigvlak stond voor vanwege de bijna golvende hoeken. Het twaalfvlak zou in de werkelijke wereld het heelal moeten zijn. Leuk idee, maar inmiddels weten we wel beter. Toch was Plato niet de enige die de regelmatige veelvlakken als buitengewone objecten zag. Vooral voor wiskundigen zijn regelmatige veelvlakken ontzettend interessant. Je hebt inmiddels al wel een paar bijzondere eigenschappen van regelmatige veelvlakken gevonden. Bekijk maar eens wat voor een bijzondere eigenschappen de regelmatige veelvlakken hebben. Bouwplaten voor vijf veelvlakken Klik op een van de links om een bouwplaat van elke veelvlak te kunnen opvragen en printen. Deze modellen zijn beschikbaar gesteld en gemaakt door Frans Hessels. Ze zijn ook op zijn website te vinden (PDFbestanden). Alle bouwplaten, PDFbestand Klik en de modellen verschijnen in een nieuw venster. Klik daarna het venster weer weg. Bouwmodellen, per veelvlak, maximum formaat op A4 te printen. Tetraëder / viervlak 6 of :52

7 Kubus / zesvlak Octaëder / achtvlak Dodecaëder / twaalfvlak Icosaëder / twintigvlak Antwoorden en meer info Je hebt dingen onderzocht. Hier wat antwoorden. Keuren op de kubus en het achtvlak 1. Geef elke rand op de kubus een kleur, maar wel zodanig dat de randen die bij elkaar komen in een hoekpunt niet dezelfde kleur hebben. Hoeveel kleuren heb je dan minstens nodig? Antwoord: 3 2. Geef nu de randen van het achtvlak allemaal een kleur. Ook hier geldt weer: randen die bij elkaar komen in een hoekpunt mogen niet dezelfde kleur hebben. Hoeveel kleuren heb je nu minstens nodig? Kijk ook nog eens naar het schemaatje hieronder. Kun je dat verklaren? 7 of :52

8 Antwoord: 4 Eigenschappen ontdekken hoeveel hoeken, randen en vlakken heeft elk veelvlak? Van de grotere veelvlakken is dat best moeilijk. Daarom hier alle goede antwoorden: Naam: Viervlak Kubus Achtvlak Twaalfvlak Twintigvlak Randen (=ribben): Zijvlakken: Hoekpunten: Ribben per hoekpunt: Ribben per zijvlak: Een som van randen, hoeken en vlakken Kijk nog eens goed naar de kubus. Hoeveel is het aantal zijvlakken plus het aantal hoekpunten min het aantal randen? En hoe zit dat bij de andere veelvlakken? Antwoord: De uitkomst van de som is 2. Dat is bij alle veelvlakken zo. Een bijzonder eigenschap vinden de wiskundigen. Vraag over de 12-vlak en 20-vlak: Wat valt je op, als je kijkt naar de hoekpunten en zijvlakken van het twaalfvlak en het twintigvlak? Antwoord: Het aantal hoekpunten van het twaalfvlak is gelijk aan het aantal zijvlakken van het twintigvlak, en andersom. Dat geldt ook voor de ribben per hoekpunt en ribben per zijvlak. Meer informatie Er zijn nog ontzettend veel dingen die je te weten kunt komen over regelmatige veelvlakken. Kijk bijvoorbeeld eens bij de verhalen over symmetrie op deze website. De veelvlakken hebben een aantal mooie symmetrische eigenschappen! Op Kidzlab vind je ook een extra knutsel over de Kubus, en een bijzondere Octaeder om zelf te maken. En op deze website is nog meer informatie te vinden: Dit is misschien nog een beetje moeilijk voor je. Als je het wel begrijpt, kijk dan eens verder op de site van pythagoras. Je zult zien dat er nog veel meer interessante wiskundige begrippen zijn. Lees maar eens door dit artikel heen. Je zult zien dat er ander soort regelmatige veelvlakken bestaan. Deze voldoen natuurlijk niet aan de vier regeltjes waar we het over hadden. Deze website heeft een paar mooie 3D-tekeningen van de regelmatige veelvlakken die bewegen. Handig als je geen zin hebt om te knutselen, maar wel de vragen wilt beantwoorden ;-) Hier kun je nog iets meer over Plato lezen. Het heeft verder niet zoveel met de veelvlakken te maken, maar is wel leuk om te weten. Sluit venster 8 of :52