5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

Transcriptie

1 93

2 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos. Probeer maar. b Maak een tekening van de kubus met de piramides erin. c De ribben van de doos zijn 6 cm. Wat is de inhoud van één piramide? 94 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

3 5.1 AANZICHTEN EN UITSLAGEN Aanzichten Het bouwsel hieronder bestaat uit 6 blokjes. We bekijken het van drie kanten: van voor, van opzij en van boven. Wat je dan ziet is het vooraanzicht, het zijaanzicht en het bovenaanzicht. Hieronder zijn de drie aanzichten van het bouwsel getekend 2 Het bouwsel hiernaast bestaat uit blokjes van 1 bij 1 bij 1 cm. Teken de drie aanzichten van het bouwsel op roosterpapier. 3 Hieronder zie je een ruimtelijke tekening van een eenvoudig huis en daarnaast een zijaanzicht van dat huis. Het huis is 6 meter hoog en 6 meter breed. De zijgevels zijn 8 m breed en 4 meter hoog. 3 We gaan een voor- en een zijaanzicht van een regelmatige zeszijdige piramide tekenen. De hoekpunten in het grondvlak heten A, B, C, D, E en F en de top T. a Teken het zijaanzicht van het huis op roosterpapier. Maak daarin de zijgevel 4 cm breed. b Bereken de schaal van je tekening. c Teken ook het voor- en het bovenaanzicht op dezelfde schaal. Zet de maten (in cm) erbij. De dakvlakken zijn rechthoeken, waarvan twee randen horizontaal zijn en de andere twee schuin omhoog lopen. De lengte van de horizontale randen zijn in het zijaanzicht en in het bovenaanzicht 4 cm. Arno meet 1 cm voor een schuinoplopende rand in het zijaanzicht en zegt dat die 2 meter lang is. Anneke meet 1,8 cm voor de schuinoplopende rand in het vooraanzicht. Zij denkt dat die in werkelijkheid 3,6 meter lang is. d Wie heeft gelijk, Arno of Anne? Leg uit waarom. a Teken het vooraanzicht en het zijaanzicht op het werkblad. Neem als hoogte van de piramide 5 cm. b In het vooraanzicht zijn de opstaande ribben niet allemaal even lang. Hoe komt dat? c Kun je in het vooraanzicht meten hoe lang de opstaande ribben in werkelijkheid zijn? Zo ja, schrijf op hoe je dat moet doen. 95

4 5.1 AANZICHTEN EN UITSLAGEN 4 De draadpiramide hieronder is 4 meter hoog. Het grondvlak is een vierkant van 4 bij 4 meter en de opstaande ribben zijn even lang. 4 Het massieve kubuskruis hieronder is een bouwsel van kubusblokjes met ribben van 1 cm. a Teken het bovenaanzicht van de piramide. Neem schaal 1:100. b Teken het vooraanzicht van de piramide. c De helft van een diagonaal in het bovenaanzicht is 2,8 cm lang. Arno zegt: Dus de lengte van een opstaande ribbe is ongeveer 2,8 meter. Welke fout maakt Arno? Is de opstaande ribbe langer of korter dan 2,8 m? d Freek meet in het vooraanzicht de lengte van een schuinoplopende rand; hij meet 4,5 cm en beweert dat de opstaande dakrand 4,5 meter is. Wat denk je daarvan? a Teken op roosterpapier een bovenaanzicht van het bouwsel. b Uit hoeveel blokjes bestaat het bouwsel? Schrijf je berekening op. c Hoeveel grensvlakken, ribben en hoekpunten heeft het bouwsel (alleen tellen wat er aan de buitenkant te zien is)? 5 Van de kubus hieronder is een punt afgezaagd. Het zaagvlak gaat door de middens van drie ribben. Teken op roosterpapier een bovenaanzicht van de kubus. De ribben van de kubus zijn 4 cm lang. 96 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5 Uitslagen Hiernaast is de uitslag van een kubus getekend. Een uitslag is een bouwplaat zonder plakrandjes. 6 Teken op roosterpapier een echt andere uitslag van de kubus dan die hierboven. 7 In hoofdstuk 1 heb je namen van ruimtelijke vormen geleerd. Hoe heten de twaalf vormen in de figuur hiernaast. Geef de volledige naam. 8 Kijk in het plaatje hieronder. Van welke ruimtelijke vorm is A de uitslag? Van welke B? En van welke C? 9 Van een regelmatige vierzijdige piramide zijn alle ribben 3 cm lang. Teken een uitslag op schaal 1:1 (dus op ware grootte) van de piramide. Gebruik je passer om de vier driehoekige grensvlakken te tekenen. Het is het gemakkelijkst om met het vierkante grondvlak te beginnen. 10 a Teken op een kladblaadje een cirkel met straal 4 cm (dus met een diameter van 8 cm). Neem driekwart van die cirkel. Teken er een plakrandje aan (zie plaatje). Plak er een kegel van (zonder bodem). Je kunt ook het kleinere deel van de cirkel nemen (zoals je rechts ziet) en er weer een kegel van plakken. b Welke van de twee kegels is het hoogste? 97

6 5.1 AANZICHTEN EN UITSLAGEN 11 a Teken onderstaande figuur na op roosterpapier en maak er een uitslag van een balk van. b Maak van de uitslag een bouwplaat door er plakrandjes aan te tekenen. Zet je balk in elkaar. c Wat is de inhoud van de balk? 11 Van een kubus zijn de acht hoeken afgezaagd. Wat je krijgt, zie je hiernaast. Hieronder is een begin van een uitslag gemaakt. Die tekening staat ook op het werkblad. a Maak de uitslag af. b Zet op in de juiste vierkanten boven en achter. 12 De uitslagen hieronder staan ook op het werkblad. In elke uitslag ontbreekt één grensvlak. a Teken telkens het ontbrekende grensvlak. b Het ontbrekende grensvlak kan op meer dan één plaats getekend worden. Kleur de andere ribben waaraan dat grensvlak getekend had kunnen worden. 13 Hiernaast zie je een ruimtelijke tekening van een regelmatige vierzijdige piramide. Er staan twee verschillende uitslagen van die piramide bij. De twee uitslagen staan ook op het werkblad. De hoekpunten van de piramide hebben namen. Die van het grondvlak zijn A, B, C en D; de top heet T. a Knip de uitslagen op het knipblad uit en vouw ze tot piramides. Om de letters A en B in de goede volgorde bij de hoekpunten te krijgen, zoals in de ruimtelijke tekening van de piramide, moet je naar binnen vouwen. De twee hoekpunten met de letter B komen dan bij elkaar. b Schrijf bij elk hoekpunt in de uitslagen de juiste letter. Sommige letters moet je meer dan één keer zetten. A D T B D C C A B A B B B 98 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

7 5.2 ZAGEN Diagonalen Hiernaast is een (doorzichtige) kubus getekend. De hoekpunten zijn: A, B, C, D, E, F, G en H. We spreken van kubus ABCD.EFGH. De verbindingslijn van A en G (in de tekening gestippeld) noemen we een binnendiagonaal van de kubus. De verbindingslijn van B en G noemen we een buitendiagonaal van de kubus. 14 a Verklaar de namen binnen- en buitendiagonaal. b Teken nog wat binnen- en buitendiagonalen van de kubus op het werkblad. Maak de binnendiagonalen rood, de buitendiagonalen blauw. c Hoeveel binnendiagonalen heeft een kubus? Schrijf op hoe je dat geteld hebt. d Doe hetzelfde voor de buitendiagonalen van de kubus. De kubus heeft ribben van lengte 3 cm. De buitendiagonalen van de kubus zijn allemaal even lang. e Waar in het kubusplaatje kun je de lengte daarvan meten? 15 Om de lengte van een binnendiagonaal te meten, zagen we de massieve kubus doormidden zoals in het plaatje hiernaast. We gaan nu de uitslag van één helft maken. Zo n helft heeft vijf grensvlakken. Eén van die grensvlakken is het zaagvlak. Dat is een rechthoek. Hiernaast is een deel van de uitslag getekend. a Teken dat na op roosterpapier en maak het af tot een uitslag van één helft. Kleur het zaagvlak. b Controleer of je jouw uitslag tot een halve kubus samen kunt vouwen. c De binnendiagonalen van de kubus zijn allemaal even lang. In het zaagvlak kun je de lengte van een binnendiagonaal meten. Kleur een lijnstuk dat je daarvoor moet meten. Meet de lengte daarvan en schrijf het resultaat in je schrift. 16 Het zaagvlak uit de vorige opgave is hetzelfde als het tussenschotje in de kubus hiernaast. Eenzelfde tussenschotje kun je op meer manieren in de kubus plaatsen. Teken op het werkblad steeds op een andere manier, in elke kubus een tussenschotje. 99

8 5.2 ZAGEN Zaagvlakken 17 Van de massieve kubus hiernaast is een hoekpunt afgezaagd. Het zaagvlak gaat precies door het midden van drie ribben. Het zaagvlak is een driehoek. a Wat voor soort driehoek is het? b Teken op roosterpapier een uitslag van de afgezaagde kubus. Maak de ribben van de kubus 3 cm lang. Kleur het zaagvlak. 18 De kubus met ribben van 3 cm wordt in tweeën gezaagd, een groot en een klein stuk. Het zaagvlak, gekleurd in de figuur, gaat door drie hoekpunten van de kubus. a Wat is de naam van het kleine stuk? b Wat voor soort driehoek is het zaagvlak? c Het kleine stuk heeft behalve het zaagvlak nog drie grensvlakken. Teken een uitslag van het kleine stuk in je schrift. Kleur het zaagvlak. d Het grote stuk heeft driehoekige en vierkante grensvlakken. Hoeveel driehoekige (vergeet het zaagvlak niet)? Hoeveel vierkante? e Teken op roosterpapier een uitslag van het grote stuk. 19 We zagen, steeds in een andere richting, een stuk van een kubus af, zie hieronder. Alle zaagvlakken gaan door hoekpunten van de kubus of middens van de ribben. Geef van elk zaagvlak de passende naam. 19 De kubussen met ribben van 6 cm hieronder staan op het werkblad. Teken hoe je ze door moet zagen zodat het zaagvlak a een driehoek is met twee zijden van 5 cm en hoekpunten M en N, b een vierkant is, maar het zaagvlak niet evenwijdig aan een grensvlak is, c een ruit is met hoekpunten P en Q, d een trapezium met hoekpunten A en B, met evenwijdige zijden waarvan de een vier keer zo lang is als de ander, e een vijfhoek is. 100 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

9 5.3 TELLEN IN DE RUIMTE Regelmatige veelvlakken 20 Hiernaast zie je twee keer dezelfde figuren afgebeeld, één keer massief en één keer als draadmodel. a Geef aan wat bij wat hoort. (A hoort bij 5 bijvoorbeeld.) b Op de werkbladen staan bouwplaten van deze figuren. Knip ze uit, zet ze in elkaar en bewaar ze. Je kunt de bouwplaten ook op de internetpagina van de Wageningse Methode vinden. Hier vind je ook verwijzingen naar applets over regelmatige veelvlakken. Misschien heeft de school wel polydron. Daarmee kun je die figuren ook maken. c Veelvlak E heeft: 12 hoekpunten 20 grensvlakken 30 ribben Schrijf ook voor de andere veelvlakken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben op. De vijf veelvlakken hierboven zijn zeer bijzonder. Alle grensvlakken zijn hetzelfde en in elk hoekpunt komen evenveel grensvlakken samen. We noemen het daarom regelmatige veelvlakken. De Griekse wiskundige Euclides heeft laten zien dat er maar vijf zijn: het regelmatige viervlak, het regelmatige zesvlak, het regelmatige achtvlak, het regelmatige twaalfvlak en het regelmatige twintigvlak. Ze worden (naar de Griekse wijsgeer Plato) ook wel Platonische lichamen genoemd. 21 Van elk van de zes figuren hiernaast zijn de ribben even lang. Toch zijn de figuren niet regelmatig. B is bijvoorbeeld niet regelmatig omdat er in sommige hoekpunten zes vlakken samenkomen en in andere drie. Zeg voor elk van de andere vijf figuren waarom het geen regelmatige veelvlak is. 22 Het aantal hoekpunten, ribben en grensvlakken in opgave 20c heb je misschien met veel moeite kunnen vinden. Daarbij zul je wel sterk gebruik gemaakt hebben van de tekeningen van de draadmodellen. Anne heeft een redenering om het aantal hoekpunten van een kubus te berekenen. Die redenering staat hiernaast. a Lees die redenering goed. 101

10 5.3 TELLEN IN DE RUIMTE b Anne heeft ook een redenering om het aantal ribben van een kubus te berekenen. Vul de redenering van Anne aan. 23 Bereken, net als Anne, het aantal hoekpunten en het aantal ribben van een a regelmatig achtvlak, b regelmatig twaalfvlak, c regelmatig twintigvlak. Kijk goed hoeveel grensvlakken er in een hoekpunt samenkomen. 24 De figuur linksonder ontstaat door alle acht de hoeken van een kubus af te zagen. De hoekpunten van de zaagvlakken zijn middens van ribben. De figuur heeft als grensvlakken regelmatige driehoeken en vierkanten Bereken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van de afgezaagde kubus. 24 Van een regelmatig twintigvlak worden de punten afgezaagd. Hieronder links is bij één hoekpunt getekend hoe dat gaat. In het midden zie je wat er bij één keer zagen van een grensvlak weggezaagd wordt. Rechts zie je de figuur die uiteindelijk ontstaat. 25 De ster rechtsboven ontstaat door op elk grensvlak van een kubus een vierzijdige piramide te plakken. Bereken het aantal grensvlakken, ribben en hoekpunten van de ruimtelijke figuur. (De grensvlakken van de kubus zijn geen grensvlakken van de nieuwe figuur meer!) Gebruik dat een kubus zes grensvlakken, twaalf ribben en acht hoekpunten heeft. Die figuur wordt begrensd door regelmatige vijfhoeken en regelmatige zeshoeken. a Vul in: De zaagvlakken zijn de regelmatige, wat er van de driehoekige grensvlakken overblijft, zijn de regelmatige. b Bereken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van de figuur die uiteindelijk ontstaat. 102 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

11 Diagonalen tellen In de volgende opgaven hebben we het alleen maar over veelhoeken zonder inhammen. 26 a Teken een vijfhoek met daarin alle diagonalen. b Teken een zeshoek met daarin alle diagonalen. c Hoeveel diagonalen heeft een vijfhoek? En hoeveel diagonalen heeft een zeshoek? Hoe meer hoekpunten de veelhoek heeft, hoe moeilijker te zien is of alle diagonalen getekend zijn en hoe moeilijker het is om ze te tellen. 27 In hoofdstuk 2 heb je geleerd hoe je het aantal verbindingslijntjes tussen punten kunt berekenen. a Teken zeven punten in je schrift en alle mogelijke verbindingslijntjes tussen deze punten. 26 a Hoeveel diagonalen kun je vanuit één hoekpunt van een zevenhoek tekenen? Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek? b In hoofdstuk 2 heb je gezien dat je 21 verbindingslijntjes tussen 7 punten kunt tekenen. Sommige zijn zijden van de zevenhoek, de andere diagonalen. Hoe kun je hieruit het aantal diagonalen van een zevenhoek berekenen? c Geef een formule waarmee je het aantal diagonalen van een n-hoek kunt berekenen. 27 Hieronder is een zeszijdig prisma getekend. Vanuit elk van de zeven punten kun je zes verbindingslijntjes tekenen. Je zou zeggen dat zijn er in totaal 42. b Waarom zijn er maar 21? Uit hoofdstuk 2: het aantal verbindingslijntjes tussen n punten is: n (n - 1) Als je alle diagonalen in een zevenhoek tekent, heb je met de zijden erbij alle verbindingslijntje tussen zeven punten. c Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek? d Bereken het aantal diagonalen van een dertienhoek. e Hoeveel verbindingslijntjes kun je tussen 100 punten tekenen? Hoeveel diagonalen heeft een honderdhoek? 28 a Hoeveel binnendiagonalen heeft een kubus? b Hoeveel buitendiagonalen heeft een kubus? c Hoeveel ribben heeft een kubus? d Als je de getallen die je in a, b en c bij elkaar optelt, vind je het aantal verbindingslijntjes tussen 8 punten, namelijk 8 7 = 28. Leg dat uit. a Hoeveel binnendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen? b Hoeveel buitendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen? Onderscheid twee gevallen. c Hoeveel binnendiagonalen heeft een zeszijdig prisma in totaal? En hoeveel buitendiagonalen? d Hoeveel ribben heeft een zeszijdig prisma? Als je de antwoorden in c en d bij elkaar telt, krijg je het totaal aantal verbindingslijntjes tussen twaalf punten. e Klopt dat met de formule uit hoofdstuk2? 29 Hiernaast zie je een vijfzijdig prisma. Dat staat ook op het werkblad. a Teken alle binnendiagonalen vanuit A. b Kleur alle buitendiagonalen aan de voorkant en ook alle buitendiagonalen aan de rechter zijkant in een andere kleur c Bereken het aantal buitendiagonalen van het prisma. 103

12 5.3 TELLEN IN DE RUIMTE Vanuit elk hoekpunt aan de voorkant van het prisma kun je twee binnendiagonalen tekenen. d Hoeveel binnendiagonalen heeft het prisma? e Hoeveel ribben heeft een vijfzijdig prisma? Als alles goed is gegaan, vind je 45 als je de getallen uit vraag 29c, d en e bij elkaar telt. Dit is precies het aantal verbindingslijntjes dat je tussen tien punten (de hoekpunten van het prisma) kunt tekenen. 28 a Hoeveel verbindinglijntjes kun je tussen de hoekpunten van een honderdzijdig prisma tekenen? b Hoeveel ribben heeft een honderdzijdig prisma? En hoeveel buitendiagonalen? (Je kunt hier de formule gebruiken die je in opgave 27c gevonden hebt.) En hoeveel binnendiagonalen? c Als je de drie getallen uit vraag b bij elkaar telt, vind je dan hetzelfde antwoord als in a? Routes tellen 30 De balk hiernaast is 1 bij 2 bij 4 cm. Een mier loopt over de grensvlakken de route A-M-G-N-A. (M en N zijn middens van ribben.) a Neem de uitslag van de balk over in je schrift en teken daarin de route van de mier. Tip. Zet eerste de juiste letters bij de hoekpunten in de uitslag. b Een tweede mier loopt alleen over de ribben van de balk. Hoeveel kortste routes zijn er voor deze mier mogelijk van A naar G? c Hoeveel routes zijn er voor de tweede mier van A naar G en dan weer terug naar A? D E A H D M C N F B G C A B 104 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

13 5.4 EINDPUNT aanzichten De piramide is 2 cm hoog. De ribben in het grondvlak zijn 2 cm. Hieronder zie je de drie aanzichten. Ribbe TC kun je alleen in het zijaanzicht meten, ribbe AC alleen in het vooraanzicht. uitslagen Hieronder zie je een uitslag van een driezijdige piramide. De ribben van het grondvlak zijn 2 cm en de opstaande ribben 2 cm. Een uitslag is een bouwplaat zonder plakrandjes cm 2 cm diagonalen Hiernaast staat een torentje. AH en HC zijn buitendiagonalen. EG en TC zijn binnendiagonalen. Vanuit T kun je vier binnendiagonalen tekenen. In vlak EFGH liggen twee binnendiagonalen. In balk ABCD.EFGH heb je vier binnendiagonalen. Er zijn dus 10 binnendiagonalen. Er zijn 5 2 = 10 buitendiagonalen. Er zijn 16 ribben. Dus er zijn = 36 verbindinglijntjes tussen de negen punten van de toren. Dat klopt met de formule uit hoofdstuk 2: het aantal verbindingslijntjes tussen 9 punten is 9 8 : 2 = 36. lengtes meten Je kunt de lengte van een verbindingslijntje niet altijd in een ruimtelijke tekening meten (opgave 4). Dat kun je wel door een vlak waar dat lijntje in ligt, op ware grootte te tekenen. Voorbeeld Veronderstel dat het grondvlak van het torentje hiernaast 3 bij 3 cm is, dat vlak EFGH op hoogte 4 cm ligt en T op hoogte 7 cm. Als je de lengte van EG wil weten, teken je een vierkant van 3 bij 3 cm en meet de lengte van een diagonaal. Je vindt EG = 4,2 cm. Als je de lengte van TC wil weten teken je driehoek ACT. Die is onder aan de basis 4,2 cm breed (want AC is even lang als EG) en T ligt daar midden boven op hoogte 7 cm. Je vindt: TC = 7,3 cm regelmatige veelvlakken Euclides bewees dat er vijf regelmatige veelvlakken zijn. het regelmatige viervlak (een driezijdige piramide waarvan alle zes de ribben even lang zijn) het regelmatige zesvlak (de kubus) het regelmatige achtvlak (hieronder) het regelmatige twaalfvlak (hieronder) het regelmatige twintigvlak (hieronder) tellen in de ruimte Je kunt in een ruimtelijke figuur systematisch tellen. Voorbeelden Het aantal ribben in een regelmatige twaalfvlak bereken je als volgt. Er zijn 12 vijfhoekige grensvlakken. Elk grensvlak heeft 5 ribben. Elke ribbe ligt in twee grensvlakken. Het aantal ribben van het regelmatige twaalfvlak is dus 5 12 : 2 = 30. Het aantal buitendiagonalen van een zevenzijdig prisma bereken je als volgt. In een zevenhoek heb je 7 6 : 2 7 = 14 diagonalen. Boven heb je dus 14 diagonalen, onder ook. In elk rechthoekig grensvlak heb je er 2. In totaal heb je = 42 buitendiagonalen. 105

14 5.5 EXTRA OPGAVEN 1 Van een kubus is de bovenste helft gekleurd. In de uitslagen is het grensvlak dat helemaal gekleurd is, aangegeven. Kleur op het werkblad de delen van de andere grensvlakken die oker moeten zijn. 2 Als je een bol doorzaagt, heeft het zaagvlak altijd de vorm van een cirkel. Welke vormen kun je voor het zaagvlak krijgen als je een cilinder doorzaagt? 3 Van een regelmatige vierzijdige piramide wordt de top afgezaagd. we noemen de figuur die zo ontstaat een afgeknotte piramide. Het zaagvlak gaat door de middens van de ribben die naar de top lopen. Hiernaast zie je de piramide met het zaagvlak. a Teken het bovenaanzicht van de afgezaagde piramide. Neem aan dat alle ribben 4 cm zijn. Kleur het zaagvlak. b Maak een uitslag van de afgeknotte piramide. 4 De vier plaatjes hiernaast zijn uitslagen van ruimtelijke figuren: een balk, een driezijdige piramide, een vierzijdige piramide en een driezijdig prisma. Maar in elke uitslag zit één fout. Verbeter de fouten op het werkblad. 5 In opgave 26 heb je het aantal binnen- en buitendiagonalen van een kubus berekend: 12 buitendiagonalen en 4 binnendiagonalen. Controleer de aantallen met behulp van de formule voor het aantal verbindingslijntjes tussen punten. 6 Hiernaast is een dambord van 4 bij 4 getekend. Op elk van de zestien velden is aangegeven hoeveel schijven er op elkaar gestapeld staan. Daarnaast is getekend wat je van voor ziet, dus een vooraanzicht. We nemen aan dat de stenen even breed zijn als de velden. a Teken een zijaanzicht op roosterpapier. Neem voor de breedte van een steen 1 cm en voor de hoogte cm. b Je kunt schijven van het bord nemen zonder dat het voor- en het zijaanzicht verandert. Hoeveel schijven kun je maximaal wegnemen? 106 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

15 c In plaats van schijven weg te nemen, kun je er ook schijven bijzetten zonder het voor- en het zijaanzicht te veranderen. Zoek uit hoeveel schijven je er nog maximaal bij kunt plaatsen. 7 Van een driezijdige prisma zijn alle ribben 4 cm lang. a Teken een uitslag van het prisma. Gebruik de passer. b Teken plakrandjes aan uitslag en zet het in elkaar. 8 Deze fraaie ster krijg je door op elk grensvlak van een regelmatig achtvlak een regelmatig viervlak te plakken. Hoeveel grensvlakken, ribben en hoekpunten heeft de ster? (Een regelmatig achtvlak heeft 12 ribben en 6 hoekpunten.) 9 Van de vierzijdige piramide hiernaast is het grondvlak een vierkant met zijden van lengte 4 cm. De hoogte van de piramide is 3 cm. (Dus de top van de piramide ligt 3 cm boven het grondvlak.) We gaan een uitslag van de piramide maken. Maar driehoek ABT bijvoorbeeld, kunnen we niet direct tekenen, want we weten niet hoe lang de opstaande ribben van de piramide moeten worden. We kunnen daar achter komen door eerst driehoek ACT te tekenen. a Teken driehoek ACT. Geef duidelijk aan hoe je tekening tot stand gekomen is. b Je weet nu hoe lang de opstaande ribben van de piramide moeten zijn. Maak nu een uitslag van de piramide. 10 Jaap heeft van 27 kubusjes één grote gemaakt. Hij haalt acht van de 27 kubussen op de hoeken weg. Hiernaast zie je hoe het bouwsel er uitziet nadat er één weggehaald is. Bereken het aantal hoekpunten, ribben en grensvlakken van de figuur die Jaap krijgt. 11 Hiernaast is de uitslag en een ruimtelijk plaatje van het regelmatige viervlak met hoekpunten A, B, C en D getekend. M is het midden van AB en N is het midden van AM. a Zet in de uitslag op het werkblad de goede letters bij de hoekpunten en geef ook de punten M en N aan (eventueel meerdere keren). 107

16 5.5 EXTRA OPGAVEN Een mier loopt over de grensvlakken van het viervlak. Het startpunt van zijn route is M. Eerst loopt hij over grensvlak ABC. Over dit vlak loopt hij evenwijdig aan AC. Dan loopt hij over grensvlak BDC en wel evenwijdig aan BD. Dan loopt hij over vlak ACD evenwijdig aan AC en ten slotte over vlak ABD evenwijdig aan DB. b Teken op het werkblad de route van de mier in de ruimtelijke figuur en ook in de uitslag. Een andere mier doet hetzelfde als de eerste mier, met dit verschil dat hij in N start. c Teken de route van de tweede mier (in een andere kleur) in de ruimtelijke figuur en in de uitslag. d Wat kun je zeggen over de lengtes van de routes van de twee mieren? 12 Hiernaast zie je een tekening van een regelmatig twaalfvlak. Aan de uitslag daaronder ontbreekt nog één grensvlak. Dit grensvlak kan op vijf verschillende plaatsen getekend worden. a Kleur op het werkblad de ribben waaraan dit grensvlak getekend kan worden. In een grensvlak van het twaalfvlak kunnen vijf buitendiagonalen getekend worden. Het twaalfvlak heeft 30 ribben en 20 hoekpunten. b Bereken het aantal binnendiagonalen van het regelmatige twaalfvlak. Schrijf je berekening op. 13 De stapel kogels op de foto heeft de vorm van een regelmatige driezijdige piramide. a Hoeveel kogels liggen er op de derde laag van boven? b Hoeveel kogels liggen er op de stapel? Schrijf op hoe je aan je antwoord komt. 14 Deze onderzoeksvraag komt uit een prijsvraag die professor H. Freudenthal plaatste in jaargang 10 van het tijdschrift Pythagoras. Een schaakbord bestaat uit een vierkant, verdeeld in 64 afwisselend zwarte en witte velden. Op een van de velden van zo n schaakbord ligt een dobbelsteen waarvan de grensvlakken precies op de velden van het schaakbord passen. Je kunt de dobbelsteen over het schaakbord verplaatsen door hem te kantelen om een van zijn ribben, zodat hij precies op één van de buurvelden komt te liggen. Door achtereenvolgende kantelingen kun je vanuit elk veld elk ander veld op het schaakbord bereiken. Kies een startveld uit en leg daar de dobbelsteen neer. Kies nu een doelveld. Kun je door te kantelen de dobbelsteen op het doelveld krijgen met elk aantal ogen dat je wilt aan de bovenkant? 108 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

17 15 Ook in Pythagoras, 40e jaargang nummer 6, beschrijft Herman Alink de tetrakubuspuzzel. Dit is een onderzoekje voor knutselaars. Met vier kubusjes kun je in totaal acht verschillende vormpjes maken. Hiernaast zijn er vier getekend. a Teken de andere vier mogelijkheden. Je hebt nu de acht mogelijke tetrakubusjes getekend (tetra betekent vier in het Grieks). Om dit onderzoekje te doen is het noodzakelijk om die ook echt te hebben. Leerlingen die aan de Kangoeroewedstrijd van 2006 mee hebben gedaan, hebben ze als presentje gekregen. Misschien heeft je leraar ze ook wel. Anders moet je ze zelf maken. Daarvoor heb je 32 kubusjes nodig, te kopen in een doe-het-zelfzaak of hobbywinkel, die je met houtlijm aan elkaar kunt plakken. b Als je een van de acht tetrakubusjes kiest en vergroot met de factor 2, dus zowel in de lengte, de breedte als de hoogte twee keer zo groot maakt, hoeveel kleine kubusjes heb je dan nodig? Het zal je wellicht zijn opgevallen dat je voor zo n vergroting met factor 2 van een van de tetrakubusjes net zoveel kleine kubusjes nodig hebt als voor de acht tetrakubusjes samen. In het plaatje zie je zo n vergroting. Deze is gemaakt met de acht kleine tetrakubusjes (de laatste wordt er nog net aangelegd). c Laat zien dat je de andere zeven vergrotingen ook met de acht kleine tetrakubusjes kunt leggen. 16 We bekijken een bouwsel van dertien donker en veertien licht gekleurde kubusjes. Een kubusworm bevindt zich in het hart van het bouwsel. Hij heeft het plan zich een weg door de kubus te eten en daarbij elk licht en elk donker kubusje één keer aan te doen. Hij begint dus met het donkere kubusje in het midden. Ga na of het plan van de kubusworm uitvoerbaar is. Schrijf op hoe je het antwoord gevonden hebt. 17 a Hoeveel ribben, hoekpunten en grensvlakken heeft de afgezaagde kubus hiernaast? b Hoeveel binnendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen? c Hoeveel binnendiagonalen heeft de afgezaagde kubus dus? d Hoeveel buitendiagonalen heeft de afgezaagde kubus? e Controleer je antwoorden op de vorige vragen met: aantal binnendiagonalen + aantal buitendiagonalen + aantal ribben = aantal verbindingslijntjes tussen twaalf punten. 109

18 5.5 EXTRA OPGAVEN 18 Balk ABCD.EFGH is 2 bij 2 bij 4 cm. De balk is doorzichtig. Een mier kruipt langs de grensvlakken van de balk omhoog. Haar weg is overal even steil. Het punt waar zij ribbe BF passeert noemen we P. P ligt op cm hoogte. De uitslag van de balk is bijna af. Er ontbreekt nog één grensvlak. a Teken dat grensvlak er op het werkblad bij. Schrijf bij elk hoekpunt de juiste naam. b Je had het ontbrekende grensvlak ook aan andere ribben vast kunnen tekenen. Kleur die ribben. c Teken de weg die de mier volgt in de uitslag. d Een andere mier start in het midden van ribbe AB en volgt een weg met dezelfde stijging als de eerste mier. Teken de weg van de tweede mier in de uitslag. e In de balk is een draad gespannen. Hiernaast zie je het voor- en het rechter zijaanzicht van de draad. Teken de draad heel precies in de balk op het werkblad. 19 Van kubus ABCD.EFGH met ribben van 4 cm wordt een hoek afgezaagd. Het zaagvlak is driehoek MNG, waarbij M en N middens van ribben zijn. a Teken een voor- en een bovenaanzicht van de afgezaagde kubus. b Maak het plaatje op het werkblad af tot een uitslag van de afgezaagde kubus. Daarvoor moeten nog drie grensvlakken getekend worden. Teken die alledrie aan grensvlak ABNME vast. c Zet bij elk hoekpunt de juiste naam. Eén van de lichaamsdiagonalen van de afgezaagde kubus heeft grenspunt A. Om de lengte van deze diagonaal te bepalen bekijken we rechthoek ACGE. d Maak een tekening van rechthoek ACGE. Geef duidelijk aan hoe je de breedte en de hoogte van die rechthoek gevonden hebt. e Meet de lengte van de lichaamsdiagonaal met grenspunt A. f Hoeveel lichaamsdiagonalen hebben grenspunt M? Zijn die even lang? g Teken een rechthoek waarin je de lengte van de lichaamsdiagonalen vanuit punt M kunt meten. Zeg precies hoe je de breedte en de hoogte van die rechthoek bepaald hebt. h Hoeveel lichaamsdiagonalen heeft de afgezaagde kubus? De volgende opgave zal je beter afgaan als je de applet Blokken gebruikt. Ga daarvoor naar de internetpagina van de Wageningse Methode. 110 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

19 20 Hiernaast zie je een stapel van 27 blokken. Die vormen een kubus. Als je een blok uit de stapel wegneemt, blijven de blokken daarboven op hun plaats. Door blokken weg te nemen, kun je een bouwwerk met precies de aanzichten die eronder staan. a Hoeveel blokken kun je dan minimaal wegnemen? b Hoeveel blokken kun je maximaal wegnemen? 21 Hiernaast zie je een mozaïek uit de San Marco kathedraal in Venetië. Het stelt een regelmatig twaalfvlak voor met op de grensvlakken regelmatige vijfzijdige piramides. Bereken het aantal hoekpunten grensvlakken en ribben van de figuur. Je mag gebruiken dat een regelmatig twaalfvlak 20 hoekpunten en 30 ribben heeft. 111

20 maanwagen tijdens de Apollo17 missie 112 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN