6.2.5 ergelijking faseverschuiving wisselsroomweersand frequenieafhankelijk weersand 0 onafhankelijk spoel sroom ijl 90 na ω oename me frequenie E condensaor sroom ijl 90 voor ω afname me frequenie E Fasordiagramma van de enkelvoudige kringen me v() = m sin ω : weersand: = m sin ω spoel: = m sin(ω π/2) condensaor: = m sin(ω π/2) projecie-as m m m m m m Afspraak. Omda de spanningsbron de drijvende krach is, eken men de spanninsfasor bij voorkeur volgens de horizonale X-as. oor een naijlende sroom wor de faseverschuiving als een negaieve hoek geekend, dus in uurwijzerzin. oor een voorijlende sroom wor de faseverschuiving als een posiieve hoek geekend, dus in egenuurwijzerzin. 6.3 Serieschakeling n de prakijk komen elemenen (weersand, spoel, condensaor) gecombineerd in schakelingen voor. Bij een serieschakeling loop dezelfde sroom doorheen de verschillende elemenen. Bij de analyse wor uigegaan van deze gemeenschappelijke grooheid, d.i. de sroom. 6.3. -keen Een -keen of inducieve keen besaa ui een serieschakeling van een spanningsbron, een spoel me induciviei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. A Spanningsvergelijking voor de ogenblikkelijke waarden: v () v () = v() B v () = v () = v() = d m sin ω Spanningsvergelijking: d De oplossing van deze differeniaalvergelijking van eerse orde is = m sin(ω ) me m = m 2 2 ω 2 en = arcan( ω ) = m sin ω Deze waarden kunnen berekend worden door een fasordiagram e consrueren. Hierbij wor verrokken van de grooheid die beide elemenen gemeenschappelijk hebben: de sroom die door de spoel en de weersand gaa, is dezelfde. 52
De sroomfasor wor eers geekend, horizonaal. Maar di hoef nie horizonaal e zijn; voor deze sroomfasor mag een willekeurige riching gekozen worden. De spanning over de weersand is in fase me de sroom. De spanningsfasor wor in dezelfde riching geekend als de sroomfasor. De spanning over de spoel is 90 voorijlend op de sroom. De spanningsfasor wor loodrech op de sroomfasor geekend. De aangelegde spanning, van de wisselspanningsbron, is de som van de spanning over de weersand en de spanning over de spoel. Deze opelling moe vecorieel gebeuren. Hierui blijk da de sroom naijlend is op de spanning me een hoek me 0 < < 90. Normaal is de spanning van de spanningsbron gegeven, samen me de frequenie. oor een bepaalde weersand en spoel moe de sroom berekend worden, d.i. de grooe en de fazeverschuiving.o.v. de spanning. Zoals bij enkelvormige kringen kan de sroom berekend worden me een formule die gelijk op de we van Ohm: = Z. De grooheid Z is de impedanie, me eenheid Ω. He is de globale wisselweersand, van de weersand en de spoel samen. Ui he fasordiagram kan een impedaniedriehoek afgeleid worden. De spanningen over spoel en weersand zijn evenredig me dezelfde sroom. De fasoren van de spanningendriehoek worden gedeeld door deze sroomwaarde, wa resuleer in een gelijkvormige driehoek. Di is een rechhoekige driehoek me rechhoekzijden (weersand) en X inducieve reacanie. De schuine zijde (Z) en de hoek ussen horizonale zijde en schuine zijde () kunnen gemakkelijk berekend worden. = Z = = X Z X Z = 2 X 2 = 2 2 ω 2 = arcan( ω ) Me een voedingsspanning v() = m sin ω wor de sroom in een inducieve keen = m sin(ω ) De hoek is de faseverschuiving van de sroom en opziche van de voedingsspanning. Wanneer de spanningsfasor van de voeding horizonaal geekend wor in een fasordiagramma, bekom men me een negaieve waarde voor een naijlende sroomfasor. v() < 0 De spanningen in he fasordiagramma (rechse figuur) worden geekend als spanningssijgingen en in de volgorde waarin ze voorkomen in he elekrisch schema. anui klem is er een spanningssijging over de weersand o pun B en vanui B een spanningssijging over de spoel o pun A. De bronspanning is geekend als een spanningssijging van klem naar klem A. 6.3.2 -keen Een -keen of capaciieve keen besaa ui een serieschakeling van een spanningsbron, een condensaor me capaciei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. B A 53
D E Spanningsvergelijking voor de ogenblikkelijke waarden: v () v () = v() v () = v () = i F v() = m sin ω Spanningsvergelijking: i = m sinω De oplossing van deze differeniaalvergelijking is = m sin(ω ) me m = m 2 2 ω 2 en = arcan( ω ) Deze waarden kunnen berekend worden door een fasordiagram e consrueren. Hierbij wor verrokken van de grooheid die beide elemenen gemeenschappelijk hebben: de sroom die door de condensaor en de weersand gaa, is dezelfde. De sroomfasor wor eers geekend, horizonaal (maar de riching mag willekeurig gekozen worden). De spanning over de weersand is in fase me de sroom. De spanningsfasor wor in dezelfde riching geekend als de sroomfasor. De spanning over de condensaor is 90 naijlend op de sroom. De spanningsfasor wor loodrech op de sroomfasor geekend. De aangelegde spanning, van de wisselspanningsbron, is de som van de spanning over de weersand en de spanning over de condensaor. Deze opelling moe vecorieel gebeuren. Hierui blijk da de sroom voorijlend is op de spanning me een hoek me 0 < < 90. Bij een gegeven spanning van de spanningsbron, samen me de frequenie, kan de sroom berekend worden = Z waarbij Z de impedanie is, de globale wisselweersand, van de weersand en de condensaor samen. Ui he fasordiagramma wor een impedaniedriehoek afgeleid. Di is weer een rechhoekige driehoek me rechhoekzijden (weersand) en X (capaciieve reacanie). = = X = Z Z = Z X = 2 X 2 = arcan( ω ) 2 2 ω 2 Me een voedingsspanning v() = m sin ω wor de sroom in een capaciieve keen = m sin(ω ) De hoek is de faseverschuiving van de sroom en opziche van de voedingsspanning. Wanneer de spanningsfasor van de voeding horizonaal geekend wor in een fasordiagramma, bekom men me een posiieve waarde voor een voorijlende sroomfasor. 54
v() E > 0 n de rechse figuur zijn de spanningen in he fasordiagramma geekend als spanningssijgingen en in de volgorde waarin ze voorkomen in he elekrisch schema. 6.3.3 -keen Een -keen besaa ui een serieschakeling van een spanningsbron, een condensaor me capaciei en een spoel. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. F D Spanningsvergelijking voor de ogenblikkelijke waarden: v () = i v () v () = v() me v () = d v() = m sin ω Spanningsvergelijking: i d = m sin ω mpedanie en faseverschuiving kunnen berekend worden door een fasordiagram e consrueren. Beide deelspanningen saan loodrech op de sroom. De impedanie is volledig samengeseld ui reacanies en wor daarom reacanie X genoemd me X = X X. Bij een gegeven spanning van de spanningsbron, samen me de frequenie, kan de sroom berekend worden = X waarbij X de reacanie is. Omda beide deelspanningen loodrech saan op de sroom, ijl de spanning over de spoel 90 voor op de sroom; en de spanning over de condensaor ijl 90 na. Deze spanningen zijn in egenfase. v () v () Wanneer de inducanie X gelijk is aan de capacianie X, dan is de reacanie X gelijk aan nul: er is geen wisselsroomweersand meer. De schakeling is in korsluiing. Di gebeur bij een bepaalde frequenie: ω = ω 6.3.4 -keen ω 2 = ω = frequenie f = 2π Een -keen besaa ui een serieschakeling van een spanningsbron, een condensaor me capaciei, een spoel me induciviei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en 55
posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. D Spanningsvergelijking voor de ogenblikkelijke waarden: v () v () v () = v() Fasordiagramma: Hierui volg: Z = 2 X 2 = E F G opellen: = X = Z = Dus: = X mpedaniedriehoek: Z v () = i v () = v () = d v() = m sin ω X X i d opellen: Z = m sin ω X = X X 2 (ω ω )2 en = arcan( X ( ) = arcan ω ) ω ndien > (d.i. ω > ω ) is de sroom naijlend; he eken van ui voorgaande formule is negaief. Men spreek van inducief gedrag. Wanneer ω < ω is er capaciief gedrag (voorijlende sroom). Wanneer ω = ω compenseren inducanie en capacianie elkaar. De ganse schakeling gedraag zich als een weersand me Z = en = 0 (resisief gedrag). Bij resisief gedrag (ohmse keen) is de sroom maximaal ( r = ). Spoel en condensaor heffen mekaar op omda hun reacanies precies egengeseld zijn. Omwille van de maximale sroom is de keen in resonanie. De resonaniefrequenie f r is gelijk aan 2π. 6.4 Parallelschakeling n de prakijk komen elemenen (weersand, spoel, condensaor) gecombineerd in schakelingen voor. Bij een parallelschakeling saa dezelfde spanning over de verschillende elemenen. Bij de analyse wor uigegaan van deze gemeenschappelijke grooheid, d.i. de spanning. 6.4. Weersand en spoel Deze parallelschakeling beva een spanningsbron, een spoel me induciviei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. Deze parallelschakeling beva een spanningsbron, een spoel me induciviei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. i () i () 56
Om he fasordiagram e consrueren. wor verrokken van de grooheid die beide elemenen gemeenschappelijk hebben: de spanning die over de spoel en de weersand saa, is dezelfde. De spanningsfasor wor eers geekend, horizonaal. De sroom door de weersand is in fase me de spanning. De sroomfasor wor in dezelfde riching geekend als de spanningsfasor. De sroom door de spoel is 90 naijlend op de spanning. De sroomfasor wor loodrech op de spanningsfasor geekend. De oale sroom is de som van de sroom door de weersand en de sroom door de spoel. Deze opelling moe vecorieel gebeuren. Hierui blijk da de sroom naijlend is op de spanning me een hoek me 0 < < 90. Ui he fasordiagram kan een admianiedriehoek afgeleid worden. De sromen door spoel en weersand zijn evenredig me dezelfde spanning. De fasoren van de sromendriehoek worden gedeeld door deze spanningswaarde, wa resuleer in een gelijkvormige driehoek. Di is een rechhoekige driehoek me rechhoekzijden / (geleidbaarheid) en /X (omgekeerde van inducieve reacanie). De schuine zijde Y = Z (de admianie, omgekeerde van impedanie, uigedruk in Ω ) en de hoek ussen horizonale zijde en schuine zijde () kunnen gemakkelijk berekend worden. = /Z = / = /X Y = /Z / /X Y = = 2 X 2 = 2 (ω) 2 arcan ( ( ω ) ) ( ( ) = arcan ) ω 6.4.2 Weersand en condensaor Deze parallelschakeling beva een spanningsbron, een condensaor me capaciei en een weersand. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. i () i () Om he fasordiagram e consrueren. wor verrokken van de grooheid die beide elemenen gemeenschappelijk hebben: de spanning die over de condensaor en de weersand saa, is dezelfde. De spanningsfasor wor eers geekend, horizonaal. De sroom door de weersand is in fase me de spanning. De sroomfasor wor in dezelfde riching geekend als de spanningsfasor. De sroom door de condensaor is 90 voorijlend op de spanning. De sroomfasor wor loodrech op de spanningsfasor geekend. De oale sroom is de som van de sroom door de weersand en de sroom door de condensaor. Deze opelling moe vecorieel gebeuren. Hierui blijk da de sroom voorijlend is op de spanning me een hoek me 0 < < 90. Ui he fasordiagram kan een admianiedriehoek afgeleid worden. De sromen door condensaor en weersand zijn evenredig me dezelfde spanning. De fasoren van de sromendriehoek worden 57
gedeeld door deze spanningswaarde, wa resuleer in een gelijkvormige driehoek. Di is een rechhoekige driehoek me rechhoekzijden / (geleidbaarheid) en /X (omgekeerde van capaciieve reacanie). De schuine zijde (Y ) en de hoek ussen horizonale zijde en schuine zijde () kunnen gemakkelijk berekend worden. = /Z = / = /X 6.4.3 Spoel en condensaor Y = /Z / /X Y = 2 = arcan X 2 = ( ) ω ( ) 2 (ω)2 = arcan(ω) Deze parallelschakeling beva een spanningsbron, een condensaor me capaciei en een spoel me induciviei. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden dezelfde convenies gebruik als bij sroomkringen me één componen. i () i () onsrucie van een fasordiagram voor o.a. de faseverschuiving: Beide deelsromen saan loodrech op de spanning. De impedanie is volledig samengeseld ui reacanies en wor daarom reacanie X genoemd me X = X X. Bij een gegeven spanning van de spanningsbron, samen me de frequenie, kan de sroom berekend worden = X waarbij X de reacanie is. Omda beide deelsomen loodrech saan op de spanning, ijl de sroom door de spoel 90 na op de spanning; en de sroom door de condensaor ijl 90 voor. Deze sromen zijn in egenfase. i () i () Wanneer de reacanies (X en X ) gelijk zijn, dan zijn de deelsromen en even groo en egengeseld van eken: de oaalsroom is gelijk aan nul. Ondanks de aanwezigheid van een bronspanning wor er geen sroom door de bron geleverd: de admianie is nul, de impedanie is oneindig. ω = ω ω 2 = ω = frequenie f = 2π i () i () De deelsromen circuleren in de kring condensaor en spoel, zonder da de bron sroom lever. Er is een energieuiwisseling ussen condensaor ( v2 2 ) en spoel ( i2 2 ). Zonder weersand kan di oneindig lang duren; me weersand wor er warme gedissipeerd en doof de sroom ui. 58
6.4.4 Weersand, spoel en condensaor Deze parallelschakeling beva een spanningsbron, een weersand, een condensaor me capaciei en een spoel me induciviei. oor de posiieve sroomzin en posiieve polariei van de spanningen worden weer dezelfde convenies gebruik. i () i () i () Fasordiagramma: opellen: Admianiedriehoek: opellen: = / = /Z = /X Y / /X Y / /X Hierui volg: Y = ( )2 ( X )2 = 6.5 ermogen 6.5. Algemeen = /X /X me /X = /X /X ( )2 ( ( ) ( ω ω)2 X en = arcan = arcan ( ) ω ω) Wanneer een spanning me ogenblikkelijke waarde v() = m sin ω aangesloen wor op een elekrische kring, dan is de sroom over een hoek verschoven.o.v. de spanning. De ogenblikkelijke waarde van de sroom is = m sin(ω ). De ogenblikkelijke waarde van he vermogen p() is gelijk aan he produc van de spanning v() op da ogenblik en de sroom op da ogenblik: p() p() = v() = m sin ω m sin(ω ) De frequenie waarmee he vermogen verloop is he dubbele van de frequenie van spanning of van de frequenie van sroom. He ogenblikkelijke vermogen door de bron geleverd kan zowel posiief als negaief zijn. Een negaieve waarde van he ogenblikkelijke vermogen beeken da de bron op da ogenblik vermogen krijg in plaas van lever. Me behulp van een formule van Simpson kan he ogenblikkelijk vermogen geschreven worden als: p() = m m 2 [cos cos(2ω )] v() = [cos cos(2ω )] He gemiddeld vermogen wor berekend door he ogenblikkelijk vermogen e inegreren over één periode: P = T T 0 p() = cos Di is een zeer belangrijke uidrukking die he werkelijke vermogen geef, da door de bron geleverd wor. Men spreek van he acief vermogen. 59