Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009
Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk krijgen we een getal Problemen p 0 V 0 pv 1 1 p V p V 3 3 c p V Vrije indices horen overeen te komen Nu tel je appels en peren op Links een 1-vorm, rechts een scalar Sommatie inde maar 1 gebruiken Verschillende objecten Gradient is een 1-vorm
Euclidische ruimte Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant Pythagoras ds dy ds g ds T dy 1 0 0 1dy (, dy) dy dy dy ds Stel we hebben vector Evenzo in 3 dimensies a Wat is dan de 1-vorm a? 3 a (,3)
Minkowskiruimte Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong O : O': dy dy dz dz c c dt dt 0 0 ds g cdt ds ds T cdt dr 1 0 0cdt 1 dr cdt ( cdt, dr) dr c We hebben nu ruimtetijd en weer een invariant (een scalar). dt dr dr Trouwens, elke en dus invariant! a b is een scalar
Minkowskiruimte 1 0 0 0 Metrische tensor 0 1 0 0 g 0 0 1 0 0 0 0 1 Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale relativiteitstheorie Beschouw D hyperbolische ruimte, cdt en Stel we hebben vector Wat is dan de 1-vorm? Wat is de lengte van? 0 e0 a 3 a a (,3) a a a a 33 5 e 1 Kan positief, nul of negatief zijn! Metriek heeft signatuur : een pseudoriemannse variëteit
Minkowskiruimte ct Ruimtetijd geometrie ( s) ( ct) C C Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten? AB = 5, BC = 3, AC = wortel(-3 + 5 ) = 4 A B A B Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC? Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C Idem voor driehoek A B C ( s) ( ct) 0 t c Tweelingparado A B = B C = wortel(-3 +3 ) = 0 en A C = 6 Kortste pad is A B C met lengte 0.
Euclidisch versus minkowskiruimte Afstand s tussen oorsprong O en P Euclidisch Minkowski s y s c t y ct
Minkowskiruimte wereldlijnen ct deeltje in rust deeltje met willekeurige snelheid deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid deeltje met lichtsnelheid 45 o
Minkowskiruimte dopplerfactor Waarnemers A en B hebben geijkte standaardklokken en lampjes = tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A = tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B ct waarnemer A waarnemer B ' k met dopplerfactor k ' k 45 o
Minkowskiruimte dopplerfactor Vanuit punt P bewegen waarnemers A en B ten opzichte van elkaar (constante snelheid v van B tov A) waarnemer A Lampje van A flitst na tijd gemeten met de klok van A (in E) R B ziet de flits van A na tijd k (in Q) B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat in R, op tijd k waarnemer B Afstand van Q tot A: (vluchttijd radarpuls lichtsnelheid)/ ER c c ( k d M is gelijktijdig met Q als EM M M k M v EM 1) RM RM k M ( k M 1) afstand tijd d k 1 v / M 1 v / c c k M E P M k Q
Minkowskiruimte inproduct O waarnemer PQ We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q Q Definitie: ( PQ, PQ) c 1 P Afspraak: tijden voor P negatief tijden na P positief 1 E P Q P 1 Q 0 1 Q 0 c P P 1 0 Q 0 1 P 0 Q 1 P en Q gelijktijdig als
Minkowskiruimte causale structuur tijdachtig: ds negatief lichtachtig: ds = 0 toekomst P ruimteachtig: ds positief verleden Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P. Er buiten kan geen causaal verband bestaan.
Minkowskiruimte Bewegende waarnemers s c t v ct' ( ct ) c ' ( vt) Voor de as: stel ct =0. Dan volgt ct =. Voor de schaal op de as: stel =1 en ct =0. Dan volgt =. Voor de ct as: stel =0. Dan volgt ct = /. Voor de schaal op de ct as: stel ct =1 en =0. Dan volgt ct=.
Gelijktijdigheid, tijddilatatie Gebeurtenissen A en B zijn gelijktijdig voor waarnemer O, maar niet voor O. t c t c t c ) ( ' ') ( ) ( ) ( t c t c 1 t c t t'
Lentecontractie Beschouw de wereldlijnen van de uiteinden van de lat ' ( vt) '
Geodeten zijn cirkelbogen Metriek in de kunst M.C. Escher Hyperbolisch: vectoren zijn langer bij de buitenrand Euclidisch
Metriek van een ruimte 1 Metrische tensor in D minkowskiruimte 0 Ricci tensor voor het algemene geval van een dimensionele ruimte met aiale symmetrie 0 1 Ricci tensor is een contractie van de krommingstensor en bevat de tweede-orde afgeleiden van de metrische tensor
plus dit
... en dan dit nog Dit is een algemene uitdrukking voor de Ricci tensor R mn in twee dimensies, met aiale symmetrie (van Larry Smarr, Univ. of Illinois). Probeer nu eens een voorstelling te maken van alle drie de ruimtelijke dimensies plus de tijd!