Geschiedenis van de Wiskunde Najaar 2009 Euclides-opdracht Het doel van deze opgave is om Griekse wiskunde en moderne wiskunde te vergelijken, om overeenkomsten en verschillen te ontdekken. Lees eerst goed de werkwijze. Werkwijze 1. Maak koppels van 2 personen. Tel de eindcijfers van jullie studentnummers bij elkaar op modulo het aantal opgaven, tel bij het resultaat 1 op. Dit bepaalt het nummer van de opgave die jullie als koppel gaan doen. 2. Voer de opdracht uit en schrijf daarna een duidelijk en bondig verslag. 3. Je verslag moet correct en begrijpelijk zijn geformuleerd, er mogen dus niet alleen maar formules staan. Je hoeft niet de onderdelen a t/m z in volgorde af te werken, je mag daar creatief mee omgaan. Het verslag heeft een korte inleiding, een middendeel, en een korte conclusie waarin je in een paar zinnen samenvat wat je opgevalt aan overeenkomsten en verschillen tussen Euclides en moderne wiskunde. Tips 1. Schrijftip 1: let eens op hoe de schrijver van een leerboek schrijft, en lees de schrijfwijzer en de essay-aanwijzingen die aan de webstek van het vak gekoppeld staan. 2. Schrijftip 2: Vermijd passieve werkwoordsvormen, die maken de tekst taai. 1 3. Laat indien mogelijk je tekst aan (iemand van) een ander koppel lezen (of aan iemand anders die er commentaar op kan geven) en vraag expliciet om commentaar. (Misschien lukt dit niet binnen de beschikbare tijd, dan mis je deze nuttige vorm van feedback. Zelf lees je bijna nooit goed wat je werkelijk hebt opgeschreven, je vult automatisch in wat je bedoelde. Een ander kan je wijzen op dubbelzinnigheden en/of onduidelijkheden.) 4. Verwerk eventueel commentaar en lever het verslag op tijd in, uiterlijk op de dag die daarvoor op de webstek vermeld staat (bij het college of in mijn postvakje naast de lift in het wiskundegebouw). Opgaven F = P. Fletcher, C. Wayne Patty, Foundations of Higher Mathematics, third edition, Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Company, third edition, 1992. El IX:20 = Elementen van Euclides, boek 9 propositie 20. Citaten staan in de reader of zijn bijgevoegd. Opgave 1: Priemgetallen Bestudeer El IX:20 (reader p. 20); vergelijk F p. 33 opg. 82 en 85, en p. 99 Th. 3.14. a. Schrijf de redenering van Euclides in moderne notatie. b. Ga na of Euclides bewijs volledig is. c. Vul eventueel ontbrekende stappen aan. d. Vergelijk met de opgaven in F. e. Wat zijn overeenkomsten? wat verschillen? Opgave 2: Volledige inductie Neem propositie El IX:35-36; vergelijk F hst 3, paragraaf 3.1 a. Schrijf het resultaat en de redenering van El IX:35 in moderne notatie. b. Geef een bewijs met volledige inductie voor de somformule van een meetkundige reeks (1 + a + a 2 + a 3 +... voor a tussen 0 en 1). c. Geef het verband (overeenkomsten en verschillen) tussen a. en b. d. Beschrijf de redenering van El IX:36 in moderne notatie. e. Is het bewijs van El IX:36 algemeen? Bespreek deze vraag. 1 Vgl: Passieve werkwoordsvormen dienen te worden vermeden, daar de tekst anders moeilijk leesbaar wordt. Door de passieve vormen wordt bovendien verhuld door wie iets al dan niet wordt gedaan. Wanneer de woorden worden, werden, en (in mindere mate) zijn worden aangetroffen, moet dan ook worden gezocht naar een alternatieve formulering waarin deze woorden vermeden zijn. 1
Opgave 3: Grootste gemene deler Bekijk proposities El VII: 1-2, vergelijk met F hst. 3.2, pp. 79-80 en 3.4, pp. 94-95. a. Beschrijf in moderne notatie hoe Euclides de grootste gemene deler van twee getallen vindt. b. Vergelijk met de manier van F. c. Benoem overeenkomsten en verschillen. d. Is het bewijs van Euclides compleet? Zo nee, vul ontbrekende stappen aan. Opgave 4: Hoofdstelling van de rekenkunde Vergelijk El VII: 29-32 met F pp. 98-99 Cor. 3.11, Thn 3.12, Cor. 3.13 en Th. 3.15. a. Formuleer de bewijzen van Euclides in moderne notatie. b. Zijn Euclides bewijzen compleet? Zo nee, vul ontbrekende stappen aan. c. Vergelijk de resultaten van Euclides met de aangegeven stellingen in F. Bewijst Euclides hetzelfde? Minder? Meer? Opgave 5: Theorie van verhoudingen Vergelijk El V met F hoofdstukken 4.1, 4.3 en 4.4. We bestuderen Euclides leer van verhoudingen m.b.v. het moderne begrip van relatie. a. Probeer eerst de definitie van gelijkheid van verhoudingen (def. 5 van boek V) te begrijpen. Schrijf deze definitie om in moderne notatie. Bekijk ook El V:11. b. Definieer dan op de verzameling (dit is eigenlijk een modern begrip) van paren grootheden van een bepaalde soort, denk aan lijnsegmenten, de relatie door (a, b) (c, d) als a : b = c : d volgens Euclides. Ga nu na dat een equivalentierelatie definieert. Welke stap bewijst Euclides in V:11? c. Definieer een vermenigvuldiging op een deel van de verzameling van paren grootheden door (a, b) (b, c) = (a, c). Stel we kunnen bij elke drie grootheden a, b, c een grootheid x vinden zodat (a, b) = (c, x). (Euclides bewijst dit voor lijnsegmenten in VI:12, dat hoef je niet na te gaan). Hoe zou je nu een vermenigvuldiging definiëren op de hele verzameling van paren grootheden? Leg uit. d. (extra) Bekijk nu El V:22. Analyseer het bewijs van Euclides (dit is best een klus). Laat zien dat de vermenigvuldiging goed gedefinieerd is op de equivalentieklassen voor de relatie. Vertaalde stukken uit Euclides Elementen Hier volgen enkele stukken Euclides in Nederlandse vertaling. Er staan ook enkele stukken in de reader. Boek V, Propositie 22. Als er een of ander aantal grootheden is, en andere (grootheden) gelijk eraan in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, dan zijn ze ook in dezelfde verhouding ex aequali. Laat er een of ander aantal grootheden A, B, C zijn, en andere D, E, F gelijk eraan in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, zo dat zoals A is tot B, zo is D tot E, en zoals B is tot C, zo is E tot F ; ik zeg dat ze ook in dezelfde verhouding zullen zijn ex aequali, dat is, zoals A is tot C, zo is D tot F. Want laat van A, D gelijke veelvouden G, H genomen zijn, en van B, E andere willekeurige gelijke veelvouden K, L; en verder van C, F andere willekeurige gelijke veelvouden M, N. A B C D E F G K M H L N 2
Dan, aangezien A is tot B als D is tot E, en van A, D de gelijke veelvouden G, H zijn genomen, en van B, E andere willekeurige gelijke veelvouden K, L, daarom zoals G is tot K, zo is H tot L. Om dezelfde reden ook: zoals K is tot M, zo is L tot N. Omdat er dus drie grootheden G, K, M zijn, en andere H, L, N eraan gelijk in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, daarom, ex aequali, als G overschiet van M, dan schiet H ook over van N; indien gelijk, gelijk; en indien minder, minder. En G, H zijn gelijke veelvouden van A, D, en M, N zijn andere willekeurige gelijke veelvouden van C, F. Daarom zoals A is tot C, zo is D tot F. Daarom etc. Q.E.D. Boek VII, Propositie 1. Twee ongelijke getallen gegeven zijnde, en bij voortduring steeds de kleinere afgetrokken van de grotere, indien het getal dat overblijft nooit de voorgaande meet totdat er een eenheid overblijft, dan zijn de oorspronkelijke getallen priem ten opzichte van elkaar. Want de kleinere van de twee ongelijke getallen AB, CD voortdurend afgetrokken zijnde van de grotere, laat het getal dat overblijft nooit de voorgaande meten totdat een eenheid overblijft; ik zeg dat AB, CD priem ten opzichte van elkaar zijn, oftewel dat slechts een eenheid AB, CD meet. A H F B C G D E Want indien AB, CD niet priem ten opzichte van elkaar zijn, dan meet een of ander getal hen. Laat een getal hen meten, laat het E zijn. Laat CD, BF meten, en laat het F A overlaten, minder dan het zichzelf. Laat AF, DG meten, en laat het GC overlaten, minder dan het zichzelf; en laat GC, F H meten, en laat het een eenheid HA overlaten. Omdat dan E meet CD, en CD meet BF, daarom meet E ook BF. Maar het meet ook de gehele BA, en daarom meet het ook het restant AF. Maar AF meet DG; daarom meet E ook DG. Maar het meet ook de gehele DC, daarom meet het ook het restant CG. Maar CG meet F H; daarom meet E ook F H. Maar het meet ook de gehele F A; daarom meet het ook het restant, de eenheid AH, hoewel het een getal is: hetgeen onmogelijk is. Daarom meet geen enkel getal de getallen AB, CD; dus zijn AB, CD priem ten opzichte van elkaar [VII defn. 12]. QED. Boek VII, Propositie 2. Gegeven twee getallen die niet priem zijn ten opzichte van elkaar, te vinden hun grootste gemene maat (=deler). Laat AB, CD de twee gegeven getallen zijn die niet priem zijn ten opzichte van elkaar. Er wordt dus gevraagd de grootste gemene maat te vinden van AB, CD. A E B C F D G Stel nu dat CD meet AB: en het meet ook zichzelf, dus CD is een gemene maat van CD, AB. En het is duidelijk dat het ook de grootste is, want geen groter getal dan CD kan CD meten. Maar als CD niet AB meet, laat dan de kleinere van de getallen AB, CD voortdurend van de grotere zijn afgetrokken, totdat een of ander getal is overgebleven dat het voorgaande (getal) meet. Want een eenheid kan er niet overgebleven zijn: anders zouden AB, CD priem ten opzichte van elkaar zijn [VII, 1], wat niet overeenstemt met de vooronderstelling. Daarom blijft er een getal over dat de voorgaande meet. Laat dan CD, die BE meet, EA overlaten wat minder is dan zichzelf; en laat EA, die DF meet, F C overlaten die minder is dan zichzelf, en CF meet AE. Omdat CF meet AE, en AE meet DF, daarom meet CF ook DF. En het meet ook zichzelf, daarom meet het de hele CD. 3
Maar CD meet BE, daarom meet CF ook BE. Maar het meet ook EA, daarom zal het de hele BA meten. Maar het meet bovendien CD; dus CF meet AB, CD. Daarom is CF een gemene maat van AB, CD. Ik zeg dat het ook de grootste is. Want als CF niet de grootste gemene maat is van AB, CD, dan is er een of ander getal dat groter is dan CF dat AB, CD meet. Laat er zo n getal G zijn dat hen meet. Aangezien G meet CD, terwijl CD meet BE, meet G ook BE. Maar het meet ook de hele BA, dus het zal ook het restant AE meten. Maar AE meet DF ; dus G meet ook DF. Maar het meet ook de hele DC; darom meet het ook het restant CF, dat wil zeggen dat de grotere de kleinere meet: wat onmogelijk is. Daarom is er geen getal groter dan CF dat de getallen AB, CD meet. Dus CF is de grootste gemene maat van AB, CD. Porisme. ( bij -stelling) Hiermee is het duidelijk dat, als een getal twee getallen meet, dan meet het ook hun grootste gemene maat. QED. Boek VII, Propositie 29. Elk priemgetal is priem ten opzichte van elk getal dat het niet meet. Laat A een priemgetal zijn, en laat het B niet meten; ik zeg dat B, A priem ten opzichte van elkaar zijn. Want als B, A niet priem ten opzichte van elkaar zijn, dan meet een of ander getal hen. Laat C hen meten. A B C Omdat C meet B, en A meet B niet, daarom is C niet hetzelfde als A. Maar omdat C meet B én A, meet het dus ook A die priem is, hoewel het er niet aan gelijk is: hetgeen onmogelijk is. Daarom meet geen enkel getal B en A, zodat A, B priem zijn ten opzichte van elkaar. QED. Boek VII, Propositie 30. Wanneer twee getallen met elkaar vermenigvuldigd een getal maken, en een priemgetal meet het product, dan meet het ook een van de oorspronkelijke getallen. Want laat de twee getallen A, B met elkaar vermenigvuldigd C maken, en laat een of ander priemgetal D C meten; ik zeg dat D een van de getallen A, B meet. A B C D E Want laat het A niet meten. Daar D priem is, zijn A, D priem ten opzichte van elkaar [VII, 29].. En zo vaak als D meet C, laat er zo veel eenheden in E zijn. Omdat dan D meet C in overeenstemming met de eenheden in E, daarom maakt D vermenigvuldigd met E, C. [VII, defn 15] Verder, A vermenigvuldigd met B heeft ook C gemaakt; daarom is het product van D, E gelijk aan het product van A, B. Daarom zoals D is tot A, zo is B tot E [VII, 19]. Maar D en A zijn priem ten opzichte van elkaar, priemen zijn ook de kleinsten [VII, 21], 2 en de kleinsten meten de getallen die dezelfde verhouding hebben [elk] evenveel keren, de grotere de grotere en de kleinere de kleinere, dat wil zeggen: de voorganger de voorganger en de opvolger de opvolger. Daarom D meet B. Op dezelfde manier kunnen we laten zien dat indien D meet B niet, dan meet het A. Daarom meet D een van de getallen A, B. QED. Boek VII, Propositie 31. Elk samengesteld getal wordt gemeten door een of ander priemgetal. Laat A een samengesteld getal zijn; ik zeg dat A wordt gemeten door een of ander priemgetal. Want omdat A samengesteld is, zal een of ander getal het meten. Laat een getal B het meten. A B C 2 VII,21: Getallen die priem zijn ten opzichte van elkaar zijn de kleinste van die welke dezelfde verhouding hebben [als die twee relatief priem getallen]. 4
Nu, als B priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Als het samengesteld is, dan meet een of ander getal het. Laat een getal C het meten. Omdat C meet B, en B meet A, daarom meet C ook A. En als C priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Maar als het samengesteld is, dan meet een of ander getal het. Als het spoor zo wordt voortgezet, dan wordt er een of ander priemgetal gevonden dat het getal eraan voorafgaand meet, en dat ook A meet. Want als het niet is gevonden, dan meet een oneindige rij getallen het getal A, elke (volgende) kleiner dan de andere (voorgaande): hetgeen niet mogelijk is bij getallen. Daarom wordt er een of ander priemgetal gevonden dat het getal eraan voorafgaand meet, en dat ook A meet. Daarom wordt elk samengesteld getal gemeten door een priemgetal. Boek VII, Propositie 32. Elk getal is ofwel priem, ofwel het wordt gemeten door een priemgetal. Laat A een getal zijn; ik zeg dat A ofwel priem is ofwel wordt gemeten door een of ander priemgetal. Als A priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Maar als het samengesteld is, dan meet een of ander priemgetal het [VII.3]. Daarom is elk getal ofwel priem ofwel het wordt gemeten door een priemgetal. QED. Boek IX, Propositie 35. Indien willekeurig veel getallen in voortdurende verhouding zijn, en er is van het tweede en het laatste (een getal) gelijk aan het eerste afgenomen, dan staat de rest van het tweede (getal) tot het eerste (getal), als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. Laat er zo veel getallen als wij willen in voortdurende verhouding zijn, namelijk A, BΓ,, EZ, beginnende van A als het kleinste. En laat van BΓ en EZ zijn afgenomen de getallen BH, ZΘ, elk gelijk aan A. Ik zeg dat zoals HΓ is tot A, zo is EΘ tot A, BΓ,. A B H Γ E Λ K Θ Z Want laat ZK gelijk gesteld zijn aan BΓ, en ZΛ gelijk aan. Omdat ZK gelijk is aan BΓ, en van deze het deel ZΘ gelijk aan het deel BH, daarom is het restant ΘK gelijk aan het restant HΓ. En omdat EZ staat tot als tot BΓ, en (ook) als BΓ tot A, terwijl gelijk is aan ZΛ, BΓ gelijk is aan ZK, en A gelijk is aan ZΘ, daarom staat EZ tot ZΛ, als ΛZ tot ZK, en (ook) als ZK tot ZΘ. Separando, zoals EΛ staat tot ΛZ, zo staat ΛK tot ZK, en KΘ tot ZΘ Daarom ook, zoals één van de voorgangers staat tot één van de opvolgers, zo staan alle voorgangers tot alle opvolgers. Daarom zoals KΘ staat tot ZΘ, zo staan EΛ, ΛK, KΘ to ΛZ, ZK, ΘZ. Maar KΘ is gelijk aan ΓH, ZΘ is gelijk aan A, en ΛZ, ZK, ΘZ (zijn gelijk) aan, BΓ, A. Dus zoals ΓH staat tot A, zo staat EΘ tot, BΓ, A. Daarom staat de rest van het tweede tot het eerste, als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. QED Boek IX, Propositie 36. Indien, beginnend met de eenheid willekeurig veel getallen uitgezet zijn in de voortdurende verhouding van tweevoudigheid (2:1), totdat hun som priem is, en indien de som vermenigvuldigd met de laatste een of ander (getal) maakt, dan is dat product perfect. Want laat vanaf de eenheid zo veel getallen als we willen, uitgezet zijn in de verhouding van tweevoudigheid (2:1), totdat hun som priem is; namelijk de getallen A, B, Γ,, en laat E gelijk aan de som zijn en laat E met vermenigvuldigd ZH maken; ik zeg dat ZH perfect is. Want hoeveel getallen A, B, Γ, er ook zijn, laat er net zo veel (getallen) vanaf E genomen zijn in de verhouding van tweevoudigheid, namelijk E, ΘK, Λ, M Dan is ex aequali zoals A staat tot, zo staat E tot M. Daarom is het product van E, gelijk aan het product van A, M. Maar het product van E, is ZH; daarom is het product van A, M ook ZH. 5
A B Γ Λ M E Z Ξ... H Θ N K Π O Daarom heeft A, door vermenigvuldigen met M, ZH gemaakt; daarom meet M (het getal) ZH volgens de eenheden in A. En A is twee. Daarom is ZH het dubbele van M. Maar M, Λ, ΘK, E zijn ook voortdurend het dubbele van elkaar. Dus zijn E, ΘK, Λ, M, ZH (ook) in de voortdurende verhouding van tweevoudigheid. Laat nu van het tweede (getal) ΘK en het laatste (getal) ZH de getallen ΘN, ZΞ, elk gelijk aan het eerste, E, zijn afgetrokken; dan staat de rest van het tweede (getal) tot het eerste als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. Dus staat NK tot E als ΞH tot de (som van de) getallen M, Λ, KΘ, E. Maar ZΞ is gelijk aan E, en E is gelijk aan A, B, Γ, en de eenheid. De hele ZH is dus gelijk aan E, ΘK, Λ, M en A, B, Γ, en de eenheid, en hij wordt door hen gemeten. Ik zeg, dat ZH door geen enkel ander getal gemeten wordt dan door A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. Want als dat wel mogelijk zou zijn, laat een of ander getal O het (getal) ZH meten, en laat O niet hetzelfde zijn als een van de getallen A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M. En laat zoveel maal als O het (getal) ZH zijn, laten er zoveel eenheden in het getal Π zitten. Dan maakt Π vermenigvuldigd met O het (getal) ZH. Echter, E vermenigvuldigd met maakt ook ZH. Dus staat E tot Π als O tot. Omdat de (getallen) A, B, Γ, in voortdurende verhouding zijn vanaf de eenheid, wordt door geen enkel ander getal gemeten dan door A, B en Γ. Echter, er is verondersteld dat O niet hetzelfde is als een van de getallen A, B en Γ. Dus meet O het (getal) niet. Maar O staat tot als E staat tot Π. Dus meet E het (getal ) Π ook niet. Maar E is priem. En elk priemgetal is onderling priem met betrekking tot alle getallen die hij niet meet. Dus zijn E en Π onderling priem. Onderling prieme (getallen) zijn de kleinste (getallen) die in een verhouding staan, en de kleinste (getallen) in een bepaalde verhouding meten alle andere getallen die in dezelfde verhouding staan een zelfde aantal malen, de voorganger (meet) de voorganger (dat aantal malen) en de opvolger de opvolger. Nu staat E tot P i als O tot. Dus meet E het (getal) O even veel malen als Π het (getal) meet. Maar wordt door geen enkel ander getal gemeten dan A, B en Γ. Dus Π moet hetzelfde zijn als een van de getallen A, B of Γ. Laat het hetzelfde zijn als B. Laat in de hoeveel B, Γ, in aantal zijn, een even groot aantal genomen worden vanaf E, namelijk E, ΘK, Λ. Nu staan E, ΘK, Λ in dezelfde verhouding alsb, Γ,. Dan geldt ex aequali dat B tot staat als E tot Λ. Dus is het (product) van B, Λ gelijk aan het (product) van, E. Maar het (product) van, E is gelijk aan het (product) van Π, O. Dus is het (product) van Π, O ook gelijk aan het (product) van B, Λ. Dus Π staat tot B als Λ staat tot O. Maar Π is hetzelfde als B. Dus Λ is hetzelfde als O. Hetgeen onmogelijk is, want O was verondersteld aan geen enkele van de uiteengezette getallen gelijk te zijn. Dus wordt ZH door geen enkel ander getal gemeten dan A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. En er was al bewezen dat ZH gelijk is aan A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. Een perfect getal is een getal dat gelijk is aan (de som van) de delers ervan. Dus ZH is perfect. Hetgeen bewezen moest worden. 6