TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf je naam en studentnummer o elk vel dat je inlevert. Lever je ogaven ersoonlijk bij de surveillanten in. Niet o de tafels laten liggen! Het tentamen bestaat uit 4 vragen. De waardering er onderdeel staat aangegeven in de kantlijn. Geef niet alleen antwoorden, maar laat ook zien hoe je eraan gekomen bent. Het gebruik van dictaat, aantekeningen en calculator is toegestaan. VEEL SUCCES! (5 ) 1. Onderstaande figuur toont een binair beeld ogebouwd uit 16 ixels, waarvan zeven zwarte en negen witte. Een zwart ixel heeft numerieke waarde 0, een wit ixel 1. In je antwoorden o onderstaande vragen hoef je eventuele uitdrukkingen met faculteiten en/of binomiaalcoëfficiënten getalsmatig niet verder uit te werken. a. In dit onderdeel gaan we ervan uit dat beelden een eenduidig gekozen oorsrong en oriëntatie bezitten. Met andere woorden, bovenstaand beeld is onderscheidbaar van dat welk ontstaat wanneer we het een kwart slag draaien. a1. Hoeveel onderscheidbare 4 4 beelden zijn er met recies zeven zwarte en negen witte ixels? a. Beschouw de verzameling van alle binaire 4 4 beelden. Wat is de a riori kans dat je bij aselecte keuze recies bovenstaand beeld aantreft? b. De witte ixels en, aangegeven in onderstaande figuren, heten verbonden ( connected ) indien het mogelijk is ze middels een digitaal ad bestaande uit enkel witte ixels met elkaar 1
te verbinden. Oeenvolgende ixels o het ad moeten voldoen aan een goed gedefiniëerd adjacency criterium. In deze ogave beschouwen we 4-adjacency, 8-adjacency en mixedadjacency zoals uitgelegd in 1.5. van het dictaat. Geef in elk van de onderstaande figuren aan of het mogelijk is om een digitaal ad van naar te trekken en zo ja, teken het kortste ad, in geval van achtereenvolgens (zie bijlage aan het eind van dit tentamen): b1. 4-adjacency (linker figuur), b. 8-adjacency (middelste figuur), resectievelijk b3. mixed-adjacency (rechter figuur). c. We definiëren de -norm van een M N (M, N IN) binair beeld f voor 1 en voor = als volgt: 1 f = 1 M N f[i, j] res. f = lim MN f. i=1 j=1 Let o: De definitie wijkt enigszins af van die in het dictaat! Bereken voor bovenstaand binaire beeld achtereenvolgens c1. de 1-norm, c. de -norm, c3. de -norm. d. Bewijs dat voor willekeurige binaire M N beelden f geldt d1. f 1 voor alle 1 en d. f f dan en slechts dan als.
(0 ). Beschouw voor gegeven ɛ IR de afbeelding A : C (IR) L 1 (IR) IR gedefiniëerd door A(f) = f(0) + ɛf (0). In deze ogave mag je gebruik maken van de standaardintegraal e x dx = π. a. Toon aan dat A een lineaire afbeelding is. b. We voorzien domein en bereik van de oerator A van een inut- resectievelijk oututnorm, als volgt. Voor het domein, d.i. C (IR) L 1 (IR), kiezen we de gebruikelijke 1-norm: f inut = f(x) dx ( ) f C (IR) L 1 (IR). Het bereik van A, d.i. IR, voorzien we van de gebruikelijke modulus-norm voor reële getallen: z outut = z (z IR). We beschouwen als voorbeeld f(x) = ex [ 1 ] ɛ x met ɛ > 0 een constante. Beaal b1. f inut, evenals b. A(f) outut. c. Bewijs dat de oerator A slecht-gesteld is door aan te tonen dat f inut 0 niet imliceert dat A(f) outut 0. (30 ) 3. Beschouw de veeltermfuncties f 1 : [ 1, 1] IR : x 1, f : [ 1, 1] IR : x x en f 3 : [ 1, 1] IR : x 3x c. Hierin is c IR een constante arameter. We voorzien het osansel van deze functies, V def = San{f 1, f, f 3 }, als volgt van een inrodukt: Als f, g V, dan f g = 1 1 f(x) g(x) dx. a1. Laat zien dat elke tweedegraads functie f : [ 1, 1] IR van de vorm f(x) = Ax +Bx+C geschreven kan worden als lineaire combinatie van de functies f 1, f en f 3, ongeacht de waarde van c. a. Bewijs dat de functies f 1, f en f 3 lineair onafhankelijk zijn ongeacht de waarde van c. b. Toon aan dat {f 1, f, f 3 } orthogonaal is dan en slechts dan als c = 1. c. Neem voortaan c = 1. Stel g 1 = λ 1 f 1, g = λ f en g 3 = λ 3 f 3 voor zekere constanten 3
λ 1, λ, λ 3 > 0. Beaal de waarden van deze constanten als gegeven is dat {g 1, g, g 3 } een orthonormaal stelsel vormt. d. Beschouw de differentiaaloerator S : V V : f S(f) gegeven door S(f)(x) = x df(x) dx. d1. Bewijs dat S een lineaire afbeelding is. d. Beaal de matrix S behorende bij de oerator S ten ozichte van de basis {f 1, f, f 3 }. Dat wil zeggen, als = α 1 f 1 + α f + α 3 f 3 en = S() = β 1 f 1 + β f + β 3 f 3, beaal dan de matrix die de coördinatenvectoren van en relateert volgens β 1 α 1 β = S α. β 3 α 3 d3. Bewijs dat S singulier is, dat wil zeggen dat de beeldruimte van S een lagere dimensie heeft dan het domein. d4. Laat zien dat S geen rojectie is, maar dat er een lineaire deelruimte van V bestaat waarbinnen S, beerkt tot die deelruimte, wel een rojectie definiëert. Beaal de maximale deelruimte waarvoor dit het geval is. (5 ) 4. In deze ogave beschouwen we een synthetisch signaal f : IR IR, gedefiniëerd als volgt: 0 als x < 0 1 f(x) = als x = 0 1 als x > 0 Verder definiëren we het zogenaamde Poisson filter φ σ : IR IR voor σ > 0 als φ σ (x) = 1 π σ x + σ. Bij deze ogave mag je gebruik maken van de volgende standaardformules (zie ook onderstaande grafiek): 1 dx = arctan x + c res. lim 1 + x arctan x = ±π x ±. y as Π Π 4 y arctan x 10 5 5 10 x as Π 4 Π 4
Verder hanteren we in deze ogave de volgende Fourierconventie: û(ω) = F(u)(ω) = e iωx u(x) dx en dus u(x) = F 1 (û)(x) = 1 e iωx û(ω) dω. π a. Toon aan dat φ σ(x) dx = 1 ongeacht de waarde van σ. b1. Bewijs dat voor willekeurige, voldoende gladde, integreerbare filters φ geldt: (f φ)(x) = x φ(ξ) dξ. b. Laat door exliciete berekening zien dat het convolutierodukt f φ σ gegeven wordt door (f φ σ ) (x) = 1 + 1 π arctan x σ. c. Toon aan dat de Fouriergetransformeerde f = F(f) van f gegeven wordt door f(ω) = 1 iω. Hint: Uit onderdeel b1 volgt dat d dx (f φ) (x) = φ(x). Pas hier Fouriertransformatie o toe. d. Zonder bewijs geven we hier de Fouriergetransformeerde φ σ = F(φ σ ) van φ σ : φ σ (ω) = e σ ω. d1. Verklaar het gedrag van φ σ (ω) voor ω 0 in termen van eigenschaen van het bijbeho- rende satiële filter φ σ (x). Hint: Vergelijk onderdeel a. d. Verklaar het gedrag van f(ω) voor ω 0 in termen van eigenschaen van het bijbeho- rende satiële signaal f(x). e. Beaal het functievoorschrift van de functie F(f φ σ ). f. Toon aan dat lim σ 0 f φ σ = f. Hint: Neem de Fourierroute. EINDE 5
BIJLAGE BIJ OPGAVE 1 Naam: Studentnummer: Figuur 1: Kortste ad van naar middels 4-adjacency. Figuur : Kortste ad van naar middels 8-adjacency. Figuur 3: Kortste ad van naar middels mixed-adjacency. 6