Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken 3 1 () Regel verschil van kwadraten : a b = (a + b)(a b) (3) Wortelrekenen : 4 = 8 + 4 8 + 8 = 8 ( 4 8 8 4 8 8 8 = = = 8) () 8 4 4 Voorbeeld 1 Gegeven is de volgende figuur met ADN een gelijkzijdige driehoek en MC = MN = MB. a. Leg uit waarom er een cirkel door de punten B, C en N gaat en bepaal de lengte van de straal. b. Bereken exact de lengte van AB als je weet dat MN = 10. Gegeven is nu alleen dat de omtrek van ABCD gelijk is aan 100. c. Bereken exact de lengte van AD en schrijf deze in de vorm AAAA = aa + bb cc.
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina van 1 Oplossing 1 a. Als je een cirkel tekent met middelpunt M en straat MC gaat deze door N en B omdat MC = MN = MB. b. Noem P het punt halverwege AD. Je krijgt dan een 30-60-90 driehoek : D P N Er geldt AAAA = MMMM = MMMM = 10 Dus PPPP = 10 3 Dus AAAA = PPPP + MMMM = 10 3 + 10 c. Nu geldt dat AAAA = xx. Dus AAAA = PPPP + MMMM = xx 3 + xx en AAAA = PPPP = xx Er geldt dat de omtrek gelijk is aan 100 dus : AAAA + AAAA = 100 AAAA + AAAA = 50 xx 3 + xx + xx = 50 xx( 3 + 3) = 50 xx = 50 = 50 3 3 = 50 3 150 = 50 3 150 3+3 3+3 3 3 3 9 6 Omdat AD = AP is dus AAAA = 50 6 = 50 3 + 5 6 50 3 5 = 3 + 50 3
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 3 van 1 Voorbeeld Gegeven is een cirkel met straal 8. De punten A, B en C liggen op de cirkel zo, dat AC = BC en verder is de hoogte CD twee keer de lengte van AB. Bereken exacte de lengte van AB. Oplossing 1 (1) Stel AD = x. Dan is AB = x en CD = 4x () Teken middelpunt en straal AM CM = AM = 8 DM = 4x 8 (3) Stelling van Pythagoras in driehoek ADM AD + DM = AM x + (4x 8) = 8 x + 16x 64x + 64 = 64 17x 64x = 0 x(17x 64) = 0 x = 0 v 17x 64 = 0 17x = 64 x = 64 17 (4) AB = 64 17 = 18 17 = 7 9 17
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 4 van 1 Paragraaf 14. : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 Middelloodlijn en bissectrice (geen sommen maken) Definitie middelloodlijn Voor punt P op de middelloodlijn van AB geldt : d(p,a) = d(p,b) of PA = PB. Berekenen middelloodlijn Er zijn drie manieren om dit te berekenen : (1) Afstandformule : d(p,a) = d(p,b) () Normaalvector : rr AAAA = nn mmmmmm (3) Richtingscoëfficiënt : RRRR mmmmmm RRRR AAAA = 1 Voorbeeld 1 Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van de punten A=(3,4) en B=(9, 7). Oplossing (1) : Afstand Voor ieder punt P=(x,y) op de mll geldt dat d(p,a) = d(p,b). Dus : x 3) + ( y 4) ( x ( y ( + x 3) + ( y 4) = = ( x 9) 9) + ( y ( x 6x + 9 + y 8y + 16 = x 7) 7) 18x + 81+ y 14y + 49 1 x + 5 + 6y = 130 1 x + 6y = 105. Dus de vergelijking van de middelloodlijn is 1 x + 6y = 105 Oplossing () : Normaalvector (1) rr AAAA = 9 7 3 4 = 6 3 ( dus rr mmmmmm = nn AAAA = 3 6 ) Dus nn mmmmmm = rr AAAA = 6 3 Dus 6xx + 3yy = cc () MM = 1, 11 = (6, 5 1 ) ligt op de mll dus 6 6 + 3 5 1 = 36 + 16 1 = 5 1 = cc (3) Dus mll : 6xx + 3yy = 5 1 1xx + 6yy = 105
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 5 van 1 Oplossing (3) : Rc (1) rrrr AAAA = yy xx = 7 4 9 3 = 3 6 = 1 () rrrr mmmmmm rrrr AAAA = 1 dddddd rrrr mmmmmm = DDDDDD yy = xx + bb (3) Midden van AB : MM = 1, 11 = (6, 5 1 ) (4) M ligt op mll dus : 5 1 5 1 = 6 + bb = 1 + bb bb = 17 1 (5) Mll : yy = xx + 17 1 xx + yy = 17 1 111111 + 6666 = 111111 Maken : Som 19a op 3 manieren!!!
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 6 van 1 Les Bissectrice en afstand punt - lijn Definitie bissectrice Voor ieder punt P op de bissectrice van de lijnen l (AQ) en k (AR) geldt dat d(p, l) = d(p, k) oftewel PQ = PR. Uitleg (Optioneel) : (1) Als je de bissectrice van hoek A tekent (de lijn AP) en je kijkt naar de twee driehoeken dan kun je met de congruentieregels (nu veel te moeilijk) laten zien dat de driehoeken APR en APQ gelijk zijn. Dus daarom is PPPPPP = PPPPPP () Omdat de driehoeken gelijk zijn is PR = PQ dus is de afstand gelijk Definitie Afstand Punt - Lijn Gegeven punt R = (p,q) en lijn k : ax + by = c. Dan geldt dat de afstand van punt P tot lijn k geldt : d(r, k) = ap + bq c a + b Voorbeeld 1 Bepaal de afstand van lijn k : 3x +4y = 5 en het punt (,4). Oplossing 1 3 + 4 4 5 17 17 d(p, k) = = = = 3, 4 3 + 4 5 5 Berekenen bissectrice (1) Afstandformule : d(p,l) = d(p,k) () Ruitmethode : rr bbbbbb = AAAA rr AAAA + AAAA rr AAAA ( Boek!!)
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 7 van 1 Voorbeeld Bepaal de vergelijking van de bissectrice van lijn k : 7x + 4y = 10 en lijn l : 3x - 4y = 8. Het snijpunt van deze lijnen is S = (,3 ; -0,6) Oplossing Dit kan op twee manieren : Oplossing (1) : Afstand Voor ieder punt P = (x,y) op de bissectrice geldt dat d(p, l) = d(p, k). 3x 4y 8 = 3 + 4 7x + 4y 10 7 + 4 { KV } 5 3xx 4yy 8 = 5 7xx + 4yy 10 Nu zijn er twee oplossingen / bissectrices : (1) 5 (3xx 4yy 8) = 5 (7xx + 4yy 10) 75xx 100yy 00 = 35xx + 10yy 50 40xx 0yy = 150 4444 = 1111 (Bissectrice 1) () 5 (3xx 4yy 8) = 5 (7xx + 4yy 10) 75xx 100yy 00 = 35xx 10yy + 50 110xx + 0yy = 50 111111 + = (Bissectrice )
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 8 van 1 Oplossing () : Ruitmethode Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden. De diagonalen delen de hoeken middendoor (= bissectrice). Je kunt nu door de zijden van lijn k en l gelijk te maken heel eenvoudig de bissectrice(s) berekenen : (1) Richtingsvector bepalen van k en l nn kk = 7 4 rr kk = 4 7 nn ll = 3 4 rr ll = 4 3 () Lengte bepalen van de richtingsvectoren rr kk = 7 + ( 4) = 5 rr ll = 4 + 3 = 5 (3) Lengte van beide vectoren gelijk maken door rr bbbbbb = rr kk rr ll + rr ll rr kk rr bbbbbb1 = 5 4 7 + 5 4 = 10 + 100 = 0 3 35 75 40 4 Dit geeft nn bbbbbb1 = 4 4xx + yy = cc Snijpunt S = (,3 ; -0,6) invullen geeft 4xx + yy = 15 (4) Tweede bissectrice door een richtingsvector te veranderen, bijv rr kk = 4 7 rr bbbbbb = 5 4 7 + 5 4 = 10 + 100 = 0 3 35 75 110 11 Dit geeft nn bbbbbb = 11 11xx + yy = cc Snijpunt S = (,3 ; -0,6) invullen geeft 11xx + yy = 5 Opmerking De e methode werkt het beste als je 3 punten hebt gegeven (A / B / C). Als je dan de bissectrice van hoek B wil weten, MOET je rr BBBB = AA BB en rr BBBB = CC BB doen!!!
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 9 van 1 Les 3 : Cirkels, snijpunten en raaklijnen Definities (1) Omgeschreven cirkel Cirkel door de hoekpunten. Middelpunt ligt op snijpunt van de mll n. () Ingeschreven cirkel Cirkel die raakt aan de zijden. Middelpunt ligt op snijpunt van de bissectrices. Vier raaklijnproblemen: (1) Gegeven: Cirkel met middelpunt M en raakpunt R op de cirkel Gevraagd: Vergelijking van raaklijn k. Met RCMR RCk = -1 Of met rr MMMM = nn kk () Gegeven: Middelpunt M van de cirkel en raaklijn k Gevraagd: Vergelijking van cirkel c. { ( x = r a) + ( y b) } rr = dd(mm, kk) = aaaa+bbbb cc aa +bb (3) Gegeven: Cirkel en rc (=a) van k. Gevraagd: Vergelijking van raaklijn k. Met RCMR RCk = -1 lijn MR opstellen Punt R is snijpunt MR en cirkel. (4) Gegeven: Cirkel en punt S op k buiten de cirkel. Gevraagd: Vergelijking van raaklijn k. S invullen in lijn en veronderstel dat c = 1. Invullen in rr = dd(mm, kk) = aaaa+bbbb 1 aa +bb Voorbeeld : blz 68!!!
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 10 van 1 Paragraaf 14.3 : Zwaartepunten Definities zz = { Zwaartepunt } = { Evenwichtspunt van het figuur } OO = { Basis } = { Vaak de Oorsprong } Zwaartepunt hangt af van de gewichten (=lengte) en de ligging (=richting) van de punten ten opzichte van de basis B } mm OOOO = { Massa van punt A } = { lengte van vector OA of oppervlakte van een figuur } rr OOOO = { Richtingsvector van OA } MM = { Totale massa / lengte } = OOOO + OOOO + Berekening zwaartepunt z (1) Bepaal een basispunt O (Vaak de Oorsprong) () zz = 1 MM {mm OOOO OOOO + mm OOOO OOOO + } Voorbeeld 1 Gegeven is figuur 1. a. Teken het zwaartepunt in figuur 1. b. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt.
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 11 van 1 Oplossing 1 a. Je kunt het figuur op manieren verdelen : 1. In figuur zie je een mogelijke verdeling. Bepaal het zwaartepunt (midden) van beide figuren. De lijn door deze middelpunten is zwaartelijn 1.. In figuur zie je een andere verdeling. Bepaal het zwaartepunt (midden) van beide figuren. De lijn door deze middelpunten is zwaartelijn. 3. Het snijpunt van zwaartelijn 1 en zwaartelijn is het zwaartepunt. b. We gebruiken figuur 3 : 1. De middelpunten van A en B zijn punten MA = (, 9) en MB = (5, ).. De oppervlakte (massa) is allebei = 4 x 10 = 40. Dus M = 40 + 40 = 80. 3. zz = 1 MM {mm OOOO OOOO + mm OOOO OOOO } = zz = 1 40 80 9 + 40 5 40 = 40 + 80 9 5 = 3 80 1 5 1 Voorbeeld Gegeven is een figuur met drie gewichten. A, B en C hebben respectievelijk een gewicht van 10, 5 en kg. Bepaal het exact de coördinaten van het zwaartepunt Z. Oplossing We nemen de oorsprong als basis. 1. Dan is OOOO = 3 4 ; OOOO = 0 ; OOOO = 4 0. zz = 1 MM {mm OOOO OOOO + mm OOOO OOOO } = zz = 1 5++10 zz = 1 = 17 30 10 3 4 + 5 0 + 4 0 = 1 30 0 + 17 40 10 + 8 0 = 17 30 17
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.4 : Bewegingsvergelijkingen Definitie Kromme Kromme = { een figuur waarbij de x en y coördinaat uitgedrukt worden in een 3 e variabele t } Voorbeeld is de eenheidscirkel met x = cos (t) en y = sin (t). Definitie Plaats / Snelheid / Versnelling (1) rr(tt) = { pppppppppppppppppppppppp (ccccörrrrrrrrrrrrrr) oopp tttttttttttttttt tt } = xx(tt) yy(tt) () vv(tt) = { ssssssssheeeeeeeeeeeeeeeeeeee oooo tttttttttttttttt tt } = xx (tt) yy (tt) (3) aa(tt) = { vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv oooo tttttttttttttttt tt } = xx (tt) yy (tt) Definitie Baan (1) vv(tt) = { Baansnelheid } vv(tt) = (xx (tt)) + (yy (tt)) () aa(tt) = { Baanversnelling } aa(tt) = iiiiiiiiiiiiiiiiii vv eeee aa llllllllllll vv = vv(tt) aa(tt) vv(tt) Definitie raaklijn (1) Horizontale raaklijn yy (tt) = 0 eeee xx (tt) 0 () Verticale raaklijn xx (tt) = 0 eeee yy (tt) 0 (3) Keerpunt xx (tt) = 0 eeee yy (tt) = 0 Voorbeeld > blz 86