CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties 1
Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: Dan een vaste vertrekprijs van 5 een kiloeterprijs van een rit van 7 k kost 5 + (7) = 19 een rit van 1 k kost 5 + (1) = 9 een rit van 3 k kost 5 + (3) = 51. Algeeen: een rit van x k kost 5 + x = y Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Besluit: de kostprijs y (in euro) van een taxirit van x k wordt gegeven door y = 5 + x wiskundige terinologie: x en y zijn veranderlijken de vergelijking y = 5 + x definieert een relatie tussen de veranderlijken x en y Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie nl. je kiest x, en dan ligt y vast dit soort relatie noet en een functie
Begripsoschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die oet toegepast worden o een getal x o te zetten in een getal y functie x ( ) + 5 input y output = 5 + x Terinologie: x is de onafhankelijke veranderlijke y is de afhankelijke veranderlijke 3
Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en k prijzen bv. y = 4.50 +.10x resp. y = 5.0 + 1.90x enzovoort Algeeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per k) x foreel: y = q + x et q, IR constanten terinologie: en q noet en paraeters Merk op: y is een veelter van de eerste graad in x y is een eerste graadsfunctie van x Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld Het aandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag van 1500 aangevuld et 5% van de totale waarde van de ozet die hij vorige aand gerealiseerd heeft. Als de verkoper vorige aand voor een totaal van x = 10 000 verkocht heeft, dan bedraagt zijn loon deze aand y = 1500 + [ 5 % van 10 000 ] = 1500 + 0.05 (10 000 ) = 000 Algeeen: als de verkoper s ozet vorige aand x bedroeg, dan krijgt hij deze aand y = 1500 + 0.05 x loon. Merk op: y = q + x et q = 1500 en = 0.05 een eerste graadsfunctie 4
Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld 3 Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 0000 aar verliest elk jaar 1000 van zijn waarde. De waarde y van de bedrijfswagen 1 jaar na aankoop is y = 0000 1000 jaar na aankoop is y = 0000 1000 () 3 jaar na aankoop is y = 0000 1000 (3). Algeeen: x jaar na aankoop is y = 0000 1000 x Merk op: y = q + x et q = 0000 en = 1000. een eerste graadsfunctie Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het product: hoe hoger de prijs, hoe inder er van verkocht wordt en hoe lager de prijs, hoe eer er van verkocht wordt bv. v = 100 30x een eerste graadsfunctie MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is TO = (eenheidsprijs)(verkochte hoeveelheid) = x v = x [ 100 30x ] = 100 x 30 x Merk op: dit is NIET van de vor y = q + x et q, const. y is GEEN eerste graadsfunctie van x 5
Functies en hun voorstellingswijzen Begripsoschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die oet toegepast worden o een getal x o te zetten in een getal y Voorstellingswijze 1: et een vergelijking Voorbeelden een taxirit van x k kost y = 5 + x euro een ozet van x euro, geeft y = 1500 + 0.05 x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog y = 0000 1000 x euro waard bij een prijs van x is de vraag v = 100 30x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst TO = 100 x 30 x Voorstellingswijze : et een functievoorschrift Begripsoschrijving: (voorlopige versie ) een functie f van één veranderlijke is een regel die oet toegepast worden o een getal x o te zetten in een getal f (x) foreel: f : IR IR : x f (x) Voorbeelden een taxirit van x k kost f (x) = 5 + x euro een ozet van x euro geeft f (x) = 1500 + 0.05 x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = 0000 1000x euro waard bij een prijs van x is de vraag f (x) = 100 30x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst f (x) = 100 x 30 x 6
Voorstellingswijze 3: et een grafiek Begripsoschrijving : een functie f van één veranderlijke is een regel die oet toegepast worden o een getal x o te zetten in een getal y = f (x) Voorbeelden een taxirit van x k kost f (x) = 5 + x euro Dan f (0) = 5 + (0) = 5 f (5) = 5 + (5) = 15 f (10) = 5 + (10) = 5 f (15) = 5 + (15) = 35 f (0) = 5 + (0) = 45 f (5) = 5 + (5) = 55 y 55 45 35 5 15 5 0 5 10 15 0 5 y graf = 5 + f x x x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = 0 000 1000 x k EUR waard Dan f (0) = 0 1(0) = 0 f () = 0 1() = 18 f (4) = 0 1(4) = 16 y k 0 18 16 14 f (6) = 0 1(6) = 14 f (8) = 0 1(8) = 1 f (10) = 0 1(10) = 10.. 1 10 8 6 4 y = 0 1x 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 x 7
Meetkundige interpretatie van de paraeters de grafiek van een eerste graadsfunctie f (x) = x + q is de rechte et vergelijking y = x + q q = f (0) is de intercept en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt is de richtingscoëfficiënt [ of kortweg rico ] en geeft de helling van de rechte weer [ Engels : slope ] Meer nog, > 0 = 0 < 0 een stijgende rechte een horizontale rechte een dalende rechte en, de grootte van bepaalt hoe steil de rechte is Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt Voorbeeld Taxibedrijf : vertrekprijs 5 vaste kost prijs per k arginale kost Bijgevolg, als er x k gereden worden, dan kost de rit y = x + 5 Merk op: = = arginale kost Anders gezegd, als er 1 k éér gereden wordt, dan neet de prijs toe et = of nog: als x toeneet et 1 eenheid, dan neet y toe et = eenheden 8
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 Y y = 5 + x + = + 1 0 1 3 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per k arginale kost = richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneet et 1 eenheid, dan neet y toe et = eenheden Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 Y + 1 + 1 + = + = y = 5 + x 0 1 3 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per k = arginale kost richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneet et 1 eenheid, dan neet y toe et = eenheden Merk op: dit hangt niet af van de plaats op de grafiek 9
Saengevat : Concreet, prijs per k = arginale kost als er 1 k éér gereden wordt, dan neet de prijs toe et = Maar ook, 3 k eer rijden 5 k eer rijden. = rico van de grafiek 3 = 3 () = 6 eer betalen 5 = 5 () = 10 eer betalen x k eer rijden y = x eer betalen Foreel: y = x of nog y x. Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 Y x = 1 y = y = 5 + x 0 1 3 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per k Foreel: Welnu, = y x arginale kost rico van de grafiek y x 1 10
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 Y x = y = 4 y = 5 + x 0 1 3 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per k Foreel: Welnu, alsook = y x y x arginale kost rico van de grafiek y x 1 4 Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 1 11 10 9 8 7 Y y = 6 y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per k Foreel: = arginale kost rico van de grafiek y x 6 5 4 3 1 x = 3 0 1 3 4 5 6 X > Welnu, alsook of nog y x y x y x 1 4 6 3 11
Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (a) 5 4 Y y rico = x = 3 3 y = 1 x = 3 X 1 0 1 3 4 5 6 7 1 Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (b) 5 4 Y y rico = x = 1 3 1 x = y = 1 X 1 0 1 3 4 5 6 7 1 1
Oefening 1 (a) Stel de rechte et vergelijking y = x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de eetkundige betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt. (b) Welke y - waarde hoort er bij x =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] (c) Welke x - waarde hoort er bij y =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] Oefening Bepaal de vergelijking van de vor y = x + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te aken van de eetkundige betekenis van en q. E D > 10 9 8 7 6 5 4 3 1 Y B F (3,9) (6,6) 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 A C X > 13
Oefening Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer en 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 4 stuks van verkocht. Als en echter 10 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 16 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerste graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes odelleert? Oplossing Stel Dan x = de prijs (in euro) voor een Manneken Pis beeldje f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes f is de gezochte vraagfunctie Gegeven : f is een eerste graadsfunctie f (x) = x + q et, q IR constanten en de grafiek van f is de rechte y = x + q vraag y 4 16 y = x + q 8 10 prijs x Verder is er gegeven dat als de prijs 8 euro is, dan is de vraag 4 stuks als de prijs 10 euro is, dan is de vraag 16 stuks Gevraagd: zoek de vergelijking van de rechte die door de punten (8, 4) en (10,16) gaat 14
De vergelijking van een rechte y y = x + q y 0 x 0 x alle punten op de rechte voldoen aan y = x + q (x 0, y 0 ) ligt op de rechte y 0 = x 0 + q aar dan y y 0 = x x 0 punt rico forule of equivalent, y y 0 = ( x x 0 ) Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1, ) en et rico 3. Wat is de intercept van deze functie? Oplossing een rechte door het punt (1, ) heeft vergelijking y = ( x 1 ) et IR de rico gegeven: rico = 3 vergelijking y = 3 ( x 1 ) of uitgewerkt: y = 3x 3 + y = 3x 1 de intercept van deze rechte is q = 1 15
Oplossing souvenirwinkel ( vervolg ) Stel x = de prijs (in euro) voor een Manneken Pis beeldje f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes Gegeven : f is een eerste graadsfunctie zodat vraag y 4 16 x = y = 8 y = x + q 8 10 prijs x Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie waarvan de grafiek de rechte is die door de punten (8, 4) en (10,16) gaat Welnu, een rechte door het punt ( 8, 4) heeft vergelijking y 4 = ( x 8 ) et IR de rico de richtingscoëfficiënt van de rechte is = 8 = 4 de vergelijking van de rechte is y 4 = 4 ( x 8 ) of uitgewerkt: y = 4x + 3 + 4 y = 4x + 56 deze rechte et vergelijking y = 4x + 56 is de grafiek van de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes van Manneken Pis beschrijft in functie van de prijs x het functievoorschrift van f is f (x) = 4x + 56 16
De vergelijking van een rechte y y 1 y = x + q y 0 x 0 x 1 x alle punten op de rechte voldoen aan y y 0 = ( x x 0 ) (x 1, y 1 ) ligt op de rechte y 1 y 0 = ( x 1 x 0 ) punt punt y 1 y 0 als x 1 x 0 dan forule = x 1 x 0 Eigenschap Zij (x 0, y 0 ) een en punt ( x in IR 1, y 1 ) punten in IR et x 0 = x 1 (1) Elke niet verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking y y 0 = ( x x 0 ) et IR de rico / () De rechte door de punten (x 0, y 0 ) en ( x 1, y 1 ) heeft vergelijking y y 0 = ( x x 0 ) et rico = y 1 y 0 x 1 x 0 (3) De verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking x = x 0 17
Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte et intercept 4 die evenwijdig loopt et de rechte et vergelijking 4x 3y 4 = 0. Oefening 3 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig loopt et de rechte door de punten (4,1) en (, ). Oefening 11 Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag reis 00 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per k. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per k. Hoeveel k oet een halve - dag - reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste? 18
Oefening 1 De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exeplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO =.5q. De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele productie - kosten (in EUR) zijn evenredig et q et evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break even point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies geaakt wordt ). Oefening 13 Bij een electriciteitsaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee ogelijkheden: het noraal en het tweevoudig tarief. Bij het noraal tarief betaalt en een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 nachturen. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR aangerekend en betaalt en 0.13 EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. 19
Oefening 14 Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkoen tot 750 000 EUR betaalt en 0 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 EUR betaalt en 60 % belastingen. Het inkoen, uitgedrukt in eenheden van 1000 000 EUR, stellen we voor door x. De belasting die betaald oet worden, eveneens in eenheden van 1000 000 EUR, stellen we voor door b. (a) Geef het voorschrift van een functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkoen in Lovania en aak een grafiek van deze functie. [ Aanwijzing : aak een onderscheid naargelang het inkoen onder of boven 750 000 EUR ligt. ] (b) Men overweegt een hervoring van dit belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat en 10 % belastingen zou oeten betalen op het gedeelte van het inkoen tot 300 000 EUR en 40 % op het gedeelte boven 300 000 EUR. Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het verband geeft tussen de belasting en het inkoen. Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit opgave (a). (c) Bepaal, door gebruik te aken van de grafieken en door berekeningen te aken, voor welke inkoens het voorstel inder voordelig zou zijn. 0
Ipliciet gedefinieerde functies Voorbeeld Ieand wil 100 000 euro beleggen in aandelen en obligaties. Een aandeel kost 100 euro per stuk en een obligatie kost 50 euro per stuk. Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen? Antwoord Stel zij koopt q A aandelen en q O obligaties Dan 100 q A + 50 q O = 100 000 Er zijn dus oneindig veel cobinaties ogelijk... bv. q A = 1000 en q O = 0 of q A = 0 en q O = 400 of q A = 500 en q O = 00 of...... aar niet alle cobinaties zijn ogelijk!!!!! want er oet altijd voldaan zijn aan de vergelijking 100 q A + 50 q O = 100 000 Deze vergelijking definieert een relatie tussen de veranderlijken q A en q O 1
ogelijke scenario s ofwel kiest zij het aantal aandelen q A dan 100 q A + 50 q O = 100 000 50 q O = 100 000 100 q A q O = 100 000 100 q A 50 q O = 400 0.4 q A expliciete vergelijking q O 400 q O = 400 0.4 q A 0 1000 q A Terinologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = 100 000 definieert ipliciet als functie van q A, naelijk q O q O : IR IR : q A 400 0.4 q A q A is de onafhankelijke veranderlijke q O is de afhankelijke veranderlijke
ofwel kiest zij het aantal obligaties q O dan 100 q A + 50 q O = 100 000 100 q A = 100 000 50 q O q A = 100 000 50 q O 100 q A = 1000.5 q O expliciete vergelijking q O 1000 q A = 1000.5 q O 0 400 q A Terinologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = 100 000 definieert ipliciet als functie van q O, naelijk q A q A : IR IR : q O 1000.5 q O q O is de onafhankelijke veranderlijke q A is de afhankelijke veranderlijke 3
Wiskunde leren = heel veel oefeningen aken; en sos ook fouten aken, begrijpen waaro het verkeerd is en de oefeningen correct opnieuw aken! 4