Formele Semantiek Van de predicatenlogica naar gegeneraliseerde kwantoren. Jeroen Van Craenenbroeck en Guido Vanden Wyngaerd

Formele Semantiek Van de predicatenlogica naar gegeneraliseerde kwantoren Jeroen Van Craenenbroeck en Guido Vanden Wyngaerd

Inhoud 1. Betekenis... 1 1.1. Wat is betekenis?... 1 1.2. Sinn en Bedeutung van zinnen... 2 1.2.1. Waarheidswaarde en waarheidsvoorwaarde... 2 1.2.2. De correspondentietheorie van de waarheid... 5 1.3. Compositionaliteit... 6 2. Syntaxis en semantiek van de logica... 11 2.1. Inleiding... 11 2.2. Propositionele logica... 12 2.2.1. Syntaxis... 12 2.2.2. Semantiek... 13 2.2.3. Oefeningen... 17 2.3. Predicatenlogica... 19 2.3.1. Verzamelingen... 19 2.3.2. Basisvocabularium en syntaxis... 21 2.3.3. Kwantificatie in de predicatenlogica... 22 2.3.4. Semantiek van eenplaatsige predicaten... 24 2.3.5. Semantiek van tweeplaatsige predicaten... 31 2.3.6. Oefeningen... 33 2.3.7. Het probleem van existential import... 34 2.4. Lambda-conversie... 37 2.4.1. Conjunctie... 37 2.4.2. Zinnen met alleen... 41 2.4.3. Relatiefzinnen... 42 2.4.4. VP-ellipsis... 43 3. Syntaxis en semantiek van natuurlijke taal... 45 3.1. Zinnen... 45 3.2. Werelden en tijden... 46 4. Functies en Types... 50 4.1. Functies... 50 4.1.1. De interne structuur van VP... 50 4.1.2. Eigenschappen van functies... 53 4.1.3. Functionele applicatie... 57 4.1.4. De semantische analyse van intransitieve zinnen... 61 4.1.5. De functiedenotatie van transitieve werkwoorden... 64 4.1.6. De semantische analyse van transitieve zinnen... 69 4.2. Types... 74 i

4.2.1. Een nieuw formalisme... 74 4.2.2. Adjectieven... 76 4.2.3. Individuele concepten... 79 4.2.4. Gebeurtenissen... 81 4.2.5. Type-gestuurde interpretatie en onwelgevormdheid... 84 4.3. λ-conversie met types... 86 4.4. Oefeningen... 94 5. Gegeneraliseerde kwantoren... 97 5.1. Inleiding... 97 5.2. Problemen met NP-denotaties... 97 5.2.1. Kwantoren... 97 5.2.2. Kwantoren in de predicatenlogica... 99 5.2.3. Hogere ordekwantoren... 100 5.3. De oplossing: gegeneraliseerde kwantoren... 103 5.4. Gegeneraliseerde kwantoren en zinnen... 108 5.5. De interne structuur van generaliseerde kwantoren... 110 5.6. Zinsdenotaties en eigennamen... 111 5.7. Hogere ordekwantoren... 112 6. Slotoefening... 114 7. Bibliografie... 115 8. Sleutel van de oefeningen... 116 ii

1. BETEKENIS 1.1. Wat is betekenis? (1) Wat is betekenis? De Duitse wiskundige/logicus/filosoof Gottlob Frege (1848-1925) introduceerde in zijn opstel Uber Sinn und Bedeutung (1892) als eerste een onderscheid tussen twee soorten betekenis. Veronderstel een situatie waarin een gezin 2 kinderen heeft, Karel en Lisa; de ouders hebben geen van beide andere kinderen. In zo n situatie verwijzen elk van de volgende uitdrukkingen naar dezelfde persoon: (2) a. Lisa b. de zus van Karel c. de dochter van Karel zijn ouders Volgens Frege hebben de drie uitdrukkingen dezelfde Bedeutung, maar een andere Sinn. Zijn klassiek geworden voorbeeld is dat van de planeet Venus, die ook wel aangeduid wordt met de termen ochtendster en avondster, naargelang het tijdstip van de dag waarop het hemellichaam zichtbaar is. Maar terwijl de zin de ochtendster is de ochtendster tautologisch klinkt, is het anders voor de zin de ochtendster is de avondster, die wel degelijk iets informatiefs zegt. Dat is omdat de benamingen ochtendster en avondster een andere Sinn hebben, terwijl hun Bedeutung dezelfde is. Andere termen om naar hetzelfde onderscheid te verwijzen worden hieronder gegeven. Sinn sense intensie Bedeutung reference extensie denotatie aboutness out-thereness (3) Denk na over hoe je het onderscheid tussen Sinn en Bedeutung zou omschrijven. 1

In (2) hebben we een voorbeeld gezien van verschillende soorten NP s, waarbij het onderscheid tussen Sinn en Bedeutung redelijk transparant is. Niet voor alle woorden en combinaties ervan is dit onderscheid zo eenvoudig vast te stellen. (4) Denk na over de betekenis van de volgende woorden of combinaties van woorden in termen van het onderscheid tussen Sinn en Bedeutung: 1. Lisa 2. dochter 3. ouders 4. de dochter slaapt 5. de 6. iedere Kun je, in het licht van het bovenstaande, de volgende uitspraak van Frege becommentariëren: Nur im Zusammenhange eines Satzes bedeuten die Wörter etwas.? 1.2. Sinn en Bedeutung van zinnen 1.2.1. Waarheidswaarde en waarheidsvoorwaarde Wat is de betekenis van de zin in (5)? (5) Er zit een rode salamander onder de vleugelpiano. Frege stelt dat de Bedeutung van een zin een waarheidswaarde is: (6) So werden wir dahin gedrängt, den Wahrheitswert eines Satzes als seine Bedeutung anzuerkennen. Ich verstehe unter dem Wahrheitswert eines Satzes den Umstand, daß er wahr oder falsch ist. Weitere Wahrheitswerte gibt es nicht. (Über Sinn und Bedeutung) 2

(7) Welke Bedeutung hebben de volgende zinnen volgens Frege? a. Parijs is de hoofdstad van Frankrijk. b. Rome is de hoofdstad van Italië. c. Yamoussoukro is de hoofdstad van Ivoorkust. d. Ouagadougou is de hoofdstad van Ivoorkust. Keren we terug naar onze zin in (5). Zijn Bedeutung is een waarheidswaarde. Kunnen we iets meer zeggen over zijn Sinn? Deze zin beschrijft een bepaalde situatie in de werkelijkheid, meer bepaald een situatie waarin er een rode salamander onder de vleugelpiano zit. Op die manier bekeken is de betekenis van een zin kennen hetzelfde als weten hoe de werkelijkheid er moet uitzien opdat de zin waar zou zijn. Merk op dat dit niet hetzelfde is als weten of de zin effectief waar is of niet. Ik hoef niet te weten of er een rode salamander onder de vleugelpiano zit om de betekenis (d.w.z. de Sinn) van de zin in (5) te kennen. Ik weet alleen hoe de werkelijkheid eruitziet als de zin waar is. Het verschil dat we hier maken is dat tussen waarheidswaarde en waarheidsvoorwaarde. Het eerste heeft betrekking op het al dan niet waar zijn van een zin. Een (mededelende) zin is waar of onwaar, en dat is zijn waarheidswaarde. In de praktijk is dit begrip echter niet altijd even goed werkbaar. Bekijken we bijvoorbeeld de zinnen in (8). (8) a. Het regent op dit moment in Tokyo. b. Op 23 april 1458 werden er in Europa 562 kinderen geboren. c. Carla is verliefd op Joeri. Om de waarheidswaarde van deze zinnen te kennen, moeten we kennis hebben over het weer aan de andere kant van de wereld (8a), de geboortecijfers van 1458 (8b) of de innerlijke gevoelswereld van iemand anders (8c). Een semantische theorie die enkel en alleen op waarheidswaarden is gebaseerd, kan over deze zinnen dus weinig zinvols zeggen. Dat is de reden waarom het begrip waarheidsvoorwaarden in de theorie wordt geïntroduceerd. We weten dan wel niet of de zinnen in (8) waar zijn of niet, maar we weten wel aan welke voorwaarden moet worden voldaan opdat ze waar zouden zijn. Terug naar de waarheidsvoorwaarde van de zin in (5). We hebben gezien dat deze zin waar is als er een rode salamander onder de vleugelpiano zit. We kunnen deze waarheidsvoorwaarde dan ook weergeven als in (9): (9) Waarheidsvoorwaarde van (5) De zin Er zit een rode salamander onder de vleugelpiano is waar als en alleen als er een rode salamander onder de vleugelpiano zit. 3

Zinnen van dit type noemen we T-zinnen, naar de Poolse logicus en wiskundige Alfred Tarski (1901-1983). Tarski ontwikkelde een wiskundige definitie van waarheid voor formele talen. Aan de basis van Tarski zijn definitie van waarheid liggen beweringen als in (9), waarvoor hij een algemeen schema van waarheidsvoorwaarden formuleerde, dat voor iedere mededelende zin zegt wat de waarheidsvoorwaarde van die zin is. (10) Voor elke zin S in taal L en situatie v geldt dat S waar is in v als en slechts als p. In deze formulering beschrijft p de waarheidsvoorwaarde voor S. Er zit een opvallende symmetrie in dergelijke schema s, met dezelfde variabele voor en na de als en alleen als. Op het eerste gezicht is deze waarheidsvoorwaarde triviaal of zelfs banaal. Het is echter belangrijk om te beseffen dat wat er voor de als en slechts als staat een zin is uit de taal, en wat erna staat (in (9) is dat laatste het cursieve gedeelte) opgevat moet worden als hoe de werkelijkheid is. Om het onderscheid uit te drukken spreken we van objecttaal links, en metataal rechts in de T-zin. Natuurlijk is in dit geval het verschil tussen objecttaal en metataal erg theoretisch, omdat we in beide gevallen met Nederlands te maken hebben. Dat geeft aan een T-zin als (9) en (10) dan ook heel sterk de smaak van een circulaire of tautologische bewering. Iets minder tautologisch wordt het wanneer we de zin uit de objecttaal (voor de als en alleen als ) in een andere taal formuleren: (11) De zin Van egy piros szalamandra a zongora alatt is waar als en alleen als er een rode salamander onder de vleugelpiano zit. Dit voorbeeld toont aan dat de vorm die iets krijgt in taal erg variabel kan zijn, terwijl anderzijds de betekenis onveranderd blijft. (12) Wat is de waarheidswaarde en de waarheidsvoorwaarde van de volgende zinnen? Kan je voor elke zin een waarheidswaarde en een waarheidsvoorwaarde opstellen? Leg uit waarom (niet). a. Het Belgisch koninklijk paleis bevindt zich in Brussel. b. Jan is ouder dan 30 of jonger dan 40. c. Jan is jonger dan 30 en ouder dan 40. 4

d. Wie heeft dat boek op de tafel gelegd? e. Leg dat boek op de tafel! 1.2.2. De correspondentietheorie van de waarheid In deze sectie willen we even stil staan bij een aantal eerder filosofische implicaties van waarheidsvoorwaarden zoals we die geformuleerd hebben in (9) en (10). Hoewel deze kwesties de taalkundige praktijk niet wezenlijk beïnvloeden, is het toch nuttig om even stil te staan bij een aantal ervan. Een waarheidsvoorwaarde zoals in (9) en (10) is een manifestatie van de correspondentietheorie van de waarheid, volgens welke de waarheid van een bewering bestaat in de overeenstemming tussen de inhoud van de bewering en een feit of stand van zaken in de werkelijkheid. Een dergelijke theorie veronderstelt om te beginnen al dat de werkelijkheid bestaat los van onze waarneming ervan, en dat bovendien deze werkelijkheid kenbaar is. Dergelijke aannames zijn verre van onproblematisch: hoe weten we dat onze waarnemingen van de werkelijkheid geen dromen zijn, of hallucinaties? En zelfs in die gevallen waarin we weten dat we met een fictieve werkelijkheid te maken hebben, kunnen we ware of onware beweringen doen over die fictie (bv. Hercule Poirot was een Belg ), of over personen of voorwerpen waarover we gedroomd hebben. Een verwant probleem is of voorwerpen wel een bestaan hebben los van onze waarneming ervan. Waarom beschouwen we de vleugel van een vliegtuig als een object, maar de onderkant of de linkerhelft van diezelfde vleugel niet? Sommige objecten bestaan uit meerdere, ruimtelijk verspreide objecten, bv. een kudde. Maar vanaf wanneer beschouwen we een collectie dieren een kudde? En waarom beschouwen we de bladeren aan een boom niet als een voorwerp? Waarom is een tafelpoot een voorwerp, maar de poten van alle tafels in deze kamer niet? Het lijkt erop dat wat we als een object beschouwen niet in de eerste plaats bepaald wordt door objectieve eigenschappen van de werkelijkheid, maar juist sterk door de aard van de menselijke geest, d.w.z. onze cognitie. Nog meer problemen voor de correspondentietheorie zijn de talloze abstracte objecten waar we d.m.v. taal moeiteloos over spreken. (13) a. De fout in de redenering was zonneklaar, maar Noam merkte hem niet op. b. De gemiddelde Belg heeft 2,3 kinderen. c. Haar verleidelijke blik bracht me geheel van mijn stuk. d. Er zijn kansen die men niet mag laten lopen. e. We betreurden met zijn allen Marie haar gebrek aan talent. f. De jongens zaten gezellig te keuvelen. 5

Wat is de objectieve basis voor het bestaan van geografische entiteiten, zoals België, de Maas, etc.? Naar welk object verwijzen we met de beschrijving Bachs cantate nr. 131 (Aus der Tiefen)? De partituur? Een uitvoering ervan? Welke uitvoering? Of de opname (cd, vinylplaat, dvd, mp3, etc.) van de uitvoering? En wat denoteert het woord Kerstmis? Zelfs als we ervan uitgaan dat onze zintuigen ons een betrouwbaar beeld geven van hoe de dingen zijn, dan nog is niet vanzelf duidelijk dat onze beschrijvingen van de werkelijkheid in taal ook betrouwbaar zijn, of een accurate weergave van de werkelijkheid zoals die zou bestaan los van onze waarneming. Het begint er zelfs veeleer op te lijken dat de overgrote meerderheid van de objecten en activiteiten waar we naar verwijzen d.m.v. taal in eerste instantie een bestaan hebben in ons hoofd, eerder dan in een werkelijkheid die zou bestaan buiten en onafhankelijk van de menselijke geest. Deze veeleer rationalistische (i.t.t. empiristische) opvatting over de verhouding tussen de werkelijkheid en onze waarneming ervan gaat op zijn minst terug tot Immanuel Kant (1724-1804). Hij zag in dat onze waarneming van de werkelijkheid gestuurd wordt door onze begripscategorieën, die hij Begriffe noemde. Hij stelde het lapidair als volgt: Anschauungen ohne Begriffe sind blind, Begriffe ohne Anschauungen sind leer (Kritik der Reinen Vernunft). Sommige filosofen hebben gemeend de correspondentietheorie te moeten vervangen door een coherentietheorie, volgens dewelke de waarheid van een bewering bestaat in de overeenstemming met andere beweringen waarmee ze in een systeem kan worden samengebracht. Binnen een coherentietheorie van de waarheid is echter niet meteen in te zien hoe we een bewering als (9) of (10) moeten opvatten of interpreteren. Er bestaat een manier om de correspondentietheorie intact te houden, tenminste voor zover we er gebruik van willen maken in taalkundige analyses. Een mogelijke uitweg voor de correspondentietheorie zou erin kunnen bestaan dat we referentie opvatten, niet als een relatie tussen taal en een werkelijkheid buiten ons, maar als een relatie tussen twee soorten interne representaties: enerzijds de talige representatie, en anderzijds onze mentale representatie van de werkelijkheid. Hoe die laatste zich verhoudt tot de echte werkelijkheid buiten ons, is dan een probleem dat we over kunnen laten aan de filosofen om op te lossen. 1.3. Compositionaliteit Een semantische theorie die enkel schema s van het soort in (10) genereert, zou triviaal zijn. Het hoeft dan ook niet te verbazen dat er nog een andere, meer fundamentele eigenschap van betekenis is die we in onze theorie zullen proberen te vatten. Het gaat om het vermogen van taalgebruikers om zinnen te begrijpen die ze nog nooit eerder gehoord hebben. Bekijk bijvoorbeeld de zin in (14). 6

(14) De blauwe eenhoorn legde de schoppen vier op de schildpad en vertelde het roodgelakte bladluisje over zijn wedervaren met het Spaanse graan. De kans dat je deze zin al eerder gehoord of gelezen hebt is erg klein. Desalniettemin heb je geen enkel probleem om te begrijpen wat deze zin betekent. Hoe doen taalgebruikers dat? Anders geformuleerd, hoe gaan taalgebruikers tewerk wanneer ze de waarheidsvoorwaarde van een zin opstellen? Het voorbeeld in (14) laat duidelijk zien dat zinnen geen ondeelbare, monolithische betekeniseenheden zijn. Als dat het geval was, dan zouden we de betekenis van nieuwe zinnen immers niet onmiddellijk kunnen doorgronden. Vergelijk het met een kind dat zijn moedertaal aan het leren is. Wanneer het een woord tegenkomt dat hij nog nooit gehoord heeft, dan moet iemand hem uitleggen wat dat woord betekent, anders kan hij niet verder. Bij zinnen werkt het duidelijk anders. Dat komt omdat zinnen opgebouwd zijn uit kleinere delen die zelf betekenis dragen. In de zin in (14) bijvoorbeeld weten we wat de woorden de, blauwe en eenhoorn betekenen, en we weten ook wat het betekent wanneer we die woorden samenvoegen tot de nominale constituent de blauwe eenhoorn. Bovendien weten we wat het betekent wanneer die nominale constituent het subject is van het vervoegde werkwoord legde, enz. Het algemene principe is duidelijk: we leiden de betekenis van een zin af uit de betekenissen van de woorden die in die zin voorkomen. Deze idee zal een uiterst centrale rol spelen in de theorie die we in deze cursus ontwikkelen. Ze kreeg de naam compositionaliteitsbeginsel mee, en wordt in de taalkundige literatuur gewoonlijk gedefinieerd als volgt: (15) Het compositionaliteitsbeginsel De betekenis van een complexe uitdrukking kan worden afgeleid van de betekenissen van de onderdelen van die uitdrukking, en van de manier waarop ze met elkaar gecombineerd worden. Het compositionaliteitsbeginsel wordt vaak toegeschreven aan Frege, maar zeker is in ieder geval dat Frege nooit iets zo expliciet heeft geformuleerd als in (15); er zijn zelfs auteurs die beweren dat Frege het niet eens zou geweest zijn met (15) (zie bv. Janssen 2001, Pelletier 2001). (16) Om het begrip compositionaliteit te duiden, kijken we best naar het onderscheid tussen fonologie en morfologie. Bekijk bijvoorbeeld het woord koekjes. (a) Uit welke fonologische bouwstenen bestaat dit woord? 7

(b) Uit welke morfologische bouwstenen bestaat dit woord? (c) Voldoet de fonologische compositie van koekjes aan het compositionaliteitsbeginsel? Leg uit waarom (niet). (d) Voldoet de morfologische compositie van koekjes aan het compositionaliteitsbeginsel? Leg uit waarom (niet). Vooraleer we opnieuw naar de betekenis van zinnen overstappen, willen we de morfologie nog even gebruiken om een ander aspect van de definitie in (15) te illustreren. In die definitie is immers sprake van twee dingen. De betekenis van een complexe uitdrukking wordt niet alleen bepaald door de betekenissen van de onderdelen van die uitdrukking, maar ook door de manier waarop die onderdelen met elkaar gecombineerd worden. (17) Bespreek het belang van dit principe aan de hand van het betekenisverschil tussen melkchocolade en chocolademelk. Terug naar de betekenis van zinnen. Uit de bespreking van voorbeeld (14) kun je afleiden dat de betekenis van zinnen ook volgens het compositionaliteitsbeginsel tot stand komt. Dit kun je duidelijk laten zien aan de hand van een eenvoudige zin zoals Piet zingt. De betekenis (= de waarheidsvoorwaarde) van deze zin wordt immers bepaald door de betekenis van de onderdelen ervan (Piet en zingt) en de manier waarop die onderdelen met elkaar gecombineerd worden (Piet is het subject van zingt). 8

(18) Hoewel de syntaxis in hoge mate compositioneel is, zijn er ook voorbeelden van syntactische constructies waarvan de betekenis niet compositioneel is opgebouwd. Kan je enkele voorbeelden geven? (19) Laat zien dat het bij de betekenis van zinnen ook erg belangrijk is hoe de woorden met elkaar gecombineerd worden (cf. het tweede deel van de definitie in (15)). Geef een syntactisch voorbeeld dat parallel is aan het chocolademelk/melkchocolade-voorbeeld van hierboven, d.w.z. twee zinnen die uit dezelfde woorden bestaan maar een andere betekenis hebben. (20) Vormen ambiguë zinnen een probleem voor het compositionaliteitsbeginsel? Waarom (niet)? Aangezien we het in de rest van deze cursus niet langer over fonologie of morfologie zullen hebben, kunnen we het compositionaliteitsbeginsel in (15) wat specificeren zodat het enkel op de betekenis van zinnen (en dus op syntaxis) van toepassing is. Dat zal ons ook helpen om de onderzoeksvragen scherp te stellen die in de rest van deze cursus centraal zullen staan. (21) Het compositionaliteitsbeginsel bis (specifiek voor zinnen) De betekenis van een zin kan worden afgeleid van de betekenissen van de woorden waaruit die zin bestaat, en van de syntactische structuur van die zin. 9

Alvorens we deze definitie kunnen toepassen, rijzen er drie belangrijke vragen: (22) (i) Wat is de betekenis van een zin? (ii) Wat is de betekenis van de woorden waaruit een zin bestaat? (iii) Hoe geraken we van de betekenis van de woorden van een zin naar de betekenis van de hele zin? Anders geformuleerd, welke rol speelt de syntactische structuur? De eerste vraag hebben we hierboven al beantwoord: de Bedeutung van een zin is zijn waarheidswaarde, zijn Sinn is de waarheidsvoorwaarde van die zin. De vragen in (ii) en (iii) vormen het centrale uitgangspunt van deze cursus en worden hieronder dus uitvoerig behandeld. 10

2. SYNTAXIS EN SEMANTIEK VAN DE LOGICA 2.1. Inleiding Veel van de instrumenten en concepten van de formele semantiek zijn ontleend aan de logica, zowel de propositionele logica als de predicatenlogica (in zijn geformaliseerde versie ook de predicatencalculus genoemd of PC). De logica heeft een lange en eerbiedwaardige traditie die teruggaat tot de Griekse wijsgeer Aristoteles (384-322 voor Christus; in het bijzonder zijn Organon). De ontwikkeling van de moderne mathematische logica, d.w.z. de predicatencalculus en zijn theorie van kwantificatie, is het werk geweest van een aantal mensen: de al eerder vermelde Gottlob Frege (1848-1925), verder Alfred North Whitehead (1861-1947) en Bertrand Russell (1872-1970), de laatste twee de auteurs van de Principia Mathematica (1910-1913), en Alfred Tarski (1901-1983). De logica is lange tijd beschouwd geweest als een los van de taalkunde staande discipline, die vooral diende om te bestuderen hoe men geldige afleidingen kon maken (bv. in de wiskunde). De logica werd niet relevant geacht voor de analyse van betekenis in natuurlijke taal. Natuurlijke taal werd gezien als te obscuur, te ambigu en te los van structuur om vatbaar te zijn voor de rigoureuze behandeling die de logica verschafte. Daarin kwam verandering in de late jaren 60 van de vorige eeuw, met enerzijds de ontwikkeling van de formele syntaxis door Noam Chomsky, en anderzijds een reeks artikelen van Richard Montague (1930 1971). Het meest bekende hiervan is The Proper Treatment of Quantification in Ordinary English (ook aangeduid als PTQ). Daarin betoogde hij dat natuurlijke taal net zo behandeld kon worden als de formele kunsttaal die de logica is. Zo ontstond de discipline van de formele semantiek als een subdiscipline van de (formele) taalkunde. Het is daarom nuttig even een blik te werpen op de logica, en vervolgens te zien hoe gelijkaardige methodes en concepten gebruikt kunnen worden voor natuurlijke taal. In wat volgt staan we achtereenvolgens stil bij de propositionele en de predicatenlogica. Van beide soorten logica s bespreken we zowel de syntaxis en de semantiek. De syntaxis definieert wat de woordenschat is en hoe welgevormde uitdrukkingen (well-formed formulas of wff). De semantiek van de logica beregelt de interpretatie van de welgevormde uitdrukkingen. Die interpretatie gebeurt in een model. De modeltheorie is ontstaan als de studie van formele talen en hun interpretatie. In een ruimere zin is de modeltheorie de studie van de interpretatie van elk soort taal (formele of natuurlijke taal) door middel van verzamelingstheoretische structuren. Een zin (of een formule uit de logica) is immers zelden altijd waar of onwaar: de meeste uitdrukkingen zijn waar met betrekking tot een bepaalde situatie. Het expliciteren van informatie over de situatie waardoor we kunnen beslissen over waarheid on onwaarheid van een bewering S noemen het interpreteren van S, en de toegevoegde informatie is een interpretatie van S. Als een bepaalde interpretatie I er voor zorgt dat S waar is, dan noemen we I een model van S, of dan voldoet S aan I. Een andere 11

manier om te zeggen dat I een model is van S is zeggen dat S waar is in I. Dit is een modeltheoretische notie van waarheid, nl. waarheid in een bepaalde interpretatie. Wanneer we zeggen S is waar in I, dan bedoelen we daarmee eigenlijk S is waar indien geïnterpreteerd als in I. Dit mag nu nog redelijk abstract klinken, maar we zullen verderop concrete voorbeelden geven van een model waarbinnen we de waarheid van beweringen zullen beoordelen. Wanneer we spreken van de semantiek van de propositionele en de predicatenlogica hanteren we de term semantiek dus in een specifieke betekenis, nl. als verwijzend naar de interpretatie in een model. Een andere vaak gebruikte betekenis van semantiek verwijst gewoon naar het feit dat we om een betekenis weer te geven gebruik maken van een vertaling in een formele taal. Zoals we meteen zullen zien, is een zin als Karel houdt van Marie of Sandra in de propositionele logica voor te stellen als (p q). Deze vertaling in de formele taal van de logica kan ook beschouwd worden als een voorstelling van de semantiek van de zin uit de natuurlijke taal, zonder dat er noodzakelijk een interpretatie in een model bij gegeven wordt. 2.2. Propositionele logica 2.2.1. Syntaxis De propositielogica (in het Engels soms ook statement logic genoemd) heet zo omdat hij proposities als atomen beschouwt, d.w.z. als de minimale eenheden van het basisvocabularium. Een propositie kunnen we opvatten als de logische tegenhanger van een (enkelvoudige) zin. De propositielogica bestudeert de combinaties van proposities door middel van een aantal logische operatoren (en dus niet de interne structuur van proposities; dat doet de predicatenlogica wel). De propositielogica is een formele taal, die een syntaxis heeft en een semantiek. De syntaxis van de propositielogica is erg eenvoudig, en wordt gegeven in (24). (23) Basisvocabularium van de propositionele logica i. een oneindig aantal atomaire proposities, voorgesteld als p, q, r, s, ii. connectoren: ~, &,,, iii. hulpsymbolen: ( ) (24) Syntaxis i. Elke atomaire propositie is een formule (wff). ii. Als φ en Ψ formules zijn, dan zijn ~φ, (φ & Ψ), (φ Ψ), (φ Ψ) en (φ Ψ) formules. 12

(25) Zijn de volgende formules welgevormd volgens de regels? a. ~~p b. (~p & ~q) c. p p d. & (p q) e. ((~p q) (p q)) De logische operatoren in (24-ii) worden ook de Booleaanse operatoren genoemd (naar de Britse wiskundige en logicus George Boole, 1815-1864). Ze heten respectievelijk negatie, conjunctie, disjunctie, implicatie en equivalentie. 2.2.2. Semantiek Wat de semantiek van proposities betreft, nemen we aan dat de denotatie van een propositie, zoals die van een zin, een waarheidswaarde is. De waarheidswaarde van complexe formules wordt bepaald door de waarheidswaarden van de atomaire proposities die er deel van uitmaken, en de syntactische structuur van de complexe formule. Anders gezegd: de betekenis van complexe formules beantwoordt aan het compositionaliteitsbeginsel. Voor elke logische operator bestaat een waarheidstabel die zegt wat de waarheidswaarde is van de complexe formule in functie van de waarheidswaarde van zijn atomaire proposities. Deze waarheidstabellen worden hieronder gegeven: (26) Negatie p ~p 1 0 0 1 (27) Conjunctie p q (p & q) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (28) Disjunctie p q (p q) 1 1 1 13

1 0 1 0 1 1 0 0 0 (29) Implicatie p q (p q) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 (30) Equivalentie p q (p q) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 De logische operatoren corresponderen met woorden uit natuurlijke taal, respectievelijk niet p, p en q, p of q, als p dan q, p als en slechts als q. Toch is de betekenis van deze woorden niet steeds identiek aan die van de logische operatoren. Zo betekent Jan nam een douche en kleedde zich aan iets anders dan Jan kleedde zich aan en nam een douche, maar in de logica geldt dat p & q steeds gelijk is aan q & p. Bij of is het niet steeds duidelijk of de waarheid van beide conjuncten volstaat voor de waarheid van de samengestelde zin. Als ik zeg dat Marie een diploma heeft van sterrenkunde of van taalkunde, is de zin dan waar als Marie en diploma heeft van sterrenkunde én van taalkunde? Indien het antwoord op die vraag nee is, spreken we van exclusief of, in het andere geval inclusief of. De logische disjunctie is inclusief, maar in natuurlijke taal lijkt of vaak een exclusieve betekenis te hebben, zoals in het bovenstaande geval. Er zijn echter ook gevallen in natuurlijke taal waarin de disjunctie inclusief lijkt te zijn, zoals in de logica. If we assert that a man who has acted in a particular way must be either a knave or a fool, we by no means assert, or intend to assert, that he cannot be both (Mill 1867:512, geciteerd in Horn 1989:226). Ook bij de implicatie zijn er discrepanties tussen de manier waarop de logica werkt en natuurlijke taal werkt. Stel dat de zin Als Dries braaf is, dan krijgt hij een snoepje waar is, dan zouden we geneigd zijn om te concluderen dat als Dries niet braaf is, hij geen snoepje krijgt. Voor de implicatie geldt dat evenwel niet: als in (p q) de waarheidswaarde van p=0, dan is de complexe formule altijd waar. Al sinds Aristoteles staat dit fenomeen bekend als ex necessarie falso sequitur quodlibet: uit een onware bewering volgt om het even wat. De redenering Als een cirkel vier hoeken heeft, dan is Jan Becaus een nieuwslezer bij de VRT 14

is waar in de logica. In de natuurlijke taal lijkt dit erg op wartaal; om die reden spreekt men soms van onnatuurlijke implicatie of materiële implicatie. Een andere onnatuurlijke implicatie heeft de naam verum sequitur ad quodlibet (een ware bewering volgt op elke propositie). De informatie die vervat zit in de waarheidstabellen zijn eigenlijk waarheidsvoorwaarden: ze maken duidelijk onder welke voorwaarden een propositie waar is of onwaar. Dat kunnen we wat explicieter vorm geven door ze anders te formuleren. Neem bv. een formule met de conjunctie p & q: deze is waar als en slechts als beide conjuncten waar zijn. Geformuleerd als een waarheidsvoorwaarde voor de waarheid van de complexe formule p & q kan dit er uit zien als in (31) (denotaties worden weergegeven door middel van dubbele vierkante haken ): (31) (p & q) = 1 als en slechts als p = 1 en q = 1 (p & q) = 0 in alle andere gevallen (32) Formuleer een analoge waarheidsvoorwaarde voor de andere Booleaanse operatoren: (i) (p q) = (p q) = (ii) (p q) = (p q) = (iii) (p q) = (p q) = (iv) ~p = ~p = Met een waarheidstabel kunnen we de waarheidswaarde berekenen van elke willekeurige complexe bewering in de propositionele logica. Als voorbeeld nemen we de formule ((p q) (p q)). Daarbij bouwen we de complexe bewering van links naar rechts stap voor stap op, beginnend met de atomaire formules. (33) p q (p q) (p q) ((p q) (p q)) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 De derde en de vierde kolom herhalen wat we hierboven gezien hebben. nieuw is de laatste kolom: daarbij kijken we naar de waarden in de twee voorgaande kolommen en passen we de 15

waarheidsvoorwaarden toe voor de waarheid van (alleen waar indien p en q dezelfde waarheidswaarde hebben. Een tautologie is een complexe bewering die alleen de waarde 1 oplevert in de laatste kolom, d.w.z. die waar is voor elke mogelijke keuze van waarheidswaarde van de atomaire proposities. Voorbeelden van tautologieën zijn (p ~p), (p p), en ~(p & ~p). Contradicties zijn beweringen die alleen 0 opleveren in de laatste kolom, d.w.z. die onwaar zijn voor elke keuze van waarheidswaarden van de atomaire proposities. Voorbeelden van contradicties zijn (p & ~p), ~(p ~p), en ~((p q) (q p)). Alle andere beweringen zijn contingente beweringen: hun waarheid varieert met de waarheidswaarden van de atomaire proposities. (34) Teken een waarheidstabel voor de tautologieën en contradicties hierboven vermeld. a. (p ~p) b. (p p) c. ~(p & ~p) d. (p & ~p) e. ~(p ~p) f. ~((p q) (q p)) 16

Als een equivalentie (p q) een tautologie is, dan zijn de twee elementen van de equivalentie logisch equivalent, of een logische wet. Een voorbeeld is ~(p q), dat logisch equivalent is met (~p & ~q). Dergelijke logische equivalenties noteren we met een dubbele bidirectionele pijl: ~(p q) (~p & ~q). Deze pijl is geen nieuwe Booleaanse operator, maar een manier om uit te drukken dat de bewering ~(p q) (~p & ~q) een tautologie is. (35) Toon aan met een waarheidstabel dat ~(p q) (~p & ~q) een logische equivalentie is. 2.2.3. Oefeningen (36) Vertaal de volgende zinnen in het formalisme van de propositionele logica. Geef bij elke zin een sleutel waarin je zegt voor welke Nederlandse zin elke atomaire propositie staat. Maak je atomaire proposities zo klein mogelijk. a. Jan heeft bedriegt zijn vrouw of hij heeft een drankprobleem, of allebei. b. Jan bedriegt zijn vrouw of hij heeft een drankprobleem, maar niet allebei. c. Als Jan stopt met drinken en stopt met roken, dan wil Marie met hem trouwen. d. Marie wil niet met Jan trouwen, tenzij hij stopt met drinken en met roken. 17

e. Als Fred en Karen niet naar het feestje gaan, dan ga ik ook niet. f. Rachel lust geen spruitjes of rode kool. (37) Welke van de volgende beweringen is een logische equivalentie? Maak een waarheidstabel. a. (p q) (~p q) b. (p q) (~q p) c. ~(p & q) (~p ~q) d. ~~p p e. (p & (q r) ((p & q) (p & r)) 18

2.3. Predicatenlogica 2.3.1. Verzamelingen Voor we op de predicatenlogica zelf ingaan moeten we eerst een in de semantiek veelgebruikt wiskundig hulpmiddel bespreken, de verzamelingenleer. Een verzameling is een collectie van entiteiten van gelijk welk soort. Een verzameling kan eindig zijn (bv. de verzameling van de stoelen in dit klaslokaal) of oneindig (bv. de verzameling van de natuurlijke getallen). Verzamelingen kunnen op een aantal manieren worden voorgesteld. De eerste is door opsomming: (38) {Marie, Amsterdam, Fido, π, de Rijn} De volgorde waarin de leden van een verzameling staan maakt in principe geen verschil: de verzameling in (38) is precies dezelfde als die in (39): (39) {Fido, de Rijn, π, Amsterdam, Marie} Ook oneindige verzamelingen kunnen door opsomming weergegeven worden, op voorwaarde dat er aan het eind drie puntjes staan, en dat het duidelijk is om welke verzameling het gaat: (40) a. {0, 1, 2, 3, 4, } b. {0, 2, 4, 6, 8, 10, } Een andere manier om de inhoud van verzamelingen voor te stellen is door een omschrijving. Dit kan natuurlijk alleen als de leden van een verzameling iets gemeenschappelijks hebben, zoals bij de verzamelingen in (40), die we door een omschrijving voorstellen als (71): (41) a. {x : x is een natuurlijk getal} b. {x : x is een even natuurlijk getal} We noemen dit de predicaatsnotatie, en we lezen ze als volgt: de verzameling van alle x zodanig dat x een (even) natuurlijk getal is. De manier waarop we een verzameling voorstellen, als een opsomming of door een omschrijving, is verder irrelevant: de respectievelijke verzamelingen in (40) zijn precies dezelfde als die in (41). Ook als we omschrijving veranderen maar de leden van de verzameling dezelfde blijven hebben we te maken met dezelfde verzameling. Zo kunnen we de omschrijving van (41a) anders formuleren als in (42), maar verwijzend naar precies dezelfde getallen: (42) {x : x is een niet-negatief geheel getal} 19

Verzamelingen worden gedefinieerd door hun reference of extensie, en niet door hun sense (d.w.z. de omschrijving die we gebruiken). Dat laatste blijkt ook uit het feit dat we de verzameling {a, b, c, d} beschouwen als dezelfde verzameling als {a, b, c, d, a}, waarin de volgorde anders is een element twee keer genoemd wordt, maar dit beïnvloedt de inhoud van de verzameling niet. Een verzameling kan andere verzamelingen als lid hebben: de verzameling {a, {b, c}} heeft als leden de verzameling {b, c} en a. Hieronder definiëren we een aantal belangrijke symbolen uit de verzamelingenleer. symbool definitie voorbeeld a Q Het element a is een lid van de d {a, b, c, d} verzameling Q. a Q Het element a is geen lid van de verzameling Q f {a, b, c, d} A = B {a} P Q P Q De verzamelingen A en B zijn identiek, d.w.z. ze hebben precies dezelfde leden De verzameling die a als enige lid heeft. We noemen dit een singleton. De lege verzameling. Deze verzameling bevat geen elementen. De verzameling P is een deelverzameling van de verzameling Q: dit betekent dat elk lid van P ook een lid is van Q. De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling. P is een echte, eigenlijke, of strikte deelverzameling van Q: dit betekent dat P Q en P Q. {a, b, c, d} = {a, c, b, b, d} {a} {{1, 2, 3}} Belangrijk: {a} a en {{a}} {a} {a, b} {a, b, c, d} {a, b} {a, b} {a, b} {a, b, c, d} {a, b} {a, b} P Q Minstens één lid van P is geen lid van Q {a, b, e} {a, b, c, d} P Q De unie van P en Q: de verzameling die alle elementen van P bevat en alle elementen van Q. {a, b} {a, c, d} = {a, b, c, d} P Q De doorsnede van P en Q: de verzameling die de elementen bevat die {a, b, c} {e, f, g, c} = {c} 20

P Q P zowel lid zijn van P als van Q. Het verschil tussen P en Q, of het complement van Q ten opzichte van P. Het complement van P zijn alle elementen die niet tot P behoren ten aanzien van een universum U. {a, b, c} {a, d} = {b, c} P = U P Nog een belangrijk verzamelingstheoretisch object dat van belang is in de formele semantiek is het geordend paar. Zoals de naam het zegt is bij een geordend paar de volgorde wel belangrijk: (43) a, b b, a Ook kan hetzelfde element meer dan een keer voorkomen (bv. a, a ). Twee geordende paren zijn identiek als de elementen in de corresponderende posities identiek zijn: a, b = c, d als en slechts als a=c en b=d. Het Cartesiaans product van A en B is de verzameling van alle geordende paren waarvan het eerste lid tot A en het tweede lid tot B behoort: (44) A B = { x, y : x A en y B} Als A = {a, b} en B = {1, 2}, dan geldt dat A B = { a, 1, a, 2, b, 1, b, 2 }. Analoog aan geordende paren hebben we geordende trio s, die uit drie geordende elementen bestaan. Meer algemeen bestaan geordende n-tupels uit n aantal geordende elementen: (45) a 1,, a n Geordende n-tupels ontstaan door het recursief toepassen van de operatie van het Cartesiaans product: (A 1 A n ). 2.3.2. Basisvocabularium en syntaxis De predicatenlogica bevat een basisvocabularium en een syntaxis, i.e. een aantal regels voor de constructie van formules. (46) Basisvocabularium voor de predicatenlogica i. predicaten: T, L, etc., elk met een vast aantal argumentplaatsen; dit is de valentie van het predicaat, of zijn ariteit (we spreken van een eenplaatsig, tweeplaatsig, etc. predicaat). 21

ii. termen: a. individuele constanten: s, a, p, m, b, c, f, j, b. variabelen: x, y, z, iii. kwantoren:, iv. connectoren: ~, &,,, v. hulpsymbolen: ( ) (47) Syntaxis i. Als P een n-plaatsig predicaat is en t 1,, t n zijn termen, dan is P(t 1,, t n ) een formule. ii. Als φ en Ψ formules zijn, dan zijn ~φ, (φ & Ψ), (φ Ψ), (φ Ψ) en (φ Ψ) formules. iii. Als φ een formule is en x is een variabele, dan zijn ( x)φ en ( x)φ formules. iv. De formules van de predicatenlogica kunnen alleen gegenereerd worden door een eindig aantal toepassingen van de regels (i)-(iii). (48) Hieronder staan een aantal welgevormde formules uit de predicatenlogica. Probeer een zin van natuurlijke taal te geven waarvan de formule een vertaling zou kunnen zijn. Een predicaat kan corresponderen met een adjectief of een werkwoord, zoals in volgende voorbeelden: A(s) Socrates is aardig L(m,s) Mozart houdt van Socrates Het predicaat L is tweeplaatsig, M, A en F zijn eenplaatsig, en O is drieplaatsig. a. ( x) L(m,x) b. ( x) ~M(x) c. ( x) (F(x) A(x)) d. A(x) e. O(p,m,f) f. ( x) ~M(p) g. ( x) L(m,s) Merk op dat formules als (48f) en (48g) welgevormd zijn, hoewel de variabele die bij de kwantor hoort niet terug te vinden is in de formule die er op volgt. De syntactische regels staan met andere woorden vacueuze kwantificatie toe, waarbij een kwantor geen variabele bindt. Omgekeerd kan een variabele ook voorkomen zonder kwantor, als in (48d). We komen daar zo meteen op terug. 2.3.3. Kwantificatie in de predicatenlogica Als een formule φ voorafgegaan wordt door een kwantor zodat we ( x)φ of ( x)φ krijgen, dan zeggen we dat φ het bereik is van de kwantor, en dat φ en elk onderdeel van φ in het 22

bereik liggen van de kwantor. Hieronder geven we een aantal voorbeelden, waarbij het bereik van elke kwantor onderstreept is: (49) a. ( x) P(x) b. (( x) P(x) Q(x, m)) c. ( x) (P(x) Q(x, m)) d. ( x) ( y) (P(x, y) & Q(x)) (bereik van ) ( x) ( y) (P(x, y) & Q(x)) (bereik van ) Het bereik van een kwantor is van belang in de volgende definitie: (50) Een variabele x is gebonden als ze voorkomt in het bereik van ( x) of ( x). Een variabele is vrij als ze niet gebonden is. Merk op dat de syntaxis van de predicatenlogica vrije variabelen toestaat, zoals we zagen in het geval (48d) hierboven. In (48a, b, c) vinden we daarentegen gebonden variabelen. De twee kwantoren van de predicatenlogica kunnen dienen ter formalisering van een aantal kwantorwoorden uit natuurlijke taal. (51) i. Welke? ii. Kun je een kwantorwoord bedenken voor de volgende combinaties? ~ ~ De predicaatlogische behandeling van zinnen met kwantoren gaat er verder van uit dat zinnen van het type Alle V zijn G twee predicaten bevatten, V en G, die als argument een variabele hebben, die gebonden wordt door een universele kwantor. Hetzelfde geldt voor Sommige V zijn G, behalve dat we hier te maken hebben met een existentiële kwantor. (52) Welke van de connectoren van de PC (&,,, ) verbindt de twee predicaten in de zin Alle vlaggen zijn groen? a. ( x) (F(x) & G(x)) Alles is een vlag en alles is groen. b. ( x) (F(x) G(x)) Alles is een vlag of alles is groen. c. ( x) (F(x) G(x)) Als iets een vlag is, dan is het groen. d. ( x) (F(x) G(x)) Alle dingen die een vlag zijn, zijn groene dingen, en alle groene dingen zijn vlaggen 23

(53) Welke van de connectoren van de PC (&,,, ) verbindt de twee predicaten in de zin Sommige vlaggen zijn groen? e. ( x) (F(x) & G(x)) Sommige dingen zijn vlaggen en groene dingen. f. ( x) (F(x) G(x)) Sommige dingen zijn vlaggen of groene dingen. g. ( x) (F(x) G(x)) Voor sommige dingen geldt dat als ze een vlag zijn, ze groen zijn. h. ( x) (F(x) G(x)) Voor sommige dingen geldt dat als ze een vlag zijn, ze groen zijn en als ze groen zijn, een vlag zijn. In een formule met meerdere kwantoren, zoals (49d), staat de tweede kwantor in het bereik van de eerste. Deze eigenschap van kwantoren wordt gebruikt om het betekenisverschil tussen de volgende zinnen weer te geven: (54) a. Iedereen kuste iemand. b. Iemand werd door iedereen gekust. Leg uit wat het betekenisverschil is tussen (54a) en (54b). In het eerste geval heeft de universele kwantor bereik over de existentiële, in het tweede geval is het omgekeerd: (55) a. ( x) ( y) K(x, y) b. ( y) ( x) K(x, y) Het veranderen van de bereiksrelaties heeft dus een mogelijk effect op de betekenis. 2.3.4. Semantiek van eenplaatsige predicaten Ook in de predicatenlogica kunnen we regels opstellen voor het afleiden van waarheidswaarden van proposities op basis van hun samenstellende delen. Beschouw een eenvoudig geval als A(s), opgebouwd uit het eenplaatsig predicaat A en de constante s. Om deze regels op te stellen maken we gebruik van een model: zoals we eerder zagen hanteren we een modeltheoretisch begrip van het concept waarheid. Zo een model M bevat drie dingen: (i) een verzameling van individuen D (het gespreksdomein), (ii) een functie V die een extensie in D toekent aan de constanten en predicaten van de PC, en (iii) een bedeling b, die 24

aan elke variabele een waarde toekent uit D. Het model maakt m.a.w. volledig expliciet wie de individuen zijn, en wat de betekenis is van de predicaten. En hoewel de modeltheorie oorspronkelijk ontwikkeld is in de moderne logica voor de analyse van formele talen, zullen we de modeltheorie later gebruiken voor de semantische analyse van natuurlijke taal. Laten we om dit concreet te maken een voorbeeld geven van een model, dat we M 1 zullen noemen. Het gespreksdomein (of kortweg domein) D 1 is de volgende verzameling van individuen: (56) D 1 = {Socrates, Aristoteles, Plato, Mozart, Callas, Beethoven, Fido, januari} De denotatie (of semantische waarde) van een constante is niet een waarheidswaarde (1 of 0), maar iets anders. (57) Wat? s M 1 = a M 1 = p M 1 = m M 1 = Om aan te geven dat waarheid relatief is tot een model (in een ander model zou de constante s naar een ander individu kunnen verwijzen, enz.), plaatsen we een superscript M 1 achter de vierkante haken. De vierkante haken in (57) doen eigenlijk hetzelfde als de functie V uit ons model: ze kennen een extensie toe aan constanten, zodat we ook kunnen zeggen V(s) = Socrates, etc. Omdat we functies pas later in detail zullen bespreken, houden we het hier in de notatie op de vierkante haken. Minder eenvoudig is de vraag wat de denotatie is een eenplaatsig predicaat zoals aardig of filosoof. In verzamelingstheoretische termen redenerend, zullen we zeggen dat de denotatie van een dergelijk predicaat een verzameling van individuen is, met name respectievelijk de verzameling van de aardige individuen en de filosofen. (58) A M 1 = {Socrates, Plato, Aristoteles, Mozart, Fido} F M 1 = {Socrates, Plato, Aristoteles} (59) Welke drie soorten denotaties hebben we tot dusver geïntroduceerd? 1. 2. 3. 25

Gegeven dat we de denotatie gedefinieerd hebben van het predicaat (in (58)) en de constante (in (57)), kunnen we nu een regel formuleren voor het bepalen van de denotatie van de gehele uitdrukking. Zoals eerder gezegd denoteren formules waarheidswaarden. (60) A(s) M 1 = 1 asa A(s) M 1 = 0 in alle andere gevallen Met andere woorden, de semantische waarde van formules in PC kan berekend worden op basis van het lidmaatschap van (61). (62) Bereken de waarheidswaarde van onderstaande formule. A(x) M 1 = (vgl. Hij is aardig) Conclusie: De variabele in (62) is een vrije variabele, want hij zit niet in het bereik van een kwantor. Een vrije variabele kan slechts een interpretatie krijgen als we een bedeling hebben. Een bedeling is het derde element van een model (naast een gespreksdomein D en een denotatiefunctie voor de predicaten en constanten van PC). (63) Een bedeling b is een functie die elke variabele afbeeldt op een individu in D. Wat precies een functie is leggen we later nog omstandig uit. Voor nu volstaat het om de bedelingsfunctie voor te stellen als een lijst. De bedeling van ons model M 1 noteren we als b 1 (de variabelen noteren we hieronder eveneens met een subscript omdat er meer cijfers zijn dan letters, en we soms veel variabelen hebben): (64) b 1 = x 1 Socrates x 2 Aristoteles x 3 Plato x 4 Mozart 26

x 5 Callas x 6 Beethoven x 7 Fido x z januari waarbij z 8 De regel in (60) kan nu veralgemeend worden door hem relatief te maken tot een bedeling b. (65) A(x n ) M 1, b 1 = 1 asa x n M 1, b 1 A M 1, b 1 A(x n ) M 1, b 1 = 0 in alle andere gevallen Deze regel is natuurlijk niet alleen van toepassing op het concrete geval van het predicaat A. We kunnen hem dan ook algemener formuleren als in (66), zodat hij van toepassing wordt op alle eenplaatsige predicaten P: (66) Voor elk eenplaatsig predicaat P en elke term t geldt P(t) M 1, b 1 = 1 asa t M 1, b 1 P M 1,b 1 P(t) M 1, b 1 = 0 in alle andere gevallen Het bepalen van een waarheidsvoorwaarde voor formules met gebonden variabelen (en dus kwantoren) krijgt een wat ingewikkelder formulering als in (67). (67) a. ( x n ) φ M 1, b 1 = 1 asa voor alle d D, φ M 1, b 1 [d/xn] = 1 b. ( x n ) φ M 1, b 1 = 1 asa voor tenminste één d D, φ M 1, b 1 [d/xn] = 1 Voor (67a) betekent dit dat we voor elk individu d de formule φ interpreteren, waarbij we d toewijzen aan x n. Bij de toewijzing van d aan x n wijzigen we de oorspronkelijke bedeling b 1. De gewijzigde bedeling noteren we als b 1 [d/x n ]. Indien φ waar is bij elke interpretatie, dan is ( x n ) φ waar. Laten we dit toepassen op een concreet geval, de formule in (68), wat de standaard PCvertaling is van een zin als Elke filosoof is aardig: (68) ( x) (F(x) A(x)) Deze formule bevat de volgende ingrediënten: 1. de twee predicaatlogische basisformules F(x) en A(x) 2. een kwantor 3. een Booleaanse operator 27

Hoe we de waarheidswaarde van de predicaatlogische basisformules moeten berekenen, hebben we aangetoond in (66). Wanneer we de waarheidsvoorwaarde voor de kwantor (67a) toepassen op (68), levert dit het volgende op: (69) ( x n ) (F(x n ) A(x n )) M 1, b 1 = 1 asa voor alle d D, (F(x n ) A(x n ) M 1, b 1 [d/xn] = 1 De toepassing van (69) vereist, kort gezegd, dat we voor elke individu van ons gespreksdomein nagaan of F(x n ) A(x n ) M 1, b 1 waar is. Indien dat zo is, dan is ( x n ) (F(x n ) A(x n )) M 1, b 1 waar. Hoe bepalen we of (F(x n ) A(x n ) M 1, b 1 waar is? Hiervoor moeten we de waarheidsvoorwaarde voor de Booleaanse operator toepassen. Die waarheidsvoorwaarde is gegeven in (32ii) hierboven; toegepast op ons geval geeft dit (70): (70) F(x n ) A(x n ) M 1, b 1 = onwaar asa F(x n ) M 1, b 1 = 1 en A(x n ) M 1, b 1 = 0 waar in alle andere gevallen Op zijn beurt vereist de toepassing van (70) het berekenen van de waarheidswaarde van de formules F(x n ) en A(x n ), d.w.z. de toepassing van een schema als (66), hier herhaald. (66) Voor elk eenplaatsig predicaat P en elke term t geldt P(t) M 1, b 1 = 1 asa t M 1, b 1 P M 1, b 1 P(t) M 1, b 1 = 0 in alle andere gevallen Het bovenstaande schetst de waarheidsvoorwaarden voor een geval als (68). Laten we concreet worden, en de waarheidswaarde berekenen van de formule (68), gegeven het domein D 1 in (56) en de bedeling b 1 in (64) (hier herhaald). (56) D 1 = {Socrates, Aristoteles, Plato, Mozart, Callas, Beethoven, Fido, januari} (71) b 1 = x 1 Socrates x 2 Aristoteles x 3 Plato x 4 Mozart 28

x 5 Callas x 6 Beethoven x 7 Fido x z januari waarbij z 8 Voorts herhalen we de denotatie van de predicaten F en A zoals eerder gegeven in (58) hier boven: (58) A M 1, b 1 = {Socrates, Plato, Aristoteles, Mozart, Fido} F M 1, b 1 = {Socrates, Plato, Aristoteles} We beginnen bij Socrates, de waarde die de bedeling toekent aan de variabele x 1 ; voor het gemak stellen we dit individu voor met de kleine letter s, en doen vervolgens hetzelfde voor de andere individuen van D. (72) a. F(s) M 1, b 1 = want A(s) M 1, b 1 = want F(s) A(s) M 1, b 1 = b. F(a) M 1, b 1 = A(a) M 1, b 1 = F(a) A(a) M 1, b 1 = c. F(p) M 1, b 1 = A(p) M 1, b 1 = F(p) A(p) M 1, b 1 = d. F(m) M 1, b 1 = A(m) M 1, b 1 = F(m) A(m) M 1, b 1 = e. F(c) M 1, b 1 = A(c) M 1, b 1 = F(c) A(c) M 1, b 1 = f. F(b) M 1, b 1 = A(b) M 1, b 1 = F(b) A(b) M 1, b 1 = g. F(f) M 1, b 1 = A(f) M 1, b 1 = F(f) A(f) M 1, b 1 = h. F(j) M 1, b 1 = 29

A(j) M 1, b 1 = F(j) A(j) M 1, b 1 = We kunnen de volledige berekening van (69) overzichtelijk weergeven in een waarheidstabel zoals we die kennen uit de propositionele logica, waarbij we op de verschillende rijen de verschillende waarden voor de variabele x opnemen volgens de bedeling (64) (in de tabellen laten we voortaan omwille van de beknoptheid de superscripten M 1, b 1 achterwege). (73) F(x) A(x) F(x) A(x) ( x) (F(x) A(x)) s 1 1 1 a 1 1 1 p 1 1 1 m 0 1 1 c 0 0 1 b 0 0 1 f 0 1 1 j 0 0 1 1 Deze aanpak heeft het voordeel van de volledigheid, maar hij is natuurlijk redelijk omslachtig, en het zou leuk zijn als we iets sneller tewerk zouden kunnen gaan. In bovenstaand voorbeeld is dat inderdaad het geval. Eigenlijk hadden we kunnen ophouden na het controleren van de eerste drie variabelen (72a-b-c). Immers, wanneer is de formule ( x n ) (F(x n ) A(x n )) waar? Ze is waar indien voor alle mogelijke toewijzingen van variabelen de formule (F(x n ) A(x n )) waar is. Het volstaat dus dat we één geval vinden waarin (F(x n ) A(x n )) onwaar is. De situatie waarin (φ Ψ) onwaar is, ontstaat echter slechts in één geval, nl. wanneer φ = 1 en Ψ = 0. In (72) is het nu zo we bij (72c) de individuen waarvoor F(x) waar is, hebben uitgeput. Immers, F M 1, b 1 = {Socrates, Plato, Aristoteles}, en precies die drie individuen zijn in (72a-b-c) de revue gepasseerd. Alle andere individuen maken de formule F(x n ) onwaar. Maar als F(x n ) onwaar is, dan is (F(x n ) A(x n )) noodzakelijk waar. Met andere woorden, we hoeven de overblijvende toewijzingen aan variabelen niet meer stap voor stap te controleren, want die leveren allen een onwaar resultaat op voor F(x n ), en bijgevolg een waar resultaat voor (F(x n ) A(x n )). Anders geformuleerd, voor het controleren van de waarheid van de zin Elke filosoof is aardig moeten we niet naar de niet-filosofen kijken, maar moeten we op zoek naar één filosoof die niet aardig is. Zodra de filosofen in ons domein D uitgeput zijn, hoeven we niet verder te zoeken, want voor alle niet-filosofen is de uitspraak vanzelf waar. (74) De berekening van de waarheidswaarde van (67b) gaat op analoge wijze. Ga na of de volgende formules waar zijn met betrekking tot het model M 1. 30