KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut, UU 1/37
Informatie tekst voordracht: http://www.staff.science.uu. nl/~kolk0101/links/voordracht_nwd.pdf alternatief tekst voordracht: zoek in Google op: johan kolk, kies Personal Homepage, kies Links, kies Voordracht NWD e-mail: j.a.c.kolk@uu.nl homepage: http://www.staff.science.uu.nl/~kolk0101/ plaats: Nationale Wiskunde Dagen tijd: 05-02-2016, 14:00 15:00 VIÈTE 2/37
Outline Onderwerp: Alle vergelijkingen ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten a, b, c en reële nulpunten x. Na deling door a 0 schrijven we Alle grafieken onoverzichtelijk. x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0. VIÈTE Coëfficiënten c 2 1 c 2 of nulpunten x + x weinig informatie. x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0 interessant indien beschouwd als vergelijking tussen x, c 1 en c 2 tegelijk, dus van oppervlak in R 3. 3/37
Outline VIÈTE 4/37
Outline VIÈTE 5/37
Outline Alle kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten en nulpunten tegelijkertijd. Meer inzicht in gedrag van oplossingen en verrassende relaties met andere onderdelen van wiskunde. Technisch hulpmiddel: Viète formules. Oplossingen op zoek naar een probleem. Oppervlak in R 3. Doorsnijding met vlakken: Parabolen. Lijnen. Hyperbolen. Conclusie: Zadelvlak / Hyperbolische paraboloïde. VIÈTE 6/37
Outline Hoek tussen blauwe asymptoten van hyperbolen: 2ρ met tan 2ρ = 2. Ook in gulden rechthoek. VIÈTE tan ρ = 1 τ + = τ met τ + gulden snede. τ + 1 = 1 τ + 1 = τ 2 ± τ ± 1 = 0. 7/37
Outline Richmond s constructie van regelmatige vijfhoek. VIÈTE 8/37
KV s (= Kwadratische Vergelijkingen) KV met reële coefficiënten c 1 en c 2 0 = x 2 + 2c 1 x + c 2 = (x + c 1 ) 2 (c 2 1 c 2) = (x + c 1 ) 2 (c 2 1 c 2). Notatie is niet-standaard, maar maakt formules transparant. Aanname: Reële nulpunten x + en x met x + x. Gegeven door oplossingsformule (met d voor difference ) (c 1, c 2 ) (x +, x ), x ± = c 1 ± c1 2 c 2 = c 1 ± d. Dus d = c 2 1 c 2. Maar ook x + x = c 1 +d ( c 1 d) = 2d = d = 1 2 (x + x ). Vb. x 2 2 5x + 21 = x 2 10x + 21 = (x 7)(x 3) = d = 5 2 21 = 2 = 1 2 (7 3). VIÈTE 9/37
KV s (= Kwadratische Vergelijkingen) VIÈTE 10/37
Vièteformules Omkering: Druk (c 1, c 2 ) uit in (x +, x ). Vièteformules: c 1 = 1 2 (x + + x ), c 2 = x + x. Bewijs: som-productmethode (x 7)(x 3) = x 2 10x + 21 = x 2 2 5x + 21 = c 1 = 5 = 1 2 (7 + 3) en c 2 = 21 = 7 3. Gevolg: oplossingsformule is trivialiteit: x ± = c 1 ± d = 1 2 (x + + x ) ± 1 2 (x + x ). VIÈTE 11/37
Opgave Bewijs de volgende beweringen. Als discriminant van x 2 + 2c 1 x + c 2, dan d 2 = 1 4. Grafiek heeft top in (c 1, d 2 ). Bewijs Vièteformules mbv. som-productmethode, optelling en vermenigvuldiging van de oplossingsformules. VIÈTE 12/37
Parametrisatie Oppervlak Parametrisatie (= parametervoorsteliing) van cirkel met straal r in (x, y)-vlak a r(cos a, sin a) = (x, y). Bij toename r, familie cirkels met toenemende straal (a, r) (r cos a, r sin a, r 2 ) = (x, y, z). a = 0: (r, 0, r 2 ) = (x, y, z). Parabool: z = x 2 en y = 0. Vergelijking oppervlak (elliptische paraboloïde) x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 a + sin 2 a) = r 2 = z. VIÈTE 13/37
Zadelvlak Q Q. [Zadelvlak]. Beschouw nu KV als vergelijking in drie variabelen (x, c 1, c 2 ) R 3 tegelijk. Geeft oppervlak Q in R 3, beschreven door: vergelijking: (x, c 1, c 2 ) Q x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0, parametrisatie (= parametervoorstelling) met Viète: φ(x +, x ) = (x +, 1 ) 2 (x + + x ), x + x. Immers, φ(x +, x ) = (x, c 1, c 2 ) x 2 + 2c 1 x + c 2 = x 2 + 2 1 2 (x + + x ) x + + x + x = x 2 + x 2 + x x + + x + x = 0. VIÈTE 14/37
x 2 + 2x 3 = 0, x ± = 1 3, p ± = ( 1 3, 1, 3) = (x ±, c 1, c 2 ), loodrechte projecties op (verschoven) (x +, c 1 )- en (c 1, c 2 )-vlak. VIÈTE 15/37
Snijden met vlak Snijden van Q R 3 met (plat) vlak, is in feite hetzelfde als snijden van kromme in R 2 met (rechte) lijn. Lijn loodrecht op x-coördinaatas, en dus parallel aan y-as, wordt gegeven door x = c en y willekeurig, met c constant. En willekeurige lijn voldoet aan ax + by = c. Evenzo staat vlak bestaande uit punten (x, c 1, c 2 ) met c 1 constant, loodrecht op c 1 -as; en is dus parallel aan (x, c 2 )-vlak. VIÈTE 16/37
Bergparabolen VIÈTE 17/37
Bergparabolen P (c 1 ). De doorsnijding van Q met het vlak waar c 1 constant. Dan P (c 1 ) een vlakke ruimtekromme op Q. x + + x = 2c 1, dwz. (x +, x ) = (x +, x + 2c 1 ). Daarom parametrisatie P (c 1 ): x + φ(x +, x + 2c 1 ) = (x +, c 1, x 2 + 2c 1 x + ) = (x +, c 1, c 2 ), dus c 2 = x 2 + 2c 1 x + = (x + + c 1 ) 2 + c 2 1. In (x +, c 2 )-coördinaten een bergparabool met top ( c 1, c 2 1 ). VIÈTE Een punt op één P (c 1 ) beschrijft een KV waarvoor de som van de nulpunten gelijk is aan 2c 1. Omgekeerd correspondeert elke dergelijke KV met hooguit twee punten op P (c 1 ). 18/37
Opgave Reken zelf de parametrisatie van P (c 1 ) na. VIÈTE 19/37
Dalparabolen VIÈTE 20/37
Dalparabolen P + (d). Snijding van Q met vlak x + + c 1 constant, geeft punten met x + 1 2 (x + + x ) = 1 2 (x + x ) = d constant. Analoog aan voorgaande een dalparabool P + (d) met vergelijkingen x + + c 1 = d en c 2 = c 2 1 d. De punten van P + (d) zijn alle KV s met voorgeschreven d, waarbij d 2 = 1 4 maal de discriminant van KV. VIÈTE 21/37
Parabolen σ en τ Speciale gevallen: τ = P (0), met parametrisatie τ : x + φ(x +, x + ) = (x +, 0, x+). 2 Alle KV s met tegengestelde nulpunten. σ = P + (0), met parametrisatie σ : x + φ(x +, x + ) = (x +, x +, x+). 2 Alle KV s met d = 0, dus samenvallende nulpunten. VIÈTE 22/37
VIÈTE Figure: σ samenvallende nulpunten, τ tegengestelde nulpt, στ = π 4 23/37
Punten P (c 1 ) P + (d). [Punt]. Doorsnijding van twee parabolen. φ(x +, x + 2c 1 ) = φ(x +, x + 2d) geeft x + = x + en x + 2c 1 = x + 2d; dus x + = c 1 + d en x = c 1 d. φ( c 1 + d, c 1 d) = ( c 1 + d, c 1, c 2 1 d 2 ) = ( c 1, c 1, c 2 1 ) + (d, 0, d 2 ) = σ( c 1 ) + τ(d). Vector som correspondeert met schrijven nulpunt x + van KV als x + = c 1 + d, maar ook als x + = 1 2 (x + + x ) + 1 2 (x + x ). Immers, elk punt van Q kan worden geschreven 1 ) 1 ) φ(x +, x ) = σ( 2 (x + + x ) + τ( 2 (x + x ). 24/37 VIÈTE
Lijnen L + (x + ). [Lijn]. Doorsnijding van Q met vlak van x + constant. Vergelijking in (c 1, c 2 )-coördinaten: ) x φ(x +, x ) = (x +, 12 (x + + x ), x + x, 2x + c 1 + c 2 = x 2 + x + x + x + x = x 2 +, c 2 = 2x + c 1 x 2 + Alle KV s met voorgeschreven grootste nulpunt x +. x + x = 2d geeft x = x + 2d, dus parametrisatie d φ(x +, x + 2d) = (x +, x + + d, x 2 + 2x + d) = σ(x + ) + d(0, 1, 2x + ) σ(x + ) + R(0, 1, 2x + ). Door elk punt σ(x + ) van de parabool σ van KV s met samenvallend nulpunten gaat een lijn met richtingsvector (0, 1, 2x + ) en die geheel in Q ligt. VIÈTE 25/37
VIÈTE 26/37
L + (x ). [Lijn]. Doorsnijding van Q met vlak van x constant. Net zoals L + (x + ). Dus Q dubbel regeloppervlak, dwz. twee families van rechte lijnen. VIÈTE 27/37
Projectie van lijnen Loodrechte projectie (x +, c 1, c 2 ) (c 1, c 2 ) van lijnen zadelvlak. VIÈTE Door elke (c 1, c 2 ) precies 2 lijnen rakend aan (blauwe) parabool c 2 = c 2 1. Hellingen van raaklijnen: 2x ± met x 2 ± + 2c 1 x ± + c 2 = 0. Nomogram voor nulpunten van KV s, dwz. een grafisch hulpmiddel in combinatie met lineaal en gradenboog. 28/37
Hyperbolen H(c 2 ). [Hyperbool]. Doorsnijding van Q met vlak van c 2 constant. Vergelijking in (x +, c 1 )-coördinaten: ( ) ( ( ) x + φ x +, c 2 x + = x +, 1 2 x + + c 2 x +, c 2 ), x 2 + + 2c 1 x + = c 2. Alle KV s met voorgeschreven product van nulpunten. VIÈTE 29/37
Bij variatie van c 2 definieert x 2 + + 2c 1 x + = c 2 een familie van niet-ontaarde kegelsneden (= ellips, parabool, hyperbool) in (x +, c 1 )-coördinaten. c 2 = 0 geeft x + (x + + 2c 1 ) = 0: vergelijking van twee lijnen, die alleen in 0 elkaar snijden. Alleen mogelijk als kegelsneden hyperbolen zijn. Dan zijn die lijnen asymptoten van hyperbolen. VIÈTE Voorgaande feiten impliceren: Q hyperbolische paraboloïde. 30/37
Hoek ρ De asymptoten zijn dus x + = 0 (de c 1 -as) en c 1 = 1 2 x + (schuine blauwe lijn). Zij 2ρ hoek tussen asymptoten. 1 2 = tan( π 2 + 2ρ) = tan( π 2 2ρ) = 1 tan 2ρ = ρ bepaald door tan 2ρ = 2. ρ = 31, 717. VIÈTE 31/37
Hoek ρ Zij τ = tan ρ. Verdubbelingsformule: 2 = tan 2ρ = 2 tan ρ 1 tan 2 ρ = 2τ = ( τ) 2 ( τ) 1 = 0 1 τ 2 = τ = τ ± = 1 2 (1 ± 5) = tan ρ = τ = 1 τ +. Dus 2ρ hoek tussen diagonalen gulden rechthoek. VIÈTE 32/37
Gulden zadelvlak Hyperbolische paraboloïde Q niet in standaardpositie in ruimte. Draai over hoek ρ om c 2 -as (loodrecht op lichtblauw vlak van rood naar blauw). Vergelijking in (z 1, z 2, z 3 )-coördinaten, niveau s 1, 0, 1 τ + z 2 1 + τ z 2 2 + z 3 = 0 (τ ± = 1 2 (1 ± 5) 0). VIÈTE 33/37
Vijfhoek Richmond s constructie van regelmatige vijfhoek. VIÈTE 34/37
Vijhoek Algebraisch is de relatie tussen vijfhoek en gulden snede z 5 1 = (z 1)(z 4 +z 3 +z 2 +z +1) = (z 1) (z 2 +τ ± z +1). ± Nulpunten ( ) ω1 = 1 ( τ ±i τ+ ω 2 + 1 ) ( ) ω2, = 1 ( τ+ ±i τ 4 2 ω 2 + 1 ). 3 2 VIÈTE 35/37
Formules x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0, c 1 = 1 2 (x + + x ), c 2 = x + x, d = 1 2 (x + x ) 0, d 2 = c 2 1 c 2, 4d 2 = discriminant, x ± = c 1 ± d = x ± 2d, φ(x +, x ) = (x +, 1 ) 2 (x + + x ), x + x = (x +, c 1, c 2 ), tan 2ρ = sin 2ρ cos 2ρ = 2 sin ρ cos ρ cos 2 ρ sin 2 ρ = 2 sin ρ cos ρ 1 ( sin ρ cos ρ )2 = sec ρ = 1 cos ρ, csc ρ = 1 sin ρ. 2 tan ρ 1 tan 2 ρ, VIÈTE 36/37
Eind VIÈTE Twee gulden hyperbolen met brandpunten en een gulden ellips. 37/37