1 Tropische Meetkunde In Perspectief, 21 maart 2014 Jan Draisma, TU Eindhoven
|
|
|
- Bert Willemsen
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 Tropische Meetkunde In Perspectief, 21 maart 2014 Jan Draisma, TU Eindhoven
2 Tropische getallen 2 Twee operaties R := R { } a b := min{a, b} a b := a + b het tropische semilichaam (alternatief: max en )
3 Tropische getallen 2 Twee operaties R := R { } a b := min{a, b} a b := a + b het tropische semilichaam (alternatief: max en ) Eigenschappen 3 2 = 2, 3 2 = 5, a = a, a 0 = a, a = a (b c) = a + min{b, c} = min{a + b, a + c} = (a b) (a c)
4 Tropische getallen 2 Twee operaties R := R { } a b := min{a, b} a b := a + b het tropische semilichaam (alternatief: max en ) Eigenschappen 3 2 = 2, 3 2 = 5, a = a, a 0 = a, a = a (b c) = a + min{b, c} = min{a + b, a + c} = (a b) (a c) (R,,,, 0) heeft alle eigenschappen van een lichaam, behalve dat additieve inverses ontbreken
5 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd
6 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x + 13
7 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix)
8 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix)
9 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix)
10 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix)
11 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix)
12 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix) 2 6
13 Tropische veeltermen in één variabele 3 f = d i=0 c i x i korter: f = d i=0 c ix i tropische veeltermen kunnen tropisch worden opgeteld en vermenigvuldigd Voorbeeld f = 3(x + 2) 2 (x + 6) = 3(x 2 + 2x + 4)(x + 6) = 3(x 3 + 2x 2 + 4x + 10) = 3x 3 + 5x 2 + 7x f functie R R x min i (c i + ix) 2 6 ( f (11 x 1/2 ) definieert dezelfde functie!)
14 Nulpunten van tropische veeltermen 4 Stelling g : R R continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met richtingsafgeleiden in Z! veelterm f van de vorm c d i=1 (x + x i) dat aanleiding geeft tot de functie g.
15 Nulpunten van tropische veeltermen 4 Stelling g : R R continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met richtingsafgeleiden in Z! veelterm f van de vorm c d i=1 (x + x i) dat aanleiding geeft tot de functie g. Definitie De x i R ( knikken in grafiek) heten nulpunt van f.
16 Nulpunten van tropische veeltermen 4 Stelling g : R R continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met richtingsafgeleiden in Z! veelterm f van de vorm c d i=1 (x + x i) dat aanleiding geeft tot de functie g. Definitie De x i R ( knikken in grafiek) heten nulpunt van f. Relatie tot gewone polynomen K een lichaam met niet-archimedische valuatie v : K R Trop : K[x] R [x], i c i x i i v(c i )x i tropicalisatie
17 Nulpunten van tropische veeltermen 4 Stelling g : R R continu, concaaf, stuksgewijs lineair, met richtingsafgeleiden in Z! veelterm f van de vorm c d i=1 (x + x i) dat aanleiding geeft tot de functie g. Definitie De x i R ( knikken in grafiek) heten nulpunt van f. Relatie tot gewone polynomen K een lichaam met niet-archimedische valuatie v : K R Trop : K[x] R [x], i c i x i i v(c i )x i tropicalisatie Lemma (Gauss/Newton) Trop( f g) = Trop( f ) Trop(g) (als functies) v({nulpunten van f in K}) = {nulpunten van Trop( f )}
18 Tropische veeltermen in twee variabelen 5 f = (i, j) A c i j x i y j, c i j R, A N 2 functie R 2 R, (x, y) min i j (c i j + ix + jy) stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten
19 Tropische veeltermen in twee variabelen 5 f = (i, j) A c i j x i y j, c i j R, A N 2 functie R 2 R, (x, y) min i j (c i j + ix + jy) stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten Definitie V( f ) := {(x, y) R 2 f niet lineair} tropische kromme
20 Tropische veeltermen in twee variabelen 5 f = (i, j) A c i j x i y j, c i j R, A N 2 functie R 2 R, (x, y) min i j (c i j + ix + jy) stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten Definitie V( f ) := {(x, y) R 2 f niet lineair} tropische kromme Voorbeeld V( 2x + 3y + 1 ) tropische lijn 2 + x 1, 3 + y 2 + x = 3 + y 1 ( 1, 2) 2 + x = y x, 3 + y 3 + y 2 + x, y = x
21 Tropische veeltermen in twee variabelen 5 f = (i, j) A c i j x i y j, c i j R, A N 2 functie R 2 R, (x, y) min i j (c i j + ix + jy) stuksgewijs lineair, concaaf, geheeltallige gradienten Definitie V( f ) := {(x, y) R 2 f niet lineair} tropische kromme Voorbeeld V( 2x + 3y + 1 ) tropische lijn 2 + x 1, 3 + y 2 + x = 3 + y 1 ( 1, 2) 2 + x = y x, 3 + y 3 + y 2 + x, 1 tropische varianten van Pappus, Desargues, y = x
22 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x /2 1 1
23 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x / := convex omhulsel van A
24 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x / := convex omhulsel van A 1 z 2. C := convex omhulsel in R 3 van (i, j, z) met (i, j) A en z c i j
25 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x / := convex omhulsel van A 2. C := convex omhulsel in R 3 van (i, j, z) met (i, j) A en z c i j 3. projecteer C naar beneden reguliere onderverdeling van
26 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x 5 1 x y 0 0 1/2 1 1 V( f ) =Desdakromme 4. (i, j) (k, l) kant in onderverdeling V( f ) heeft lijnstuk waar c i j + ix + jy = c kl + kx + ly < rest
27 Tropische vlakke krommen tekenen 6 Voorbeeld: f = 0y + 1y 4 + (1/2)xy 2 + ( 1)x 3 y + 0x 3 y 3 + 1x x y / V( f ) =Desdakromme 4. (i, j) (k, l) kant in onderverdeling V( f ) heeft lijnstuk waar c i j + ix + jy = c kl + kx + ly < rest 5. gewicht van lijnstuk = # roosterpunten op kant min 1
28 Lokaal evenwicht in de Desdakromme 7 1 0
29 Lokaal evenwicht in de Desdakromme
30 Lokaal evenwicht in de Desdakromme ( 1, 1) + 2(1, 0) + 1(1, 3) = (0, 0) Stelling Een tropische vlakke kromme V( f ) is een gewogen, rechtlijnige graaf in R 2 met geheeltallige richtingen en lokaal in evenwicht. Het omgekeerde geldt ook.
31 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.
32 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.
33 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.? multipliciteiten!
34 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.?? multipliciteiten! over C!
35 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.??? multipliciteiten! over C! projectief!
36 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.???? multipliciteiten! over C! projectief! schuiven!
37 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.???? multipliciteiten! over C! projectief! Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003] Idem voor tropische krommen. schuiven! d 1 = 2 d 2 = 2
38 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.???? multipliciteiten! over C! projectief! Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003] Idem voor tropische krommen. schuiven! d 1 d 2 = 6
39 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.???? multipliciteiten! over C! projectief! Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003] Idem voor tropische krommen. schuiven! schuiven d 1 d 2 = 6
40 Tropische stelling van Bézout 8 Klassieke stelling van Bézout C 1, C 2 vlakke krommen, graden d 1, d 2 C 1 C 2 = d 1 d 2.???? multipliciteiten! over C! projectief! Stelling [Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald 2003] Idem voor tropische krommen. schuiven! schuiven d 1 d 2 = 6
41 Tropische hyperoppervlakken 9 f tropische veelterm in n variabelen functie R n R V( f ) tropisch hyperoppervlak
42 Tropische hyperoppervlakken 9 f tropische veelterm in n variabelen functie R n R V( f ) tropisch hyperoppervlak Voorbeeld f = π S 3 x 1π(1) x 2π(2) x 3π(3), de tropische determinant dim V( f ) = 8, evenwichtige polyhedrale waaier in R 9 elke kegel bevat (s i + t j ) i j = (s i t j ) i j, een 5-dim ruimte modulo deze ruimte een 3-dimensionale waaier in R 4 snijden met 3-sfeer geeft 2-dimensionaal complex:
43 Tropische hyperoppervlakken 9 f tropische veelterm in n variabelen functie R n R V( f ) tropisch hyperoppervlak Voorbeeld f = π S 3 x 1π(1) x 2π(2) x 3π(3), de tropische determinant dim V( f ) = 8, evenwichtige polyhedrale waaier in R 9 elke kegel bevat (s i + t j ) i j = (s i t j ) i j, een 5-dim ruimte modulo deze ruimte een 3-dimensionale waaier in R 4 snijden met 3-sfeer geeft 2-dimensionaal complex: 9 knopen 6 driehoeken 9 vierhoeken S 2 S 3 2 werkt hierop
44 Hogere codimensie 10 Tropicalisatie (K, v) niet-archimedisch lichaam X K n gegeven door veeltermvergelijkingen f 1 = f 2 =... = 0 I = f 1,..., f k K[x 1,..., x n ] het voortgebrachte ideaal
45 Hogere codimensie 10 Tropicalisatie (K, v) niet-archimedisch lichaam X K n gegeven door veeltermvergelijkingen f 1 = f 2 =... = 0 I = f 1,..., f k K[x 1,..., x n ] het voortgebrachte ideaal Definitie Trop(X) := f I V(Trop( f )) R n tropicalisatie van X
46 Hogere codimensie 10 Tropicalisatie (K, v) niet-archimedisch lichaam X K n gegeven door veeltermvergelijkingen f 1 = f 2 =... = 0 I = f 1,..., f k K[x 1,..., x n ] het voortgebrachte ideaal Definitie Trop(X) := f I V(Trop( f )) R n tropicalisatie van X Stelling (Bieri-Groves, 1984) Trop(X) is een evenwichtig polyhedraalcomplex en dim = dim X.
47 Hogere codimensie 10 Tropicalisatie (K, v) niet-archimedisch lichaam X K n gegeven door veeltermvergelijkingen f 1 = f 2 =... = 0 I = f 1,..., f k K[x 1,..., x n ] het voortgebrachte ideaal Definitie Trop(X) := f I V(Trop( f )) R n tropicalisatie van X Stelling (Bieri-Groves, 1984) Trop(X) is een evenwichtig polyhedraalcomplex en dim = dim X. Opmerkingen: voor k = 1 is dit V(Trop( f 1 )) i.h.a. kleiner dan i V(Trop( f i )) er bestaat software gfan om Trop(X) uit te rekenen
48 Tropische Grassmannian van vlakken 11 ϕ : K m K m K m(m 1)/2, (y, z) (y i z j y j z i ) i< j beeld X gegeven door i < j < k < l: x i j x kl x ik x jl + x il x jk = 0 Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte
49 Tropische Grassmannian van vlakken 11 ϕ : K m K m K m(m 1)/2, (y, z) (y i z j y j z i ) i< j beeld X gegeven door i < j < k < l: x i j x kl x ik x jl + x il x jk = 0 Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte Wat is Trop(X)?
50 Tropische Grassmannian van vlakken 11 ϕ : K m K m K m(m 1)/2, (y, z) (y i z j y j z i ) i< j beeld X gegeven door i < j < k < l: x i j x kl x ik x jl + x il x jk = 0 Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte Wat is Trop(X)? Voor x Trop(X) moet i.i.g. gelden: i < j < k < l: min{x i j + x kl, x ik + x jl, x il + x jk } wordt 2 keer aangenomen.
51 Tropische Grassmannian van vlakken 11 ϕ : K m K m K m(m 1)/2, (y, z) (y i z j y j z i ) i< j beeld X gegeven door i < j < k < l: x i j x kl x ik x jl + x il x jk = 0 Grassmanniaan van 2-ruimten in m-ruimte Wat is Trop(X)? Voor x Trop(X) moet i.i.g. gelden: i < j < k < l: min{x i j + x kl, x ik + x jl, x il + x jk } wordt 2 keer aangenomen. Stelling (Speyer-Sturmfels, 2005) Dit is ook voldoende, en Trop(X) is de ruimte van fylogenetische bomen met m bladeren.
52 Fylogenetische bomen 12 Van bomen naar metrieken boom met m bladeren en positieve kantlengtes metriek op m punten. j i a b c d j i a + b + c + d
53 Fylogenetische bomen 12 Van bomen naar metrieken boom met m bladeren en positieve kantlengtes metriek op m punten. j i a b c d j i a + b + c + d Van metrieken naar bomen Welke metrieken (d i j ) i j komen van bomen?
54 Fylogenetische bomen 12 Van bomen naar metrieken boom met m bladeren en positieve kantlengtes metriek op m punten. j i a b c d j i a + b + c + d Van metrieken naar bomen Welke metrieken (d i j ) i j komen van bomen? Antwoord Precies die waarvoor i < j < k < l max{d i j + d kl, d ik + d jl, d il + d jk } tenminste 2 keer aangenomen wordt. i k l j d ik + d jl = d il + d jk > d i j + d kl
55 Grassmanniaan voor m = 5 13 m = 5 Trop(X) is een 7-dimensionale waaier in R 10 modulo (a i + a j ) i< j 2-dimensionaal in R 5 snijden met een 4-sfeer geeft...
56 Grassmanniaan voor m = 5 13 m = 5 Trop(X) is een 7-dimensionale waaier in R 10 modulo (a i + a j ) i< j 2-dimensionaal in R 5 snijden met een 4-sfeer geeft... de Petersengraaf!
57 Samenvatting 14 R : bijna een lichaam tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar slechts sommige voorbeelden goed begrepen
58 Samenvatting 14 R : bijna een lichaam tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar slechts sommige voorbeelden goed begrepen Niets over gezegd toepassingen in algebraïsche statistiek relatie tot Berkovichruimtes enumeratieve meetkunde merkwaardige naam,...
59 Samenvatting 14 R : bijna een lichaam tropische univariate veeltermfuncties zijn te ontbinden tropische vlakke krommen: volledige karakterisatie tropische hyperoppervlakken: combinatorisch goed begrepen hogere codimensie: polyhedraal complex, juiste dimensie, maar slechts sommige voorbeelden goed begrepen Niets over gezegd toepassingen in algebraïsche statistiek relatie tot Berkovichruimtes enumeratieve meetkunde merkwaardige naam,... Dankuwel! 1/2
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Vectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde Aantal uren: A: 30, B:15 of A: 22,5, B: 22,5 1 Hermann Weyl introduceerde het woord coördinatiseren voor één van de basishandelingen
Een korte beschrijving van de inhoud
Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op
WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Algebraïsche meetkunde. Jaap Top
Algebraïsche meetkunde Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 maart 2014 (DESDA symposium, Nijmegen) 1 Een definitie (wikipedia): 2 Vandaag drie voorbeelden van toepassingen. 3 Voorbeeld 1: (meetkunde
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en = 1.
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en + =. Jan Stienstra Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Nationale Wiskunde Dagen, 8+9 januari Samenvatting We laten zien hoe het platte plaatje van
Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Moduliruimten van krommen en hun cohomologie
Moduliruimten van krommen en hun cohomologie Carel Faber 30 maart 2015 Inhoudsopgave Inleiding Krommen Families van krommen De universele kromme en de moduliruimte Cohomologie Punten tellen Modulaire vormen
De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen
Hoofdstuk 6 De hoofdstelling van de algebra en het veld van de complexe getallen 6.1 Factoriseren van veeltermen 1. Een reële veelterm q(x) met hoogstegraadsterm 5x 5 heeft als nulpunten 2, 1 + 3i, 2 2i
Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud
Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige
Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Week 2. P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_College_2.nb P.5 Combineren van functies Het combineren gaat op 3 manieren: é algebraïsch
RINGEN EN LICHAMEN. Aanvullende opgaven met uitwerkingen
RINGEN EN LICHAMEN Aanvullende opgaven met uitwerkingen Hierna volgen een aantal aanvullende opgaven die gaan over kernbegrippen uit de eerste hoofdstukken van Ringen en Lichamen. Probeer deze opgaven
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Steunpunt TU/e-Fontys
Steunpunt TU/e-Fontys Activiteiten en ervaringen 5 Hans Sterk (sterk@win.tue.nl) Where innovation starts Inhoud 2/17 Steunpunt Wiskunde D Cursussen voor docenten Complexe getallen (Analytische) Meetkunde
Complexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Week 2. P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_Week_2_1.nb P.6 Polynomen phxl = 2 x 3 - x + 4 en qhxl = x 2 zijn polynomen in x. Een polynoom in x is een veelterm
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/62814 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Martindale, C.R. Title: Isogeny graphs, modular polynomials, and applications
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Opgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC.
Opgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC. Antwoord: de lengteverhouding vertaalt als: (x 3 x 1 ) + (x 4 x ) = (u 5 u 3 ) + (u 6 u 4 )
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese
Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese 1 Introductie van algebraïsche oppervlakken. Een algebraïsche oppervlak in R 3 wordt gegeven door een polynoom
Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie
Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie Martijn Kool Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht 1/34 Introductie Meetkunde Algebraïsche Meetkunde Aftellende Meetkunde Reis: Griekse Oudheid
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C
Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica Stefaan De Winter en Koen Thas Universiteit Gent, Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra Galglaan, Gent sgdwinte@cagerugacbe;
Het karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en Rekenen en ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal Vaktaal herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van
(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
REËLE FUNCTIES BESPREKEN
INLEIDING FUNCTIES 1. DEFINITIE...3 2. ARGUMENT EN BEELD...4 3. HET FUNCTIEVOORSCHRIFT...5 4. DE FUNCTIEWAARDETABEL...7 5. DE GRAFIEK...9 6. FUNCTIES HERKENNEN...12 7. OEFENINGEN...14 8. OPLOSSINGEN...18
Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Meetkunde met b2 4ac. Jaap Top
Meetkunde met b2 4ac Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 9 januari 2016 (KWG wintersymposium, Utrecht) 1 Doel: meetkunde gebruiken om meer inzicht te krijgen in het oplossen van (veelterm)vergelijkingen.
Ruimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Tussendoelen in MathPlus
MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken
16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen
Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal
Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Rationale punten op elliptische krommen
Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
PTA wiskunde KBL Bohemen, Kijkduin, Statenkwartier, Waldeck cohort
Eindtermen wiskunde BBL WI/K/1 Oriëntatie op leren en werken WI/K/2 Basisvaardigheden WI/K/3 Leervaardigheden in het vak wiskunde Algebraïsche verbanden Rekenen, meten en Meetkunde WI/K/7 Informatieverwerking,
voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen
Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt
Algebraische Meetkunde. S. Caenepeel
Algebraische Meetkunde S. Caenepeel Syllabus 107 bij Algebraische Meetkunde Derde Bachelor Wiskunde (SD-ID 002523) 2015 Inhoudsopgave 1 Voorafgaande begrippen 3 1.1 Veeltermenringen...................................
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Primair- & Voortgezet Onderwijs
Primair- & Voortgezet Onderwijs Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken Copyright 09 Introductie Achtergrond & visie (reken- en wiskunde onderwijs) Het spel RESOLF is geboren vanuit
6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...
Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een
5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen
De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
PTA wiskunde BBL Kijkduin, Statenkwartier, Waldeck cohort
Schoolexamen leerjaar 3 Schooljaar 2015-2016 Moderne wiskunde 9e editie deel 3 code eenheid vorm duur kansen kader 1 SE 1 worden getoetst: PCS Schriftelijk 90 min ja 2,0 Hoofdstuk 1: Plaats en afstand.
PTA wiskunde BBL - Kijkduin Statenkwartier - cohort 13-14-15
A. Schoolexamen derde leerjaar, 2013-2014 1 SE 1 De volgende onderdelen worden getoetst: PCS Schriftelijk 90 min ja 2,0 Hoofdstuk 1: Plaats en afstand. 301B Algebraïsche verbanden en WI/K/4 * * * aanzichten
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Discrete Wiskunde 2 2WF15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2 2WF15, Lente 2011 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WF15), gegeven in het lentesemester van 2011. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
(Communicated at the meeting of October 1:1, 1945.)
Mathematics. - Een involutie in de lijnenruimte. By O. BOTTEMA. (Com~ municated by Prof. W. VAN DER WOUDE.) (Communicated at the meeting of October 1:1, 1945.) I. Gegeven zijn twee quadratische regelscharen
1. Drie relaties Prof. dr. H. W. (Hendrik) Lenstra Universiteit Leiden
1. Drie relaties Prof. dr. H. W. (Hendrik) Lenstra Universiteit Leiden Laat X een eindige verzameling zijn. Als een equivalentierelatie op X is, geven we met X/ de verzameling equivalentieklassen van aan.
Vectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Primair- & Voortgezet. Onderwijs. Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken
Primair- & Voortgezet Onderwijs Spelend & onderzoekend de schoonheid van getallen ontdekken Copyright 209 Introductie Achtergrond & visie (reken- en wiskunde onderwijs) Het spel RESOLF is geboren vanuit
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
More points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Complexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
De Stelling van Pascal Inhoud
De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
f : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
PTA wiskunde TL en GL Bohemen, Houtrust, Kijkduin, Statenkwartier cohort
Eindtermen wiskunde TL en GL WI/K/1 Oriëntatie op leren en werken WI/K/2 Basisvaardigheden WI/K/3 Leervaardigheden in het vak wiskunde Algebraïsche verbanden Rekenen, meten en schatten Meetkunde WI/K/7
Lineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Domein A: Inzicht en handelen
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het