Maat en Integraal. Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers Syllabus Integratietheorie

Transcriptie

1 Maat en Integraal Deborah Cabib, Alex Kuiper, Andries Lenstra, Gerrit Oomens, Suzanne Sniekers Syllabus Integratietheorie Met dank aan Arnoud van Rooij, Jan Smit, Richard Dudley en Heinz Bauer Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Inhoudsopgave I Het bestaan van de Lebesgue-maat 2 I.1 Inleiding: sigma-algebra s en maten I.2 Halfringen en prematen I.3 De Borel-Lebesgue-premaat I.4 Uitwendige maten en meetbare verzamelingen I.5 De Lebesgue-maat II Meetbare functies en integralen 12 II.1 Topologieën en Borelverzamelingen II.2 Beelden II.3 Continuïteit en meetbaarheid II.4 Reëelwaardig en verder II.5 Integralen II.6 Bijna overal III Productmaat en Fubini 21 III.1 Algebra s en monotone klassen III.2 Product-sigma-algebra s en productmaten III.3 Stelling van Fubini

3 Hoofdstuk I Het bestaan van de Lebesgue-maat I.1 Inleiding: sigma-algebra s en maten Ieder interval in R heeft een lengte; zo is de lengte in [3, 5] gelijk aan 5 3 = 2 en is de lengte van [3, 3] gelijk aan 0. Evenzo heeft een rechthoek [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] in R 2 een oppervlakte, lengte breedte (= lengte van de tweede coördinaat en een blok in R 3 heeft een volume, lengte breedte hoogte. In het algemeen kunnen we een n-dimensionaal blok [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] een n-dimensionaal volume toekennen gelijk aan (b 1 a 1 (b 2 a 2 b n a n als voor iedere i geldt dat a i b i. Deze toekenningen gedragen zich fatsoenlijk in de zin dat ze tot op zekere hoogte additief zijn. De lengte van [3, 5] [5, 8] is bijvoorbeeld gelijk aan de lengte van [3, 5] plus die van [5, 8]. (Aan de andere kant: wat gebeurt er bij r [0,1] [r, r] = [0, 1]? Blokken in R n zijn bij lange na niet de enige deelverzamelingen van R n die gemeten kunnen worden, dat wil zeggen waaraan op additieve wijze een getal toegekend kan worden. We zullen namelijk in dit hoofdstuk de bovenstaande toekenning echt uitbreiden naar de Lebesgue-maat op de collectie van de Lebesgue-meetbare verzamelingen. (Ieder blok is dus Lebesgue-meetbaar en de Lebesgue-maat van een blok is zijn volume, maar niet iedere Lebesgue-meetbare verzameling is een blok. Later zal duidelijk worden dat we zoveel meetbare verzamelingen hebben gevonden dat ze erg nuttig zijn. De Lebesgue-maat is een maat, een maat is een speciaal soort functie; om te beginnen hebben maten speciale domeinen, die we hier invoeren. Definities. Als en A 2 verzamelingen zijn met: A, A A A c A, A 1, A 2,... A A i A, dan heet A een σ-algebra (uitgesproken sigma-algebra op en (, A, of, een meetbare ruimte. Elementen van A noemen we ook wel meetbaar. Voor iedere verzameling zijn de verzamelingen 2 en {, } σ-algebra s op. Opgave I.1.1. Als A een σ-algebra is op, dan A, A, B A A B A, A B A en A \ B A, A 1, A 2... A A i A. 2

4 Opgave I.1.2. Voor alle A 1, A 2,... in een σ-algebra A zijn er disjuncte B 1, B 2,... (dat wil zeggen B i B j = als i j in A met n A i = n B i voor alle n N := {1, 2,...}. Opgave I.1.3. Iedere σ-algebra op R die alle intervallen (a, b] met a, b R bevat, bevat ook alle intervallen (a, b, [a, b], en [a, b. Maten moeten ook de waarde kunnen aannemen. Maar dan vereist hun additiviteit dat we bij elementen van [0, ] kunnen optellen. Dit gaat als volgt: a R a + = + a = + =. (i.1.1 Opgave I.1.4. Als V een verzameling is en f : V [0, ] een functie de som van f over V als het supremum van de sommen van eindige grepen: f(v := sup{f(v f(v n : n N, v 1,..., v n V verschillend}. v V Als V aftelbaar is dan is v V f(v = f(v i voor iedere aftelling v 1, v 2,... van V (merk op dat hieruit volgt dat de volgorde niet uitmaakt bij een oneindige som van niet-negatieve getallen. Als v V f(v <, dan is {v V : f(v > 0} aftelbaar. Definities. Als A een σ-algebra op is en µ : A [0, ] voldoet aan: µ( = 0, en voor alle disjuncte A 1, A 2,... in A geldt ( µ A i = µ(a i, dan is µ een maat op of op A. De laatste eigenschap noemen we de aftelbare additiviteit of σ- additiviteit van µ. Een kansmaat is een maat op met totale massa µ( = 1; een kansverdeling of verdeling is een speciaal soort kansmaat. Opgave I.1.5. Er geldt: Voor een [0, ]-waardige functie µ op een σ-algebra volgt de eigenschap µ( = 0 niet uit de σ-additiviteit. Een maat µ op A is stijgend: A, B A A B µ(a µ(b, eindig additief: µ(a B = µ(a + µ(b voor alle disjuncte A, B A, en aftelbaar subadditief : voor alle A 1, A 2,... A geldt: ( µ A n µ(a n. n=1 Opgave I.1.6. Als µ een maat is op σ-algebra A, dan geldt voor alle A 1, A 2,... in A: ( µ A n = lim µ(a n als A 1 A 2, n=1 ( µ A n = lim µ(a n als A 1 A 2 en µ(a 1 <. n=1 Geef een tegenvoorbeeld tegen de laatste uitspraak indien de conditie µ(a 1 < wordt weggelaten. n=1 3

5 Opgave I.1.7. Laat λ een maat zijn op een σ-algebra op R die alle intervallen bevat en stel dat λ lengte uitbreidt, dus λ([a, b] = b a voor alle a, b R, a b. Dan is λ(q = 0. We merkten al op dat maten als λ in I.1.7 echt bestaan. Om er achter te komen waarom hebben we een lange aanloop nodig, waarmee we nu beginnen. I.2 Halfringen en prematen Definitie. Als en H 2 verzamelingen zijn met: H, A, B H A B H en A, B H er bestaan disjuncte A 1, A 2,... H met A \ B = A i dan noemen we H een halfring op. Iedere σ-algebra is een halfring. De verzameling van alle blokken (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ]... (a n, b n ] in R n is een halfring op R n. Als we het element R n toevoegen aan de verzameling van alle blokken dan is de nieuwe verzameling nog steeds een halfring. Lemma I.2.1. Voor alle n N en A, A 1,..., A n in halfring H bestaan er disjuncte C 1, C 2,... H met A \ n A i = j=1 C j. Bewijs. We passen volledige inductie naar n toe. Voor n = 1 is de bewering duidelijk waar. In het algemeen is ( n n 1 A \ A i = A \ A j \ A n, en als A \ n 1 A i = C i met C i H disjunct (inductieveronderstelling, dan is ( n A \ A j = C i \ A n = (C i \ A n en voor iedere i is C i \ A n = j=1 D i,j voor zekere D i,j H disjunct over j. Maar deze D i,j zijn dan ook disjunct over (i, j, want de C i zijn disjunct over i en er geldt D i,j C i voor alle i en j. Dus n A \ A j = (C i \ A n = D i,j. j=1 D i,j = i,j Lemma I.2.2. Voor alle A 1, A 2,... in halfring H bestaan er disjuncte C 1, C 2,... H zodanig dat A i = j=1 C j. Bewijs. We passen I.2.1 toe en vinden: A i = A i \ i 1 j=1 A j = k=1 D i,k, waarbij de D i,k disjunct zijn over k. Maar dan zijn ze ook disjunct over (i, k, want k=1 D i,k = A i \ i 1 j=1 A j. Definitie. Als H een halfring op en µ : H [0, voldoet aan µ( = 0 en µ( A i = µ(a i voor alle disjuncte A 1, A 2,... met A i H, 4

6 dan is µ een premaat op H. Een premaat kent dus alleen eindige waarden toe. Merk op dat de σ-additiviteit nu veel voorzichtiger geformuleerd moet worden dan voor maten. Lemma I.2.3. Voor elke halfring H, elke premaat µ op H en alle disjuncte A 1, A 2,... H met A i A H geldt µ(a i µ(a. In het bijzonder is iedere premaat stijgend. Bewijs. Voor elke n zijn er wegens I.2.1 disjuncte C j H met ( n n n A = A \ A i A i = C j A i, zodat wegens de σ-additiviteit van µ Er volgt µ(a µ(a i. µ(a = µ(c j + j=1 j=1 µ(a i µ(a i. Lemma I.2.4. Iedere premaat is aftelbaar subadditief in de zin dat voor alle A, A 1, A 2,... H met A A i geldt µ(a µ(a i. Bewijs. We passen het bewijs van I.2.2 toe en vinden A = A = (A j A = j=1 A j j=1 j=1 k=1 voor zekere D j,k A j disjunct over (j, k. Nu geeft I.2.3 ons dat k=1 µ(d j,k µ(a j, en samen met de σ-additiviteit van µ op H krijgen we µa = µ(d j,k µ(a j. j=1 k=1 I.3 De Borel-Lebesgue-premaat Zij n een natuurlijk getal, H de halfring van alle blokken (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a n, b n ] in R n, en laat λ aan ieder blok zijn volume toewijzen: j=1 D j,k λ : (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a n, b n ] (b 1 a 1 (b 2 a 2 (b n a n, voor alle a i, b i met a i b i. Opgave I.3.1. Stel A, A 1, A 2,..., A n H. Dan geldt: (a Als A n A i, dan λ(a n λ(a i. (b Als A n A i en de A i zijn disjunct, dan λ(a n λ(a i. Hint: Integreer indicatorfuncties en gebruik de eigenschappen van de Riemannintegraal. Stelling I.3.2. De afbeelding λ is een premaat op H. Bewijs. De afbeelding λ voldoet aan λ( = 0, want = (0, 0] (0, 0]. We tonen aan dat voor alle disjuncte A 1, A 2,... H met A := A i H geldt dat λ(a = λ(a i. Uit I.3.1 (b volgt dat λ(a λ(a i. We zullen laten zien dat ook λ(a λ(a i. Zij ɛ > 0. Neem een halfopen blok B H H met λ(b H λ(a ɛ en B := B H A. Dan is B een 5

7 compacte verzameling, want B A H en elementen van H zijn begrensd. We construeren een open overdekking van B: schrijf A i = (a i,1, b i,1 ] (a i,n, b i,n ] en kies c i,j > b i,j zodat B H i := (a i,1, c i,1 ] (a i,n, c i,n ] voldoet aan λ(bi H λ(a i + ɛ/2 i. Definieer B i = (a i,1, c i,1 (a i,n, c i,n, dan is (B i een open overdekking van B. Deze heeft een eindige deeloverdekking, dus voor zekere N N geldt B N B i en dus ook B H N BH i. Uit I.3.1 (a volgt nu dat λ(bh N λ(bh i. We zien N λ(a ɛ λ(b H λ(bi H λ(a i + ɛ. Dit geldt voor alle ɛ > 0, dus er volgt λ(a λ(a i. Opgave I.3.3. Voor Q in plaats van R n is Stelling I.3.2 onwaar: met H de halfring van alle intervallen (a, b] in Q, a, b Q en λ ( (a, b] = b a als a b is de afbeelding λ nog steeds eindig additief, dat wil zeggen λ( n A i = n λ(a i voor ieder n N en alle disjuncte A 1,..., A n H met n A i H. Echter, λ is niet meer σ-additief. I.4 Uitwendige maten en meetbare verzamelingen Zij µ een premaat op een halfring H op. De uitwendige maat µ [met betrekking tot µ] heeft als domein de hele machtsverzameling van en is gedefinieerd met { } S µ (S := inf µ(a i : A 1, A 2,... H, S A i Merk op dat µ (S = inf = als een verzameling S niet overdekt kan worden door aftelbaar veel verzamelingen A 1, A 2,... H. Opgave I.4.1. De uitwendige maat µ is een uitbreiding van de premaat µ, dat wil zeggen µ (A = µ(a voor alle A H. Lemma I.4.2. Voor de uitwendige maat µ geldt: µ ( = 0 µ is stijgend en µ is aftelbaar subadditief. Bewijs. µ ( = µ( volgens Oefening I.4.1 en µ( = 0 volgens de definitie van premaat. Als A B dan is iedere overdekking van B met elementen uit H ook een overdekking van A, dus { } { } µ(a i : A 1, A 2,... H, B A i µ(a i : A 1, A 2,... H, A A i. Het infimum van het rechterlid, µ (A, is dus een ondergrens voor het linkerlid, zodat µ (A µ (B. Neem S 1, S 2,... 2 en zij ɛ > 0. We mogen wel aannemen µ (S i < voor alle i, want anders geldt zeker µ ( S i µ (S i. Voor alle i bestaan er nu A i,1, A i,2,... H met S i k A i,k en k=1 µ(a i,k < µ (S i + ɛ/2 i want µ (S i + ɛ/2 i is geen ondergrens meer van de verzameling waarvan µ (S i het infimum is. Wegens i S i i k A i,k en de definitie van µ geldt 6

8 ( µ S i µ(a i,k µ (S i + ɛ. k=1 Definitie. Schrijf AB voor de doorsnede A B. Een verzameling E heet [µ -]meetbaar als E iedere verzameling in splitst voor µ. Dat wil zeggen dat: Lemma I.4.3. Iedere A H is meetbaar. S µ (S = µ (SE + µ (SE c. Bewijs. We laten zien dat als A H en S dan µ (S = µ (SA + µ (SA c. Er geldt µ (S = µ (SA SA C µ (SA+µ (SA C vanwege de aftelbare subadditiviteit van µ. Om aan te tonen dat µ (S µ (SA + µ (SA C is het voldoende om te laten zien dat µ (SA + µ (SA c een ondergrens van de verzameling { } µ(a i : A 1, A 2,... H, S A i is; immers, µ (S is de grootste ondergrens hiervan. Neem A 1, A 2,... H met A i S. Dan S A (A i A en A i A H, dus µ (SA µ(a i A. Verder geldt S A c (A i \ A = j=1 B i,j voor over j disjuncte B i,j H zodat j=1 B i,j = A i \ A, vanwege de derde eigenschap van een halfring. Met I.4.2 geeft dit µ (SA C j=1 µ(b i,j. Schrijf B i,0 := A i A, dan vinden we µ (SA + µ (SA c µ(a i A + µ(b i,j = µ(b i,j = µ j=0 B i,j j=1 j=0 = µ (A i A Opgave I.4.4. Als E, F 2 meetbaar zijn, dan is E F dat ook. j=1 B i,j = µ(a i. Stelling I.4.5. De collectie M van de meetbare verzamelingen is een σ-algebra en µ M is een maat op M (deze maat wordt vaak aangegeven met µ. Bewijs. We laten zien dat M voldoet aan de drie eigenschappen van een σ-algebra: Er geldt M want voor alle S geldt dat S = S en S c = S =, dus met I.4.2 geldt µ (S + µ (S c = µ (S + µ ( = µ (S. Als M M, dan ook M c M want voor alle S geldt dat µ (S = µ (SM + µ (SM c = µ (SM c + µ ( S(M c c. Als M 1, M 2,... M, dan M i M. We laten dit zien voor een rij disjuncte M 1, M 2,... M. Kies S willekeurig, dan geldt µ ( S(M 1 M 2 = µ ( S(M 1 M 2 M 1 + µ ( S(M 1 M 2 M c 1 = µ (SM 1 + µ (SM 2, vanwege de meetbaarheid van M 1. Met volledige inductie volgt dan voor alle n N µ ( S(M 1 M 2 M n = µ (SM µ (SM n. Omdat M 1 M 2 M n M wegens I.4.4 voor alle n N, volgt n ( n c ( n c µ (S = µ (S M i + µ (S M i = µ (SM i + µ (S M i ( µ (SM i + µ (S c M i 7

9 waarbij de laatste ongelijkheid volgt uit het feit dat µ stijgend is. Omdat dit geldt voor alle n N zien we dat ( µ (S µ (SM i + µ (S c ( M i µ (S M i + µ (S c M i, (i.4.2 vanwege de aftelbare subadditiviteit van µ en we weten al dat hier voldoende is voor de meetbaareheid van M i. Opgave I.4.6. Laat zien dat hieruit volgt dat voor een willekeurige rij meetbare verzamelingen de vereniging weer meetbaar is. Tenslotte tonen we aan dat µ := µ M een maat is op M. Er geldt µ( = µ ( = 0. Neem M 1, M 2,... M disjunct en merk op dat we nu weten dat de ongelijkheden in (i.4.2 gelijkheden zijn. Dit geldt voor alle S, dus ook voor S = M i, oftewel ( ( ( ( c µ M i = µ M i M i + µ M i M i = µ (M i + µ (. Opgave I.4.7. Voor alle S hebben we dat µ (S = inf {µ(e : E M, E S}. Voordat we deze nieuwe resultaten op I.3.2 in I.5 gaan toepassen, geven we eerst een aantal eigenschappen van M en µ. Als A een σ-algebra is en ν een maat op A, dan wordt iedere verzameling A waarvoor er een B A is met B A en ν(b = 0 [ν-]verwaarloosbaar of een [ν-]nulverzameling genoemd. We noemen A volledig of compleet [ten opzichte van ν] als A alle ν nulverzamelingen bevat. Opgave I.4.8. De collectie M van de meetbare verzamelingen is volledig ten opzichte van µ. Stelling I.4.5, Lemma I.4.3, Oefening I.4.1 en Oefening I.4.8 geven ons nu: Stelling I.4.9. Voor iedere premaat is de beperking van de corresponderende uitwendige maat tot de meetbare verzamelingen een maat, die de premaat uitbreidt op een σ-algebra die volledig is ten opzichte van deze maat. Een eigenschap die cruciaal is bij veel beweringen, maar vaak bij de formulering wordt weggelaten is σ-eindigheid van prematen en maten. De premaat µ is σ-eindig als er A 1, A 2,... H zijn met µ(a i < voor alle i en A i =. Een voorbeeld van een σ-eindige maat is λ uit I.3.2. Stelling I.4.11 geeft aan in hoeverre uitbreidingen van σ-eindige prematen uniek zijn. Hiervoor hebben we eerst het volgende gereedschap nodig: Opgave I Zij M de σ-algebra van de µ -meetbare verzamelingen (voor een zekere premaat µ op een halfring H. Stel dat E M en µ(e <. Bewijs dat er voor iedere n N disjuncte verzamelingen A n,1, A n,2,... H zijn zodanig dat E U n := A n,i, µ(u n < µ(e + 1 n, U 1 U 2. Stelling I Als µ een σ-eindige premaat is op halfring H, ν een maat waarvan het domein A de halfring H bevat en volledig is ten opzichte van ν, en ν en µ gelijk zijn op H, dan is M A en zijn ν en µ = µ M gelijk op M. Bewijs. Neem E M met µ(e <, we zullen bewijzen dat E A en µ(e = ν(e. Neem A n,i als in I Laat nu D := n=1 U n, dan is D een element van A M want de A n,i zijn elementen van H en dus ook van A M. Bovendien geldt voor alle n dat E D U n en dat µ(e µ(d < µ(e + 1/n, dus µ(e = µ(d. Verder hebben we ν(u n = ν(a n,i = µ(a n,i = µ(u n. 8

10 In het bijzonder ν(u 1 = µ(u 1 < µ(e + 1 <, zodat I.1.6 geeft ν(d = lim ν(u n = lim µ(u n = µ(d. Stel dat µ(e = 0, dan hebben we ook µ(d = ν(d = 0. Omdat A ν-volledig is, volgt dan dat E A en ν(e = 0 wegens E D. Als µ(e > 0, zien we, omdat E µ-meetbaar is en E D, dat: µ(e = µ(d = µ(de + µ(de c = µ(e + µ(d \ E zodat µ(d \ E = 0. Dan geldt vanwege het voorgaande dat D \ E A en ν(d \ E = 0. Nu zien we dat E = D \ (D \ E A want D A M, en ν(e = ν(d ν(d \ E = ν(d = µ(d = µ(e. Opgave I Hieruit volgt dat ook voor E M met µ(e = geldt dat E A en µ(e = ν(e. Als gevolg hiervan valt er niets extra te verkrijgen door een premaat herhaaldelijk uit te breiden: Opgave I Als µ σ-eindig is en H 1 een halfring is met H H 1 M, dan is de collectie van de (µ H1 -meetbare verzamelingen gelijk aan M. Deze paragraaf sluit af met het geven van twee stukken benaderingsgereedschap. Voor verzamelingen A, B is het symmetrisch verschil A B gedefinieerd als (A \ B (B \ A. Stelling I Voor iedere E M met µ(e < en iedere ɛ > 0 zijn er eindig veel disjuncte B 1,..., B n H met µ ( E ( n B i < ɛ. Opgave I Bewijs deze stelling. Hint: neem eerst een oneindige vereniging van disjuncte elementen van H en benader die dan met eindige verenigingen. Lemma I.4.16 (Dichtheidslemma. Voor iedere S geldt dat als er een r < 1 bestaat zó dat µ (S A rµ(a voor alle A H, dan is µ (S A = 0 voor alle A H. Bewijs. Neem S en r < 1 als in het Lemma en A H willekeurig. Neem A 1, A 2,... H zodat S A A i, dan geldt wegens I.4.2 en S A S A I ( µ (S A µ (S A i µ (S A i r µ(a i. Dit geldt voor iedere overdekking (A i van S A, zodat ook: { } µ (S A r inf µ(a i : S A A i = rµ (S A, en hieruit volgt µ (S A = 0. Waarom I.4.16 zo heet en in welk opzichte er sprake is van benaderingsgereedschap, zien we in de volgende paragraaf. I.5 De Lebesgue-maat Definities. De uitbreiding volgens I.4.9 van de premaat λ, verkregen in I.3.2, tot de maat λ op de σ-algebra van de λ -meetbare deelverzamelingen van R n heet de Lebesgue-maat op R n ; zijn domein bestaat uit de Lebesgue-meetbare verzamelingen en wordt genoteerd als L. Stelling I.5.1. Er zijn evenveel Lebesgue-meetbare verzamelingen als deelverzamelingen van R. 9

11 Bewijs. Bekijk de Cantorverzameling C R. Deze verzameling wordt als volgt verkregen: we beginnen met het interval C 0 = [0, 1], we delen dit in drieën en we halen het middelste stuk (1/3, 2/3 weg. Dit geeft ons C 1 = [0, 1/3] [2/3, 1]. Deze twee intervallen delen we weer in drieën en we halen weer de middelste stukken weg. Dit geeft ons C 2 = [0, 1/9] [2/9, 1/3] [2/3, 7/9] [8/9, 1]. Dit proces zetten we voort en we definiëren C = n C n. Merk op dat C Lebesgue-meetbaar is en dat λ(c n+1 = λ(c n 2 3, dus λ(c = 0 wegens I.1.6. Om in te zien welke getallen we overhouden gaan we over op het ternaire stelsel. Merk op dat 1/3 overeenkomt met 0.1 = en 2/3 met 0.2 = in het ternaire stelsel. De getallen die we in de eerste stap weghalen zijn dus precies de getallen waarvan de ternaire ontwikkeling begint met een 1 of nauwkeuriger, getallen die geen ternaire ontwikkeling hebben die niet met een 1 begint (1/3 en 2/3 halen we immers niet weg. In de tweede stap halen we alle getallen in (0.01, 0.02 en (0.21, 0.22 weg, dus alle getallen met steeds een 1 op de tweede plek in de ternaire ontwikkeling. We zien dat we in C precies alle getallen overhouden die een ternaire ontwikkeling hebben waar geen enkele 1 in voorkomt. Dit zijn echter gewoon rijtjes nullen en tweeën, dus hiervan zijn er evenveel als rijtjes nullen en enen. Rijtjes nullen en enen corresponderen met binaire ontwikkelingen van getallen in [0, 1], dus we concluderen C = [0, 1] = R. De Cantorverzameling is dus overaftelbaar en heeft Lebesgue-maat 0. Omdat de Lebesgue-σalgebra volledig is geldt nu dat iedere deelverzameling van C Lebesgue-meetbaar is, dus er zijn minstens 2 C = 2 R Lebesgue-meetbare verzamelingen. Maar ook is iedere Lebesgue-meetbare verzameling is een deelverzameling van R, dus er geldt 2 C L 2 R. Dan volgt uit de stelling Cantor-Bernstein-Schröder dat L = 2 R. Opgave I.5.2 (Translatie-invariantie van de Lebesgue-maat. Zij λ de uitwendige maat afkomstig van de Borel-Lebesgue-premaat. Dan geldt (a λ (S = λ (q + S voor alle S R, q R, waarbij q + S := {q + s : s S}. (b Als S meetbaar is, dan is q + S ook meetbaar. Stelling I.5.3. Het keuze-axioma impliceert dat er een deelverzameling van R bestaat die niet Lebesgue-meetbaar is. Bewijs. Definieer de equivalentierelatie op R door x y dan en slechts dan als x y Q. Iedere equivalentieklasse van deze relatie bevat een element van [0, 1] want iedere klasse bevat een element x en dan ook x x [0, 1]. Met het keuze-axioma kunnen we uit iedere klasse een representant in [0, 1] kiezen. De verzameling S van al deze representanten is bevat in [0, 1]. Deze verzameling heeft de volgende eigenschappen: Voor q 1, q 2 Q met q 1 q 2 geldt q 1 + S q 2 + S =. Stel namelijk q 1 + a = q 2 + b voor a, b S, dan zitten a en b in dezelfde klasse, want ze verschillen slechts een rationaal getal, dus a = b en q 1 = q 2. q Q q + S = R, immers, voor elke x R is er een representant y S van de equivalentieklasse van x, zodat y + q = x voor zekere q Q. Uit deze laatste eigenschap volgt dat λ (S 0 (want λ(r = > 0. Stel nu dat S meetbaar is, dan is q + S meetbaar voor alle q wegens I.5.2 en geldt λ(q + S = λ (q + S = λ (S > 0 zodat λ q + S = λ(q + S = λ(s =, q Q [0,1] terwijl q Q [0,1] q + S [0, 2]. q Q [0,1] q Q [0,1] Opgave I.5.4. Voor iedere S R met λ (S > 0 en iedere ɛ > 0 bestaat er een interval (a, b], a, b R, a < b, met λ ( S (a, b] > (1 ɛ(b a. 10

12 Als S bovendien Lebesgue-meetbaar is met λ(s c > 0, dan is er ook een interval (a, b ], a, b R, a < b, met λ ( S (a, b ] < ɛ(b a. Dus wat voor Lebesgue-meetbare S bestaan er die gelijkmatig verdeeld zijn over de getallenlijn in de zin dat hun Lebesgue-maat een constante dichtheid r heeft, dat wil zeggen λ ( S (a, b] = r(b a = b r dx voor alle a, b R, a < b? a (Hint: I Vaak verdient het de voorkeur om niet de σ-algebra van de Lebesgue-meetbare verzamelingen te gebruiken, maar een zekere deel-σ-algebra, de Borelverzamelingen. Deze zullen we invoeren in het volgende hoofdstuk. De beperking van de Lebesgue-maat tot de Borelverzamelingen heet de Borel-Lebesgue-maat. 11

13 Hoofdstuk II Meetbare functies en integralen II.1 Topologieën en Borelverzamelingen Eén van de redenen dat we ons bezighouden met maattheorie is om integratiegereedschap te bemachtigen dat sterker is dan de Riemannintegraal. Functies moeten meetbaar zijn om ze te kunnen integreren; voor een volledige beschrijving van dit begrip hebben we Borelverzamelingen, en daarmee ook topologieën, nodig. Maar wanneer we topologieën hebben, beschikken we over het bekende begrip continuïteit, en kunnen we hiermee laten zien dat meetbaarheid niet zo heel verschillend is. Definities. Een topologie op een verzameling is een collectie T 2 met T en T, A, B T A B T, en voor iedere collectie C T van verzamelingen in T is de vereniging C van alle verzamelingen in C een element van T. Het paar (, T heet een topologische ruimte. De elementen van T noemen we open in de topologie T en het complement van een open verzameling is een gesloten verzameling. Opgave II.1.1. Noem een deelverzameling O van R open als er voor iedere x O een ɛ > 0 bestaat zodat {y R : y x < ɛ} O. De collectie van deze open verzamelingen is een topologie op R, de gebruikelijke topologie op R. Opgave II.1.2. Hoe zou je de gebruikelijke topologie op R n definiëren? We zullen in deze cursus op R n altijd de gebruikelijke topologie hanteren. Opgave II.1.3. Ieder interval (a, b met a, b R is een open verzameling. Opgave II.1.4. Iedere open verzameling in R is de vereniging van aftelbaar veel open intervallen. Opgave II.1.5. Als (, T een topologische ruimte is en, dan is {O : O T } een topologie op, de relatieve topologie. Opgave II.1.6. Zij R; noem een deelverzameling U open als voor iedere x U er een ɛ > 0 is zodat {y : y x < ɛ} U. De verzameling van deze open verzamelingen is dezelfde als de relatieve topologie op ten opzichte van de gebruikelijke topologie op R. Opgave II.1.7. Van iedere familie van topologieën op een verzameling is de doorsnede weer een topologie op. Mutatis mutandis geldt hetzelde voor σ-algebra s. 12

14 Opgave II.1.8. Voor iedere verzameling en iedere collectie C 2 van deelverzamelingen van is er precies één topologie τ(c C op die bevat is in iedere topologie die C bevat (Hint: II.1.7. Definities. We noemen de topologie τ(c de topologie voortgebracht door C; het is de kleinste topologie die C bevat. De verzameling C is een subbasis voor τ(c. Op dezelfde wijze brengt iedere collectie C een σ-algebra σ(c voort. Als T een topologie is op, dan is σ(t de Borel-σ-algebra op ; de elementen van σ(t heten Borelverzamelingen. De Borelverzamelingen vormen dus de σ-algebra voortgebracht door de open verzamelingen. Opgave II.1.9. Als C D, dan geldt σ(c σ(d; σ ( σ(c = σ(c en als D σ(c, dan geldt σ(c D = σ(c. Opgave II De Borelverzamelingen op R worden ook voortgebracht door de gesloten verzamelingen, de intervallen [a, b] (zie ook I.1.3, de halfruimten (, a en de halfruimten (, a] voor a, b R. Is dit nog steeds waar als a, b Q? Opgave II De Borelverzamelingen op R n worden ook voorgebracht door de n-dimensionale blokken en door de halfruimten {(x 1,..., x n R n : x i a} voor i {1,..., n} en a R. Controleer dit voor n = 2. II.2 Beelden Iedere afbeelding (ook wel functie, functionaal, transformatie, operator, toekenning, kaart van een verzameling naar een andere induceert twee nieuwe afbeeldingen: één van de machtsverzameling van de eerste verzameling naar de machtsverzameling van de tweede verzameling, en één de andere kant op. De gebruikelijke notatie valt samen met respectievelijk die voor de afbeelding zelf en zijn inverse; soms kan men verwarring vermijden door te kijken naar hoe het argument is geschreven: kleine letters, hoofdletters of sierletters. Zij f : A B. De eerste geïnduceerde afbeelding is f : 2 A 2 B C A {f(c B : c C}, het beeld f(c nemen van een verzameling C A onder f. De tweede afbeelding is f 1 : 2 B 2 A D B {a A : f(a D}, het inverse beeld (of volledig origineel f 1 (D nemen van een verzameling D B onder f. Opgave II.2.1. Als f : A B en g : B C, dan geldt voor (g f 1 : 2 C 2 A dat (g f 1 = f 1 g 1. Opgave II.2.2 (Commutativiteit van f 1. Bij het nemen van volledige originelen geldt f 1 (D C = ( f 1 (D ( C, f 1 D ι = ( f 1 (D ι, f 1 D ι = f 1 (D ι. ι ι ι ι In het bijzonder geldt f 1 ( = en f 1 (B = A. Dit geldt niet noodzakelijk allemaal ook nog als we beelden nemen, dus als we f 1 vervangen door f. De afbeelding f 1 : 2 B 2 A induceert zelf ook weer twee nieuwe afbeeldingen: we kunnen het beeld f 1 (D = {f 1 (D 2 A : D D} onder f 1 nemen voor iedere D 2 B en het inverse beeld {D 2 B : f 1 (D C} onder f 1 van iedere C 2 A. Nu kunnen we zeggen dat voor iedere collectie van deelverzamelingen die gesloten is onder een operatie waarmee f 1 commuteert, het 13

15 beeld c.q. inverse beeld onder f 1 van die collectie ook weer gesloten zijn onder dezelfde operatie. Een σ-algebra is een voorbeeld van een collectie verzamelingen die gesloten is onder de operaties neem de hele verzameling, neem het complement en neem de vereniging van aftelbaar veel verzamelingen en dan volgt uit II.2.2 dat het beeld c.q. inverse beeld onder f 1 van een σ- algebra weer een σ-algebra is. Evenzo is het beeld c.q. inverse beeld van een topologie onder f 1 weer een topologie. Opgave II.2.3. Ga het geval van een vereniging-van-twee na: noem een collectie verzamelingen een vereniging-van-twee-collectie als geldt dat voor iedere twee verzamelingen in de collectie ook de vereniging van deze twee verzamelingen erin bevat is. Het beeld zowel als inverse beeld onder f 1 van een vereniging-van-twee-collectie is weer een vereniging-van-twee-collectie. Er zijn handige formules om dergelijke resultaten vast te leggen, bijvoorbeeld voor σ-algebra s: Opgave II.2.4. Er geldt σ ( f 1 (D = f 1( σ(d voor iedere D 2 B. Opgave II.2.5. Voor iedere topologie op en iedere deelverzameling met de relatieve topologie geldt dat de Borelverzamelingen van precies de verzamelingen B zijn, met B een Borelverzameling van. (Hint: bekijk de inclusieafbeelding. II.3 Continuïteit en meetbaarheid Definities. Zij f : A B. Als (A, A en (B, B topologische ruimten zijn, dan is f [A B]-continu als het inverse beeld van een open verzameling open is. Als (A, A en (B, B meetbare ruimten zijn, dan is f [A B]-meetbaar als het inverse beeld van een meetbare verzameling meetbaar is. In beide gevallen betekent dit dat f 1 (D A voor iedere D B, of f 1 (B A. Opgave II.3.1. De samenstelling van continue functies is continu. De samenstelling van meetbare functies is meetbaar. Opgave II.3.2. Een functie g : R R is continu ten opzichte van de gebruikelijke topologie op R dan en slechts dan als voor iedere x R en iedere ɛ > 0 er een δ > 0 bestaat zodat g(y g(x < ɛ voor alle y met y x < δ. Hoe zit dit voor een functie van R m naar R n? Opgave II.3.3. Een functie f is A B meetbaar als er een D 2 B bestaat met σ(d = B en f 1 (D A. Opgave II.3.4. Iedere continue functie is Borel-Borel-meetbaar. Tenzij anders vermeld, zal meetbaarheid op topologische ruimten altijd op de Borelverzamelingen betrekking hebben; een Lebesgue-meetbare functie R n R m is Lebesgue-Borel meetbaar, dus meetbaar ten opzichte van de Lebesgue-σ-algebra (zie hoofdstuk 1 aan de kant van het domein en de Borel-σ-algebra voor het bereik, terwijl een Borel-meetbare functie R n R m Borel-Borel-- meetbaar is. Opgave II.3.5. Een functie f : A R n met f(x = ( f 1 (x,..., f n (x is meetbaar dan en slechts dan als iedere functie f i meetbaar is. Oefening II.3.5 vertelt ons dat de Borelverzamelingen van R n voortgebracht worden door de projecties p i = (x 1,... x n x i, i {1,..., n}. In het algemeen, als p ι : B B ι, ι I, afbeeldingen naar meetbare ruimten (B ι, B ι zijn, dan is σ ( (p ι ι I := σ ( ι I p 1 ι (B ι 14

16 de σ-algebra op B voortgebracht door de p ι ; het is de kleinste σ-algebra op B ten opzichte waarvan alle p ι meetbaar zijn. Analoog brengen afbeeldingen met hetzelfde domein naar topologische ruimten een topologie voort de kleinste topologie zó dat die afbeeldingen continu zijn. Merk op dat de σ-algebra voortgebracht door p : B B 1 gelijk is aan p 1 (B 1 en dat de relatieve topologie voortgebracht wordt door de inclusieafbeelding. De bewering over opgave II.3.5 volgt nu uit: Opgave II.3.6. Met p ι : B B ι zoals boven is de σ-algebra voortgebracht door de p ι de enige σ-algebra op B met de eigenschap dat, voor elke A en f : A B, f : A B meetbaar is dan en slechts dan als p ι f meetbaar is voor alle ι I. Opgave II.3.7. Als f, g : A R meetbaar zijn, dan zijn ook de puntsgewijze som f + g en product f g meetbaar. (Hint: II.3.4. Opgave II.3.8. Als f : A met, waarbij een topologische ruimte is en de relatieve topologie heeft, dan is f : A meetbaar ten opzichte van de Borelverzamelingen van dan en slechts dan als f : A meetbaar is ten opzichte van Borelverzamelingen van. Hint: f = i f met i de inclusie. Als f : A B een injectieve en surjectieve afbeelding is, dan is de inverse f 1 van f een functie B A en f 1( f(x = x; dit is ook een injectieve en surjectieve afbeelding, oftewel een bijectie. Definities. Als f : A B een bijectie is, A en B topologische ruimten zijn en zowel f als f 1 continu zijn, dan heet f een homeomorfisme en zijn A en B homeomorf. Als A en B meetbare ruimten zijn en f : A B bijectief is met f en f 1 meetbaar, dan heet f een isomorfisme en heten A en B isomorf. Opgave II.3.9. Een bijectie f is een homeomorfisme dan en slechts dan als f continu en open is, dat wil zeggen dat het beeld van iedere open verzameling open is. Opgave II Het open eenheidsinterval (0, 1 is homeomorf met R. Opgave II Homeomorfe ruimten zijn isomorf. Het tegenovergestelde van deze bewering is niet waar; men kan bijvoorbeeld laten zien dat R m en R n isomorf zijn voor alle m, n > 0, maar (Brouwer 1911, Lebesgue 1912 niet homeomorf als m n. II.4 Reëelwaardig en verder Zij (, A een meetbare ruimte. De functies op die we zullen willen integreren zijn soms zelf ook weer integralen en nemen niet noodzakelijk altijd waarden in R aan. Daarom definiëren we R = { } R { } en geven we R een topologie zó dat voor R-waardige functies meetbaarheid hetzelfde blijft als we ze zien als R-waardige functies (vergelijk II.3.8. Om dit te bereiken nemen we de afbeelding uit II.3.10, veranderen deze in een orde-bewarende bijectie van [0, 1] naar R en noemen het resultaat een homeomorfisme. Opgave II.4.1. Een functie f : R is meetbaar dan en slechts dan als de verzameling (f < a := {x : f(x < a} meetbaar is voor iedere a R. Soms zullen we puntsgewijze sommen en producten van functies met waarden in R nodig hebben. Daarom breiden we voor de optelling (i.1.1 uit met a = + a = = voor alle a R, zodat alleen en + niet gedefinieerd zijn, en spreken we af dat voor alle b R als b > 0, als b > 0, b = b = als b < 0, en b ( = ( b = als b < 0, 0 als b = 0, 0 als b = 0. In het bijzonder geldt dus 0 = 0 ( = 0. 15

17 Opgave II.4.2. Als f, f 1, f 2,... meetbare functies R zijn, dan geldt: de functie af : R is meetbaar voor alle a R, inf n f n en sup n f n zijn meetbaar (Hint: (inf n f n < a = n (f n < a, in het bijzonder zijn het maximum en minimum van twee meetbare functies meetbaar, bijvoorbeeld f + := max(f, 0 en f = max( f, 0 zijn meetbare functies, lim inf f n en lim sup f n zijn meetbaar, in het bijzonder is lim f n meetbaar als deze bestaat, de indicatorfunctie 1 A van A, met 1 A (x = 1 als x A en 1 A (x = 0 als x A C, is meetbaar dan en slechts dan als A A, en voor alle n N, A 1,..., A n A en a 1,..., a n R is de som n a i1 Ai meetbaar. (Hint: II.3.7. Een trapfunctie of simpele functie op is een meetbare functie R die maar eindig veel waarden aanneemt. Opgave II.4.3. Een functie f : R is een trapfunctie dan en slechts dan als f te schrijven is als n a i1 Ai voor zekere A 1,..., A n A en a 1,..., a n R. Iedere niet-negatieve trapfunctie is te schrijven als een dergelijke som met alle a i [0,. II.5 Integralen Zij (, A een meetbare ruimte en µ een maat op A. Lemma II.5.1. Als A 1,..., A n A en a 1,..., a n [0, dezelfde niet-negatieve trapfunctie voorstellen als B 1,..., B m A en b 1,..., b m R, dat wil zeggen als dan geldt m a i 1 Ai = b j 1 Bj, j=1 m a i µ(a i = b j µ(b j. Bewijs. Neem s = n a i1 Ai = m j=1 b j1 Bj. Voor I 2 n = P({1,..., n} definiëren we A I = i I A i i {1,...,n}\I AC i, dus bijvoorbeeld voor n = 3, I = {1, 3} hebben we A I = A 1 A C 2 A 3. Merk op dat de A I disjunct zijn over I. Dan geldt a i µ(a i = a i µ(a I = a i µ(a I = ( a i µ(a I B J. I 2 n I 2 n i I I 2 n i I i I J 2 m Als µ(a I B J 0, dan is A I B J, dus er is een x A I B J, met a i = s(x = b j, i I j J dus we hebben a i µ(a i = I 2 n J 2 m j J b j j=1 µ(a I B J = J 2 m j J b j µ(b J = m b j µ(b j. j=1 16

18 Definitie. Als we voor iedere niet-negatieve trapfunctie s op het volgende doen: 1. volgens II.4.3 kiezen we A i A en a i [0, met s = n a i1 Ai, en 2. we berekenen n a iµ(a i, een getal in [0, ], dan hangt volgens II.5.1 het resultaat niet af van onze keuze van A i en a i, maar alleen van s; we noemen dit s dµ, de integraal van s ten opzichte van µ. We zien: n a i 1 Ai dµ = a i µ(a i. Opgave II.5.2. Als a [0, en s, t niet-negatieve trapfuncties op zijn, dan geldt as dµ = a s dµ (s + t dµ = s dµ + t dµ, en s dµ t dµ als s t. Hint: t = s + (t s. Definitie. Nu definiëren we f dµ voor iedere niet-negatieve meetbare f : R als volgt: { } f dµ := sup s dµ : s is een niet-negatieve trapfunctie met s f. Opgave II.5.3. Deze definitie is een uitbreiding van de vorige definitie, en als a [0, en f, g : R niet-negatief en meetbaar zijn, dan geldt af dµ = a f dµ, en f dµ g dµ als f g. Opgave II.5.4. Voor iedere niet-negatieve meetbare functie f geldt µ(f > 0 = 0 als f dµ = 0. Stelling II.5.5 (Monotone Convergentie I. Als f 1, f 2,... : R niet-negatieve meetbare functies zijn en f 1 f 2, dan geldt f n dµ = lim f n dµ. lim Bewijs. Voor iedere n geldt f n lim m f m ; met II.5.3 volgt f n dµ lim m f m dµ en, wegens f n dµ f n+1 dµ volgt ook f n dµ lim f n dµ. lim Er geldt lim f m dµ = sup { s dµ : 0 s lim f n trapfunctie }, dus het is voldoende te laten zien dat lim fn dµ een bovengrens is van deze verzameling. Zij ɛ (0, 1 en s een niet-negatieve trapfunctie met s lim f n. We zullen bewijzen dat lim f n dµ (1 ɛ Neem E n = ( f n (1 ɛs, dan is (E n een stijgende rij met n E n =. Voor iedere meetbare A geldt AE n A en dan ook µ(ae n µ(a. Schrijf s = N a i1 Ai met a i 0, dan is f n (1 ɛs1 En = N (1 ɛa i1 AiE n, zodat wegens II.5.3 geldt N n f n dµ (1 ɛs1 En dµ = (1 ɛa i µ(a i E n en lim s dµ. N f n dµ (1 ɛa i µ(a i = (1 ɛ s dµ. Dit geldt voor alle ɛ > 0, dus we concluderen lim fn dµ s dµ. 17

19 Opgave II.5.6. Iedere niet-negatieve meetbare f : R is de puntsgewijze limiet van een stijgende rij van niet-negatieve trapfuncties, bijvoorbeeld van f n = n2 n 1 i=0 i2 n 1 f 1 ([i2 n,(i+12 n + n1 f 1 ([n,. Opgave II.5.7. Als f, g : R niet-negatieve meetbare functies zijn, dan zijn het puntsgewijze product fg en de puntsgewijze som f + g niet-negatief en meetbaar, en er geldt (f + g dµ = f dµ + g dµ. Bijvoorbeeld geldt dat f dµ = f + dµ + f dµ. Stelling II.5.8 (Lemma van Fatou. Als f 1, f 2,... : R niet-negatief en meetbaar zijn, dan geldt lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Bewijs. De rij inf m n f m is stijgend, terwijl inf m n f m f n, zodat lim inf f n dµ = lim inf f m dµ II.5.5 = lim inf f m dµ m n m n = lim inf inf f m dµ II.5.3 lim inf f n dµ. m n Definitie. Voor een willekeurige, niet noodzakelijk niet-negatieve, meetbare functie f : R is de integraal f dµ gedefinieerd precies als niet zowel f + dµ en f dµ (zie II.4.2 gelijk aan zijn; in dat geval spreken we af f dµ := f + dµ f dµ en zeggen we dat de integraal f dµ bestaat. Als f dµ < dan heet f integreerbaar. Opgave II.5.9. Als f integreerbaar is, dan geldt µ( f = = 0. Opgave II Laat zien dat als een functie f : R meetbaar is en A A, dan is f1 A meetbaar en is f1 A dµ gedefinieerd als f dµ dat is. We schrijven A f dµ voor f1 A dµ; dus. Laat zien dat A f dµ = 0 als µ(a = 0 en dat als f dµ gedefinieerd is voor alle A A geldt dat f dµ = A f dµ + A C f dµ. Stelling II De verzameling L 1 van R-waardige integreerbare functies op is een lineaire ruimte over R en f f dµ is lineair en ordebewarend op L 1. Bewijs. Het feit dat L 1 een lineaire ruimte is volgt wat de meetbaarheid betreft uit II.3.7. Verder hebben we voor α > 0 met behulp van II.5.3 αf dµ = (αf + dµ (αf dµ = α f + dµ α f dµ = α f dµ, en f dµ = ( f + dµ ( f dµ = f dµ f + dµ = f dµ. Ook geldt (f + g + (f + g = f + g = f + f + g + g, zodat (f + g + + f + g = (f + g + f + + g + en met II.5.7 volgt (f + g + dµ + f dµ + g dµ = (f + g dµ + f + dµ + g + dµ; en aangezien (f + g + dµ f + g dµ < en evenzo voor (f + g volgt f + g dµ = f dµ + g dµ. De orde wordt bewaard als in II

20 Opgave II Als f, g integreerbare functies zijn en A f dµ = g dµ voor alle A A, dan A is (f g A en geldt µ(f g = 0. Laat zien dat de conditie van integreerbaarheid niet weggelaten kan worden. Stelling II.5.13 (Monotone Convergentie II. Als f 1, f 2,... : R meetbare functies zijn met f 1 f 2, f 1 dµ is gedefinieerd en f 1 dµ >, dan geldt lim f n dµ = lim f n dµ. Bewijs. Neem zonder verlies van algemeenheid (II.5.14 aan dat f 1 >. Schrijf f = lim f n, dan geldt dat f n + f +, > fn f en f1 f n is gedefinieerd met f1 f n 0 en f1 f n f1 f, dus vanwege Monotone Convergentie I geldt f n + dµ f + dµ en (f1 f n dµ (f1 f dµ. Dan zijn f en alle fn dµ f 1 functies in L 1, zodat nu uit II.5.11 volgt dat fn dµ = f n dµ f1 f dµ = f 1 f 1 dµ f dµ, dus f n dµ f dµ en daarmee f n dµ f dµ. Opgave II Laat zien dat we inderdaad zonder verlies van algemeenheid mogen aannemen dat f 1 >. Stelling II.5.15 (Stelling van Lebesgue, Gemajoreerde Convergentie. Voor iedere puntsgewijs convergente rij f 1, f 2,... : R van meetbare functies waarvoor een integreerbare majorant bestaat, dat wil zeggen een meetbare g : R met n f n g en g dµ <, geldt lim f n dµ = lim f n dµ. Bewijs. Neem aan dat g alleen waarden in R aanneemt, dus g < (vergelijk II We hebben g + f n 0, dus Fatou toepassen geeft ons lim inf (g + f n dµ lim inf (g + f n dµ. Dit zijn beiden functies in L 1, g hangt niet van n af en f n convergeert, dus ( g dµ + lim f n dµ lim inf g dµ + f n dµ, oftewel lim f n dµ lim inf fn dµ. Ook is g f n 0, dus op gelijke wijze vinden we lim f n dµ lim inf f n dµ, waarvan het rechterlid gelijk is aan lim sup f n. We zien lim inf f n dµ lim f n dµ lim sup zodat f n dµ convergeert naar lim f n dµ. f n dµ, Zonder condities is er geen lim = lim of ook maar Fatou; voor iedere convergentiestelling wordt dit geïllustreerd door = R, µ de Borel-Lebesgue maat en f n = 1 [n,. 19

21 II.6 Bijna overal Zij (, A een meetbare ruimte en µ een maat op A. Opgave II.6.1. Voor iedere Lebesgue-meetbare functie R R bestaat er een Borel-meetbare functie met de eigenschap dat de verzameling waar de twee functies niet overeenkomen Lebesguemaat 0 heeft. Een bewering die waar of onwaar kan zijn in een punt waar hij gedefinieerd is geldt bijna overal [ten opzichte van een maat] als de verzameling van alle punten waar de bewering niet gedefinieerd is of niet waar is een nulverzameling is. Op R hoeven we niet al te specifiek te zijn, zolang we maar bij de (Borel-Lebesgue-maat λ blijven: Opgave II.6.2. Bijna overal ten opzichte van de Borel-Lebesgue-maat op de Borelverzamelingen van R is hetzelfde als bijna overal ten opzichte van de Lebesgue-maat op de Lebesgue-meetbare verzamelingen van R. Opgave II.6.3. Een functie op R die bijna overal gelijk is aan een Lebesgue-meetbare functie is zelf ook Lebesgue-meetbaar. Opgave II.6.4. Als de meetbare functies f, g : R bijna overal gelijk zijn, dan bestaan hun integralen of allebei wel of allebei niet en zijn ze gelijk als ze bestaan. Bij integratie komt men vaak functies tegen die men graag zou willen integreren maar die niet overal gedefinieerd zijn. Bekijk bijvoorbeeld f(x = h(x, y dν(y; het gebeurt regelmatig dat het bestaan van deze integraal niet gegarandeerd kan worden voor alle x. Echter, bijna allemaal samen met meetbaarheid is genoeg om hier onderuit te komen: Definitie. Voor een f : R die bijna overal gedefinieerd is en bijna overal gelijk is aan een meetbare g : R spreken we af dat f dµ bestaat dan en slechts dan als g dµ bestaat in de vroegere betekenis en in dat geval definiëren we f dµ := g dµ. Opgave II.6.5. Ga na dat dit goedgedefinieerd en een uitbreiding is van de vorige definitie. Opgave II.6.6. Laat zien dat we in II.5.15 mogen concluderen dat f n f dµ 0, waarbij f = lim f n. Opgave II.6.7. Een functie f : R is bijna overal gedefinieerd en bijna overal gelijk aan een meetbare g : R dan en slechts dan als er een bestaat met ( C verwaarloosbaar en zodanig dat f meetbaar is ten opzichte van de σ-algebra {A : A A} op. De lezer wordt uitgenodigd om de convergentiestellingen uit te breiden tot bijna overal gedefinieerde functies die bijna overal convergeren. 20

22 Hoofdstuk III Productmaat en Fubini III.1 Algebra s en monotone klassen Om van het product van twee maatruimten weer een maatruimte te maken hebben we twee extra stukken gereedschap nodig: Definitie. Zij een verzameling. Een verzameling A 2 heet een algebra op als A, A A A C A en A, B A A B A. Definitie. Zij een verzameling. Een verzameling M 2 heet een monotone klasse als voor iedere monotone rij (M n in M de limiet ook een element van M is. Dus voor een stijgende rij (M n uit M geldt n M n M en voor een dalende rij geldt n M n M. Merk op dat doorsneden van monotone klassen of algebra s weer monotone klassen respectievelijk algebra s zijn, dus voor elke collectie C 2 bestaat er een kleinste algebra a(c die C omvat en een kleinste monotone klasse m(c die C omvat. Stelling III.1.1 (Monotone-klassenstelling. Als A 2 een algebra is, dan is m(a ook een algebra, dus een σ-algebra. Opgave III.1.2. Bewijs dit. Ga als volgt te werk: 1. Laat C := {E m(a : E C m(a}. Dan is C een monotone klasse die A bevat en daarmee m(a. 2. Laat D A := {E m(a : E A m(a} voor A willekeurig. Dan is D A voor elke A A een monotone klasse die A bevat en daarmee m(a. 3. Dan is D E voor elke E m(a een monotone klasse die A bevat en daarmee m(a. 4. Hieruit volgt dat m(a een algebra is. 5. Een monotone klasse die een algebra is, is een σ-algebra. III.2 Product-σ-algebra s en productmaten Op R n kennen we de Borel-σ-algebra B (n en de volledige Lebesgue-σ-algebra afkomstig van de premaat op de half-open blokken. Merk op dat B (n gelijk is aan de σ-algebra voortgebracht door de producttopologie op R n. De producttopologie wordt weer voortgebracht door de projecties p i : R n R: het is de kleinste topologie zodat alle projecties continu zijn (zie ook II.3.5, II.3.6. Analoog: 21

23 Definitie. Laat (, A, (, B meetbare ruimten zijn. De product-σ-algebra A B is de kleinste σ-algebra op zodanig dat de projecties p 1 :, (x, y x en p 2 :, (x, y y meetbaar zijn. Dit geeft op R n de σ-algebra B B := σ(p 1,..., p n en deze is gelijk aan B (n zoals we hebben gezien in II.3.5. In het algemeen is de product-σ-algebra van Borel-σ-algebra s niets anders dan de Borel-σ-algebra van de producttopologie als de onderliggende ruimte aftelbare bases hebben, zie Balkema Laat (, A, µ en (, B, ν maatruimten zijn. We willen van een maatruimte maken met σ-algebra A B. Definieer de collectie van meetbare rechthoeken R := {A B : A A, B B}. Opgave III.2.1. Bewijs σ(r = A B. Nu is R een halfring: (A 1 B 1 (A 2 B 2 = (A 1 A 2 (B 1 B 2 R en (A 1 B 1 \(A 2 B 2 = ( A1 (B 1 \B 2 ( (A 1 \A 2 B 1 B 2 R. Ook is D = {R1 R n : n N, de R i R disjunct} een algebra: (R 1 R n C = \(R 1 R n D vanwege III.2.2, en de eindige doorsnedes zitten erin omdat R gesloten is onder eindige doorsneden. Opgave III.2.2. Als H een halfring is zodanig dat voor alle A, B H geldt A\B = N A i voor zekere N N en disjuncte A 1,..., A n H disjunct, dan is ook A \ n C i een eindige disjuncte vereniging van elementen van H voor alle n N, C 1,..., C n H. (Zie ook Lemma I.2.1 Opgave III.2.3. Bewijs dat D := {R 1 R n : n N, de R i R disjunct} = a(r, de kleinste algebra die R omvat. Stelling III.2.4. Laat (, A, µ, (, B, ν maatruimten zijn. Als µ( <, ν( < en { ( ( } C := C : 1 C (x, y dµ(x dν(y = 1 C (x, y dν(y dµ(x dan A B C. Bewijs. We eisen nog wat meer voor de verzamelingen C C, niet alleen dat de integralen gedefinieerd en gelijk zijn (vergelijk II.6 1. Voor alle y is 1 C (x, y meetbaar in x. 2. Voor alle x is 1 C (x, y meetbaar in y. 3. De integraal 1 C(x, y dµ(x is meetbaar in y. 4. De integraal 1 C(x, y dν(y is meetbaar in x. Neem C = A B R. Dan is 1 C (x, y = 1 A (x1 B (y meetbaar (voor vaste x of y is dit gelijk aan 0 of een indicatorfunctie van 1 variabele; aan 1 en 2 is voldaan. Verder hebben we 1 C (x, y dµ(x = 1 B (y 1 A (x dµ(x = µ(a1 B (y, en dit is meetbaar in y. Hiermee is 3 in orde en voor 4 geldt hetzelfde. Dus C C, want integreren geeft in beide gevallen µ(a ν(b. We hebben nu R C. Het zou handig zijn als C een σ-algebra is, want dan zijn we klaar: σ(r = A B C. Maar waarom zou dat zo zijn? Wel zien we dat 1 C1 C 2 = 1 C1 + 1 C2 als C 1, C 2 disjunct zijn, dus dat C gesloten is onder het nemen van verenigingen van eindig veel disjuncte verzamelingen (som van meetbaar is meetbaar en integraal is additief; zie II.5.7. De hele a(r, volgens III.2.3 alle verenigingen van eindig veel disjuncte elementen van R, is dus bevat in C. Ook kunnen we aantonen dat C een monotone klasse is. Dit gaat als volgt. Neem (C n n C stijgend. Te bewijzen: C = n C n C. Er geldt voor alle x, y 22

24 dat 1 Cn (x, y 1 C (x, y. Dus voor elke y is x 1 C (x, y de limiet van van meetbare functies in x en dus zelf meetbaar in x, zodat wegens monotone convergentie y 1 Cn (x, y dµ(x 1 C (x, y dµ(x. Het rechterlid is dus de limiet van een rij functies die meetbaar zijn in y en daarmee zelf meetbaar in y, zodat nogmaals monotone convergentie toepassen geeft 1 Cn (x, y dµ(x dν(y 1 C (x, y dµ(x dν(y. Omdat C n C geldt 1 C n dµ dν = 1 C n dν dµ en dit convergeert volgens eenzelfde argument naar 1 C dν dµ; er volgt dat C C. Opgave III.2.5. Bewijs dat als C n C met C n C, dan ook C = n C n C. De collectie C is inderdaad een monotone klasse mét a(r bevat in C, dus ook m ( a(r. Vanwege de monotone klassenstelling is m ( a(r een σ-algebra. Mét a(r bevat m ( a(r, dus ook σ ( a(r. We zien A B = σ(r σ ( a(r m ( a(r C. We willen nu de productmaat van C definiëren als deze herhaalde integraal van 1 C : Stelling III.2.6 (Bestaan en uniciteit van de productmaat. Laat (, A, µ, (, B, ν σ-eindige maatruimten zijn. Dan is er een unieke uitbreiding van µ ν : R [0, ] met A B µ(a ν(b tot een maat µ ν op A B met ( ( E A B (µ ν(e = 1 E (x, y dµ(x dν(y = 1 E (x, y dν(y dµ(x. Bewijs. Stel µ( <, ν( <. Dan is wegens de vorige stelling µ ν : E A B 1 E dµ ν goedgedefinieerd, gelijk aan 1 e dν dµ en een uitbreiding van µ ν op R. Het is ook een maat: neem disjuncte E 1, E 2,... in A B, dan ( (µ ν E i = 1 dµ dν = 1 Ei Ei dµ dν = lim 1 Ei dµ dν = lim 1 Ei dµ dν = lim 1 Ei dµ dν = (µ ν(e i, waarbij we tweemaal monotone convergentie gebruiken om limiet en integraal te verwisselen en tweemaal II.5.7 om tegelijk som en integraal te verwisselen. Wat betreft de uniciteit: stel dat (µ ν ook voldoet, dan is µ ν = (µ ν op R, dus op de algebra a(r terwijl wegens I.1.6 en de eindigheid van de maten µ ν en (µ ν C := {C A B : (µ ν(c = (µ ν (C} een monotone klasse is die a(r bevat en dus σ(r = A B. Stel nu dat µ en ν σ-eindig zijn; neem 2 splitsingen = m A m en = n B n van disjuncte A m A en B n B met µ(a m < en ν(b n <. Neem E A B; is dan 1 E dµ dν gedefinieerd en gelijk aan 1 E dν dµ? Definieer de eindige maatruimte (A m, A m, µ m door A m = {Z A m : Z A} en µ m = µ Am, en analoog (B n, B n, ν n en zij E m,n := E (A m B n, dan is 1 Em,n dµ dν = 1 Em,n dµ m dν n = 1 Em,n dν n dµ m = 1 Em,n dν dµ, A m B n B n 23 A m

25 waarbij inspectie het eerste en laatste gelijkteken rechtvaardigt en III.2.4 samen met III.2.7 het middelste. Opgave III.2.7. Er geldt A m B n = {E (A m B n : E A B}. Het bewijs dat µ ν een maat is berust niet op eindigheid, dus gaat ook in het σ-eindige geval op. We concluderen dat µ ν op A B een maat is die de afbeelding A B µ(a ν(b op R uitbreidt. Uniciteit: stel dat (µ ν ook voldoet. Dan zijn (µ ν Am B n en (µ ν Am B n (deze beperkingen bestaan wegens III.2.7 eindige maten die beide de afbeelding A B µ(a ν(b op de meetbare rechthoeken A B in A m B n uitbreiden, dus volgens de uniciteit in het eindige geval zijn ze gelijk. Maar dan (µ ν (E = (µ ν E m,n = νe m,n = (µ ν(e. m,n m,n(µ Er hoeft niet te gelden 1 E dµ dν = 1 E dν dµ voor alle E A B wanneer de maten niet σ-eindig zijn. Neem voor de verzameling [0, 1] met A Borel-σ-algebra en µ de Borel- Lebesguemaat, en voor ook [0, 1] met B ook de Borel-σ-algebra en ν de telmaat. De diagonaal D = {(x, x : x [0, 1]} is gesloten in [0, 1] 2, dus D B [0,1] [0,1] = B [0,1], zie II.3.5 en II.3.6. We zien nu 1 D dµ dν = 0 dν = 0 1 = 1 dµ = 1 D dν dµ. III.3 Stelling van Fubini Stelling III.3.1 (Tonelli-Fubini, integreren over de productmaat. Als (, A, µ en (, B, ν beide σ-eindig zijn en f : R meetbaar is ten opzichte van A B, dan f d(µ ν = f dν dµ = f dµ dν als f niet-negatief of f reëelwaardig en integreerbaar. Bewijs. Als s = N e i1 Ei met e i > 0 en E i A B, dan vinden we met behulp van III.2.6 s d(µ ν = e i (µ ν(e i = e i 1 Ei dµ dν = e i 1 Ei dν dµ. Nu is e i 1 Ei dµ dν = e i 1 Ei dµ dν = s dµ dν, en evenzo voor de integralen omgekeerd. Dus voor trapfuncties gaat het goed. Als f 0 dan is er een rij (s n van trapfuncties met s n f, s n = N n e i,n n 1 Ei,Nn, zodat vanwege monotone convergentie geldt f d(µ ν = lim s n d(µ ν = lim s n d(µ ν = lim s n dµ dν = lim s n dµ dν = f dµ dν en evenzo f d(µ ν = f dµ dν. Stel nu dat f reëelwaardig en integreerbaar is. De stelling geldt voor f, dus f dν dµ = f dµ dν = f d(µ ν <. Ook geldt de stelling voor f + en f, dus f + dµ dν < en ook voor f en omgekeerd. Wegens II.5.9 is N = { y : f(x, y dµ = } een nulverzameling. Dan geldt voor y N C dat f + dµ f(x, y dµ < (iii