Een sprong voorwaarts met wis- en natuurkunde

Transcriptie

1 André Heck en Peter Uylings zijn op de nwd an 010 wiskundig ingesprongen op sprongbewegingen zoals het springen op een springstok, huppen op de plaats en het maken an kangoeroesprongen. Dergelijke bewegingen zijn op ideo ast te leggen en kunnen m.b.. Coach worden geanalyseerd. In dit artikel bespreken zij eenoudige wiskundige modellen an deze bewegingen en ergelijken modelresultaten met meetresultaten. Een sprong oorwaarts met wis- en natuurkunde Inleiding Er zijn dierse manieren an menselijke gang: slenteren, wandelen, snelwandelen, hardlopen, enzooort. In dit artikel gaan we springende gangpatronen zoals huppen, rennen, springen op een springstok en het maken an kangoeroesprongen wiskundig onderzoeken. Dit is best ambitieus want zo n leendige beweging lijkt op het eerste gezicht nog niet zo makkelijk in een wiskundig model te angen. Het doorbuigen en afzetten an iemand die op en neer springt, doet een beetje denken aan de beweging an een omgekeerde eer, een model dat dan ook in allerlei arianten in de biomechanica terugkomt. Maar hoe eenoudig of complex moet een dergelijk model zijn om goed oereen te stemmen met de realiteit? Kunnen wo leerlingen zo n onderzoek ook doen? Voordat we aan de beantwoording an deze ragen toe komen zullen we eerst de belangrijkste begrippen, principes en meetmethoden an ganganalyse uitleggen en de biomechanische erschillen tussen wandelen en rennen bespreken. Ganganalyse Bij een olledige ganganalyse worden de olgende aspecten onderzocht: spatio-temporele factoren (staplengte, kadans, staptijd, gangsnelheid, ), kinematische ariabelen (heuphoek, kniehoek, enkelhoek, ), de dynamica an het lichaamszwaartepunt (erticale/horizontale erplaatsing, energiefluctuaties, ), externe krachten die inwerken op het systeem (grondreactiekrachten) en fysiologische aspecten (spiergebruik, belasting an het skeletsysteem, ). In een eerder artikel [1] is al ingegaan op leerlingenonderzoek naar spatio-temporele en kinematische aspecten an menselijke gang m.b. ideometingen. Dit betrof met name wandelen. In dit artikel bekijken we springende oortbewegingen. Om het erschil tussen deze gangpatronen beter te begrijpen bespreken we eerst biomechanische basisconcepten an menselijke gang. Rose en Gamble [] stellen twee eisen aan normaal wandelen: (1) een aanhoudende grondreactiekracht; () een periodieke beweging an elke oet an de ene naar de andere positie an grondcontact in de oortgangsrichting. De gangcyclus (ook wel schrede genoemd) begint wanneer één oet in contact komt met de grond en eindigt wanneer dezelfde oet opnieuw in contact komt met de grond. Tijdens het wandelen beindt zich een been afwisselend in een fase waarin erop gesteund wordt (de steunfase of standfase) en een fase waarin het been rij is an de ondergrond (de zwaaifase). De steunfase bestaat uit de steunopang (waarin er dubbel grondcontact is), het olcontact (waarin er op één been met [bijna] de olledige oetzool gesteund wordt) en de afzet (waarin er weer dubbel grondcontact is en de zwaaifase oorbereid wordt. De zwaaifase kent een begin-, midden-, en eindfase tussen het moment dat de oet contact met de ondergrond erliest en weer opnieuw maakt. Hierbij wordt de beweging an het zwaaibeen eerst ersneld en daarna weer afgeremd. In figuur 1 worden de erschillende fasen an een wandelgang en hun tijdsduur (als percentage an de schredetijd) getoond. Deze figuur is oergenomen uit referentie []. Enkele stapgrootheden zijn staplengte, stapfrequentie (kadans = aantal stappen per minuut) en gangsnelheid. Enkele staptijdfactoren zijn standtijd, zwaaitijd, bipedale tijd (wanneer beide oeten de grond raken), schredetijd en staptijd. Met behulp an een gemotoriseerde loopband kunnen leerlingen in experimenten uitzoeken hoe de spatio-temporele factoren afhangen an de aard an de loopbeweging en de snelheid an de loopband. Ook kunnen ze daarbij hun aandacht richten op de hoeken an erschillende gewrichten. In het eerder artikel [1] zijn dergelijke onderzoeken al uitoerig beschreen. Ter oorbereiding op een wiskundige modellering an sprongbewegingen erdiepen we ons nu eerst in erschillen tussen wandelen en rennen. fig. 1 De gangcyclus inclusief specifieke gebeurtenissen tijdens het wandelen (Rose & Gamble []). 1

2 Wandelen s. rennen In figuur 1 is aangegeen dat een been zich tijdens wandelen pakweg 60% an de gangcyclus in de steunfase en 40% in de zwaaifase beindt. Deze percentages gelden oor wandelen met een snelheid tussen 5 en 6 km/h. Wanneer iemand haast heeft en een grotere gangsnelheid kiest zal het percentage an de steunfase alsmede de schredetijd afnemen. Bij snelwandelen met een gangsnelheid nabij 11 km/u is het percentage steun- en zwaaifase gelijk aan 50%. Wanneer de ene oet de grond raakt, erheft de andere oet zich juist an de grond. Er is bijna geen bipedale fase meer waarin beide oeten de grond raken. Bij nog grotere gangsnelheid erandert het patroon in joggen, rennen of sprinten. Dan is er helemaal geen bipedale fase meer, maar is daaroor een zweeffase, waarin geen enkele oet de grond meer raakt, in de plaats gekomen. Uit figuur alt op te maken dat bij een sprint de zweeffase kan oplopen tot 60% an de gangcyclus. Wanneer iemand sneller begint te wandelen, schakelt hij of zij op een bepaald moment oer an wandelen naar lopen. Omgekeerd, wanneer iemand langzamer gaat rennen dan komt er een moment waarop oergegaan wordt op wandelen. Uit onderzoek blijkt dat de wandelen-rennen en rennen-wandelen oergangssnelheid gelijk aan elkaar zijn. We erwijzen naar het proefschrift an Veerle Segers [3] oor een beschrijing an het hoe en waarom an deze oergang in gangpatroon. stuwfase genoemd omdat eerenergie in het spierskeletstelsel wordt omgezet in kinetische en potentiële energie, zodat de olgende sprong gemaakt kan worden. Behale het spatio-temporele onderscheid tussen wandelen en rennen, zijn er nog twee andere onderscheidende karakteristieken in gebruik, namelijk een dynamische definitie gebaseerd op energiefluctuaties an het lichaamszwaartepunt en een kinematische definitie waarin de buiging an het standbeen tijdens het olcontact bepalend is. In de dynamische definitie an wandelen is an belang dat de oorwaartse kinetische energie an het lichaamszwaartepunt minimaal is wanneer de graitatieenergie maximaal is. Vanaf het moment an steunopang tot aan het midden an de olcontact-fase neemt de oorwaartse snelheid af naarmate het standbeen erder oorwaarts kantelt in de richting an de hoogste stand an het been. Kinetische energie wordt hierbij omgezet in graitatie-energie. In de tweede helft an de steunfase beweegt het lichaamzwaartepunt weer naar beneden en wordt potentiële energie omgezet in kinetische energie (de gangsnelheid neemt weer toe). Met andere woorden, bij wandelen fluctueren de kinetische energie en de graitatie-energie uit fase. Bij rennen is dit net andersom: dan zijn kinetische en potentiële energie juist in fase (de gangsnelheid is het kleinst wanneer het zwaartepunt het laagst is). De kinematische definitie gaat uit an een min of meer gestrekt standbeen tijdens de steunfase an wandelen en een gebogen standbeen bij olcontact tijdens rennen. De spatio-temporele, dynamische en kinematische kenmerken staan niet los an elkaar: de graitatieenergie an het lichaamszwaartepunt is bij wandelen maximaal tijdens olcontact an het standbeen anwege de gestrekte stand an het been op dat moment, terwijl de graitatie-energie juist minimaal is tijdens olcontact bij rennen omdat het standbeen dan sterk gebogen is. fig. Cyclus an wandelen tot sprinten (Vaughan [4]). fig. 3 Fasen tijdens rennen (Durward et al [5]). Net als bij wandelen worden erschillende fasen tijdens rennen onderscheiden. De zweeffase begint bij de afzet, het moment dat de ene oet de grond erlaat, en eindigt met het moment dat de andere oet contact maakt met de grond (afbeelding b t/m d in figuur 3). De steunfase is de periode tussen de steunopang en de afzet met hetzelfde been (afbeelding d t/m f in figuur 3). Het eerste deel an de steunfase wordt de remfase genoemd omdat het lichaam wordt afgeremd en de kinetische en graitatieenergie die het lichaam oor de landing had, geabsorbeerd wordt. Het laatste deel an de steunfase wordt de fig. 4 Wandelen ersus rennen (Farley & Ferris[6]). Figuur 4 illustreert het erband tussen de erschillende karakteriseringen an wandelen en rennen. Het toont teens twee populaire, bijpassende wiskundige modellen an menselijke gang. Het meest simpele wiskundige model an wandelen gaat er an uit dat de knie tijdens de steunfase niet buigt maar gestrekt blijft en dat het steunbeen als een omgekeerde slinger beweegt, net alsof er sprake is an steltlopen. Verder erwaarlozen we in dit model het gewicht an de benen en eronderstellen we dat het lichaamszwaartepunt dezelfde positie heeft

3 als het heupgewricht en dus een cirkelormige beweging maakt. In dit model, dat Saunders et al [7] geïntroduceerd en onderzocht hebben, wordt ook oorbijgegaan aan bekkenbewegingen tijdens wandelen, erplaatsingen an het lichaamszwaartepunt door andere houdingen, en het feit dat men een oet afwikkelt en niet simpelweg roteert om een ast oetpunt. Ondanks deze beperkingen geeft het model wel inzicht in de wandelbeweging. Het kan bijoorbeeld gebruikt worden om een schatting te maken an de maximale wandelsnelheid. Bij rennen eert men tijdens de steunfase door de knie en enkel. Een sterk ersimpeld model oor de beweging an het standbeen is dan dat an een massa-eer systeem [8,9]. Dit model is het hoofdonderwerp in de tweede helft an dit artikel. Hoe snel kun je wandelen? Met Saunder et al s [7] model an een omgekeerde slinger kunnen we door toepassing an basisprincipes an natuurkunde de raag naar de hoogste wandelsnelheid beantwoorden. Om te beginnen is het nodig om te weten dat een object dat een cirkelbeweging maakt ersneld wordt in de richting an het centrum an de cirkel. Bij een gegeen snelheid en een straal r is deze ersnelling gelijk aan r. Dus: als de snelheid gelijk aan is op het moment dat het standbeen rechtop staat dan is de ersnelling naar beneden gericht en gelijk aan l, waarbij l de lengte an het standbeen is. Omdat de oeten an een wandelaar niet astgelijmd zijn aan de ondergrond, kan het lichaam niet naar beneden getrokken worden; het kan alleen onder inloed an de zwaartekracht omlaag gaan. Dientengeolge kan het lichaamszwaartepunt, gelokaliseerd op de heup, niet naar beneden gaan met een grotere ersnelling dan de alersnelling g. Met ander woorden: l g. Het Froude getal wordt gedefinieerd als Froude getal = g l Als het Froude getal kleiner of gelijk aan 1 is, dan kan men nog steeds wandelen. Bij een Froude getal groter dan 1 moet men gaan rennen. In praktijk [10] gaat men al oer op rennen bij een Froude getal an 0.5. Dit alles betekent dat de maximale loopsnelheid an een olwassene met een beenlengte an 90 cm in theorie op aarde ongeeer gelijk aan 3 m/s en dat deze persoon normaliter bij een snelheid an m/s al oergaan op rennen. Reken op deze manier ook eens de maximale loopsnelheid oor deze persoon op de maan uit. Klopt dit met de teleisiebeelden an lopende mannen op de maan? Waarom kunnen snelwandelaars trouwens harder gaan (±4 m/s)? Hoe doen ze dat? Zie referentie [10] oor een beter wiskundig model oor (snel)wandelen en een meer realistische schatting an de maximale gangsnelheid. Het model an Saunders et al [6] geeft ook inzicht in de algemene orm an de erticale grondreactiekracht tijdens wandelen met de typische M-orm zoals in figuur 5 te zien is bij lage gangsnelheid, met een lokaal minimum tijdens olcontact. Deze kracht erschilt kwalitatief an de erticale grondreactiekracht bij rennen, welke in figuur 5 weergegeen is in krommen bij een hoge gangsnelheid en met een maximum tijdens olcontact. fig. 5 Verticale grondreactiekracht bij erschillende gangsnelheden an een man (Keller et al [11]). De oergang an wandelen naar rennen indt plaats bij 3 m/s. Dergelijke krommen an de erticale grondreactiekracht kunnen leerlingen ook zelf maken in een praktische opdracht m.b.. een krachtenplatform [1,13]. Uit een kromme an de erticale grondreactiekracht kan de erticale erplaatsing an het lichaamszwaartepunt bepaald worden. Hoe dit gaat met Coach bespreken we in de olgende sectie oer de analyse an een hurksprong Analyse an een hurksprong We gaan op allerlei manieren de erticale erplaatsing an het lichaamszwaartepunt bij een hurksprong bepalen (gl. [13]). De hurksprong, waarbij anuit gehurkte houding omhoog gesprongen wordt met de handen op de heupen en zonder eerst erder in te zakken, is schematisch weergegeen in figuur 6. fig. 6 Fasen tijdens een hurksprong. Figuur 7 is een schermafdruk an een Coach actiiteit waarin de erticale grondreactiekracht F met een krachtenplatform is gemeten, terwijl simultaan de sprongbeweging an een studente met een webcam opgenomen is. Synchrone meting met een sensor en filmopname an een gebeurtenis maakt het de student-onderzoeker gemakkelijker om bepaalde punten in de grondreactiekracht-tijd kromme in erband te brengen met gebeurtenissen tijdens de sprong (Figuur 8). In het diagram is ook het constante lichaamsgewicht M, gemeten tijdens de hurkstand an de springster op het krachtenplatform en na haar sprongbeweging ( 517,5 N; 53 kg). 3

4 fig. 7 Verticale grondreactiekracht bij een hurksprong. fig. 9 Bepaling an de opperlakte onder een kromme. fig. 8 Gemeten grafiek an de erticale grondreactiekracht bij een hurksprong met hierin aangegeen de fasen en speciale momenten an de sprong. De tweede wet an Newton ( F = p ), ertelt ons hoe de erandering in impuls p = m tussen de start an de sprongbeweging en de afzet te bepalen uitgaande an de gemeten grondreactiekracht F, namelijk door integratie. Startend anuit stilstand in hurkhouding ( start = 0 op tijdstip t start ) tot aan het moment an de afzet ( t afzet ) en met de stuwkracht gelijk aan F M = F mg geeft dit: tafzet ( F M ) dt = mafzet mstart, tstart waarbij m het gewicht an de springster in kg, M het lichaamsgewicht in N (M = mg) en afzet de snelheid op het moment an loskomen an het krachtenplatform zijn. Uitwerken oor een stationaire startpositie geeft: t waarbij stuwing t afzet F dt M tstuwing = mafzet, tstart de tijdsduur an het omhoog brengen an het lichaam is. De linkerkant bestaat uit de impuls tengeolge an de grondreactiekracht en de impuls tengeolge an het lichaamsgewicht an de springster, die allebei door integratie an de kracht-tijd grafiek bepaald kunnen worden. De opperlakte onder de kromme kan in Coach numeriek bepaald worden met de gelijknamige data analyse faciliteit (Figuur 9). Dit leert een geschatte tijdsduur an 0,48 s oor het omhoog brengen an het lichaam, een impuls tengeolge an de grondreactiekracht ter grootte an 19,6 Ns, en een impuls tengeolge an het lichaamsgewicht ter grootte an 18,3 Ns. Hieruit olgt dat de afzetsnelheid afzet ongeeer gelijk is aan 1,7m/s oor de springster met een gewicht an 53kg. De erworen kinetische energie bij de afzet wordt tijdens de zweeffase in graitatie-energie omgezet en dit bepaalt als olgt de maximale spronghoogte h : 1 m = mg h. afzet zweeffase zweeffase Dus: afzet hzweeffase =. g Als we eronderstellen dat tijdens de zweeffase alleen zwaartekracht een rol speelt, dan is de ersnelling an het lichaam constant en gelijk aan g. Omdat de afzetsnelheid in grootte gelijk is aan de landingssnelheid en in richting tegengesteld moet dan het olgende gelden: gt = =. zweeffase landing afzet afzet Dus: tzweeffase = afzet g en hzweeffase = gtzweeffase 8. Als de afzetsnelheid of spronghoogte bekend is kunnen boenstaande relaties gebruikt worden om de tijd dat de springster in de lucht is uit te rekenen. Omgekeerd, als de zweeftijd bekend is, dan kan hiermee de afzetsnelheid en spronghoogte berekend worden. In ons geal komt de astgestelde afzetsnelheid an 1,7 m/s oereen met een spronghoogte an 14,7 cm en een zweeftijd an 0,347 s. Deze berekende zweeftijd stemt prima oereen met de gemeten en geobsereerde zweeftijd an 0,35 s. De snelheid-tijd grafiek kan in Coach geconstrueerd worden door de integratietool uit de data analyse gereedschapskist toe te passen op de stuwkracht en deze te delen door het gewicht an de springster. Figuur 10 toont het resultaat oor de opgemeten hurksprong. Op deze manier is de astgestelde maximale snelheid an het lichaamszwaartepunt ongeeer 1,85 m/s. fig. 10 Bepaling an de snelheidskromme ia integreren 4

5 fig. 11 Bepaling an de hoogtekromme ia integreren. De hoogte-tijd grafiek kan op soortgelijke wijze weer bepaald worden door integratie an de snelheid-tijd grafiek. Figuur 11 toont het resultaat oor de hurksprong. De hoogteerandering an het lichaamszwaartepunt t.o.. de starthouding is nu ongeeer 37 cm en de hoogte na landing an de springster is 1 cm. Dit kan misleidend zijn en tot de erkeerde conclusie leiden dat spronghoogte gelijk aan 5 cm is, een waarde die aanmerkelijk hoger is dan eerder op basis an de afzetsnelheid bepaald is. De fout is dat de luchthoogte moet bepaald worden op basis an de berekende hoogten op het moment an afzet en landing. Als dit gedaan wordt en de gemiddelde hoogte an 3,5 cm oor afzet en landing gekozen wordt, dan is de spronghoogte gelijk aan 13,5 cm. Dit is dicht bij de eerder geonden waarde. De resultaten oer afzetsnelheid, spronghoogte en de tijdsduur an de zweeffase kunnen door ideoanalyse an de opgenomen film geerifieerd worden. Bijoorbeeld kun je door numerieke differentiëren de snelheidsgrafiek bepalen en de afzetsnelheid an 1,65 m/s aflezen. In figuur 1 worden de met het krachtenplatform berekende hoogte an het lichaamszwaartepunt ergeleken met de gemeten hoogte in de ideo clip. Het is altijd weer een groot genoegen wanneer theorie en meting zo mooi oereenstemmen. Leerlingen kunnen op soortgelijke manier ook andere sprongbewegingen onderzoeken en met elkar ergelijken. Bijoorbeeld kunnen ze nagaan of je inderdaad hoger springt wanneer je eerst inzakt of een aanloop neemt. en daaronder een springpoot. Tussen cilinder en springpoot zitten twee oetsteunen en een zuiger. In de beweging an de springstok kan men twee fasen onderscheiden: o De zweeffase: de punt an de springstok is los an de grond. De stok is maximaal uitgeschoen en beweegt star en uitsluitend onder inloed an o de zwaartekracht. De grond- of contactfase: de punt an de springstok staat ast op de grond. De springpoot schuift met de zuiger in de cilinder waardoor de druk net als bij een fietspomp erhoogd wordt. Verolgens eert de springpoot terug. Thomas bleek comfortabel te kunnen springen als de zweeffase en de grondfase ongeeer een lang duurden. Deze oerzichtelijke situatie laat zich goed in een wisen natuurkundig model beschrijen. Om goede parameterwaarden te krijgen en het model te alideren, moet het ergeleken worden met de realiteit. Daartoe kan men de beweging net als bij de analyse an de hurksprong op ideo astleggen en analyseren met oor dat doel ontwikkelde software, bijoorbeeld met Coach. Het massa-eer model an erticaal huppen op een springstok De beweging an Thomas op zijn springstok ormt een bron an inspiratie oor de beschrijing an natuurlijke menselijke sprongbewegingen met een omgekeerd eersysteem. Dit massa-eer model is schematisch weergegeen in figuur 13. In het model wordt de massa an de eer erwaarloosd en wordt de periode an één hup ondererdeeld in twee fasen, namelijk de contactfase (met contacttijd t c ) en de zweeffase (met zweeftijd t z ). Ook nemen we aan dat Thomas in staat is erticaal te huppen op de springstok zonder zijn lichaamshouding noemenswaardig te eranderen en dat zijn lichaamszwaartepunt zich ongeeer beindt ter hoogte an de handaten an de springstok. Bij het neerkomen an de springstok is de hoogte gelijk aan de rustlengte L an de stok. fig. 1 Vergelijking an resultaten uit ideo analyse met resultaten uit metingen met het krachtenplatform. Verticaal huppen op een springstok In het eindexamen natuurkunde 008 erscheen Thomas met zijn springstok ten tonele, zie bijgaande foto. Een springstok bestaat uit een holle cilinder geuld met lucht fig. 13 Massa-eer model an erticaal springen. Ook nu kunnen we een zweeffase en een fase an grondcontact onderscheiden, met als erschil dat in de zweeffase alleen de zwaartekracht F = mg werkt en in de z 5

6 contactfase zowel F als de eerkracht F C ( L y) z =. Hierin wordt oor hoogte y L de elasticiteit an het dooreren beschreen met een nog onbekende eerconstante C. Nu ligt de dynamiek an het systeem ast in een tweede orde differentiaalergelijking en twee randoorwaarden: d y Fz + F F a = = = met y(0) = y 0 en dy (0) =. 0 dt m m dt Dit kan herschreen worden als stelsel an twee eerste orde differentiaalergelijkingen: dy d Fz + F F =, a = = =, y(0) = y0, (0) = 0. dt dt m m Een grafisch weergae an dit stelsel ten behoee an een numerieke berekening met de modelleeromgeing an Coach 6 oogt als olgt: fig. 15 Videometing an de hoogte an het lichaamszwaartepunt bij erticaal huppen op een springstok en een sinusbenadering hieran. fig. 16 Vergelijking an modelresultaten met de meting. fig. 14 Massa-eer model in Coach. Hierin stelt elke combinatie an een rechthoekig symbool met instroompijl de integratie an de betreffende grootheid oor. In het gegeen oorbeeld wordt y geïntegreerd en symboliseert de pijl de afgeleide an y. We kunnen een simulatie an dit model uitoeren, maar het is wel zo interessant om resultaten an een modelberekening te kunnen ergelijken met meetresultaten. Hoogtemeting in een filmpje maakt dit mogelijk. Het resultaat an een ideometing is in figuur 15 te zien. Het blijkt dat als eerste experimenteel model een sinusbenadering kan fungeren. Hoe mooi het ook lijkt, toch is dit een zwaktebod omdat je hiermee geen enkele onderbouwing oor het resultaat hebt. Interessanter is het om het massa-eer systeem te beproeen. Om een goede oereenstemming met de ideometing te erkrijgen blijken de olgende parameterwaarden gekozen te moeten worden (zie figuur 16): o C = 1,7 kn m als y L, anders C = 0. o L = 1,10 m o o m = 70 kg g = 9,81 m s o y0 = 1.19 m, 0 = 0 m s We krijgen een oplossing die stuksgewijs en alternerend een sinus- en een paraboolorm heeft (het erschil is met het blote oog moeilijk waar te nemen). Ter controle an het model kan men het erloop an de drie oorkomende energieormen bestuderen. Deze zijn gedefinieerd als: o o Ek Ez 1 = m : kinetische energie; = mgy : graitatie-energie; 1 E C L y C o = ( ) : eerenergie ( = 0 in zweeffase). Bij een correct model is de som an deze energieën constant in de tijd. Figuur 17 toont dat alles in orde is wat betreft behoud an energie in het model. fig. 17 Energieormen in het massa-eer model. Het massa-eer model an erticaal huppen zonder hulpmiddelen Je kunt je terecht afragen of het massa-eer model ook wel goed werkt bij erticaal huppen zonder gebruik te maken an hulpmiddelen. Als dit niet lukt, dan hoef je aan een dergelijk model oor oorwaarts huppen al helemaal niet te beginnen. Daarom hebben we op het Uniersitaire Sport Centrum an de UA studenten erticaal en oorwaarts laten huppen op een gemotoriseerde loopband. Met een hogesnelheidscamera zijn de bewegingen op film astgelegd, met een beeldsnelheid an 300 fps om alle details te kunnen waarnemen en om een hoge tijdresolutie te kunnen bereiken. 6

7 Om meer inzicht te krijgen in de beweging an het lichaamszwaartepunt tijdens de contactfase an huppen gaan we het massa-eer model eerst nog een exact oplossen. Het steunbeen (in dit geal eigenlijk allebei de benen) wordt opgeat als een massaloze eer met stijfheid C en rustlengte L. Voor het gemak stellen we de tijd t = 0 op het moment an het eerste contact met de loopband (in een ideometing kunnen we dit in Coach ook eenoudig regelen) en gaan we uit an een landingssnelheid gelijk aan, waarbij een positiee grootheid is. De erticale positie an het lichaamszwaartepunt wordt gelijk gekozen aan de positie an het heupgewricht an de huppelaardster (zie figuur 18 oor de ideometing). Onder de aanname dat alleen graitatieen eerkracht een rol spelen, leert de tweede wet an Newton en de wet an Hooke de olgende bewegingsergelijking oor de hoogte y tijdens de contactfase op: my = mg + C L y, y 0 = L, y 0 =. ( ) ( ) ( ) Als u = y L de uitwijking tijdens grondcontact is, dan kan de bewegingsergelijking herschreen worden als: u + ω u = g, u(0) = 0, u (0) =, waarbij de natuurlijke frequentie ω gegeen wordt door ω = C. Deze ergelijking is exact oplosbaar en leert een sinusoïde op: m u ( t) = sin ( ωt) + g cos ( ωt) g. ω ω ω Hieruit kun je de snelheidsformule afleiden: g ( t) = cos( ωt) sin ( ωt ). ω Halerwege de contacttijd is het steunbeen maximaal gebogen en de snelheid an het lichaamszwaartepunt is dan gelijk aan nul. Dit leert het olgende erband op: 1 g 1 cos ωt c sin ωt c = 0 ω Oftewel, de contacttijd wordt astgelegd door: π ω tc = arctan. ω ω g Wat we kunnen leren uit de laatste formule is dat de beweging tijdens grondcontact afhangt an drie an de olgende ier factoren: (1) de alersnelling g; () de natuurlijke frequentie ω an het massa-eer systeem; (3) de afzet- of landingssnelheid ; (4) de contacttijd t c. Vanwege de definitie an de natuurlijke frequentie kun je deze bepalende factor ook erangen door de eerconstante C (stijfheid), mits het gewicht an de springer bekend is. Kortom, door wiskunde te gebruiken kan men meer onderbouwde uitspraken oer het beweging doen en afhankelijkheden an bepalende factoren in gangpatronen onderzeken. De exacte oplossing an de uitwijking kan ook gebruikt worden om de natuurlijke frequentie en landingssnelheid te schatten op basis an metingen. In figuur 18 is zo n ideoanalyse te zien. De best passende sinusfit is: y t = 0,1sin 1, 5t +, ,88. ( ) ( ) Dit correspondeert met: ( ) ( ) ( ) u t = 0,118sin 1, 5t 0, 03cos 1, 5t 0, 0. Dit resultaat leidt tot de olgende eerste schattingen: ω = 1,5Hz, =,5m s Deze landingssnelheid is maar een klein beetje groter dan de gemeten snelheid an,3 m/s in de ideoanalyse. Deze waarden geen een contacttijd an 0,17 s, hetgeen ook maar een klein beetje kleiner is dan de gemeten contacttijd an 0,19 s (oor deze precisie is het gebruik an een hogesnelheidscamera nodig). Net als bij opwaarts springen uit hurkstand kun je op basis an de afzetsnelheid de zweeftijd uitrekenen: tz 0.47 s. Dit wijkt maar een beetje af an de in het filmpje waargenomen zweeftijd an 0.40 s. Kortom, het massa-eer model lijkt resultaten op te leeren die aardig oereenstemmen met ideometingen. De oereenstemming tussen model en ideometing worden nog beter wanneer we niet een goede sinusfit bij de metingen opsporen, maar m.b.. de modelleeromgeing geschikte parameterwaarden oor het massa-eer model proberen te inden. Voor de huppende studente in figuur 18 hebben we zo een prima match tussen model en ideometing geonden die stand houdt oor negen achtereenolgende hupjes: C = 19 kn m, = 1,95m s. De stijfheid C stemt oereen met literatuurwaarden [14]. Deze waarden leeren nog meer resultaten op: ω = 18, 9 Hz, tc = 0,19s, tz = 0, 40s. De som an de contacttijd en de zweeftijd is gelijk aan de schredetijd T. De simulatie leert een schredetijd an 0,59 s op, hetgeen correspondeert met een hupfrequentie ( f = T 1 ) an 1,7Hz. fig. 18 Videoanalye an erticaal huppen. ( y y y ) x x x Het massa-eer model an oorwaarts huppen De kroon op ons werk moet de toepassing an het massa-eer model op oorwaarts huppen worden. Het model wordt nu tweedimensionaal, dus om te beginnen wordt het massa-eer model an erticaal huppen als het ware erdubbeld door naast het iertal grootheden y,, a, F nu ook het iertal ( x,, a, F ) in te oeren. Grootheden als snelheid en kracht worden dan ontbonden in de x- en y-richting. Een schematische oorstelling an dit proces wordt gepresenteerd in figuur 19. 7

8 fig. 19 Massa-eer model an oorwaarts huppen. Figuur 19 representeert een oorwaarts springende puntmassa m die ondersteunt wordt door een massaloze eer met stijfheid C, landingshoek α, erticale landingssnelheid en horizontale landingssnelheid u. In ergelijking met erticaal huppen zijn er twee condities bijgekomen: de aangrijpingshoek α an het steunbeen bij landing (plaats) en de aangrijpingshoek β an de snelheid bij landing. Deze aangrijpingshoeken zijn het eenoudigst te definiëren wanneer we het steunpunt tijdens de steunfase als oorsprong an het assenstelsel kiezen, met de positiee x-as in de richting an de oortbeweging en de positiee y-as naar boen gericht, en wanneer we aannemen dat het lichaam landt op tijdstip t = 0 : y(0) tanα = en tan β =. x(0) u Deze landingshoeken α en β hoeen niet gelijk aan elkaar te zijn. Het is niet moeilijk om deze hoeken uit opgenomen ideobeelden te bepalen: de Coach software leert immers grafieken an plaats en snelheid, waaruit aangrijpingshoeken af te leiden zijn. De hoek an landing t.o.. de horizontaal is gelijk aan α, de richtingshoek an de snelheid t.o.. de horizontaal is gelijk aan β. Hierbij moet worden opgemerkt dat de waarden an α en β in een computermodel bij gegeen waarden an beenlengte L = x(0) + y(0) en landingssnelheid (0) = u + niet geheel onafhankelijk gekozen kunnen worden, wil het model de gewenste periodiciteit ertonen. Per slot an rekening zullen hieroor de afzethoeken gelijk moeten zijn aan de landingshoeken. Onder deze omstandigheden geldt oor de conditie oor de contactfase en dus oor het werkzaam zijn an de eerkracht: y Lsin α.. Komen we nu tot de afleiding an de bewegingsergelijking tijdens de steunfase. Voor de totale eerkracht F = C L r, met geldt olgend de wet an Hooke: ( ) eerlengte r = x + y en eerconstante C. Ontbinding betekent: F, = F cosφ en F, = F sinφ. Dus geld: F, x x x = F en F, y F r r L L F, x = C x 1, F, y = C y 1 x + y x + y y y =. Met andere woorden: Hieruit olgt het olgende beginwaardenprobleem tijdens de steunfase: L L x = ω 1 x, y = ω 1 y g, x y x y + + x 0 = L cos, x 0 = u, y 0 = L cos, y 0 =. ( ) α ( ) ( ) α ( ) Dit kan als olgt herschreen worden gλ x gλ x x = ω x +, y = g ω y +, x + y x + y ( ) α ( ) ( ) α ( ) x 0 = L cos, x 0 = u, y 0 = L cos, y 0 =, waarbij C g ω ω =, ω p =, λ =. m L ω Het grootste erschil met erticaal huppen is dat de beenlengte, geparametriseerd ia λ, een serieuze rol speelt in het modelleren an de beweging an het zwaartepunt tijdens de steunfase. We zijn nu bijna olledig klaar om een computermodel oor de oorwaartse hupbeweging in Coach te bouwen. Eerst moeten we ons nog realiseren dat het zwaartepunt bij periodiek huppen tijdens de zweeffase een parabool- L cos α, Lsinα met een horizon- baan aflegt die start in ( ) tale afzetsnelheid u en een erticale afzetsnelheid. Het beginwaardenprobleem is immers oor deze fase: x = 0, x ( t ) = u, x( t ) = Lcos α, c y = g, y ( tc ) =, y( tc ) = Lsin α. Ten tweede moeten we het probleem an een bewegend assenstelsel an het ene steunpunt naar het andere steunpunt oplossen. In een Coach model biedt de faciliteit om een gebeurtenis te implementeren uitkomst. Als triggerconditie oor landing an de huppende persoon kunnen we de olgende Boolse expressie gebruiken: y y en y 0 en x + x > 0, start waarbij startcoördinaten xstart en y start gegeen zijn door xstart = L cosα en ystart = Lsin α. Het idee is dat men start met een coördinatenstelsel met de oorsprong als eerste steunpunt. In de ariabele x 0 wordt de huidige waarde an de x-coördinaat an de oorsprong an het bewegende assenstelsel bewaard. Telkens wanneer de gebeurtenis an landing optreedt wordt de ariabele x 0 ererst met de x-coördinaat an het nieuwe steunpunt ia de toewijzing x0 = x + L cosα. Om het massa-eer model op waarde te kunnen inschatten oor oorwaarts huppen hebben we weer een ideo clip opgenomen an dezelfde studente als eerder in figuur 18, maar nu met huppen op een gemotoriseerde loopband die met een snelheid an 3 km/h beweegt. De ia automatische ideometing bepaalde hoogte-tijd grafiek wordt in figuur 0 getoond. Deze meting wordt als achtergrondgrafiek gebruikt om met allen en opstaan geschikte parameterwaarden oor het computermodel te inden. Dit is best lastig omdat kleine wijzigingen in waarden al de periodiciteit an de beweging erstoren. Maar de beloning is groot: figuur 1 laat zijn dat een perfecte match bereikt kan worden. c p start 8

9 In ergelijking met erticaal huppen moet de student bij oorwaarts huppen met een gangsnelheid an 3 km/h een grotere beenstijfheid hanteren. Ook is de eerfrequentie ω groter dan oorheen Toch heeft dit weinig of geen effect op de zweeftijd of de tijdsduur an de steunfase. De gangsnelheid is kennelijk nog te langzaam geweest om aanmerkelijke erschillen in het bewegingspatroon ten toon te spreiden. Allen de beenstijfheid moet erhoogd worden om een korte contacttijd te houden. fig. 0 Videoanalye an oorwaarts huppen. De parameterwaarden zijn dan: C = 8kN m, u = 0,84m s, = 1,95m s, L = 0,91m, α = 86,0003. Hieruit kunnen de olgende interessante grootheden afgeleid worden: ω = 3,0 Hz, ω = 10,8Hz, t = 0,40s, t = 0, s. p z c Ter controle an het model kan men het erloop an de drie oorkomende energieormen bestuderen. Deze zijn gedefinieerd als: 1 o Ek = m( x + y ) : kinetische energie; o E = mg ( y Lsin α ) z : graitatie-energie; 1 E C L r C o = ( ) : eerenergie ( = 0 in zweeffase). Bij een correct model is de som an deze energieën constant in de tijd. In figuur 1 is te zien dat dit klopt oor de implementatie an het massa-eer systeem. Het x-y diagram rechtsboen laat ook in een oogopslag zien dat de gesimuleerde beweging nagenoeg periodiek is. De grafiek rechtsonder toont een opmerkelijk goede matching an computermodel met ideometing. fig. 1 Coach simulatie an het massa-eer model an oorwaarts huppen. Conclusie Keren we tot slot terug bij de twee ragen gesteld in de inleiding. Hoe eenoudig of complex moet een dergelijk model zijn om goed oereen te stemmen met de realiteit? Het is frappant dat het massa-eer model dat op elementaire wis- en natuurkundige principes gebaseerd is zo n goede beschrijing geeft an springende menselijke gang. Bullimore en Burn [15] beestigen dat het model goede oorspellingen opleert oor een groot aantal gangkenmerken, zoals bijoorbeeld de tijdsduur an de steunfase, de erticale impuls en de lengte an de schrede, maar zij merken ook op dat het model regelmatig de horizontale grondreactiekracht, de zweeftijd en de erandering in mechanische energie an het lichaamszwaartepunt oerschat. De kracht an het wiskundige model zit hem oerigens oornamelijk in de mogelijkheden die de onderzoeker geeft om allerlei aspecten an springende gangpatronen onder de loep te nemen zoals stapfrequenties, grondreactiekrachten, stabiliteit an gangpatronen en energiekosten an menselijke gang. Ook kan men hiermee erschillende prestaties met elkaar te ergelijken Denk bijoorbeeld aan de recente casus waarin de internationale atletiekunie de 9

10 beslissing moest nemen of de paralympisch hardloper Oscar Pistorius met zijn sprintprothese wel of niet deel mocht nemen aan de 008 olympische spelen in Beijing. Biomechanisch onderzoek wees uit dat een sprintprothese de gebruiker een aanmerkelijk oordeel biedt t.o.. een atleet die hier geen gebruik an maakt. Van groter algemeen belang is eigenlijk dat een wiskundig model zoals het massa-eer model kan helpen bij het aanmeten an de juiste sportprothese oor een paralympisch atleet [16]. Wie toch niet helemaal tereden is kan altijd nog zijn of haar toelucht nemen tot aangepaste massa-eer modellen, die zowel oor wandelen als rennen ontwikkeld zijn (zie bijoorbeeld [17]). De tweede raag in de inleiding luidde als olgt: Kunnen wo leerlingen zo n onderzoek ook doen? Uit eraringen met pas ingestroomde natuurkundestudenten die met Mathematica een massa-eer systeem succesol modelleerden mogen we stellen dat wo leerlingen met grote interesse en bekwaamheid in natuurkunde het modelleerproces zeker aankunnen. Maar belangrijker is naar onze mening dat ook minder getalenteerde leerlingen m.b.. Coach in staat zijn interessant bewegingsonderzoek te doen dat dicht staat bij de praktijk an professionals. Videoanalyse, metingen met sensoren en computermodellering maken het mogelijk om experimenten en theorie met elkaar in erband te brengen en om lichaamsbewegingen systematisch te onderzoeken en te ergelijken. Daar komt wis- en natuurkunde bij kijken. Vanuit wiskundig onderwijs bezien geeft de analyse an de hurksprong een mooi oorbeeld an interessante toepassing an de opperlakte onder een kromme en an numerieke integratie. Ook kunnen leerlingen bij dergelijke onderzoeken nog eel meer facetten an wiskunde oefenen en in praktijk brengen: denk bijoorbeeld aan het interpreteren an grafieken, numeriek differentiëren, dataerwerking en regressie. Maar misschien is het allerbelangrijkste an de in dit artikel beschreen mogelijkheden an onderzoek an menselijke gang wel dat leerlingen op deze manier actief bezig kunnen zijn met hun erworen wiskundige en natuurkundige kennis, dat ze aardigheden kunnen erdiepen en dat ze direct eraren dat op het eerste gezicht complexe situaties met relatief eenoudige wis- en natuurkunde bestudeerd kunnen worden. Deze exacte akken gaan niet alleen oer abstracte zaken maar hebben ook concrete, oor leerlingen begrijpelijke en haalbare toepassingen. Met dank aan Maurice Maas (Uniersitair Sport Centrum, UA) oor zijn hulp bij de uitoering an de experimenten en de deelnemende studenten an de Master of Mathematics and Science Education opleiding. André Heck, Peter Uylings, AMSTEL Instituut, Uniersiteit an Amsterdam, a.j.p.heck@ua.nl, p.h.m.uylings@ua.nl Noten [1] Heck, A. (00). Stilstaan bij lopen. Nieuwe Wiskrant, (1), [] Rose, J., & Gamble, J.G. (006) Human Walking (3rd ed.). Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins. [3] Segers, V. (006). A Biomechanical Analysis of the Realization of Actual Human Gait Transition. Proefschrift, Uniersiteit Gent. [4] Vaughan, C.L. (1984). Biomechanics of running gait. Critical Reiews in Biomedical Engineering, 1 (1), [5] Durward, B.R., Baer, G.D., & Rowe, P.J. (001). Functional Human Moement. Oxford, Butterworth Heinemann. [6] Farley, C.T., & Ferris, D.P. (1998). Biomechanics of walking and running: from center of mass moement to muscle action. Exercise and Sports Sciences Reiews, 6, www-personal.umich.edu/~ferrisdp/farley&ferris,1998.pdf [7] Saunders, J., Inman, V., & Eberhart, H. (1953). The major determinants in normal and pathological gait. Journal of Bone and Joint Surgery. American Volume, 35 (3), [8] Blickhan, R. (1989). The spring-mass model for running and hopping. Journal of Biomechanics (11/1), [9] McMahon, T.A., & Cheng, G.C. (1990). The mechanics of running: how does stiffness couple with speed? Journal of Biomechanics, 3 (1), [10] Trowbridge, E.A. (198). Walking or running? When does lifting occur? Mathematical Spectrum 15 (3), [11] Keller, T.S., Weisberger, A.M., Ray, J.L., Hasan, S.S., Shiai, R.G., & Spengler, D.M. (1996). Relationship between ertical ground reaction force and speed during walking, slow jogging, and running Clinical Biomechanics, 11 (5), [1] Cross, R. (1999). Standing, walking, running, and jumping on a force plate. American Journal of Physics, 67 (4), [13] Linthorne, N.P. (001). Analysis of standing ertical jumps using a force platform. American Journal of Physics, 69 (11), [14] Farley, C.T., Blickhan, R., Saito, J., & Taylor, R. (1991). Hopping frequencies in humans: A test of how springs set stride frequency in bouncing gaits. Journal of Applied Physiology, 71 (6), [15] Bullimore, S.R., & Burn, J.F. (007). Ability of the planar spring-mass model to predict mechanical parameters in running humans. Journal of Theoretical Biology, 48 (4), [16] Huygens, M., & Verbert, K. (009). Sprint en prothese: de optimale stijfheid an de sprintlepel. Afstudeererslag, Opleiding Bewegingstechnologie, Haagse Hogeschool. kortermaarkrachtig.com/scriptiestijfheidsportlepel.pdf [17] Geyer, H. (005). Simple Models of Legged Locomotion on Compliant Limb Behaior. Proefschrift, Friedrich-Schiller_Uniersität, Leipzig. 05PhDThesis.pdf 10