POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding
|
|
|
- Adriana Hendrickx
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1
2 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen (Martine.VanDerWeeen@hogent.be)
3 Hoofdstuk 1: Inleiding Inhoud 1 Basisstructuren 2 Gebruik van methodes 3 Voorbeelden 4
4 1 Basisstructuren De sequentiestructuur De selectiestructuur De iteratiestructuur 2 Gebruik van methodes 3 Voorbeelden Bepalen van het maximum van drie getallen Priemgetallen zoeken 4
5 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 5/59 De sequentiestructuur Voorstelling in pseudo-code
6 De sequentiestructuur Voorstelling in pseudo-code Algoritme Sequentie 1: opdracht 1 2: opdracht 2 3:. 4: opdracht n
7 De sequentiestructuur Voorbeeld: Bereken de BMI van een persoon
8 De sequentiestructuur Voorbeeld: Bereken de BMI van een persoon Algoritme Bereken BMI 1: VOERUIT(scherm, Geef lengte in meter: ) 2: VOERIN(klavier, lengte) 3: VOERUIT(scherm, Geef gewicht in kilo: ) 4: VOERIN (klavier, gewicht) 5: bodymassindex gewicht/(lengte lengte) 6: RETOUR bodymassindex
9 De selectiestructuur Voorstelling in pseudo-code
10 De selectiestructuur Voorstelling in pseudo-code Algoritme Selectie 1: ALS voorwaarde DAN 2: component 1 3: ANDERS 4: component 2 5: EINDE ALS
11 De selectiestructuur Voorbeeld: Evalueer de BMI van een persoon
12 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 8/59 De selectiestructuur Voorbeeld: Evalueer de BMI van een persoon Algoritme Evalueer BMI 1: VOERUIT(scherm, Geef BMI: ) 2: VOERIN(klavier, bodymassindex) 3: ALS ((18, 5 bodymassindex) EN (bodymassindex 25)) DAN 4: VOERUIT(scherm, Gezond ) 5: ANDERS 6: VOERUIT(scherm, Risico ) 7: EINDE ALS
13 De selectiestructuur Eenzijdige selectiestructuur: pseudo-code
14 De selectiestructuur Eenzijdige selectiestructuur: pseudo-code Algoritme Eenzijdige selectie 1: ALS voorwaarde DAN 2: component 1 3: EINDE ALS
15 De selectiestructuur Eenzijdige selectiestructuur: voorbeeld
16 De selectiestructuur Eenzijdige selectiestructuur: voorbeeld Algoritme Vaststellen ondergewicht 1: VOERUIT(scherm, Geef BMI: ) 2: VOERIN(klavier, bodymassindex) 3: ALS (bodymassindex < 18, 5) DAN 4: VOERUIT(scherm, Risico voor ondergewicht ) 5: EINDE ALS
17 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 11/59 De selectiestructuur Geneste selectiestructuren: pseudo-code
18 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 12/59 De selectiestructuur 1: ALS voorwaarde 1 DAN 2:... 3: ALS voorwaarde 2 DAN 4:... 5: ANDERS 6:... 7: EINDE ALS voorwaarde 2 8:... 9: ANDERS 10:... 11: ALS voorwaarde 3 DAN 12:... 13: ANDERS 14:... 15: EINDE ALS voorwaarde 3 16:... 17: EINDE ALS voorwaarde 1
19 De selectiestructuur Geneste selectiestructuren: voorbeeld
20 De selectiestructuur Geneste selectiestructuren: voorbeeld Algoritme Evaluatie BMI 1: VOERUIT(scherm, Geef BMI: ) 2: VOERIN(klavier, bodymassindex) 3: ALS bodymassindex < 18, 5 DAN 4: VOERUIT(scherm, Risico voor ondergewicht ) 5: ANDERS 6: ALS bodymassindex > 25 DAN 7: VOERUIT(scherm, Risico voor obesitas ) 8: ANDERS 9: VOERUIT(scherm, Gezond ) 10: EINDE ALS 11: EINDE ALS
21 De iteratiestructuur Voorstelling in pseudo-code
22 De iteratiestructuur Voorstelling in pseudo-code Algoritme Iteratie 1: ZOLANG iteratievoorwaarde DOE 2: iteratiecomponent 3: EINDE ZOLANG
23 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 15/59 De iteratiestructuur Voorbeeld: de som van de eerste 10 strikt positieve getallen
24 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 15/59 De iteratiestructuur Voorbeeld: de som van de eerste 10 strikt positieve getallen Algoritme Som van de eerste 10 strikt positieve gehele getallen 1: i 1 2: som 0 3: ZOLANG i 10 DOE 4: som som + i 5: i i + 1 6: EINDE ZOLANG 7: VOERUIT(scherm, som = som)
25 De iteratiestructuur Geneste iteratiestructuren
26 De iteratiestructuur Geneste iteratiestructuren Analoog aan geneste selectiestructuren: de aanwezigheid van een herhalingsstructuur in de DOE-component.
27 De iteratiestructuur Alternatieve iteratiestructuren: pseudo-code
28 De iteratiestructuur Alternatieve iteratiestructuren: pseudo-code Algoritme Iteratie m.b.v. een VOOR-lus 1: VOOR teller=... TOT... DOE 2: iteratiecomponent 3: EINDE VOOR
29 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 18/59 De iteratiestructuur Alternatieve iteratiestructuren: voorbeeld
30 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 18/59 De iteratiestructuur Alternatieve iteratiestructuren: voorbeeld Algoritme Som van de eerste 10 strikt positieve gehele getallen 1: som 0 2: VOOR i = 1 TOT 10 DOE 3: som som + i 4: EINDE VOOR 5: VOERUIT(scherm, som = som)
31 1 Basisstructuren De sequentiestructuur De selectiestructuur De iteratiestructuur 2 Gebruik van methodes 3 Voorbeelden Bepalen van het maximum van drie getallen Priemgetallen zoeken 4
32 Gebruik van methodes Sjabloon
33 Gebruik van methodes Sjabloon Algoritme Sjabloon naamalgoritme (I :... ) :... BEGIN 1:... EINDE Preconditie:... Postconditie:... Gebruikt:...
34 1 Basisstructuren De sequentiestructuur De selectiestructuur De iteratiestructuur 2 Gebruik van methodes 3 Voorbeelden Bepalen van het maximum van drie getallen Priemgetallen zoeken 4
35 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 22/59 Bepalen van het maximum van drie getallen Methode
36 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 22/59 Bepalen van het maximum van drie getallen Methode bepaalmaximum (I : a, b, c: gehele getallen) : x: geheel getal BEGIN Preconditie: a, b en c zijn drie gehele getallen. Postconditie: het maximum van drie getallen werd bepaald. Gebruikt: / 1: x a 2: ALS (b > x) DAN 3: x b 4: EINDE ALS 5: ALS (c > x) DAN 6: x c 7: EINDE ALS 8: RETOUR x EINDE
37 Priemgetallen zoeken Methode 1
38 Priemgetallen zoeken Methode 1 aantalpriem (I : n: geheel getal) : aantal: geheel getal Preconditie: n is een natuurlijk getal. Postconditie: het aantal priemgetallen kleiner dan n werd geretourneerd. Gebruikt: /
39 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 24/59 Priemgetallen zoeken BEGIN 1: p 2 2: aantal 0 3: ZOLANG (p < n) DOE 4: deler 2 5: ZOLANG ((deler < p) EN (p MOD deler 0)) DOE 6: deler deler + 1 7: EINDE ZOLANG 8: ALS (deler = p) DAN priemgetal gevonden 9: aantal aantal : EINDE ALS 11: p p : EINDE ZOLANG 13: RETOUR aantal EINDE
40 Priemgetallen zoeken Methode 2: De zeef van Eratosthenes
41 Priemgetallen zoeken Methode 2: De zeef van Eratosthenes aantalpriemversie2 (I : n: geheel getal) : aantal: geheel getal Preconditie: n is een natuurlijk getal. Postconditie: het aantal priemgetallen kleiner dan n werd geretourneerd. Gebruikt: /
42 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 26/59 Priemgetallen zoeken BEGIN 1: noteer de rij van natuurlijke getallen 2,3,..., n 1 2: p 2 3: aantal 0 4: ZOLANG (p < n) DOE 5: schrap in de rij van getallen alle veelvouden van p 6: aantal aantal + 1 7: ALS alle elementen uit de rij zijn geschrapt DAN 8: p n stoppen 9: ANDERS 10: p het eerste niet geschrapte element 11: EINDE ALS 12: EINDE ZOLANG 13: RETOUR aantal EINDE
43 1 Basisstructuren De sequentiestructuur De selectiestructuur De iteratiestructuur 2 Gebruik van methodes 3 Voorbeelden Bepalen van het maximum van drie getallen Priemgetallen zoeken 4
44 Oefening 1
45 Oefening 1 In de voorbeelden werden twee verschillende oplossingsmethodes bekeken voor het bepalen van het aantal priemgetallen kleiner dan een gegeven waarde n. Werk beide methodes uit voor n = 10.
46 Oefening 2
47 Oefening 2 Schrijf een alternatieve versie van Algoritme 1.15 voor het bepalen van het aantal priemgetallen kleiner dan n, waarbij de verbeteringen uit de opmerking werden aangebracht.
48 Oefening 2: oplossing
49 Oefening 2: oplossing aantalpriemverfijning (I : n: geheel getal) : aantal: geheel getal Preconditie: n is een natuurlijk getal. Postconditie: het aantal priemgetallen kleiner dan n werd gezocht. Gebruikt: /
50 BEGIN 1: ALS (n 2) DAN 2: aantal 0 3: ANDERS 4: p 3 5: aantal 1 6: ZOLANG (p < n) DOE 7: deler 3 8: ZOLANG ((deler p) EN (p MOD deler 0)) DOE 9: deler deler : EINDE ZOLANG 11: ALS (deler > p) DAN 12: aantal aantal : EINDE ALS 14: p p : EINDE ZOLANG 16: EINDE ALS 17: RETOUR POD1 - Hoofdstuk aantal 1: Inleiding 31/59
51 Oefening 3
52 Oefening 3 Schrijf een algoritme met 2 gehele getallen als invoer. Als het eerste getal groter is dan het tweede dan wordt het verschil berekend, anders de som. Het resultaat wordt geretourneerd als uitvoerparameter.
53 Oefening 3: oplossing
54 Oefening 3: oplossing oefening3 (I : a, b: geheel getal) : resultaat: geheel getal BEGIN Preconditie: de waarden a en b zijn gehele getallen. Postconditie: voor a > b werd a b berekend, in het andere geval werd a + b berekend. Gebruikt: / 1: ALS (a > b) DAN 2: resultaat (a b) 3: ANDERS 4: resultaat (a + b) 5: EINDE ALS 6: RETOUR resultaat EINDE
55 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 34/59 Oefening 4
56 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 34/59 Oefening 4 Het algoritme van Euclides beschrijft een methode om de grootste gemene deler (ggd) van twee positieve gehele getallen te bepalen. Algoritme van Euclides Stel a, b N en a b. Zoek twee natuurlijke getallen q en r zodat a = bq + r en 0 r < b. M.a.w. r is de rest van a bij deling door b. Er geldt: ggd(a, b) = ggd(b, r) Herhaal dit proces met b en r, totdat de rest r nul is. Merk op dat ggd(a, 0) = a. Voorbeeld ggd(105, 30) = = = Besluit: ggd(105, 30) = ggd(30, 15) = ggd(15, 0) = 15.
57 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 35/59 Oefening 4 Schrijf een implementatie van het algoritme van Euclides, met als inputparameters de twee getallen waarvoor de ggd moet gezocht worden, en als outputparameter de grootste gemene deler. Gebruik jouw methode om de volgende grootste gemene delers te bepalen. a) ggd(273,110) b) ggd(1400,220) c) ggd(315,825)
58 Oefening 4: oplossing
59 Oefening 4: oplossing euclides (I : a, b: geheel getal) : ggd: geheel getal Preconditie: de getallen a en b zijn beiden natuurlijke getallen. Postconditie: de grootste gemene deler van a en b werd gezocht. Gebruikt: /
60 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 37/59 Oefening 4: oplossing BEGIN 1: ALS (a < b) DAN de waarden ruilen 2: hulp a 3: a b 4: b hulp 5: EINDE ALS 6: ZOLANG (b 0) DOE 7: r a MOD b 8: a b 9: b r 10: EINDE ZOLANG 11: RETOUR a EINDE
61 Oefening 5
62 Oefening 5 Schrijf een algoritme dat een vierkantsvergelijking oplost. De coëfficiënten van de vierkantsvergelijking vormen de invoerparameters. De vergelijking en de mogelijke oplossingen moeten op het scherm worden afgedrukt.
63 Oefening 5: oplossing
64 Oefening 5: oplossing vierkantsvergl (I : a, b, c :reële getallen) : Preconditie: De coëfficiënten a, b en c zijn reële getallen. Postconditie: De nulpunten van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 werden berekend en afgedrukt op het scherm. Gebruikt: /
65 Oefening 5: oplossing BEGIN 1: VOERUIT(Scherm, Beschouw,a, x 2 +,b, x+,c) 2: d (b b 4 a c) 3: ALS (d > 0) DAN er zijn twee verschillende nulpunten 4: x 1 b d 2 a 5: x 2 b + d 2 a 6: VOERUIT(Scherm, De nulpunten:, x 1, x 2 ) 7: ANDERS 8: ALS (d = 0) DAN er is juist één nulpunt 9: x 1 b 2 a 10: VOERUIT(Scherm, Er is één nulpunt, x 1 ) 11: ANDERS POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 40/59
66 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 41/59 Oefening 6
67 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 41/59 Oefening 6 Een jongentje tekent op straat met krijt een vierkant met zijden van 150 cm. Binnen dit vierkant tekent hij een nieuw vierkant, waarvan de oppervlakte juist de helft is van het vorige. Zo gaat hij verder met vierkanten tekenen. Hij stopt ermee als het volgend te tekenen vierkant een zijde moet hebben die kleiner is dan 10 cm. Schrijf een algoritme om na te gaan hoeveel vierkanten de jongen getekend heeft.
68 Oefening 6: oplossing
69 Oefening 6: oplossing aantalvierkanten (I : /) : aantal: geheel getal Preconditie: / Postconditie: Het aantal te tekenen vierkanten werd geretourneerd. Gebruikt: /
70 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 43/59 Oefening 6: oplossing BEGIN 1: z 150 2: aantal 0 3: ZOLANG (z 10) DOE 4: aantal (aantal + 1) 5: z z z 2 6: EINDE ZOLANG 7: RETOUR aantal EINDE
71 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 44/59 Oefening 7
72 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 44/59 Oefening 7 Schrijf algoritmen voor het berekenen van de gevraagde sommen. In elk van de gevallen is n de invoerparameter. n a) i (n N). b) c) i=1 n n ( i j) i=1 j=1 n n ( i j) i=1 j=i (n N). (n N).
73 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 45/59 Oefening 7 (a): oplossing
74 Oefening 7 (a): oplossing berekensom 1 (I : n: geheel getal) : som: geheel getal BEGIN Preconditie: n is een natuurlijk getal. Postconditie: de som van de eerste n natuurlijke getallen werd berekend. Gebruikt: / 1: som 0 2: VOOR i = 1 TOT n DOE 3: som (som + i) 4: EINDE VOOR 5: RETOUR som EINDE
75 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 46/59 Oefening 7 (b): oplossing
76 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 46/59 Oefening 7 (b): oplossing berekensom 2 (I : n: geheel getal) : som: geheel getal Preconditie: n is een natuurlijk getal. n n Postconditie: de som ( i j) werd berekend. i=1 j=1 Gebruikt: / BEGIN 1: som 0 2: VOOR i = 1 TOT n DOE 3: VOOR j = 1 TOT n DOE 4: som (som + i j) 5: EINDE VOOR 6: EINDE VOOR 7: RETOUR som EINDE
77 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 47/59 Oefening 7 (c): oplossing
78 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 47/59 Oefening 7 (c): oplossing berekensom 3 (I : n: geheel getal) : som: geheel getal Preconditie: n is een natuurlijk getal. n n Postconditie: de som ( i j) werd berekend. i=1 j=i Gebruikt: / BEGIN 1: som 0 2: VOOR i = 1 TOT n DOE 3: VOOR j = i TOT n DOE 4: som (som + i j) 5: EINDE VOOR 6: EINDE VOOR 7: RETOUR som EINDE
79 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 48/59 Oefening 8
80 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 48/59 Oefening 8 Schrijf een methode maakmatrix voor het genereren van een matrix A van de orde m n, met alle elementen onder de diagonaal gelijk aan m, alle elementen op de diagonaal gelijk aan m + n en alle elementen boven de diagonaal gelijk aan n. De input van de procedure is de dimensie van A, het aantal rijen m en het aantal kolommen n. De output moet de matrix A zijn, opgebouwd volgens de zonet geformuleerde regels. Dus bv. voor een input (3,4) moet de output van maakmatrix(3, 4) de volgende matrix zijn
81 Oefening 8: oplossing
82 Oefening 8: oplossing maakmatrix (I : m, n: geheel getal) : a: array[ ][ ] van gehele getallen. Preconditie: m en n zijn natuurlijke getallen. Postconditie: de matrix a van de orde (m n) werd opgebouwd met alle elementen onder de diagonaal gelijk aan m, alle elementen op de diagonaal gelijk aan m + n en alle elementen boven de diagonaal gelijk aan n. Gebruikt: /
83 Oefening 8: oplossing BEGIN 1: VOOR i = 0 TOT m 1 DOE 2: VOOR j = 0 TOT n 1 DOE 3: ALS (i = j) DAN 4: a[i][j] m + n 5: ANDERS 6: ALS (i > j) DAN 7: a[i][j] m 8: ANDERS 9: a[i][j] n 10: EINDE ALS 11: EINDE ALS 12: EINDE VOOR 13: EINDE VOOR 14: RETOUR a EINDE POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 50/59
84 Oefening 9
85 Oefening 9 De methode van Gauss is een methode voor het oplossen van een lineair (n m)-stelsel S. Algoritme 53 beschrijft de methode van Gauss voor reguliere (n n)-stelsels, dit zijn stelsels met steeds juist één oplossing.
86 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 52/59 Oefening 9 gauss (I : a b : array[ ][ ] van reële getallen) : x: array[ ] van reële getallen. Preconditie: de matrix a b van de orde (n n + 1) is de verhoogde matrix van het op te lossen stelsel S. Postconditie: de oplossing van het stelsel S werd geretourneerd. Gebruikt: /
87 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 53/59 1: VOOR k = 0 TOT n 2 DOE De triangularisatie fase 2: VOOR i = k + 1 TOT n 1 DOE 3: factor a b [i][k]/a b [k][k] 4: VOOR j = k + 1 TOT n DOE 5: a b [i][j] a b [i][j] factor a b [k][j] 6: EINDE VOOR 7: EINDE VOOR 8: EINDE VOOR 9: x[n 1] a b [n 1][n]/a b [n 1][n 1] Substitutie 10: VOOR i = n 2 TOT 0 (STAP -1) DOE 11: r 0 12: VOOR j = i + 1 TOT n 1 DOE 13: r r + a b [i][j] x[j] 14: EINDE VOOR 15: x[i] (a b [i][n] r)/a b [i][i] 16: EINDE VOOR 17: RETOUR x
88 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 54/59 Oefening 9 a) Los het gegeven stelsel op volgens het algoritme van de methode van Gauss. Houd alle wijzigingen in de verhoogde matrix A B nauwkeurig bij x 1 x 2 x 3 = b) Pas het algoritme aan zodat voor een gegeven vierkante matrix A de determinant van de matrix wordt berekend. Als inputparameter moet een vierkante matrix opgegeven worden, de retourwaarde is de determinant van de gegeven matrix
89 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 55/59 Oefening 9 c) Pas het algoritme aan zodat voor een gegeven vierkante matrix A met A 0 de inverse matrix A 1 wordt berekend. Als inputparameter moet een vierkante matrix opgegeven worden, de retourwaarde is de inverse matrix van de gegeven matrix. d) Pas het algoritme aan zodat een gegeven stelsel wordt opgelost met de methode van Gauss-Jordan. Als inputparameter moet de verhoogde matrix van het op te lossen stelsel opgegeven worden, de retourwaarde is de oplossing van het stelsel.
90 Oefening 9(b): oplossing
91 Oefening 9(b): oplossing determinant (I : a: array[ ][ ] v. reële getallen) : det: reëel getal Preconditie: a is een feële matrix van de orde (n n). Postconditie: de determinant van a werd geretourneerd. Gebruikt: /
92 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 57/59 Oefening 9(b): oplossing BEGIN 1: VOOR k = 0 TOT n 2 DOE de triangularisatie fase 2: VOOR i = k + 1 TOT n 1 DOE 3: factor a b [i][k]/a b [k][k] 4: VOOR j = k + 1 TOT n 1 DOE 5: a b [i][j] a b [i][j] factor a b [k][j] 6: EINDE VOOR 7: EINDE VOOR 8: EINDE VOOR 9: det 1 det wordt geïnitialiseerd op 1 10: VOOR i = 0 TOT (n 1) DOE het produkt 11: det det a[i][i] 12: EINDE VOOR 13: RETOUR det EINDE
93 Oefening 9(d): Oplossing
94 Oefening 9(d): Oplossing gaussjordan (I : a b : array[ ][ ] van reële getallen) : x: array[ ] van reële getallen. Preconditie: de matrix a b van de orde (n (n + 1)) is de verhoogde matrix van het op te lossen stelsel S. Postconditie: de oplossing van het stelsel S werd berekend. Gebruikt: /
95 1: VOOR k = 0 TOT n 1 DOE 2: ALS NIET (a b [k][k] = 1) DAN a ii = 1 3: VOOR j = k + 1 TOT n DOE 4: a b [k][j] 1 a b [k][k] a b[k][j] 5: EINDE VOOR 6: EINDE ALS 7: VOOR i = 0 TOT n 1 DOE 0-en maken 8: ALS NIET (i = k) DAN 9: VOOR j = k + 1 TOT n DOE 10: a b [i][j] a b [i][j] a b [i][k] a b [k][j] 11: EINDE VOOR 12: EINDE ALS 13: EINDE VOOR 14: EINDE VOOR 15: VOOR i = 0 TOT n 1 DOE 16: x[i] a b [i][n] 17: EINDE VOOR 18: RETOUR x POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 59/59
De bouwstenen van het programmeren 1
De bouwstenen van het programmeren 1 I DE BOUWSTENEN VAN HET PROGRAMMEREN. Een programma is een beschrijving van acties (operaties, opdrachten) die moeten uitgevoerd worden. Deze acties spelen in op bepaalde
OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet.
Les C-02: Werken met Programma Structuur Diagrammen 2.0 Inleiding In deze lesbrief bekijken we een methode om een algoritme zodanig structuur te geven dat er gemakkelijk programmacode bij te schrijven
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Informatica: C# WPO 7
Informatica: C# WPO 7 1. Inhoud 1D-arrays, Lijsten 2. Oefeningen Demo 1: Vul de 1D-array Demo 2: Stringreplace Demo 3: Vul de lijst Demo 4: Debug oplossingen demo s 1, 2 en 3 A: Array reversal A: Gemiddelde
Lineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Zeef van Eratosthenes
Zeef van Eratosthenes [ Waarschuwing! Teveel wiskunde kan schade veroorzaken aan jouw interesse voor de informatica. ] De Zeef van Eratosthenes (ca. 240 v. Chr.) is een methode waarmee je alle priemgetallen
Matrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
![Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix](/thumbs/62/48135990.jpg "Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix")
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Memoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Dossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Info-books. Toegepaste Informatica. Deel 20 : Algoritmen en programmeren in Access en Excel (Basis) AL20. Jos Gils Erik Goossens
Info-books AL20 Toegepaste Informatica Deel 20 : Algoritmen en programmeren in Access en Excel (Basis) Jos Gils Erik Goossens Hoofdstuk 6 Lusstructuren of iteraties 6.1 Probleemstelling Het gebeurt dikwijls
3. Structuren in de taal
3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A
Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk
1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID
1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk
OEFENINGEN PYTHON REEKS 6
OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)
1. Programmeerblokken
1. Programmeerblokken In Scratch bouw je het programma op aan de hand van programmeerblokken. Er zijn acht verschillende categorieën om programmeerblokken in terug te vinden. Je vindt op de volgende bladzijden
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
![2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45](/thumbs/98/136422869.jpg "2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45")
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
WISKUNDE 1. Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO
WISKUNDE 1 Aansluitmodule wiskunde MBO-HBO Wat moet je aanschaffen? Basisboek wiskunde tweede editie Jan van de Craats en Rob Bosch isbn:978-90-430-1673-5 Dit boek gebruikt men ook op de Hanze bij engineering.
De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
![1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]](/thumbs/58/42425907.jpg "1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]")
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Hoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Les C-01: Algoritmen. 2005 David Lans
2005 David Lans Les C-01: Algoritmen 1.0 Inleiding Moeilijke problemen pakken we vaak stapsgewijs aan: Een olifant eet je met kleine hapjes. Het is van belang om de stappen waarmee we een probleem oplossen
Geldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
opdrachten algoritmiek - antwoorden
opdrachten algoritmiek - antwoorden Dit zijn de voorbeelduitwerkingen behorende bij de oefeningen algoritmiek. Er zijn altijd veel mogelijke manieren om hetzelfde probleem op te lossen. De voorbeelduitwerking
Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid
Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste
Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.
Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal
Overzicht. Lineaire vergelijkingen. Onderwerpen & Planning. Doel. VU Numeriek Programmeren 2.5
VU Numeriek Programmeren 25 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam Tinbergen Institute csbos@vunl, A40 Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk 2 april 202 /26 2/26 Onderwerpen
Lineaire vergelijkingen
1/24 VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 8 april 2013 2/24 Overzicht Overzicht Onderwerpen & Planning Practicum Literatuur Taal Terugblik & Huiswerk
Algoritmen en programmeren: deel 2 - basis
Algoritmen en programmeren: deel 2 - basis Ruud van Damme Creation date: 25 april 2005 Update: 16 november 2006, 9 september 2007 Overzicht 1 Basisbenodigdheden voor alle problemen 2 Alles in stukjes op
toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
![2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45](/thumbs/72/68043516.jpg "2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45")
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
SEQUENTIE-STRUCTUUR. Oefening: Dichtheid
SEQUETIE-STRUCTUUR Oefening: Dichtheid geef diameter vd bol(m) //Declaratie input variabelen double diameter; double soortmassa; //Declaratie variabelen voor tussenresultaten double volume; diameter //Declaratie
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 000-00: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )
OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
algoritmiek - antwoorden
2016 algoritmiek - antwoorden F. Vonk versie 1 28-8-2016 inhoudsopgave eenvoudige algoritmes... - 3 - complexe algoritmes... - 7 - zoeken (vwo)... - 10 - sorteren (vwo)... - 12 - Dit werk is gelicenseerd
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Informatica. 2 e graad 2 e jaar. De Mol W.
Informatica 2 e graad 2 e jaar De Mol W. Inhoudstafel Inhoudstafel... 2 Algoritmes... 3 1.1 Algemeen... 3 1.2 Het algoritme... 4 1.3 Opstellen van het algoritme... 5 1.4 Stapsgewijs verfijnen van het algoritme...
Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Functies van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Vraag: Hints: (maximaal 2 bonuspunten) Herkansingstentamen Algoritmiek voor Biologen
Opgave 1. (4 punten) Elk jaar verliest een boom al z'n bladeren. Een boom begint op dag D met B bladeren. Op de eerste dag is voor elk blad dat aan de boom zit de kans op afvallen 0.03. Voor elke volgende
Determinanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Arrays. Complexe datastructuren. Waarom arrays. Geen stijlvol programma:
Geen stijlvol programma: Complexe datastructuren Arrays vijf verschillende variabelen voor iets dat als één rij getallen bestempeld wordt; onbruikbaar wanneer het over meer getallen (bijvoorbeeld ) gaat.
Controle structuren. Keuze. Herhaling. Het if statement. even1.c : testen of getal even of oneven is. statement1 statement2
Controle structuren De algemene vorm: 1 bloks door middel van indentatie Keuze Herhaling if expressie :...... In de volgende vorm is het else gedeelte weggelaten: if expressie :... Het if keuze- of conditioneel
Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Vraag: Hints: (maximaal 2 bonuspunten) Tentamen Algoritmiek voor Biologen
Opgave 1. (4 punten) Elk jaar verliest een boom al z'n bladeren. Een boom begint op dag D met B bladeren. Op de eerste dag is voor elk blad dat aan de boom zit de kans op afvallen 0.03. Voor elke volgende
Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )
OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................
vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
![4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.](/thumbs/92/110838999.jpg "4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.")
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
Een computerprogramma is opgebouwd uit een aantal instructies die op elkaar volgen en die normaal na elkaar uitgevoerd worden.
2 Programmeren 2.1 Computerprogramma s Een computerprogramma is opgebouwd uit een aantal instructies die op elkaar volgen en die normaal na elkaar uitgevoerd worden. (=sequentie) Niet alle instructies
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
WISKUNDE-ESTAFETTE KUN Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500
WISKUNDE-ESTFETTE KUN 2000 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Maak sommige vakjes zwart, zó dat voor elk vakje het getal dat erin staat precies aangeeft
Taak na blok 1 startles 8
Taak na blok startles 8 TAAK Klas: Datum: Klasnummer: Geef de meest passende naam voor elke figuur. Teken de vierhoek. De diagonalen zijn even lang ( cm) en halveren elkaar of snijden elkaar middendoor.
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Small Basic Programmeren Text Console 2
Oefening 1: Hoogste getal Je leest een reeks positieve gehele getallen in totdat je het getal 0 (nul) invoert. Daarna stopt de invoer en druk je een regel af met het hoogste getal uit de reeks. Voorbeeld:
Selectietoets vrijdag 9 maart 2018
Selectietoets vrijdag 9 maart 2018 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. We hebben 1000 ballen in 40 verschillende kleuren, waarbij er van elke kleur precies 25 ballen zijn. Bepaal
1.1 Rekenen met letters [1]
![1.1 Rekenen met letters [1]](/thumbs/41/22623929.jpg "1.1 Rekenen met letters [1]")
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Programmeren. Inleiding
Programmeren Inleiding STAPPEN IN DE ONTWIKKELING VAN EEN PROGRAMMA 1. Probleem 1. Probleem Ideaal gewicht berekenen Wortel van een vierkantsvergelijking berekenen Schaakspel spelen Boekhouding doen 2.
Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
![8.1 Rekenen met complexe getallen [1]](/thumbs/57/40136599.jpg "8.1 Rekenen met complexe getallen [1]")
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.
Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd
FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Lineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)