Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Transcriptie

1 Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie N&M: H 4:1-6 7 december 2009 ONTKENNING Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning

2 Onderwerpen Uitwerking Logikwiz-opgave (Completeren) SLDNF-resolutie Algemene Logische Programma s Driewaardige Completering Welgefundeerde semantiek Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 1

3 De Druïden druide (nietnix) druide (goudenrix) druide (raretix) druide (prefix) druide (eerstix) % Definieer de dorpjes dorpje (tumtum) dorpje (cassix) dorpje (touarix) dorpje (abaoabab) dorpje (vilarum). Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 2

4 conflict (keuze (D1, P1, I1, S1), keuze (D2,P2,I2,S2)) D1 = D2;P1 = P2;I1 = I2;S1 = S2 % drankje fluitekruid tilde steen meer dan 10 kilo zwaarder dan % drankje van zeewierextract conflict (keuze (,,I1,S1),keuze (,,I2,S2)) I1 = fluitekruid, I2 = zeewierextract, Diff = S1 S2,Diff <11 conflict (keuze (,,I1,S1),keuze (,,I2,S2)) I2 = fluitekruid, I1 = zeewierextract, Diff = S2 S1,Diff <11 druiden ([ ], Oplossing,Oplossing) druiden ([D DRest], Totnutoe, Oplossing) dorpje (P), ingred (I), steen (S), (kannietsamen (D,P,I,S)), (Keuze Totnutoe, (conflict (Keuze,keuze (D,P,I,S)))), druiden (DRest, [keuze (D,P,I,S) Totnutoe],Oplossing) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 3

5 Gecompleteerde Programma s Definition 1. Stel P is een definiet programma de completering comp(p) van P is de verzameling formules verkregen door de volgende drie transformaties: 1. Vervang voor elk predikaatsymbool p elke clausule C van de vorm: p(t 1,...,t m ) L 1,...,L n (n 0) door de formule: p(x 1,...,X m ) Y 1,...,Y i (X 1 =t 1,..., m =t m,l 1,...,L n ) 2. Voor elk predikaatsymbool p vervang alle formules: door de formule: p(x 1,...,X m ). B 1 p(x 1,...,X m ) B j X 1,...,X m (p(x 1,...,X m ) B 1... B j ) indien j > 0 X 1,...,X m ( p(x 1,...,X m )) indien j = 0 Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 4

6 3. Het programma wordt uitgebreid met de vrije gelijkheidsaxioma s: (X =X) (ε 1 ) (X =Y Y =X) (ε 2 ) (X =Y Y =Z X =Z) (ε 3 ) (X 1 =Y 1... X n =Y n ) f(x 1,...,X n ) =f(y 1,...,Y n )) (ε 4 ) (X 1 =Y 1... X n =Y n ) (p(x 1,...,X n ) p(y 1,...,Y n ))) (ε 5 ) (f(x 1,...,X n ) =f(y 1,...,Y n ) X 1 =Y 1... X n =Y n ) (ε 6 ) ( f(x 1,...,X m ) =g(y 1,...,Y n )) (indien f/m <> g/n) (ε 7 ) ( X =t) (indien X een echte subterm is van t) (ε 8 ) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 5

7 Example 1. We completeren het programma: above(x,y) on(x,y). above(x,y) on(x,z) above(z,y). on(c, b). on(b, a). Stap 1 geeft: above(x 1,X 2 ) X,Y(X 1 =X X 2 =Y on(x,y)). above(x 1,X 2 ) X,Y,Z(X 1 =X X 2 =Y on(x,z) above(z,y)). on(x 1,X 2 ) (X 1 =c X 2 =b) on(x 1,X 2 ) (X 1 =b X 2 =a) Stap 2: X 1,X 2 (above(x 1,X 2 ) X,Y(...) X,Y,Z(...)) X 1,X 2 (on(x 1,X 2 ) (X 1 =c X 2 =b) (X 1 =b X 2 =a)) Stap 3: Zie boven. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 6

8 SLDNF-resolutie voor definiete programma s Definition 2. [Algemeen doel] Een algemeen doel is van de vorm: L 1,...,L n (N 0) waarin L i een positieve of negatieve grondterm is. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 7

9 Definition 3. [SLDNF-resolutie voor definiete programma s] Stel G 0 is een algemeen doel, P een definiet programma en R een rekenregel. Een SLDNF-afleding van G 0 (met gebruik van P en R) is een (on-)eindige reeks doelen: C 0 C G 0 n G1... G n Gn+1... C i waarin G i Gi+1 één van de twee gevallen is: 1. De R-geselecteerde grondterm in G I is positief en G i+1 is afgeleid van G i en C i met een stap van de SLD-resolutie. 2. De R-geselecteerde grondterm in G I van de vorm A, A heeft een eindig gefaalde SLD-boom en G i+1 wordt uit G i verkregen door A te verwijderen met FF als marker voor C i. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 8

10 Algemene Logische Programma s Definition 4. [Algemene clausule] Een algemene clausule is een formule: A 0 L 1,...,L n. waarin A 0 een atomaire formule is en L 1,...,L n positieve of negatieve grondtermen (n 0). Definition 5. [Logische programma s] Een algemeen (logisch) programma is een eindige verzameling algemene clausules. Example 2. founding (X) on (Y,X) on ground (X) on ground (X) off ground (X) off ground (X) on (X,Y) on (c,b) on (b,a) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 9

11 Definition 6. [Gelaagd Programma] Een algemeen programma P heet gelaagd desda er een partitionering is van P in P 1,...,P n zodanig dat: Als P(...)...,q(...),... P i dan P q P 1... P i ; Als P(...)..., q(...),... P i dan P q P 1... P i 1 ; Example 3. founding (X) on (Y,X) on ground (X) on ground (X) off ground (X) off ground (X) on (X,Y) on (c,b) onb,a) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 10

12 Constructie Standaard-model Definition 7. [Onmiddelijk Gevolg-operator (herzien)] Stel grond(p) is de verzameling van alle grond-instanties van clausules van P. T P is een funktie op P en als volgt gedefinieerd: T P (I) := {A 0 A 0 A 1,...,A m grond(p) {A 1,...,A m } I} Voor algemene programma s met een Herbrand-interpretatie I, noteren we: I = A desda A I en I A desda A / I T P ω(i) is de limiet van de reeks: T P 0(I) T P (i +1)(I) T P ω(i) := I := T P (T P n(i)) T P n(i) := T P i(i) i=0 Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 11

13 Een kanoniek Herbrand-model voor P, laag voor laag: M P is de limiet van de reeks: M 1 := T P1 ω( ) M 2 := T P2 ω(m 1 ). M n := T Pn ω(m n 1 ), T P1 ω( ), T P2 ω(t P1 ω( )), T P3 ω(t P2 ω(t P1 ω( ))),... Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 12

14 SLDNF-resolutie voor algemene programma s Principe: A slaagt desda A een eindig gefaalde SLD-boom heeft. A faalt einding desda A een SLD-weerlegging heeft. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 13

15 Definition 8. [SLDNF-bos] Stel P is een algemeen programma, G 0 een doel en R een rekenregel. Het SLDNF-bos van G 0 is het kleinste bos (modulo hernoemen van variabelen), zo dat: 1. G 0 is de wortel van een boom. 2. Als G een knoop is in het bos en met een positief atoom geselecteerd, dan is er voor elke clausule C, zodat G uit G en C met mgu θ kan worden afgeleid een kind gelabeld G. Als er geen clausule is, is er één kind met label FF. 3. Als G een knoop is in het bos en met een negatief atoom geselecteerd, (d.w.z. G is van de vorm: L 1,...,L i 1, A,L i+1,...,l i+j ) dan: Het bos bevat een boom met wortel gelabeld A. Als de boom met wortel A heeft een blad met een lege antwoordsubstitutie dan heeft G één kind gelabeld FF. Als de boom met wortel A heeft eindig is en alle bladeren zijn gelabeld FF dan heeft G één kind gelabeld L 1,...,L i 1,L i+1,...,l i+j (de geassocieerde substitutie is ε). Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 14

16 Voorbeeld SLDNF-bos Example 4. Het SLDNF-bos voor founding(x) en het volgende programma: founding (X) on (Y,X) on ground (X) on ground (X) off ground (X) off ground (X) on (X,Y) above (X,Y) on (X,Y) above (X,Y) on (X,Z) above (Z,Y) on (c,b) on (b,a) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 15

17 SLDNF-bos heeft een SLDNF-bos voor het doel founding(x):. founding(x). on(y 0,X),on ground(x). ւց on ground(b). on ground(a). of f ground(b). of f ground(a). FF Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 16

18 of f ground(b). of f ground(a). on(b,y 0 ). on(a,y 0 ). FF Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 17

19 Halts halts (X) loops (X) loops (X) loops (X) loops(x). halts(x). loops(x). loops(x) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 18

20 Problemen Problem 1. p p comp(p p) Conclusie comp is inconsistent, maar de SLDNF-boom voor p heeft een oneindige tak. Problem 2. ( p q p (q q) comp p q ) Vanwege het uitgesloten derde geldt comp(p) = p, maar wat als q een oneindige tak heeft, b.v. via q q Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 19

21 Driewaardige Completering Definition 9. [Partiële Herbrand-interpretatie] Een partiële Herbrand-interpretatie van een algemeen programma P is een interpretatie J waarvoor geldt: het domein van J is U P. voor elk n-air predikaatsymbool p is de relatie p J een deelverzameling van U n P (de verzameling van alle n-tupels van grondtermen). { t 1,...,t n U n P J = p(t 1,...,t n )} Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 20

22 En voor logische constanten (samengestelde formules) geldt de driewaardige waarheidsdefinitie: J σ ( F) := 1 J σ (F) J σ (F G) := min{j σ (F), J σ (G)} J σ (F G) := max{j σ (F), J σ (G)} J σ (F G) := als J σ (F) < J σ (G) dan 0 anders 1 J σ (F G) := als J σ (F) = J σ (G) dan 1 anders 0 J σ ( XF) := min{j σ[x t] t J } J σ ( XF) := max{j σ[x t] t J } De interpretatie van: 1 2 is ongedefinieerd J σ (A) A / J σ A / J σ 1 is waar J σ = (A) A J σ 0 is onwaar J σ (A) A J σ Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 21

23 Definition 10. [Partiële Herbrand-interpretatie (voor 3-waardige logica)] Een partiële Herbrand-interpretatie J is een interpretatie die behalve positieve grondformules A ook negatieve A mag bevatten (uiteraard voor geen enkele A geldt: A J A J.) Definition 11. [Partieel Model] Een interpretatie J is een model voor formule F van P desda elke formule van P geldt: J(F) = 1, notatie: J = 3 F. Definition 12. [Partiële Herbrand-model] Een partieel Herbrand-model van een algemeen programma is een partiële Herbrand-interpretatie die een model is voor elke formule van de verzameling. Definition 13. [Volledige Herbrand-interpretatie] Een partiële Herbrand-interpretatie heet volledig als voor elke grondformule A geldt: A J A J. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 22

24 Theorem 1. [Correctheid van SLDNF-resolutie (herzien)] Stel P is een algemeen programma en L 1,...,L n een algemeen doel Als L 1,...,L n een berekende antwoordsubstitutie θ heeft dan comp(p) = 3 (L 1 θ... L n θ) Als L 1,...,L n een eindig gefaalde SLDNF-boom heeft dan comp(p) = 3 ( (L 1 θ... L n θ)) Definition 14. Een algemeen programma P en een doel G is toegestaan als elke variabele van alle clausules van P en G in een positieve grondterm voorkomen. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 23

25 Theorem 2. [Volledigheid van SLDNF-resolutie] Stel P is een toegestaan programma en L 1,...,L n een toegestaan doel Als comp(p) = 3 (L 1 θ... L n θ) dan heeft L 1,...,L n een berekende antwoordsubstitutie θ. Als comp(p) = 3 ( (L 1 θ... L n θ)) dan heeft L 1,...,L n een eindig gefaalde SLDNF-boom. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 24

26 Floundering Spartelen (of: floundering) is het ten onrechte falen van een negatie als gevolg van een ongeïnstantieerde variabele in de genegeerde term. Example 5. (married(x)) is ook veel minder vaak waar als op grond van de predikaatlogica verwacht mag worden in: unmarriedstudent (X) (married (X)),student (X) student (bill) married (joe) bill is blijkbaar een ongehuwde student (gesloten wereld aanname, GWA), maar met een ongeïnstantieerde variabele weet Prolog hem niet te vinden.? unmarriedstudent (bill) Yes? unmarriedstudent (X) No Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 25

27 Problemen herzien Problem 1. p p q comp(p) is nu niet meer inconsistent; {q} is het kleinste driewaardige model voor comp(p). Problem 2. ziet er gecompleteerd zo uit: p q p q q q p (q q) q q Het model voor comp(p) is (p en q zijn ongedefinieerd), dus comp(p) 3 p (t.o.v. (klassiek) comp(p) = 2 p) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 26

28 Correctheid (soundness) & Volledigheid Uitdrukkingskracht van de verschillende syntactische vormen. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 27

29 Uitdrukkingskracht van de verschillende semantische vormen. SLD comp 2 comp 3 SLDNF Definiete progs = = = Gelaagde progs = = Algemene progs = *: voor toegestane progs. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 28

30 Welgefundeerde Semantiek Problem 3. Gegeven de programma s P 1 en P 2 : P 1 : halts(a) P 2 : halts(a) halts(b) halts(b) comp(p 1 ) = halts(b) maar: comp(p 2 ) halts(b) Maar volgens de GWA: gwa(p 1 ) = halts(b) maar: gwa(p 2 ) = halts(b) Problem 4. loops(a) halts(a) gwa(p) is inconsistent omdat noch P = loops(a) noch P = halts(a). Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 29

31 Het Kanonieke Model Met het kanonieke model voor algemene programma s wordt het model bedoeld dat overeenkomt met de GWA. {A A B P en I = A} { A A B P en I = A} Theorem 3. Als P een algemeen programma is en I een Herbrand-interpretatie van P dan is I een model van P desda T P (I) I. Definition 15. [Ondersteunde Interpretatie] Stel P is een algemeen programma. Een Herbrand-interpretatie I van P heet ondersteund desda voor elke I = A er een A L 1,...,L n grond(p) bestaat waarvoor geldt: I = L 1,...,L n. Theorem 4. Als P een algemeen programma is en I een Herbrand-interpretatie van P dan is I ondersteund desda I T P (I). Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 30

32 Problem 5. loops(a) loops(a) heeft twee ondersteunde modellen: {loops(a)} en. Conclusie: Het kanonieke model moet minimaal zijn. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 31

33 De ongefundeerde Verzameling Een atoom A is onwaar als elke grondclausule A L 1,...,L n een onwaar grondatoom bevat of een positief ongefundeerd grondatoom bevat. Definition 16. [Ongefundeerde Verzameling] Stel I is een partiële Herbrandinterpretatie. Een deelverzameling U van de Herbrand-basis heet een ongefundeerde verzameling P m.b.t. I als voor elke A U en voor elke A L 1,...,L n ground(p) tenminste één van de volgende beweringen geldt: Een L L 1,...,L n is onwaar in I. Een positief grondatoom A L L 1,...,L n is in U. U is de grootste ongefundeerde verzameling van P m.b.t. I, notatie F P (I). Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 32

34 Welgefundeerde model Definition 17. [Welgefundeerde Model] Van een algemeen programma P is het welgefundeerde model de kleinste partiële Herbrand interpretatie I zodat: Als A T P (I) dan A I. Als A F P (I) dan A I. Het welgefundeerde model van P is het kleinste dekpunt van de operator: W P (I) = T P (I) F P (I) waarin F P (I) = { A A F P (I)}. Het kleinste dekpunt W P is de limiet van het (mogelijk transfiniete) iteratieve proces:, W P ( ), W P (W P ( )),... Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 33

35 Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 34

36 Zettenspel voor 2 personen De speler verlies als hij geen zet kan doen of alleen naar een positie kan gaan waar de andere speler wint. De speler wint als hij naar een positie kan gaan waar de andere speler verliest. w (X) m (X,Y) w (Y) m (a,b) m (b,a) m (b,c) Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 35

37 Het model kan worden berekend als de limiet van W P n afgekort: I n. I 1 = T P ( ) F P ( ) waarin : T P ( ) = {m(a,b),m(b,a),m(b,c)} F P ( ) = {m(a,a),m(a,c),m(b,b),m(c,a),m(c,b), m(c,c),w(c)} Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 36

38 w(c) zit in de ongefundeerde verzameling omdat alle grondinstanties van de clausule w(c) m(c, Y) w(y) een positieve grondterm bevatten die in de ongefundeerde verzameling zit: I 1 = T P ( ) F P ( ) waarin : T P ( ) = {m(a,b),m(b,a),m(b,c)} F P ( ) = {m(a,a),m(a,c),m(b,b),m(c,a),m(c,b), m(c,c),w(c)} w(b) is waar omdat I 1 = m(b,c) w(c): I 2 = T P (I 1 ) F P (I 1 ) waarin : T P (I 1 ) = {m(a,b),m(b,a),m(b,c),w(b)} F P (I 1 ) = {m(a,a),m(a,c),m(b,b),m(c,a),m(c,b), m(c,c),w(c)} w(a) is ongefundeerd want alle grondinstanties van w(a) m(a, Y) w(y) bevatten ofwel een ongefundeerde positieve grondterm ofwel een onware negatieve Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 37

39 grondterm ( w(b)): I 3 = T P (I 2 ) F P (I 2 ) waarin : T P (I 2 ) = {m(a,b),m(b,a),m(b,c),w(b)} F P (I 2 ) = {m(a,a),m(a,c),m(b,b),m(c,a),m(c,b), m(c,c),w(c),w(a)} Nu geldt W P (I 3 ) = I 3, dus I 3 is het kleinste dekpunt. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 38

40 Eigenschappen Een minimale partiële interpretatie maximaliseert de ongedefinieerdheid. Een minimale tweewaardige interpretatie maximaliseert onwaarheid. Theorem 5. Als P een definiet programma is, dan is het welgefundeerde model volledig en valt samen met het kleinste Herbrand-model. Theorem 6. Als P gelaagd is, dan is het welgefundeerde model volledig en valt samen met het standaard-model. Kennisrepresentatie & Redeneren Week5: Ontkenning 39