Hoofdstuk 9. Mechanische verschijnselen van de elektrische stroom - LORENTZKRACHT

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9. Mechanische verschijnselen van de elektrische stroom - LORENTZKRACHT 1 Krachtwerking van de elektrische stroom. 1.1 De Lorentzkracht. Beschouw een geleider waarin een stroom vloeit. (figuur 1) Ten gevolge van de stroom ontstaat er, in een punt P in de omgeving van de geleider, een magnetisch veld. De zin van het veld kan bepaald df worden met de RHR. ds Volgens Laplace kan men de veldsterkte dh, in P, dh,df ds sin θ bepalen met dh = 2. Dit is de oneindig θ 4π x m in P kleine veldsterkte veroorzaakt in P door de stroom die vloeit door ds (een oneindig kleine lengte (ds) van de draad). Figuur 1: kracht op een geleider. s er in p een noordpool aanwezig, dan ondervindt deze, t.g.v. dh, een kracht df. De grootte van df = m.dh. (m is de poolsterkte van de noordpool) De zin is dezelfde als van dh. Verklaar. Wegens de wet van actie en reactie, is er in ds een even grote maar tegengestelde kracht df. Om de totale kracht op de draad te bepalen, moeten de krachten, in elk punt (ds) van de draad,vectorieel opgeteld (=integraal) worden. θ = F L.sin.ds F.m (1) x² df = 0 0 4π De draad ds ligt in het magnetisch veld veroorzaakt door de noordpool in P. m m n ds is de magnetische veldsterkte H = B = µ.h =.(2) 4πµx² 4πx² uit (1) en (2) volgt: F B..sin θ.ds. = L 0 Dit is de formule van Lorentz, F is de Lorentzkracht. Opmerkingen: Hoe bepaal je de totale kracht op de noordpool? De kracht op de draad is verdeeld over de totale draadlengte. Meestal bepaalt en berekent men de totale kracht (resultante) op de draad. Hieronder volgen een aantal speciale gevallen: A. Risack 9.1

2 1.1.1 Kracht op een stroomvoerende geleider geplaatst in een homogeen magnetisch veld. Een homogeen veld is een veld dat in elk punt even sterk is en waarvan de veldlijnen evenwijdig zijn. Men zou kunnen stellen dat het is alsof de noordpool en de zuidpool oneindig ver verwijderd zijn. α L B, Φ Bij het toepassen van de wet van Lorentz, vinden we dat: F = B.L..sin α = B.L. Bepaal de zin van de kracht en teken de kracht op de figuur. Figuur 2: Lorentzkracht op een draad. Bij het aanduiden van een andere hoek, kan het nodig zijn de cosα te gebruiken! Onthouden van de zin van de kracht: linkerhandregel (LHR). Vang de veldlijnen op met de (linker) handpalm. Laat de (projectie van ) stroom vloeien volgens de zin van de vingers. De gestrekte duim zal dan wijzen in de zin van de kracht. Controleer! Deze regel is geen bewijs voor de zin van de kracht, om deze zin te bepalen moet de redenering uit het vorige punt gevolgd worden Kracht op een stroomvoerende geleider loodrecht geplaatst op het homogeen magnetisch veld. De hoek in de bovenstaande figuur is dan 90, waardoor F=B.L.. Ook hier vinden we de zin van de kracht met de linkerhandregel Kracht op een stroomvoerende geleider evenwijdig geplaatst met het homogeen magnetisch veld. De hoek in de bovenstaande figuur is dan 0, waardoor F=0. Om een kracht op een geleider te ondervinden, is het noodzakelijk dat de geleider het veld snijdt. A. Risack 9.2

3 1.1.4 Krachtwerking op een bewegende lading in een magnetisch veld. Zodra er een lading beweegt in een magnetisch veld, komt dit overeen met een stroom. Op de lading werkt er bijgevolg een Lorentzkracht. ndien het een positieve lading is die beweegt, dan kan de zin van de kracht bepaald worden met de LHR. q F v B Stel dat een elektrische lading q met een snelheid v beweegt in een homogeen magnetisch veld met inductie B. q L F = B.L. = B.L. = B..q = B.v.q t t zin: zie figuur 3, verklaar. Figuur 3: kracht op een bewegende lading. Uit de mechanica weten we dat als een massa m onderworpen wordt aan een constante kracht F, die steeds loodrecht op de bewegingsrichting staat, de massa een cirkelvormige baan zal beschrijven. Op elk ogenblik is er evenwicht tussen de Lorentzkracht (F) en de middelpuntvliegende kracht (F ). Hiermee kan de straal van de cirkelvormige baan berekend worden: F = F' Bqv = mv²/r of of R = mv/bq met R [m]; m [kg]; v [m/s]; B [T]; q [C] n de richting van de beweging treedt er geen versnelling op, de lading behoudt in zijn cirkelbaan steeds dezelfde snelheid v. Het is een eenparig cirkelvormige beweging. ndien de bewegende lading een elektron is, dan is: q=q e = -1, C; m = 9, kg De zin van de kracht, evenals de draaizin van het elektron is tegengesteld aan de zin bij een positieve lading. Verklaar. Wat is de omlooptijd of wat is de tijd, die nodig is om één volledige cirkel te beschrijven? snelheid = afgelegde weg / tijd tijd = afgelegde weg / snelheid L 2π R m v 2π m v 2π m t = en T = en R = daaruit volgt T = of T = v v B q v B q B q A. Risack 9.3

4 Opmerking : ndien snelheid v niet loodrecht op de inductie B staat, of indien er tussen B en v een hoek β 90 is, dan kan de snelheidsvector ontbonden worden in een component loodrecht op het veld en een component evenwijdig met het veld. De eerste component veroorzaakt een kracht (waardoor een cirkelvormige baan ontstaat), de tweede component veroorzaakt geen kracht (verklaar), hierdoor ontstaat een eenparig rechtlijnige beweging. Deze combinatie levert een spiraalvormige baan Toepassingen: a. Afbuiging in de beeldbuis van een TV of een oscilloscoop: Door de afbuigspoel, die over de hals van de beeldbuis geschoven is, wordt een magnetisch veld opgewekt. Een elektron, dat binnenkomt met een beginsnelheid v 0 wordt afgebogen volgens een cirkelvormige baan, zolang het zich in het magnetisch veld bevindt. Het elektron verlaat het magnetisch veld volgens een rechte baan, rakend aan de cirkel. Het verplaatst zich verder met een constante snelheid, totdat het op het scherm van de beeldbuis terecht komt. opmerking : de afbuiging op radarschermen gebeurt ook magnetisch; bij elektronenoscilloscoop gebeurt de afbuiging met elektrisch veld. b. n de kernfysica : (zie eventueel "Elektronen en kernen" door ir B. van Buuren) Om de deeltjes te versnellen wordt gebruik gemaakt van lineaire versnellingstoestellen; het eenvoudigste principe is een systeem met twee elektroden Deeltjesversnellers worden in de zeer gespecialiseerde natuurkunde als hulpmiddel gebruikt om de interne structuur van de stoffen te ontleden. A. Risack 9.4

5 2 Moment op een rechthoekige stroomlus in een magnetisch veld. We beschouwen een rechthoekige winding waardoor een stroom vloeit. De winding bevindt zich in een homogeen magnetisch veld. De aslijn van de lus staat loodrecht op de magnetische veldlijnen. We beschouwen de stand waarbij de winding een hoek α vormt t.o.v. de veldlijnen. (zie figuur 4) zijaanzicht B, φ B, φ L bovenaanzicht F d=2.r α B, φ F Figuur 4: moment op een rechthoekige stroomlus in een magnetisch veld. De bovenste geleider ondervindt een Lorentzkracht (bepalen met de LHR) naar boven gericht, de onderste geleider een kracht naar onder gericht, de resulterende kracht op deze twee delen van de lus is nul. Hoe groot is de kracht op elke geleider? Waarom veroorzaken deze krachten geen moment? De linker geleider ondervindt een kracht naar voor gericht, de rechter geleider een kracht naar achteren gericht. Verklaar. De waarde van de kracht is in beide gevallen F = B L [N]. Deze twee krachten zorgen ervoor dat het raam draait, er ontstaat een moment of een koppel (M). A. Risack 9.5

6 Het draaimoment veroorzaakt door dit koppel van krachten is M = F.d = F.d.cosα = B.L..d.cosα = B..A.cosα = B..A // [Nm] Voor N windingen wordt dit: M // = B..A. N. Deze formule ook kan gebruikt worden voor oppervlakken die niet rechthoekig zijn. De waarde van M is onafhankelijk van de vorm van de lus. 3 Kracht tussen twee evenwijdige stroomvoerende geleiders. vooraanzicht 1 2 r bovenaanzicht H 2 H 1 We beschouwen twee oneindig lange rechte geleiders, waardoor respectievelijk de stromen 1 en 2 vloeien. De geleiders zijn evenwijdig aan elkaar opgesteld, de tussenafstand = r. (zie figuur 5) Rond elke stroomvoerende geleider ontstaat een magnetisch veld. De ene geleider bevindt zich in het magneetveld van de andere geleider en omgekeerd. De stroomvoerende geleider 1 veroorzaakt, op een afstand r, een veldsterkte H 1 en een inductie B 1. 1 B1 = µ 0µ rh1 = µ 0µ r 2πr F 12 F 21 Van waar haalt men H 1? En de zin? Daar 2 vloeit in de inductie B 1, ondervindt de tweede geleider een lorentzkracht F. Figuur 5: F tussen 2 draden. F = B1.2.L = µ µ 0 r 1.2.L = µ 0µ 2πr r 12. L 2πr Berekent men de kracht op de eerste geleider, dan bekomt men dezelfde uitdrukking. Dit moet ook wegens de wet van actie en reactie. Controleer! [N] Deze uitdrukking van de kracht ligt aan de basis van de definitie van de ampère. A. Risack 9.6

7 De ampère is de constante stroomsterkte, die door twee oneindig lange rechte geleiders, met te verwaarlozen dwarsdoorsnede, geplaatst op één meter van elkaar in het vacuüm, moet vloeien om een onderlinge kracht van N per meter lengte te veroorzaken. Verklaring: = 4π = π F Wat gebeurt er als 1 stroomzin omkeert? En als beide zinnen omkeren? 4 Hall-effect. 4.1 Principe. [N] q e v B U H F Figuur 6: Hall-effect. Wordt een vlakke geleider met geringe dikte d, doorlopen door een gelijkstroom met stroomsterkte en onderworpen aan een loodrecht magnetisch veld met inductie B, dan ontstaat op elke bewegende lading q een lorentzkracht. De zin van de kracht wordt bepaald met de LHR. Een stroom is echter een beweging van elektronen. De zin van de kracht op deze elektronen kan ook met de LHR worden bepaald, maar dan moet de zin van F omgedraaid worden (zie figuur 6) (verklaar). Hierdoor ontstaat er bovenaan een concentratie positieve ladingen en onderaan een concentratie negatieve lading. Tussen deze uiteinden ontstaat een kleine dwarsspanning U H, de Hall-spanning. U H = B d R H met R H de constante van het materiaal of hall- constante A. Risack 9.7

8 4.2 Toegepaste materialen. De technisch bruikbare materialen voor het hall-effect moeten aan de volgende eisen voldoen : -grote hallconstante; -kleine soortelijke elektrische weerstand ρ, om een spanningsbron te bekomen met lage inwendige weerstand; -de hallconstante moet praktisch onafhankelijk zijn van de temperatuur Voor metalen is de hallconstante zeer gering. Deze constante wordt alleen belangrijk voor bepaalde halfgeleidermaterialen, zoals : ndium-antimonide (nsb); ndium-arsenide (nas); Gallium-arsenide (GaAs). 4.3 Hallgenerator Naargelang van het type, krijgt men spanningen tot circa 2 V bij een stuurstroom van 60 tot 400 ma en een magnetische inductie van 1 T. Het verband tussen de verkregen spanning U H en de inductie B is zeer lineair, indien de stuurstroom constant gehouden wordt. Een hallgenerator is uiterst geschikt om de inductie B op te meten. A. Risack 9.8

9 5 Praktische toepassingen van de magnetische krachtwerking. Er zijn talrijke praktische toepassingen van de magnetische krachtwerking op bewegende elektrische ladingen. 5.1 De elektromotor De stroomvoerende geleiders in de rotorwikkeling ondervinden lorentzkrachten in het magnetisch veld van de stator. Aldus vormt zich een draaikoppel. F n B Figuur 7: : principe van een elektromotor. F 5.2 Het draaispoelmeetsysteem Figuur 8: een modern draaispoelmeetsysteem. Een spoeltje met rechthoekige windingen is draaibaar opgesteld in het veld van een elektromagneet. Als een elektrische stroom wordt gestuurd in het spoeltje ondervinden de zijdelingse geleiders lorentzkrachten in het radiaal veld dat bestaat in de luchtspleet. Aldus ontstaat een draaikoppel dat functie is van de stroomsterkte. Het komt in evenwicht op het ogenblik dat het elektromagnetisch koppel even groot en tegengesteld is aan het tegenwerkend koppel van twee spiraalveertjes of torsiebandjes. De uitwijkingshoek van het systeem is dus een maat voor de stroomsterkte. Dit meetsysteem wordt veel toegepast bij analoge (wijzer) toestellen: bvb. voltmeters, ampèremeters, ohmmeters, galvanometers, enz. A. Risack 9.9

10 5.3 Het elektrodynamisch meetsysteem Hierbij ondervindt een draaibaar opgesteld stroomvoerend spoeltje een drijvend koppel in het magnetisch veld van twee vast opgestelde stroomvoerende spoelen. De magnetische velden verlopen in de lucht. Dit meetsysteem wordt vooral gebruikt in wattmeters voor het meten van vermogen in wisselstroom en in gelijkstroom. Figuur 9: elektrodynamisch meettoestel 5.4 Het ferrodynamisch meetsysteem Het verschil met het elektrodynamisch meetsysteem is dat hier de magnetische flux van de vast opgestelde spoelen verloopt in een gelamelleerde kring. Daardoor is de gevoeligheid merkelijk groter geworden. Dit type systeem wordt toegepast in wattmeters. A. Risack 9.10

11 5.5 De permanentdynamische luidspreker Een cilindrisch spoeltje is opgesteld in de luchtspleet tussen een permanente magneet en een zachtstalen kern. Als een kleine audiostroom in het spoeltje vloeit, ondervindt deze lorentzkrachten, waardoor het spoeltje heen en weer zal bewegen. Deze trillingen worden overgebracht op een grote conus die aan het spoeltje vastgehecht is. De optredende luchtverplaatsingen brengen geluidsgolven teweeg. Figuur 10: Permanentdynamische luidspreker (Philips-Nederland). 6 Oefeningen. 6.1 Opgave 1. Een elektron beweegt met een eenparige snelheid van 40 km/s loodrecht op de krachtlijnen van een magnetisch veld met een veldsterkte van 6000 A/m. Bereken de lorentzkracht op dit elektron uitgeoefend. (F q = 48,32 x N) 6.2 Opgave 2. Een proton treedt binnen in een magnetisch veld van 0,15 T met een snelheid van km/s, onder een hoek van 30 met de richting van het veld. Bereken de lorentzkracht, uitgeoefend op dit proton. (F = 0,2403 x N) A. Risack 9.11

12 6.3 Opgave 3. Een rechte geleider, die een stroom voert van 30 A, bevindt zich over een lengte van 6 cm in een magnetisch veld met een inductie van 0,016 T. Bereken de lorentzkracht. (F = 0,0288 N = 28,8 mn) 6.4 Opgave 4. Een rechte geleider bevindt zich over een afstand van 20 cm in een veld met een fluxdichtheid van 0,6 T. De stroom in de geleider is 50 A. Bereken de lorentzkracht. (F= 6 N) 6.5 Opgave 5. Een geleider voert een stroom van 100 A en bevindt zich over 25 cm lengte in een uniform magnetisch veld. De lorentzkracht op de geleider is 16 N. Bereken de magnetische inductie. (B = 0,64 T) 6.6 Opgave 6. De magnetische veldsterkte in een homogeen veld is 100 ka/m. Een lading van 20 µc beweegt zich met een eenparige snelheid van 60 m/s loodrecht op de veldlijnen. Bereken de lorentzkracht op deze bewegende lading. (F = 150,80 x 10-6 N) 6.7 Opgave 7. Twee evenwijdige rechte geleiders bevinden zich op 5 mm van elkaar en voeren respectievelijk stromen van 12 A en 8 A. Bereken de elektrodynamische kracht. (F = 3,84 x 10-3 N = 3,84 mn) 6.8 Opgave 8. Twee evenwijdige rechte geleiders voeren stromen van 20 A en 30 A. De afstand tussen de geleiders is 4 cm. Bereken de onderlinge kracht. (F = 0,003 N = 3 mn) 6.9 Opgave 9. Twee stroomrails bevinden zich op 12 cm van elkaar, over een lengte van 4 m. Bereken de elektrodynamische kracht tussen de rails als een kortsluitstroom optreedt van 30 ka. (F= 6000 N = 6 kn) A. Risack 9.12

13 6.10 Opgave 10. Twee rechte stroomrails, op 20 cm afstand van elkaar, ondervinden per meter lengte, een elektrodynamische kracht van 1 kn op het moment van het optreden van een kortsluiting in het spanningsnet. Bereken de grootte van de kort- sluitstroom. ( k = A = 31,623 ka) 6.11 Opgave 11. Een spoel met 40 rechthoekige windingen van 12 cm lengte en 10 cm breedte staat met het vlak evenwijdig met de veldlijnen van een magnetisch veld met een inductie van 0,25 T. Bereken het koppel dat werkt op deze spoel als de stroomsterkte erin 2 A is. (T = 0,24 N.m) 6.12 Opgave 12. Een vlakke spoel heeft 100 windingen waarin een stroom vloeit van 1,6 A. De rechthoekige windingen hebben een lengte van 10 cm en een breedte van 8 cm. Het vlak van de spoel is evenwijdig opgesteld met de veldlijnen van een uniform magnetisch veld waarvan de inductie 0,06 T is. Bereken het koppel dat deze spoel ondervindt. (T = 0,0768 N.m) 6.13 Opgave 13. Een vlak spoeltje heeft 12 cirkelvormige windingen met een diameter 24 mm, waarin een stroom vloeit van 0,4 A. 250 mm N 1 =200 1 =3A 24 mm 2 =0,4A N 2 =12 B 40 mm Dit spoeltje bevindt zich in een solenoïde met 200 cirkelvormige windingen met een diameter van 4 cm. De luchtspoel is 25 cm lang, en voerteen stroom van 3 A. Bereken het koppel dat vereist is om de as van het vlak spoeltje loodrecht op de as van de luchtspoel te houden. (T = 6,467 x 10-6 N. m) 6.14 Opgave 14. Een germanium hallgenerator levert een spanning van 2,50 V bij een stroomsterkte van 125 ma. Het plaatje heeft een dikte van 0,4 mm. A. Risack 9.13

14 Bereken de magnetische inductie van het veld waarin dit plaatje zich bevindt, als C H = 0,01 m³/a.s (B = 0,8 T) 6.15 Opgave 15. Bereken de hallspanning die ontstaat tussen de langszijden van een germaniumplaatje met een C H = 0,01 m³/a.s, dat een dikte heeft van 0,8mm, een breedte van 3,2 mm en een lengte van 8,5 mm. De inductie loodrecht op het vlak van het plaatje bedraagt 0,6 T en de stroomsterkte in de langsrichting is 250 ma. (U H = 1,875 V) 6.16 Opgave 16. Het anker van een gelijkstroommotor draagt 320 rechthoekige windingen met een lengte van 32 cm en een diameter (breedte) van 24 cm. De stroomsterkte in iedere geleider aan de omtrek van het anker is 8 A. De magnetische inductie in de luchtspleten tussen poolschoenen en anker is 0,6 T. Bereken het koppel dat dit anker ontwikkelt als op ieder moment 75 % van de geleiders zich voor magneetpolen van de stator bevinden. (T = 88,47 N. m) 6.17 Opgave 17. Een elektron beweegt loodrecht op de veldlijnen van een elektrisch veld en tegelijkertijd loodrecht op de krachtlijnen van een magnetisch veld. De veldlijnen van het elektrisch veld en van het magnetisch veld staan loodrecht elkaar. De elektrische veldsterkte is 1500 V/m en de magnetische inductie 0,4 T. Bereken de snelheid waarmede het elektron moet bewegen, opdat de elektrostatische kracht en de lorentzkracht elkaar zouden compenseren. (v = 3750 m/s) A. Risack 9.14

15 6.18 Opgave 18. Een elektron circuleert met een snelheid van km/s loodrecht op de veldlijnen van een magnetisch veld met een inductie van 0,8 T. Bereken de straal van de beschreven cirkelvormige baan en de kinetische energie van het elektron. (r = 0,213 mm; W = 410 x J = 2560 ev) A. Risack 9.15