Symmetrieën. 7 april prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef Science Park XG Amsterdam

Transcriptie

1 Symmetrieën 7 april 2014 prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef Science Park XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl jo@nikhef.nl jo@nikhef.nl

2 Inhoud Speciale rela*viteitstheorie Viervectoren Energie en impuls Quantumfysica Formalisme Verstrooiing Elementaire deeltjes en krachten Standaard model Maandag 24 maart 2014) Symmetrie en wisselwerkingen BehoudweEen, quarkmodel Symmetriebreking Maandag 7 april 2014 Elementaire deeltjes en kosmologie Donderdag 17 april 2014

3 Symmetrieën Resume quantummechanica Systeem wordt beschreven door een golffunc*e, Ψ Fysische observabele correspondeert met hermi*sche operator, O Verwach*ngswaarden worden gegeven door eigenwaarden TijdsaNankelijkheid wordt gegeven door de Schrödingervergelijking < O > bewegingsconstante, als [H,O] = 0

4 Symmetrieën Resume quantummechanica Systeem wordt beschreven door een golffunc*e, Ψ Fysische observabele correspondeert met hermi*sche operator, O Verwach*ngswaarden worden gegeven door eigenwaarden TijdsaNankelijkheid wordt gegeven door de Schrödingervergelijking < O > bewegingsconstante, als [H,O] = 0

5 Symmetrieën Symmetrie transforma*e U *jdsonanankelijk Unitair Commuteert met H Invullen in SV ConCnue transformace met generator G Er geldt G hermicsch observabele Symmetrie behoudswet

6 Behoud van impuls TranslaCe van golffuncce van een deeltje impulsoperator p x is behouden Algemeen translaceoperator

7 Behoud van lading Verval van elektron: τ > jaar Lading is veelvoud van e AddiCef quantumgetal Ladingsbehoud corresponderende symmetrie? GolffuncCe van deeltje met lading q Ladingsoperator Q Bijbehorende symmetrie IjktransformaCes en ijkinvariance Globaal want ε = constant

8 Lokale ijksymmetrieën Lading is in elk ruimtecjd punt behouden lokale symmetrie Unitaire groep U(1) Schrödingervergelijking niet invariant, want vrij deeltje Voer nieuw dynamische veld in en laat deeltje hiermee wisselwerken Minimale subsctuce Najaar 2004 Jo van den Brand 8

9 Proton is ook stabiel τ > jaar Behoud van baryongetal Baryongetal B = 1 voor p en n quarks B = 1/3 ancquarks B = - 1/3 Leptonen, mesonen hebben B = 0

10 Behoud van leptongetal ObservaCe: verval treedt in paren op: e + e -, µ + µ -, τ + τ - Voer leptongetallen in L e, L µ, L τ spin neutrino: 1/2 Verschil tussen neutrino s en ancneutrino s?

11 Cowan en Reines: detecae neutrino Basisidee van experiment Gebruik an*neutrino s Kernreactor als bron (700 MW) Detector: 200 liter water + CdCl 2 Vloeistofscin*llatoren ( liter elk) Resultaat:

12 Davis: detecae neutrino Bij dezelfde reactor gemeten: reacce verloopt niet! Neutrino s van de zon induceren de reacce: Neutrino s en ancneutrino s zijn verschillende deeltjes Echter: flux factor 2 3 te laag! Opgelost: neutrino oscillaces! Neutrino s hebben massa!!!

13 Neutrino s van de zon Specifiek energiespectrum van neutrino s Drempelenergie verschilt per deteccemedium Eerste experimenten gebruikten Ray Davis, Homestake, South Dakota Cl( ν, e )Ar e

14 Superkamiokande

15 SN1987A

16 Superkamiokande DetecCon of neutrino s from SN1987A Spectrum in agreement with supernova models Limit on mass of neutrino

17 Borexino in Gran Sasso Detect low energy (< 1 MeV) neutrino s from decay of 7Be Check MSW effect: neutrino oscillacons are affected by maper due to the presence of electrons

18 OPERA in Gran Sasso Fire muon neutrino s from SPS at CERN to OPERA in Gran Sasso Detect appearance of tau neutrino s - May 31, June 6, March 26, 2013 Emulsion in lead sheets and scincllator trigger planes Neutrino s travel faster than speed of light - Fiber opcc cable problem - Incorrect clock - Claim withdrawn in July 2012

19 Heavy water 1000 tons Sudbury Neutrino Observatory Electron- neutrino converts neutron into proton and electron. Cherenkov radiacon from electron is detected All neutrino species can break- up the deuterium nucleus. The neutron is captured forming tricum and a 6 MeV gamma

20 Solar neutrino problem Early (Cl) experiments (1968) showed that the sun did not produce enough neutrino s (by about a factor 3). SNU units are used Kamiokande (water; designed for proton decay) sees relacvely more neutrino s than the Cl detectors. Problems with expected energy distribucon? Gallium data accounted for by pep and hep SNO electron neutrino s account for one third of events SNO is sensicve to all neutrino flavors (through NC interaccons) and with all neutrino s in agreement with solar model Neutrino s oscillate! (thus have mass)

21 Kosmische neutrino s Antares en KM3NET

22 Kosmische neutrino s Amanda en Icecube

23 Zware neutrino s Pion verval AnCdeeltjes hebben dezelfde levensduur en B.R. ReacCes B.R. < treedt niet op

24 Spiegeling in de ruimte en pariteit Unitaire pariteitsoperace Andere quantumgetallen, Q, B, blijven gelijk Indien spiegelinvariant Gezamenlijke eigentoestanden Vb. waterstofatoom potencaal sferisch symmetrisch Pariteit golffuncces niet- ontaarde systemen Najaar 2004 Jo van den Brand 24

25 Pariteitschending in β- verval C.S. Wu et al. (1957) Gepolariseerde kern 60 C Detecteer p e Pseudoscalaire grootheid < p e J > Najaar 2004 ΔJ=1: e - ν e ΔJ=1: e - ν e

26 Pariteitschending in β- verval C.S. Wu et al T extern veld 100 T intern veld AdiabaCsche demagnecsace: 10 mk

27 Heliciteit van leptonen C.S. Wu A = < p e J > Goldhaber, Grodzins en Sunyar h = < p e σ > 1958: heliciteit neutrino 152 Eu + e Sm* + ν e 152 Sm* 152 Sm + γ Resultaat: < h νe = -1.0 ± 0.3 > Najaar 2004 Jo van den Brand 27

28 Pionverval: heliciteitsonderdrukking Waarneming: Incorrect: CorrecCefactor: Conclusie: Najaar 2004 Jo van den Brand 28

29 Sterke wisselwerking: behoud van pariteit pp verstrooiing T p = 50 MeV Longitudinale p polarisace PSI PSI Resultaat:

30 Intrinsieke pariteit (eigenpariteit) We kennen intrinsieke pariteit toe aan deeltjes, P N = +1 Gebruik behoud van pariteit in sterke wisselwerking om P π te bepalen Reactie: Neem aan: Selecteer pionvangst P π = -1 2S+1 Jo van den Brand L J 30

31 Vreemdheid

32 ProducAe: vreemde deeltjes Isospin +1/2-1/2 K ( su) K 0 ( sd ) K 0 ( sd) K ( su) +1-1 Vreemdheid E π drempel (GeV) 0 0 π + p Λ + K π + p Λ + K + n+ n π + + p K + + K + p 1.5 In het algemeen: moeilijker (i.e. hogere drempel) om S = - 1 deeltjes te maken dan S = +1 als het target een p of n (i.e. materie!) is, en de bundel uit π + of π - bestaat Voor S = +1, dienen we ergens een andquark vandaan te halen Een pure K 0 of K + bundel maken: onder de drempel

33 Κ 0 π + π - Verval van kaonen K +

34 ObservaCes: 1) Grote producce werkzame doorsnede 2) Lange levensduur à deeltjes worden alcjd in paren gemaakt

35 Vreemdheid Nieuwe mesonen en baryonen Eenvoudig in paren te produceren (`associated producdon ) Sterke wisselwerking AddiCef quantumgetal S (vreemheid): s- quark Lange levensduur Zwakke wisselwerking

36 Ontdekking ana- omega- min baryon Produceer deeltje met vreemdheid S = 3 Verval via

37 Quarkmodel: The eighzold way

38 Quarksystemen: hadronen meson en baryon mul*pleeen ( ds) qq ( us) qqq Gell- Mann 1969 ( su) ( sd) pseudoscalar (J P = 0 - ) octet + singlet

39 Quarkmodel: mesonen Mesonen qq toestanden Beschouw u, d en s Gewichtsdiagram (Y, T 3 ) Pseudoscalaire mesonen Constante lading

40 Pseudoscalaire mesonen Quarkmodel: pseudoscalaire mesonen Hoekpunten Centrum

41 Pseudoscalaire mesonen Menghoek 35 o Quarkmodel: vector mesonen Deeltjes hebben grotere massa

42 Quarkmodel: baryonen Baryonen qqq toestanden Enkel deeltjes, geen ancdeeltjes Geen baryonen met posiceve vreemdheid Groepentheorie

43 Quarkmodel: octet Octet Deeltjes stabiel in sterke wisselwerking Massaformule

44 Quarkmodel: decouplet Decouplet SU(3) kleur Pauli principe Omega- min

45 Meson massa s Berekend met consctuent quark massa s en kleur- magnecsche massasplitsing: M = mq + m + ΔM JJ qq q vrije parameters: consctuent q massa s: m m u, d s 310MeV 483MeV / c / c 2 2

46 Baryon massaspectrum usd uds Δ - Σ massa splitsing 80 MeV/c 2 vanwege spin- spin interacce SystemaCek leidt tot empirische massaformules

47 Zwaardere quarks

48 Ontdekking van de J/ψ Sam Ting en Burt Richter kregen in 1976 de Nobelprijs voor hun ontdekking SLAC: ψ(3105) Brookhaven: J SU(4) klassificace cc

49 Wat de naam betre_: Waarom ψ? Verval is: y(2s) J/ψ + π + + π - Gevolgd door J/ψ e + e - Het is handig als een deeltje zich zelf een naam gee}! Mark I (SPEAR) Event Display

50 Charmonium systeem cc- quark systeem Fotonspectrum van charmonium

51 Boaonium systeem QQ- potencal bb- quark systeem Verder nog glueball, hybrids, pentaquarks, Najaar 2004 Jo van den Brand 51

52 1977: Ontdekking van de ϒ 1988 bb

53 Verrassing: de B meson levensduur MAC en MARK- II waren detectoren bij PEP, een 30 GeV e + e - collider op SLAC (Stanford)

54 Ontdekking Top Quark: CDF & D0, 1994/5

55 natural accelerator: cosmic rays,

56 Quarks en leptonen

57 AnAmaterie Elk deeltje hee} ancdeeltje met dezelfde massa levensduur spin maar tegenovergestelde lading magnecsch moment en andere quantumgetallen Deeltjes en ancdeeltjes annihileren e + +e - γ+γ Maar ook gecreëerd worden γ e + +e - P. Dirac 1933

58 De ontdekking van anamaterie 23 MeV/c C. Anderson 1936 Anderson (1932) ontdekte het door Dirac voorspelde positron 6 mm lead B = 1.5 T

59 E=mc 2 : creaae materie en anamaterie + γ ee Z qq ( )( µν ) WW + ud µ Als we uit energie materie maken, dan wordt er alcjd evenveel ancmaterie gemaakt ν µ W + µ µ ( ud)

60 CPT theorema: deeltjes en anadeeltjes RelaCvisCsche golfvergelijking Klein- Gordon vergelijking Twee oplossingen voor de energie GolffuncCe met posiceve energie negaceve energie TijdsrichCng omkeren komt neer op lading omkeren

61 CPT theorema: deeltjes en anadeeltjes Voorbeeld: foton- elektron verstrooiing [ CPT, H ] = 0 voor alle interacces!

62 Eigenschappen anadeeltjes Belangrijkste eigenschappen C- pariteit Eigenschap EM- velden

63 Kaon verval m K ~ 494 MeV/c 2 1. Er bestaan geen vreemde deeltjes lichter dan de kaonen Verval schendt dus vreemdheid 2. Sterke wisselwerking behoudt vreemdheid Verval is zuivere zwakke interacce Hadronic decays: K K K K ππ, πππ, πππ ππ, πππ, πππ ππ, πππ, ππ, πππ ππ, πππ, ππ, πππ Hadronisch en leptonisch verval: Deeltje en ancdeeltje gedragen zich hetzelfde Semi-leptonic decays: K K K K µ 0 0 µ 0 0 π µ ν, π e ν π µ ν, π e ν + + π µ ν, π e ν µ + + π µ ν, π eν µ e e e e leptonic decays: K K K K 0 0 µν, e ν µ µν, e ν µ µ µ, e e µ µ, e e e e Semi- leptonisch verval: Deeltje en ancdeeltje zijn verschillend van elkaar!

64 CP- schending: neutrale kaonen ProducCe in sterke wisselwerking Goed gedefinieerde vreemdheid: kaon: S = 1; anckaon: S = - 1. K en K: elkaars ancdeeltjes dezelfde massa en levensduur Experimenteel is het mogelijk om een bundel met enkel kaonen te produceren. CP operace: CP eigentoestanden:

65 Neutrale kaonen: intensiteit vs Ajd GolffuncCes Op t = 0 pure kaon bundel Waarschijnlijkheid om op CjdsCp t een K 0 of K 0 te vinden

66 Vreemdheid oscillaaes Semi- leptonisch verval CPLEAR, PLB 1999 K 0 K 0 (K 0 -K 0 )/(K 0 +K 0 ) Cronin & Fitch 1980 Decay time / τ KS

67 MeAng van B 0 B 0 mixing: Argus Produceer een bb gebonden toestand, ϒ(4S), in e + e - botsingen: e + e - ϒ(4S) B 0 B 0 en bestudeer: B D µν, D D π 0 * + * B D µν, D D π 0 * + * ~17% van de B 0 en B 0 mesonen Oscilleren voor ze vervallen à Δm ~ 0.5/ps, τ B ~ 1.5 ps Eerste hint van een echt grote m top! Najaar 2004 Jo van den Brand 67

68 MeAng van B 0 B 0 mixing: Argus Produceer een bb gebonden toestand, ϒ(4S), in e + e - botsingen: e + e - ϒ(4S) B 0 B 0 en bestudeer: B D µν, D D π 0 * + * B D µν, D D π 0 * + * ~17% van de B 0 en B 0 mesonen Oscilleren voor ze vervallen à Δm ~ 0.5/ps, τ B ~ 1.5 ps Eerste hint van een echt grote m top! Najaar 2004 Jo van den Brand 68

69 CP is a broken symmetry!

70 CP schending: materie- anamaterie asymmetrie

71 Evenveel materie als ancmaterie? Materie domineert!

72 Speuren naar anamaterie in het universum Omringend universum wordt door materie gedomineerd: Afwezigheid van an*- nuclei in kosmische straling in ons sterrenstelsel Afwezigheid van intense γ- straling emissie vanwege annihila*e van sterrenstelsels in botsing met an*materie Alpha Magnetic Spectrometer

73 Speuren naar anamaterie in het universum Het zichtbare universum wordt door materie gedomineerd!

74 AMS- 2 Launched 2011

75

76

77

78 Waar is de anamaterie gebleven? Kosmische microgolf achtergrond WMAP probe Angular Power Spectrum δ T (θ1, φ1 ) δ T (θ2, φ2 ) η= N baryons N photons δ T (θ,φ ) = almylm (θ,φ ) 10 = ( ) Praktisch alle materie annihileerde met antimaterie maar niet alles! alm 2

79 Waar is de anamaterie gebleven? In 1966 liet Andrei Sakharov zien dat crea*e van neeo baryongetal vereist: 1. Processen met schending van baryongetal (bijv. protonverval) 2. Geen evenwichtstoestand *jdens expansie van het universum 3. Schending van C en CP symmetrieen CP- schending in het Standard Model is waarschijnlijk onvoldoende om de materie asymmetrie in het universum te kunnen verklaren Dit betekent dat er iets buiten het SM moet zijn dat CP- schending veroorzaakt. Dat is goede mo*va*e voor verder onderzoek. A. Sakharov, 1975

80 Hoe zit het met CP? ν µ L. Lederman 1988 µ + µ - Intrinsieke spin Experiment: π + P π + C π - - π + bundel stopt in target - π + µ + + ν µ verval - Bestudeer µ + e + + ν e + ν µ - bepaal µ + polarisation - extract ν µ polarisation omdat S π =0 Experiment toont dat de pariteit getransformeerde configuratie niet bestaat! µ + CP ν µ ν µ Herstel de symmetrie d.m.v. deeltje anti-deeltje operatie: ladingsconjugatie

81 Zwakke kracht schendt C, schendt P, is CP werkelijk OK? C Zwakke interac*e schendt zowel C als P symmetrie maximaal! W + W + e + R ν L e + L ν R W - W - e - R ν L e - L ν R P Ondanks de maximale schending van de C en P symmetrie, de gecombineerde opera*e, CP, lijkt precies behouden Echter, in 1964, vonden Christensen, Cronin, Fitch en Turlay CP schending in het verval van Neutrale Kaonen

82 Universaliteit van de zwakke interacae Zwakke doublepen: e µ u u,, ν ν e = L µ L d ʹ L dcosθc + ssinθc L L g g cosθ C g sinθ C ( µ e ν eν µ ) ( ν e ) ( ν e ) Γ g 4 purely leptonic Γ cos Δ = n pe g θc semi-leptonic, S Γ Λ pe g θc semi-leptonic, Δ S = sin 1

83 Cabibbo rotatie In 1963 waren enkel de u, d en s quark smaken bekend Cabibbo veronderstelde dat de zwakke wisselwerking koppelt aan gerotateerde quarktoestanden en betrekking heeft op enkel u and d quarktoestanden. Voor de zwakke interactie spelen massa en vreemdheid geen rol. Dus zijn s en d quarks niet onderscheidbaar en kunnen we een superpositie vormen. Deel quarks in een zwak isospin doublet in, met θ c de Cabibbo hoek en d het Cabibbo geroteerde quark. u u = d ʹ dcosθc + ssinθc L Vervalsnelheden zijn consistent voor θ c 13 o. L Najaar 2004 Jo van den Brand 83

84 Cabibbo rotatie Met dit formalisme hebben we nu Cabibbo favored (evenredig met cos θ c ) en Cabibbo suppressed transities (evenredig met sin θ c ) We kunnen ΔS=0 en ΔS=1 verval vergelijken, bijvoorbeeld + + Γ( K µνµ ) 2 1 sin θc + + Γ( π µ ν ) 20 µ en de voorspelde overgangssnelheden komen met de meetgegevens overeen Met een enkele parameter: quark-lepton universaliteit herwonnen! Najaar 2004 Jo van den Brand 84

85 K + vs. K 0 verval: een probleem? u u = d ʹ dcosθc + ssinθc L L Z 0 boson koppelt nu ook aan uu en d d... Ook s s! sinθ c cos θ sin θ sinθ cosθ = 0! c c c c ( + µν + ) = ± Br K µ sʹ = cosθ s sinθ d C dʹ d = VC ; sʹ s with V C cosθc sinθc C sinθc cosθc ( L ) Br K µµ = (7.25 ± 0.16) Deze constructie genereert een FCNC, (Flavor Changing Neutral Current) moeten meer doen. de reden voor geen tree-level FCNC: V C is unitair *T VC VC = VC VC =1 dd ʹ ʹ + ss ʹ ʹ = dd+ ss Of, om het anders te stellen: De (bijna) niet-observatie van FCNC eist dat V unitair is Najaar 2004 Jo van den Brand 85

86 K 0 verval: enter the charm Teneinde dit diagram te cancelen, introduceren we nog een up-type quark, en laten dit wisselwerken via een W met een orthogonal combinatie van (d,s) c c = s ʹ scosθc dsinθc L L Indien m u m c, dan is de cancellation compleet! Dit wordt GIM suppressie genoemd. De van nul verschillende vervalsnelheid geeft een voorspelling voor de waarde van de charm massa van GeV/c 2, voor de ontdekking van de J/ψ (Gaillard & Lee) FCNC in loops is GIM onderdrukt Najaar 2004 Jo van den Brand 86

87 Universaliteit van de zwakke interacae Zwakke doublepen: e µ u u,, ν ν e = L µ L d ʹ L dcosθc + ssinθc L L g g cosθ C g sinθ C ( µ e ν eν µ ) ( ν e ) ( ν e ) Γ g 4 purely leptonic Γ cos Δ = n pe g θc semi-leptonic, S Γ Λ pe g θc semi-leptonic, Δ S = sin 1

88 Intermezzo: Ontdekking van de J/ψ Brookhaven: J Sam Ting en Burt Richter kregen in 1976 de Nobelprijs voor hun ontdekking SLAC: ψ(3105) Najaar 2004 Jo van den Brand 88

89 Kobayashi, Maskawa and CP ViolaAon b W - gv ub u Progress of TheoreCcal Physics 49, 652 (1973) Sterkte van de vertex koppeling is gv ij g is de universele Fermi zwakke koppeling V ij hangt af van betrokken quarks Voor leptonen is de koppeling g Voor 3 genera*es is V ij een 3x3 matrix Deze matrix heet de CKM matrix (Cabibbo, Kobayashi, Maskawa) De matrix roteert de quarktoestanden van een basis met massa eigentoestanden in een waarin ze zwakke eigentoestanden zijn V dʹ V sʹ = V bʹ V Vud Vus Vub = V V V Vtd Vts V tb CKM cd cs cb ud cd td V V V us cs ts V V V ub cb tb d s b

90 CKM matrixelementen Groope 90% confidence level to to to to to to to to to t c V ub << V cb << V us u Matrix diagonaal: b en s stabiel b s d Bijna diagonaal: b en s verval onderdrukt Dus, B mesonen en kaonen hebben lange levensduur

91 Neutral Kaons 0 K 0 K K 0 K 0 0 K 0 K Phys. Rev. 97, 1387 (1955) Bekend: 1. K 0 kan vervallen naar π + π - Hypothese: 1. K 0 heeft een expliciet antideeltje K 0 Claims: 1. K 0 (K 0 ) is een deeltjesmengsel met twee levensduren 2. Elke levensduur heeft zijn eigen set vervalskanalen 3. Niet meer dan 50% van K 0 (K 0 ) vervalt naar π + π - In quarkbeeld: us vs. us Najaar 2004 Jo van den Brand 91

92 K 0 verval en CP: K 1 en K 2 K 1 en K 2 zijn elkaars antideeltje, maar een is CP even, de ander CP oneven: Enkel de CP even toestand (K 1 ) kan naar 2 pionen vervallen (die zijn CP even) De oneven K 2 toestand zal vervallen naar 3 deeltjes (πππ,πµν, πeν, ). Er is een ENORM verschil tussen de K 0 ππ en K 0 πππ faseruimte (~600x!). Dus zal de CP even toestand veel sneller vervallen Het grote verschil wordt veroorzaakt door m K0 3m π = 75 MeV/c 2 CP: +1-1 K 1 K = K K 2 = K K Phys Rev 103,1901 (1956) Najaar 2004 Jo van den Brand 92

93 iω1 t i K1( t) = e K1, with ω1 = M1 Γ1, 2 iω2t i K2( t) = e K2, with ω2 = M2 Γ2. 2 Tijdevolutie ( ; ) = ( ) 2 + I K K t g t I ( ; ) = ( ) 2 I K K t g t I ( ) 0 0 K t g () t g () t K + =, 0 0 K ( t) g () t g+ () t K g ± e () t = Γ1t Γ2t Γt ( ) = + ± 2 cos( Δ ) 2 1 iωt iω t ± e g± t 4 e e e m t Γt e ΔΓ t = cosh cos( mt) 2 ± Δ 2 K 1 verval K 2 verval Tag K 0 en K 0 verval met semileptonisch verval (herinner je je de ΔS=ΔQ regel?) Najaar 2004 Jo van den Brand 93

94 Vreemdheid oscillaties Definitie Semi-leptonisch verval

95 Test behoud van CP Makkelijk om een pure K 2 bundel te maken: gewoon wachten tot de K 1 component vervallen is Als CP behouden is, dan zullen we het verval naar 2 pionen niet zien in deze K 2 bundel. Dit is precies wat Cronin & Fitch in 1957 getest hebben K 2 π + π - Effect is tiny: about 2/1000 θ Belangrijkste achtergrond: π + π - π 0 en voor dit experiment kregen ze in 1980 de Nobelprijs Najaar 2004 Jo van den Brand 95

96 Teken van elektrische lading Eigentoestanden Of wel Semi-leptonisch verval

97 1977: Ontdekking van de ϒ Najaar 2004 Jo van den Brand 97

98 Schatting levensduur B meson 5 ( ) ( ) ( ) ( ) m b 2 PS b c 2 PS b u Γ b u, c =Γ µ e Vcb + V ub m µ PS µ e PS µ e { τ b ; 6 10 cb V V ub s. 7.7

99 Quantumveldentheorie

100 Lagrange formalisme Systeem van N deeltjes Gegeneraliseerde coördinaten Gegeneraliseerde snelheden Fundamenteel dynamisch probleem van de klassieke mechanica Er bestaat een Lagrangiaan L En een acce Klassieke pad is een extremum van S

101 Euler- Lagrange vergelijkingen We verstoren het pad Hamiltons principe Merk op dat Voor de eindpunten geldt ParCële integrace levert Dient te gelden voor elke variace van het pad Euler- Lagrange vergelijkingen

102 Voorbeeld Deeltje in een potencaal Lagrangiaan L = T - V Bewegingsvergelijkingen volgen uit E- L vergelijking Dit levert Dat is de tweede wet van Newton

103 Hamilton formalisme Hamiltoniaan: funcce van coördinaten en impulsen Gegeneraliseerde impulsen Inverteer dit en schrijf VariaCe Vergelijk met totale differencaal Euler- Lagrange vergelijkingen