Bachelorproef I Inleiding tot fractalen

Transcriptie

1 faculteit wetenschappen en bio-ingenieurswetenschappen Vakgroep Wiskunde Bachelorproef I Inleiding tot fractalen Jeroen Ooge de Bachelor wiskunde Promotor: prof. Eva Colebunders Dank aan dr. Didier Deses voor de hints inzake gebruik van Matlab. academiejaar 04-05

2 Inhoudsopgave Inleiding Constructie van de metrische ruimte der fractalen Volledigheid van de ruimte der fractalen 5 Contracties op de ruimte der fractalen 0 4 Continue afhankelijkheid van parameters 5 5 Het inverse probleem 8 6 Fractale dimensie 0 Conclusie 5 Referenties Appendix

3 Inleiding De wereld rondom ons bevat een ongelooflijke rijkdom aan interessante patronen: veren, wolken, bergen, varenbladen, bladnerven, kustlijnen, bliksemschichten, groenten zoals bloemkool en broccoli romanesco... Hun grillige vormen lijken het resultaat van een willekeurig proce de, maar bij nauwkeuriger onderzoek blijkt dat ze op iedere schaal hun algemene structuur behouden. De wiskundige analoga van deze natuurlijke figuren passen niet in de klassieke Euclidische meetkunde. De Poolse wiskundige Benoı t Mandelbrot (94-00) doopte ze daarom in 975 fractalen, naar het Latijnse fractus, wat gebroken en onregelmatig betekent. Zo ontstond al snel een geheel nieuwe, boeiende tak van wiskunde: fractale meetkunde. Met dit instrument kunnen we schijnbare onregelmatigheden in de natuur verklaren en wiskundig modelleren. Het onderwerp is bij het ruime publiek gekend door prachtige, computergegenereerde afbeeldingen, zoals de klassieke varen hiernaast, maar achter deze illustraties gaat een uitgebreide wiskundige theorie schuil. Om fractaal-zijn u berhaupt formeel te kunnen definie ren, hebben we een heleboel voorbereidend werk nodig. In deze paper wordt de fractale geometrie stapsgewijs opgebouwd in een metrisch kader. In hoofdstuk construeren we de metrische ruimte waarin fractalen leven, gebruik makend van het werk van de Duitser Felix Hausdorff (868-94) uit 95. In het volgende gedeelte tonen we aan dat de ruimte der fractalen volledig is. Dit laat ons toe in hoofdstuk een fundamenteel resultaat van de Pool Stefan Banach (89-945) uit 90 toe te passen. We voeren daar ook het ietwat modernere concept IFS in en illustreren hoe de elegante theorie daarrond ons toelaat attractoren te tekenen. Het subtiele verschil tussen fractalen en attractoren kan pas in het laatste hoofdstuk verduidelijkt worden. In de laatste secties belichten we ten slotte continue afhankelijkheid van parameters en fractale dimensie.

4 . Constructie van de metrische ruimte der fractalen In dit hoofdstuk construeren we de metrische ruimte waarin we in deze paper zullen werken: de ruimte der fractalen. We maken gebruik van de voorkennis over metrische ruimten die vergaard werd in [5] en [6] en volgen de algemene opbouw van [] (p. 6-5) en [8] (p ). In de hele paper werken we in een volledige metrische ruimte (X, d). Dat wil zeggen dat de afbeelding d: X X R + voldoet aan de onderstaande drie voorwaarden en dat iedere Cauchyrij in X convergent is. x X : d(x, x) = 0 x, y X : d(x, y) = d(y, x) x, y, z X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (reflexiviteit) (symmetrie) (driehoeksongelijkheid) We willen over X een nieuwe metrische ruimte construeren. Definitie.. H(X) is de ruimte bestaande uit alle niet-lege, compacte delen van X. We zoeken nu een metriek h op H(X). Daarvoor hebben we eerst twee definities nodig. Definitie.. We definiëren de afstand tussen elke x X en A H(X) als volgt: d(x, A) = min{ d(x, a) a A }. Is deze definitie zinvol? Bestaat er altijd een dergelijk minimum? Aangezien d continu is, weten we dat ook de afbeelding d(x, ): A R: a d(x, a) continu is. Omdat A compact is, kunnen we door de stelling van Weierstrass (eigenschap.4.4 in [6]) besluiten dat d(x, ) een minimum heeft. Definitie.. We definiëren de afstand tussen elke A en B in H(X) als volgt: d(a, B) = max{ d(a, B) a A }. Indien de afbeelding d(, B): A R: a d(a, B) continu is, kunnen we, opnieuw door toepassing van de stelling van Weierstrass op de compacte verzameling A, besluiten dat het maximum goed gedefinieerd is. Aangezien

5 Lipschitz-zijn (de betekenis van dit concept wordt later in definitie. herhaald) continuïteit impliceert, is het voldoende aan te tonen dat a, a A: d(a, B) d(a, B) d(a, a ). Kies hiertoe een willekeurige b B. Dan geldt er voor alle a, a A zeker: d(a, B) d(a, b) d(a, a ) + d(a, b). In het bijzonder verkrijgen we dat d(a, B) d(a, B) d(a, a ). Door omkering van de rollen van a en a, volgt ook dat d(a, B) d(a, B) d(a, a ), wat het te verkrijgen resultaat impliceert. Is de afbeelding d uit definitie. de metriek h op H(X) die we zoeken? Het is duidelijk dat voor iedere A H(X) geldt dat d(a, A) = 0, want door de reflexiviteit van d is min{ d(a, b) a, b A } = 0. Hoe zit het met de symmetrie van d in H(X)? Beschouw de onderstaande opstelling in het reële vlak, uitgerust met de Euclidische metriek, waarbij A en B gesloten vierkanten zijn. A a a B b b De figuur illustreert duidelijk dat d(a, b ) = d(a, B) d(b, A) = d(a, b ). Bijgevolg is dit een tegenvoorbeeld voor de symmetrie en dus ook van het metriek-zijn van d in H(X). Voordat we verder gaan, bewijzen we dat ook de driehoeksongelijkheid geldt voor d in H(X). Eigenschap.4. A, B, C H(X): d(a, B) d(a, C) + d(c, B). Bewijs. We merken op dat voor iedere a A geldt: d(a, B) = min{ d(a, b) b B } min{ d(a, c) + d(c, b) b B }, c C = d(a, c) + min{ d(c, b) b B }, c C = d(a, c) + d(c, B), c C. Specifiek hebben we dus ook: d(a, B) min{ d(a, c) c C } + min{ d(c, B) c C } d(a, C) + max{ d(c, B) c C } = d(a, C) + d(c, B).

6 Hieruit volgt ten slotte dat d(a, B) = max{ d(a, B) a A } max{ d(a, C) a A } + d(c, B) = d(a, C) + d(c, B). Aangezien de afbeelding d alleen symmetrie mist om een metriek te zijn (we spreken dan over een quasimetriek), kon Hausdorff de gezochte metriek h construeren als volgt: Definitie.5. De Hausdorff-afstand h tussen A, B H(X) is gedefinieerd als volgt: h(a, B) = d(a, B) d(b, A). Deze aanpak werkt in het algemeen, maar we gaan hier toch na dat h voldoet aan alle voorwaarden. De afbeelding h is per definitie symmetrisch en voldoet aan reflexiviteit, omdat d reflexief is. We moeten dus alleen controleren of de driehoeksongelijkheid nog steeds van toepassing is voor alle A, B, C H(X). Dat is inderdaad zo: h(a, B) = d(a, B) d(b, A) ( d(a, C) + d(c, B) ) ( d(b, C) + d(c, A) ) (eigenschap.4) ( d(a, C) d(c, A) ) + ( d(b, C) d(c, B) ) = h(a, C) + h(c, B). Dit toont aan dat ( H(X), h ) een metrische ruimte is. 4

7 . Volledigheid van de ruimte der fractalen In dit deel bewijzen we dat ( H(X), h ) een volledige ruimte is op basis van [] (p. 5-4). We tonen eerst een handige stelling aan, die ons in staat stelt gemakkelijker met de Hausdorff-metriek te werken. Afspraak. We noteren voor iedere A H(X) en elk willekeurig positief reëel getal : A + := { x X a A: d(a, x) }. Stelling.. A, B H(X), 0: h(a, B) A B + en B A +. Bewijs. Het gevraagde volgt meteen uit de definities: d(a, B) max{ d(a, B) a A } a A: d(a, B) = min{ d(a, b) b B } a A, b B : d(a, b) A B +. Door het verwisselen van A en B, verkrijgen we tevens dat d(b, A) B A +. We besluiten dat h(a, B) = d(a, B) d(b, A) d(a, B) en d(b, A) A B + en B A +. Voordat we de volledigheid van ( H(X), h ) kunnen aantonen, hebben we een belangrijk lemma nodig. Lemma. (Uitbreidingslemma). Zij (A n ) n een Cauchyrij in H(X) en (n k ) k een strikt stijgende rij natuurlijke getallen. Stel dat (a nk ) k, met a nk A nk voor elke k, een Cauchyrij is in (X, d). Dan bestaat er een Cauchyrij (ã n ) n waarbij () ã n A n voor elke n; () ã nk = a nk voor elke k. 5

8 Bewijs. We contrueren de rij (ã n ) n volgens het onderstaande procédé (k ). n n. Kies ã n willekeurig uit de verzameling { a A n d(a, a n ) = d(a n, A n ) }. Dat wil zeggen dat ã n een van de punten is die het dichtst bij A n liggen. Merk op dat een dergelijk punt bestaat door de welgedefinieerdheid van d(, A n ). n k + n n k+. ã n is een punt uit de verzameling { a A n d(a, a nk ) = d(a nk, A n ) }. We tonen nu aan dat de aldus gedefinieerde rij (ã n ) n voldoet aan de gestelde voorwaarden. () Per definitie is ã n A n voor elke n. () Kies een willekeurige k. Er geldt: d(ã nk, a nk ) = d(a nk, A nk ) = 0, waarbij de laatste gelijkheid van kracht is, omdat a nk A nk. Door de reflexiviteit van d is dan ã nk = a nk. We moeten nu alleen nog nagaan dat (ã n ) n een Cauchyrij is. Kies daartoe een willekeurige > 0. Bestaat er een rangnummer N > 0, zodat p, q N : d(ã p, ã q )? Om deze afschatting maken, beschikken we over de volgende informatie: ˆ (A n ) n is Cauchy in ( H(X), h ) > 0, N > 0, p, q N : h(a p, A q ) ; ˆ (a nk ) k is Cauchy in (X, d) > 0, N > 0, p, q N : d(a np, a nq ). Stel N = max{n, N }. Voor elke p, q N volgt er dan: d(ã p, ã q ) d(ã p, a np ) + d(a np, a nq ) + d(a nq, ã q ) d(ã p, a np ) + + d(a n q, ã q ), waarbij p {n p +,..., n p } en q {n q +,..., n q }. Aangezien h(a p, A np ), volgt uit stelling. dat A p A np + en dus is d(ã p, a np ) op voorwaarde dat we a n p goed kozen. Volgens dezelfde redenering volgt dat d(a nq, ã q ). We concluderen zoals gewenst dat d(ã p, ã q ). Stelling. (Volledigheidsstelling). De ruimte ( H(X), h ) is volledig en voor elke Cauchyrij (A n ) n wordt de limiet A gekarakteriseerd door A = { x X n, Cauchyrij (a n ) n x met a n A n }. 6

9 Bewijs. We breken het bewijs voor de duidelijkheid op in vijf delen. Deel. A. Het is voldoende aan te tonen dat er een Cauchyrij (a n ) n bestaat met a n A n voor elke n, want door de volledigheid van X is deze convergent. Aangezien (A n ) n een Cauchyrij is in H(X), kunnen we voor iedere k N een bijbehorende N k vinden, zodat p, q N k : h(a p, A q ). k We bekomen aldus een strikt stijgende rij van rangnummers N < N <.... We bewijzen nu per inductie op k dat we een Cauchyrij (x Nk ) k kunnen construeren met x Nk A Nk voor elke k. Kies een x N A N willekeurig. Basisstap. Aangezien h(a N, A N ), kunnen we door stelling. een x N A N zodat d(x N, x N ). vinden, Inductiehypothese. Veronderstel dat we voor elke k {,..., n } een x Nk hebben gevonden, zodat d(x Nk, x Nk ). k Inductiestap. Omdat h(a Nn, A Nn ) n, kunnen we opnieuw een x Nn A Nn bepalen, zodat d(x Nn, x Nn ) n. Om te controleren dat (x Nk ) k een Cauchyrij is, kiezen we een willekeurige > 0 en een N > 0, zodat i=n. Dit is mogelijk, omdat de partieelsommen kleiner worden i naarmate i toeneemt. Door het meermaals toepassen van de driehoeksongelijkheid geldt: p, q N : d(x Np, x Nq ) d(x Np, x Np+ ) d(x Nq, x Nq ) < i=n i. Ten slotte weten we door het uitbreidingslemma. dat er een Cauchyrij (a n ) n bestaat met a n A n voor elke n en a Nk = x Nk voor iedere k. Deel. A is gesloten. Veronderstel dat (x n ) n x een rij in A is. We moeten nu aantonen dat x A. Er zou met andere woorden voor elke n een rij (y n ) n x met y n A n moeten bestaan. Aangezien (x n ) n x, bestaat er een strikt stijgende rij van rangnummers (N n ) n, zodat n: d(x Nn, x). We weten tevens per definitie van A dat er voor iedere x n k een rij (a k n) n x k met a k n A n bestaat. In het bijzonder geldt dus: (a Nn n ) n x Nn. We kunnen hierdoor een rij van rangnummers (M n ) n vinden, zodat n: d(a Nn M n, x Nn ). Bijgevolg: n n: d(a Nn M n, x) d(a Nn M n, x Nn ) + d(x Nn, x) n. Dit betekent dat (a Nn M n ) n x met a Nn M n A Mn voor elke n. Door toepassing van lemma., kunnen we (a Nn M n ) n uiteindelijk uitbreiden tot een rij (y n ) n x met y n A n voor iedere n. 7

10 Opmerking. Aangezien A gesloten is en X volledig is, is A ook volledig. Deel. > 0, N > 0, n N : A A n +. Kies een willekeurige > 0. Door het Cauchy-zijn van de rij (A n ) n in H(X) hebben we: N > 0, p, q N : A p A q + en A q A p +. Neem nu een a A. Er bestaat dan een (a n ) n a met a n A n voor elke n. Dat betekent: N > 0, n N : d(a n, a). Stel N = max{n, N }. Kies q N vast en veronderstel dat p q. Dan kunnen we besluiten dat a p A q + en dus ook a A q + op voorwaarde dat A q + gesloten is. Om dit laatste aan te tonen, beschouwen we een rij (x q ) q x in A q +. We moeten bewijzen dat x A q +. Indien die uitspraak vals is, zou er voor elke a q A q gelden dat d(a q, x) >. We weten dat er voor elke x n (x q ) q een a n A q bestaat, zodat d(a n, x n ). Voor deze specifieke a n en geldt echter ook dat d(a n, x) >. We verkrijgen dan: < d(a n, x) d(a n, x n ) + d(x n, x) + d(x n, x). Aangezien dit een contradictie is, moet er wel degelijk een element in A q bestaan, zodat de afstand van dit punt tot x kleiner is dan en dus is A q gesloten. Deel 4: A is totaal begrensd. Indien A eindig is, is de verzameling meteen totaal begrensd. Veronderstel daarom dat A oneindig groot, maar niet totaal begrensd is. Dat wil zeggen dat er een > 0 is, waarvoor er geen eindige verzameling Y A bestaat, waarvan de elementen een overdekking vormen. Er bestaat dan een rij (x n ) n in A, zodat d(x k, x l ) als k l. Uit het vorige deel weten we dat er een rangnummer bestaat, zodat A A n +. Dus geldt: x n A, y n A n : d(x n, y n ). Aangezien A n compact is, bestaat er een convergente deelrij (y nk ) k van (y n ) n. We kunnen steeds een y nk en y nl vinden, zodat d(y nk, y nl ) <. Dit leidt tot de volgende contradictie: d(x nk, x nl ) d(x nk, y nk ) + d(y nk, y nl ) + d(y nl, x nl ) <. A moet dus totaal begrensd zijn. Opmerking. Door deel van het bewijs kunnen we besluiten dat A compact is. 8

11 Deel 5: (A n ) n A. Aangezien A H(X), is het voldoende aan te tonen dat er een rangnummer N is, zodat n N : h(a n, A). We bewezen reeds in deel dat A A n +, dus we moeten alleen nog nagaan dat A n A +. Neem een vaste > 0. Dan geldt er: N > 0, p, q N : A p A q +. Kies voor N 0 N een a A N0. Het is voldoende een element x A te vinden, zodat d(a, x). We kunnen nu net zoals in deel een strikt stijgende rij van rangnummers N 0 < N < N <... vinden, waarbij voor iedere i geldt dat p, q N i : A p A q +, (I) i+ en elementen x Ni A Ni bepalen, zodat (x Ni ) i een Cauchyrij is. Omdat X volledig is, zal (x Ni ) i x. Vanwege het uitbreidingslemma is x dan een element van A. Uit (I) volgt in het bijzonder dat en dus i: A Ni A Ni+ + i+ i: d(a, x Ni ) d(a, x N ) + d(x N, x N ) d(x Ni, x Ni ) i <. Ten slotte kunnen we concluderen dat d(a, x). Dit rondt het bewijs van de volledigheid van H(X) af. 9

12 . Contracties op de ruimte der fractalen Zoals in [] (p. 4-55, 7, 80-9) en [8] (p ), tonen we in dit deel dat we contracties op X kunnen uitbreiden naar H(X) en zo het begrip IFS kunnen invoeren. Vervolgens geven we enkele voorbeelden van attractoren, die getekend werden met een zelfgeschreven programma in Matlab. De code hiervan is terug te vinden in de appendix. Definitie.. Een transformatie op een metrische ruimte (X, d) is een functie f : X X. We noemen x f X een fixpunt van de transformatie f indien f(x f ) = x f. De transformatie f is α-lipschitz als er een α 0 bestaat, zodat x, y X : d ( f(x), f(y) ) α d(x, y). We noemen f een contractie met contractiecoëfficiënt α als f α-lipschitz is en α <. Uit deze definitie volgt meteen dat de samenstelling van contracties opnieuw een contractie is. We gaan nu aantonen dat we in ( H(X), h ) op niet-triviale wijze een contractie kunnen construeren, uitgaande van een eindige familie contracties op X. Daarvoor hebben we eerst een extra eigenschap van de Hausdorff-metriek nodig. Eigenschap.. A, B, C, D H(X): h(a B, C D) h(a, C) h(b, D). Bewijs. Stel = h(a, C) h(b, D). We moeten nu aantonen dat h(a B, C D), wat wegens stelling. equivalent is met A B (C D) + en C D (A B) +. We weten dat h(a, C) en h(b, D). Door stelling. gelden dus de volgende inclusies: A C +, C A +, B D + en D B +. Hieruit kunnen we besluiten: A B (C + ) (D + ) = { x X c C : d(x, c) } { x X d D : d(x, d) } = { x X y C D : d(x, y) } = (C D) +. Door het omwisselen van de rollen van A, B, C en D door respectievelijk C, D, A en B, verkrijgen we ook dat C D (A B) +. Lemma.. Als f : X X een contractie is met contractiecoëfficiënt α, dan is f : H(X) H(X): A f(a) := { f(a) a A } een contractie met contractiecoëfficiënt α op ( H(X), h ). 0

13 Bewijs. Aangezien contracties continu zijn, beeldt f compacte delen van X opnieuw af op compacte delen (eigenschap.4. in [6]). De transformatie f : H(X) H(X) is dus goed gedefinieerd. We tonen nu dat deze afbeelding een contractie is. Zij A, B H(X), dan geldt: d ( f(a), f(b) ) { { ( )} } = max min d f(a), f(b) a A b B { { } } max min α d(a, b) a A = α max a A b B { = α d(a, B). min b B { d(a, b) } } We verkrijgen natuurlijk ook dat d ( f(b), f(a) ) α d(b, A) door het omwisselen van de rollen van A en B en dus kunnen we concluderen dat h ( f(a), f(b) ) = d ( f(a), f(b) ) d ( f(b), f(a) ) α d(a, B) α d(b, A) = α h(a, B). In de volgende stelling definiëren we de gezochte contractie op H(X). Deze afbeelding is goed gedefinieerd dankzij lemma. en het gegeven dat eindige unies van compacte delen compact zijn. Stelling.4. Veronderstel dat f,..., f n een eindig aantal contracties op X is met overeenkomstige contractiecoëfficiënten α,..., α n. Dan is n f : H(X) H(X): A f i (A) een contractie met contractiecoëfficiënt α := max{ α i i n }. i= Bewijs. We passen inductie toe op n en kiezen telkens A, B H(X) willekeurig. Basisstap. Als n =, geldt er: h ( f(a), f(b) ) = h ( f (A) f (A), f (B) f (B) ) h ( f (A), f (B) ) h ( f (A), f (B) ) (eigenschap.) α h(a, B) α h(a, B) = α h(a, B).

14 Inductiehypothese. Veronderstel dat k {,..., n }: h ( f(a), f(b) ) α h(a, B) met f(a) = k f i (A) en f(b) = i= k f i (B). Inductiestap. We kunnen gemakkelijk controleren dat de ongelijkheid nog steeds geldig is. h ( f(a), f(b) ) ( n n ) = h f i (A) f n (A), f i (B) f n (B) h i= ( n f i (A), i= n i= α h(a, B) α n h(a, B) = α h(a, B) i= i= ) f i (B) h ( f n (A), f n (B) ) (eigenschap.) (inductiehypothese) We voeren een definitie in om dit resultaat in een nieuw formalisme te gieten. Definitie.5. Zij (X, d) een volledige metrische ruimte en F een eindige verzameling van contracties { f i : X X i n } met contractiecoëfficiënten α i. Het koppel (X, F ) heet een geïtereerd functiesysteem (IFS) met contractiecoëfficiënt α := max{ α i i n }. Afspraak. Voor elke x X noteren we f 0 (x) := f(x) en f n (x) := f ( f n (x) ). We noemen de transformaties f n : X X een iteratie van f. Waarom spreken we precies over geïtereerde functiesystemen? Dat kunnen we verklaren door een fundamenteel resultaat van Banach uit 90 (eigenschap.4.9 in [6]). Stelling.6 (Banach-fixpuntstelling). Zij (X, d) een volledige metrische ruimte. Iedere contractie f : X X met contractiecoëfficiënt α heeft een uniek fixpunt x f X, dat bepaald kan worden door f te itereren over een willekeurige x X: x f = lim n f n (x), x X. Na iedere iteratie kunnen we tevens meten hoe ver we van het fixpunt verwijderd zijn: d ( x f, f n (x) ) αn α d( x, f(x) ), x X. We vertalen deze stelling naar ons IFS-formalisme en bundelen dit samen met alles wat we tot nu toe weten over geïtereerde functiesystemen.

15 Stelling.7. Zij ( X, { f i : X X i n } ) een IFS met contractiecoëfficiënt α. De transformatie f : H(X) H(X): A n f i (A) is een contractie met contractiecoëfficiënt α en heeft een uniek fixpunt A f H(X), waarvoor geldt: i= A f = lim n f n (A), A H(X). Bovendien is de volgende afschatting voor iedere n N van kracht: h ( A f, f n (A) ) αn α h( A, f(a) ), A H(X). Definitie.8. Het fixpunt van een IFS noemen we een attractor. De fixpuntstelling van Banach laat toe de attractor van een IFS te vinden door de afbeelding f uit stelling.7 te itereren over een willekeurig compact deel. In het bijzonder kunnen we dus steeds vertrekken van een singleton in X. Laten we dit principe eens toepassen op enkele voorbeelden. Voor de eenvoud beperken we ons tot IFS en over R, waarbij de contracties f i affiene transformaties (rotaties, translaties en herschalingen) zijn. In het algemeen zien deze afbeeldingen er uit als volgt: ( [ ] [ ] [ ] [ ] x ) f i = cos θ i sin θ i x u i u i +, y β i sin θ i cos θ i y v i v i waarbij β i < de contractiecoëfficiënt is en θ i de rotatiehoek is van de rotatie rond (u i, v i ). We kunnen deze vergelijking door matrixvermenigvuldiging herschrijven tot ( [ ] [ ] [ ] [ ] x ) a i a i x b i f i = + y a i a i y b i en noteren voor de leesbaarheid de waarden a, a, a, a, b en b in tabelvorm: f a a a a b b a a a a b b n a n a n a n a n b n b n

16 f a a a a b b 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 0 0, 5 0, 5 Beschouw nu het nevenstaande, concrete IFS. We gaan op zoek naar de attractor van dit systeem. In de eerste stap berekenen we de beelden van de oorsprong onder f, f en f. We tekenen deze drie punten in het reële vlak en laten het assenstelsel voor de duidelijkheid weg in de afbeelding. De oorsprong is het onderste punt. Wanneer we op deze drie beeldpunten opnieuw alle contracties toepassen en dit proces blijven herhalen, verkrijgen we de volgende figuren. () (4) (6) (5) Figuur : De cijfers onderaan de afbeeldingen zijn het aantal uitgevoerde iteratiestappen. Dit IFS convergeert naar de beroemde Sierpinski-driehoek. In de appendix, [8] (p. -6) en [] (p. 5-80) zijn meer voorbeelden met mooie attractoren te vinden. Het is bewonderenswaardig dat we met enkele eenvoudige transformaties zulke ingewikkelde figuren kunnen construeren. In ons enthousiasme kan algauw de volgende vraag rijzen: in de definitie van een IFS spraken we over een eindig aantal contracties; is het mogelijk met slechts één contractie een interessante attractor te maken? Het antwoord is helaas neen. Veronderstel namelijk dat we een contractie g op X hebben. Door lemma.4 weten we dat g ook een contractie is op H(X). De Banach-fixpuntstelling garandeert dat g fixpunten x g en A g in respectievelijk X en H(X) heeft. We weten dat A g = lim n g n (A), A H(X). In het bijzonder geldt voor A = {x} met x X willekeurig gekozen dat A g = lim n g n( {x} ) = { lim n g n (x) } = {x g } en dus is de attractor van het IFS ( X, {g} ) een singleton. Eén contractie kan met andere woorden niet volstaan om pakweg de Sierpinski-driehoek te maken. 4

17 4. Continue afhankelijkheid van parameters Veronderstel dat de contracties van een IFS afhangen van een bepaalde parameter. Wat is de invloed van een continue verandering van deze parameter op de overeenkomstige attractoren van het IFS? Om dit te onderzoeken, bewijzen we eerst een lemma, dat een uitspraak doet over het probleem voor een volledige metrische ruimte (X, d). Nadien breiden we dit resultaat uit tot ( H(X), h ). Voor de bewijsvoering in dit hoofdstuk werd er gedeeltelijk afgeweken van [] (p. -), omdat Jachymski in [9] aantoonde dat Barnsleys werk een fout bevat. Die vergissing werd rechtgezet in []. Definitie 4.. We noemen in dit hoofdstuk een metrische ruimte (P, d P ) de parameterruimte. Beschouw de functie f : P X X met (X, d) een volledige metrische ruimte. We noteren voor p P het fixpunt van f(p, ) als x f (p). We zeggen dat het fixpunt continu afhankelijk is van een parameter p P als x f : P X : p x f (p) continu is. Lemma 4.. Zij (X, d) een volledige metrische ruimte en f : P X X een familie van contracties op X met contractiecoëfficiënt α. Dit betekent dat f(p, ) voor iedere p P een contractie is op X. Er geldt dat als f(, x) voor elke x X continu is op P, het fixpunt x f (p) continu afhankelijk is van p. Bewijs. We moeten aantonen dat de afbeelding x f uit definitie 4. continu is. Kies hiertoe een willekeurige > 0 en een vaste p P. Er moet nu een δ > 0 bestaan, zodat q P : d P (p, q) < δ d ( x f (p), x f (q) ) <. Aangezien f(, x) continu is x X, weten we in het bijzonder dat f (, x f (p) ) continu is: ( δ > 0, q P : d P (p, q) < δ d f ( p, x f (p) ), f ( q, x f (p) )) < ( α). Als we δ = δ stellen, kunnen we de gezochte afschatting maken: d ( x f (p), x f (q) ) ( = d f ( p, x f (p) ), f ( q, x f (q) )) (x f (p) en x f (q) zijn fixpunten) ( d f ( p, x f (p) ), f ( q, x f (p) )) + d (f ( q, x f (p) ), f ( q, x f (q) )) < ( α) + α d ( x f (p), x f (q) ). (f(q, ) is een contractie) Door de tweede term in het rechterlid naar het linkerlid over te brengen, krijgen we dat ( α) d ( x f (p), x f (q) ) < ( α). Hieruit volgt ten slotte dat d ( x f (p), x f (q) ) <, omdat 0 α <. 5

18 Intuïtief gezien betekent lemma 4. dat een continue verandering van de parameter zorgt voor een continue verandering van het fixpunt. We willen nu hetzelfde resultaat bekomen in de ruimte ( H(X), h ). Stel dus dat we een functie f : P H(X) H(X) hebben. Om te voldoen aan de eerste voorwaarde in lemma 4., zou f(, A) voor iedere A H(X) continu moeten zijn. Hoe kunnen we dit goed definiëren? Een eerste poging is te eisen dat f(, a) voor elke a A continu moet zijn. Dit betekent: p P, > 0, δ a > 0, q P : d P (p, q) < δ a d ( f(p, a), f(q, a) ) <. Het is cruciaal vast te stellen dat δ a steeds afhangt van a. Indien de verzameling A H(X) oneindig veel punten bevat, bestaat er dus geen δ = min{ δ a a A }, die geschikt is voor heel A. We zijn daarom genoodzaakt een bijkomende voorwaarde op f te leggen. Er bestaan verscheidene beperkingen die het probleem oplossen (in [9] wordt er bijvoorbeeld met equicontinuïteit gewerkt), maar aangezien we weten dat Lipschitz-zijn sterker is dan continuïteit, zullen we proberen met deze eigenschap te werken. De volgende stelling toont aan dat dit mogelijk is. Stelling 4.. Zij ( X, {f (p, ),..., f n (p, )} ) een IFS met contractiecoëfficiënt α voor iedere p P en f i (, x) β-lipschitz met β onafhankelijk van i voor elke x X en i {,..., n}. Dan is de attractor A f H(X) continu afhankelijk van p. Bewijs. De afbeelding f is gedefinieerd zoals voorheen: n f : P H(X) H(X): (p, A) f i (p, A) met f i (p, A) = { f i (p, a) a A }. i= We zullen aantonen dat de gestelde voorwaarde op f (, x),..., f n (, x) impliceert dat f(, A) β-lipschitz en dus continu is voor alle A H(X). We kunnen dan lemma 4. toepassen, zodat het resultaat volgt. Veronderstel in de rest van het bewijs dat i {,..., n}, A H(X) en p, q P. Indien f i (, A) β-lipschitz is, dat wil zeggen h ( f i (p, A), f i (q, A) ) β d P (p, q), (II) dan volgt h ( f(p, A), f(q, A) ) ( n = h i= f i (p, A), n i= ) f i (q, A) max { h ( f i (p, A), f i (q, A) )} (via inductie op.) β d P (p, q) 6

19 en is het gevraagde bewezen. We moeten dus enkel nog (II) aantonen. We weten dat d ( f i (p, A), f i (q, A) ) { { } } = d(x, y). max x f i (p,a) min y f i (q,a) Voor elke x f i (p, A) bestaat er een x A, zodat x = f i (p, x). β-lipschitz is, geldt er: Aangezien f i (, x) min {d(x, y)} d ( x, f i (q, x) ) = d ( f i (p, x), f i (q, x) ) β d P (p, q). y f i (q,a) Deze afschatting is waar voor iedere x f i (p, A) en daarom ook voor { { } } d(x, y). max x f i (p,a) min y f i (q,a) We verkrijgen bijgevolg dat d ( f i (p, A), f i (q, A) ) β d P (p, q) en door omkering van de rollen van p en q eveneens dat d ( f i (q, A), f i (p, A) ) β d P (p, q). We concluderen dat h ( f i (p, A), f i (q, A) ) = d ( f i (p, A), f i (q, A) ) d ( f i (q, A), f i (p, A) ) β d P (p, q). Deze belangrijke stelling houdt in dat kleine veranderingen in de parameters van een IFS leiden tot kleine veranderingen in de attractor, op voorwaarde dat het systeem een IFS blijft. Dat betekent dat we attractoren continu kunnen controleren door parameters in de contracties aan te passen. Dit resultaat speelt bijvoorbeeld een cruciale rol in beeldcompressie (zie hoofdstuk 5) en computeranimaties. Voorbeeld. De appendix bevat een stukje code dat een filmpje (in gif-formaat) maakt van de continue verandering van een rotatiehoek θ in een eenvoudig IFS-systeem. Hier zijn enkele stilstaande beelden: θ = 0, 0 θ = 0, 5 θ = 0, 40 θ = 0, 45 7

20 5. Het inverse probleem In hoofdstuk slaagden we er in complexe afbeeldingen te generen op basis van een eindig aantal contracties. Kunnen we nu ook omgekeerd te werk gaan? Kunnen we met andere woorden altijd een IFS opstellen, zodat een gegeven verzameling daarvan de attractor is? Dit heet het inverse probleem. We gebruiken [] (p ), [4] (p. 8-40) en [7] als leidraad. In onze gedigitaliseerde wereld is het belangrijk dat afbeeldingen zo efficiënt mogelijk worden doorgegeven. Daarom streven we naar een minimale behoefte aan data bij het uitwisselen van beelden. Door bij de beeldverwerking structurele verbanden te herkennen, wordt overbodige informatie weggewerkt en vermindert het aantal nodige bits. Dit heet beeldcompressie. Het zou ideaal zijn als we in plaats van alle pixels van een afbeelding A slechts een IFS moeten doorgeven, dat A als attractor heeft. Dat principe is helaas een utopie, want het inverse probleem heeft in het algemeen geen oplossing. Ten eerste is het mogelijk dat de opgegeven A niet compact is; een noodzakelijke eigenschap bij het werken met IFS en. Ten tweede speelt zelfgelijkenis een centrale rol bij een IFS: attractoren zijn opgebouwd uit transformaties van zichzelf en vertonen daarom op iedere schaal gelijkaardige patronen. Als A niet zelfgelijkend is, werkt de voorgestelde aanpak dus niet. Gelukkig kunnen computerschermen slechts tot op een zeker niveau details weergeven, omdat ze over een eindig aantal pixels beschikken. Daarom is het in de praktijk voldoende een oplossing te vinden voor een afgezwakte versie van het inverse probleem: kunnen we een IFS vinden, zodat de attractor ervan A met vooropgestelde nauwkeurigheid benadert? De vereiste nauwkeurigheidsgraad is natuurlijk afhankelijk van een heleboel factoren, zoals de schermresolutie, de mate waarin het menselijke oog dingen kan onderscheiden... De oplossing voor het probleem in de vorige paragraaf wordt aangereikt door de Banachfixpuntstelling (stelling.6). Met notaties zoals in stelling.7: we moeten contracties f,..., f n vinden, zodat h ( A, f(a) ) ( α), waarbij α de contractiecoëfficiënt van f is. Voor n = 0 geldt er dan namelijk: h(a f, A) = h ( A f, f 0 (A) ) α0 α h( A, f(a) ) = α h( A, f(a) ). We illustreren het belang van IFS en voor beeldcompressie met een voorbeeld. 8

21 Voorbeeld. Beschouw A = [0, ] in R, uitgerust met de Euclidische metriek. Definieer twee contracties f en f als volgt: f (x) = x en f (x) = x +. Dan geldt er dat f (A) = [0, ] en f (A) = [, ]. Bijgevolg is Hieruit kunnen we concluderen dat f(a) = f (A) f (A) = [0, ] [, ] = A. h(a f, A) α h( A, f(a) ) = 0 en dus is A zoals gewenst de attractor van f. Om een afbeelding van het lijnstuk [0, ] te maken, is het dus voldoende f en f te kennen. In het vorige eenvoudige voorbeeld zagen we hoe het eenheidsinterval opgebouwd kan worden uit twee kleinere kopieën van zichzelf. In de literatuur wordt vaak gesproken over een collage, naar [] (p ). Uiteraard is het vinden van een collage in realiteit veel ingewikkelder. Zo zijn er vier complexe contracties nodig om het onderstaande blad te construeren. Collage Attractor Figuur : Het blad in volle lijn wordt afgebeeld op de vier kleinere bladeren in stippellijn. Het bepalen van deze contracties gebeurt niet lukraak: in de daartoe ontwikkelde algoritmen speelt de continue afhankelijkheid van parameters, die we in hoofdstuk 4 bespraken, een grote rol. Deze methodes en andere compressietechnieken vallen echter buiten het bestek van deze paper. Interessante referenties voor een verdere studie hieromtrent zijn [], [4] (p. 8-78), [0] en []. 9

22 6. Fractale dimensie In dit hoofdstuk zullen we eindelijk een definitie voor fractalen geven. Dat doen we door het verschil in kronkeligheid tussen bijvoorbeeld een vierkant en de Sierpinski-driehoek numeriek uit te drukken: de fractale dimensie. Op die manier kunnen we attractoren met elkaar vergelijken. We bouwen dit concept nu wiskundig op met behulp van [] (p. 7-79) en [8] (p ). Definitie 6.. We schrijven N (A, ) voor het minimum aantal gesloten bollen met straal > 0 dat nodig is om A H(X) te overdekken. Is N (A, ) goed gedefinieerd? Wanneer we rond iedere a A een bol met straal tekenen, hebben we A natuurlijk open overdekt. Door de compactheid van A bestaat er een eindige deeloverdekking met middelpunten a,..., a n. We kunnen zonder problemen iedere bol hiervan sluiten. Noteer nu O voor de verzameling van overdekkingen van A met maximaal n gesloten bollen met straal. Als we iedere o O afbeelden op het aantal bollen dat o bevat, vormen deze getallen een eindige verzameling, die ten minste het getal n bevat. De verzameling heeft dus zeker een minimum N (A, ). Om het concept fractale dimensie formeel in te voeren, inspireren we ons op een gesloten interval van lengte, een vierkant met zijde en een kubus met zijde. Natuurlijk willen we deze totaal begrensde figuren respectievelijk dimensie, en toekennen. In de bovenstaande afbeelding zien we hoe het gesloten interval, het vierkant en de kubus worden overdekt door bollen met straal {,, } onder de Manhattan-metriek. We zien meteen dat we telkens respectievelijk, en bollen nodig hebben. Merk op dat de dimensie steeds in de exponent staat. Daarom is het aannemelijk dat we gebruik zullen maken van een logaritme en dat we de fractale dimensie definiëren als volgt: Definitie 6.. We noteren de fractale dimensie van A H(X) met dim(a) en stellen ze gelijk aan de volgende limiet (indien die bestaat): ( ) ln N (A, ) dim(a) = lim 0 ln ( ). Laten we deze definitie eens toepassen op twee eenvoudige voorbeelden. 0

23 Voorbeeld. Beschouw A = {a} in het Euclidische vlak. Iedere gesloten bol rond a met straal overdekt A en dus is N (A, ) =. Bijgevolg is dim(a) = 0. Voorbeeld 4. Beschouw A = [0, ] in het Euclidische vlak. Het is meteen duidelijk dat N (A, ) =, het eerstvolgende gehele getal groter of gelijk aan. Er geldt: ) ) ) = ln ( ln ( ) ln ( ln ( ) ln ( + ) ln ( ) = ln ( ( + )) ln( ) = + ln ( + ln ( ) Door de insluitstelling verkrijgen we zoals verwacht dat dim(a) = ln ( ) ln ( ) =. 0. Om het bepalen van de fractale dimensie te vereenvoudigen, zullen we aantonen dat we de continue variabele uit de definitie kunnen vervangen door discrete variabelen n. Stelling 6.. Zij A H(X). Stel n = α β n met α > 0, 0 < β < en n N 0. De fractale dimensie van A kan berekend worden als volgt: ( ln N (A, n ) ) dim(a) = lim n ln ( ). n Bewijs. Kies β < en stel f() = max { n n } := k. Er geldt dan dat en hieruit leiden we logischerwijze af dat f() k = α β k = k β = f() β N ( A, f() ) ( ) β N (A, ) N A, f(). Aangezien de natuurlijke logaritme een stijgende functie is, volgt: en ln ( ) β f() ln( ) ln ( ) f() ln ( N ( )) ( ) ( ( )) A, f() β ln N (A, ) ln N A, f(). (III) Alle termen in (III) zijn positief, omdat f() <. Daarom krijgen we: ln ( N ( A, f() )) β ln ( ) ln ( N (A, ) ) ln( ) f() ln ( ( )) N A, f() ln ( ). β f() We nemen nu de limiet voor gaande naar 0 van de uiterst linkse en uiterst rechtse breuk in deze reeks ongelijkheden. We verkrijgen enerzijds

24 lim 0 ln ( N ( )) A, f() β ln ( ) = lim f() ( ln N (A, n ) ) n ln ( ) ( n N (A, n ) ) = lim n ln = lim n = dim(a) ln ln ( ) ( β + ln ( N (A, n ) ) ln( n ) n ) en anderzijds lim 0 ln ( N ( A, f() )) ln ( ) = lim β f() ( ln N (A, n ) ) n ln ( ) β ( n N (A, n ) ) = lim n ln ln = lim n = dim(a). ln(β) + ln ( ( N (A, n ) ) ln( n ) n ) Door toepassing van de insluitstelling is dan ook ln ( N (A, ) ) lim 0 ln( ) = dim(a). Voorbeeld en voorbeeld 4 tonen aan dat we wel degelijk kunnen werken met definitie 6., maar bij complexere compacte delen A zullen we N (A, ) niet altijd gemakkelijk kunnen bepalen. We bewijzen daarom een veel elegantere manier om de fractale dimensie van een attractor te bepalen: de Box-Counting-stelling. A 0 Stelling 6.4 (Box Counting). Zij A H(R m ), waarbij R m uitgerust is met de Euclidische metriek. We bedekken R m met een raster van boxen: aaneensluitende, gesloten m-dimensionale kubussen met zijde n (de bovenstaande afbeelding is een voorbeeld voor m = n = ). We noteren N n (A) voor het aantal boxen uit het raster dat A snijdt. Er geldt dan dat ( ln Nn (A) ) dim(a) = lim. n ln( n )

25 Bewijs. Kies m N 0 willekeurig. We merken voor iedere n N 0 meteen op dat een bol met straal n maximaal m boxen met zijde n kan snijden. Dit betekent dat N n (A) N (A, ). m n We proberen N (A, n ) ook langs boven af te schatten door in iedere gesloten bol van de minimale overdekking van A een box te passen die A snijdt. We beweren dat dit zo is als de boxen een straal κ(n) hebben, waarbij κ(n) het kleinste gehele getal is, waarvoor geldt dat κ(n) n + log (m). We kunnen dit gemakkelijk controleren met behulp van de stelling van Pythagoras, die garandeert dat een bol met straal r een box met zijde s omvat als r m ( s ). In ons geval hebben we inderdaad: ( s ) ( m ) = m κ(n)+ ( m n+ log (m)) ( ) ( = m n m ) = = r. n Hiermee hebben we aangetoond dat N n (A) N (A, ) N m n κ(n) (A). Door het stijgende teken van de natuurlijke logaritme volgt: ln ( N lim m n (A) ) ( ln N (A, ) ) ( ln lim n Nκ(n) (A) ) lim. n ln( n ) n ln( n ) n ln( n ) Aangezien en ln ( N lim m n (A) ) n ln( n ) ln ( N κ(n) (A) ) lim n ln( n ) = lim ln( n ) + lim ln ( N n (A) ) n ln( n ) ( Nn (A) ) ln( ) m n ln = lim n ln( n ) ln( κ(n) ) ln ( N κ(n) (A) ) = lim n ln( n ) ln( κ(n) ) ( Nκ(n) (A) ) = lim ln( κ(n) ( ln Nn (A) ) = lim, n ln( n ) n ln volgt uit de insluitstelling en stelling 6. met α = en β = ten slotte dat ln ( N n (A) ) ( ln N (A, ) ) lim = lim n = dim(a). n ln( n ) n ln( n )

26 Voorbeeld 5. Laten we met behulp van de Box-Counting-stelling proberen de fractale dimensie te berekenen van de Sierpinski-driehoek, die we in figuur zagen verschijnen. () (9) (7) Figuur 4: De gearceerde vierkantjes snijden de attractor. Het aantal staat tussen haakjes. We noteren A voor de Sierpinksi-driehoek en zien in de bovenstaande figuur dat N n (A) = n. Bijgevolg geldt wegens stelling 6.4: ln( n ) dim(a) = lim n ln( n ) = ln() ln(), 565. De betekenis van fractale dimensie strookt dus niet met de conventionele wijze waarop we aan dimensie denken: de dimensie van attractoren is niet noodzakelijk een geheel getal! We kunnen nu formeel definiëren wat een fractaal is. Definitie 6.5. Een fractaal is een attractor met een niet-gehele fractale dimensie. Zijn attractoren en fractalen wel verschillende begrippen? Zo ja, moeten er attractoren bestaan die een gehele dimensie hebben. We geven een gemakkelijk voorbeeld. Voorbeeld 6. Het onderstaande IFS heeft een saaie attractor A: een doodnormaal vierkant. f a a a a b b Door de observatie die we maakten bij de intuïtieve aanbreng van definitie 6., kunnen we concluderen dat N n (A) = n. De fractale dimensie dim(a) = lim n ln( n ) ln( n ) = ln() ln() = en dus is de attractor van het bovenstaande IFS geen fractaal. 4

27 Conclusie Fractalen illustreren prachtig de wisselwerking tussen zuivere wiskunde en de werkelijkheid. Enerzijds bood de natuur inspiratie voor het creëren van een volledig nieuwe wiskundetak, die gebaseerd is op het gegeven dat bepaalde vormen schijnbaar onregelmatige patronen vertonen op ieder niveau. Anderzijds laat de wiskundige modellering toe met eenvoudige transformaties de meest complexe afbeeldingen te genereren en zo gedeeltelijk het mechanisme achter de natuurlijke schoonheid te ontsluieren. De theorie over fractalen heeft tevens bijgedragen aan de ontwikkeling van een heleboel toepassingen, zoals beeldcompressie en computeranimatie. Het is fascinerend dat dit allemaal perfect past in een analytisch, metrisch kader. Banach en Hausdorff legden als ware avant-gardisten nota bene zonder gebruik te kunnen maken van computers de basis voor een elegante theorie die pas een halve eeuw later toepassingen in de praktijk zou krijgen. Fractale meetkunde is daarom een mooi voorbeeld van het nut van abstracte wiskunde en de noodzaak tot bestudering ervan. 5

28 Referenties [] BARAHONA, F., CABRELLI, C., MOLTER, U. Computing the Hutchinson Distance by Network Flows. Random Computational Dynamics, vol., 99. (p. 7-9.) [] BARNSLEY, M. Fractals Everywhere. Academic Press, San Diego, 988. (p. 6-5, 9-59, 7, 75-9, 96-, 7-79) [] BARNSLEY, M. Fractals Everywhere. Dover, 0. (p. 0-) [4] BASTIAENS, E. Fractal Compressie door middel van Genetische Algoritmen. Masterthesis VUB, Brussel, 994. (p. 8-78) [5] COLEBUNDERS, E. Verzamelingen en reële getallen. Dienst Uitgaven VUB, Brussel, 0. [6] COLEBUNDERS, E. Analyse II. Dienst Uitgaven VUB, Brussel, 0. [7] COLEBUNDERS, E. Geïtereerde functiesystemen en beeldverwerking meer dan een halve eeuw na Banach en Hausdorff. Wiskunde en Onderwijs, Brussel, 995. [8] EDGAR, G. Measure, Topology and Fractal Geometry. Springer-Verlag, New York, 990. (p. -6, 65-68, 05-09, 84-87) [9] JACHYMSKI, J. Continuous Dependence of Attractors of Iterated Function Systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 98, 996. (p. -6) [0] MANTICA, G., SLOAN, A. Chaotic Optimization and the Construction of Fractals: Solution of an Inverse Problem. Complex Systems Publications, vol., 989. (p. 7-6) [] MANDELBROT, B. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York, 98. (p. -9, 5-80) [] SHONKWILER, R., MENDIVIL, F., DELIU, A. Genetic Algorithms for the -D Fractal Inverse Problem. Morgan Kaufmann, Proceedings of the 4th International Conference on Genetic Algorithms, San Diego, 99. (p )

29 Appendix Extra voorbeelden van IFS en en hun attractoren f a a a a b b Figuur 5: Een fractaal ijskristal. f a a a a b b Figuur 6: Het tapijt van Menger. f a a a a b b c s c s c s 4 c s s s s s c 0 c 0 c 0 c 0 met c = cos(0, 5) en s = sin(0, 5) Figuur 7: Attractor met spiralen.

30 Matlab-code De onderstaande Matlab-procedure attractor genereert afbeeldingen van het iteratieproces dat beschreven wordt in hoofdstuk. Bij de code is begeleidende tekst in het groen voorzien. function [ ] = attractor (M,it) % Deze functie tekent de attractor van een gegeven matrix M in het vlak en % voert het gevraagde aantal iteraties 'it' uit. Voor de Sierpinski- % driehoek ziet M er bijvoorbeeld uit als volgt: % % M = % % % % % We slaan het aantal contracties (het aantal rijen in M) op in een % variabele 'm'. [m,~] = size(m); % Om performantieredenen geven we enkele variabelen, die we verderop in de % functie zullen tegenkomen, een startwaarde. A = cell(,m); B = cell(,m); x = zeros(,mˆit); y = zeros(,mˆit); % De transformaties zijn van de vorm A{i}*[x,y]+B{i}. Gemakkelijkheidshalve % bepalen we de matrices A{i} en B{i} op basis van M. for i = :m A{i} = [M(i,:); M(i,:4)]; B{i} = M(i,5:6)'; end % We kiezen de oorsprong als startpunt van het iteratieproces en bewaren % de abscis en ordinaat in een array P. P = {[0;0]}; for i = :it Q = cell(,mˆi); p = length(p); % We berekenen de beelden van de punten in P onder alle contracties. for j = :m for k = :p % We slaan de berekende beelden op in een array Q.

31 Q{(j-)*p+k} = A{j}*P{k}+B{j}; end end % De berekende beelden zijn de startverzameling voor de volgende % iteratiestap. P = Q; end % We tekenen nu de punten die we in laatste iteratiestap hebben berekend. for i = :length(p) x(i) = P{i}(); y(i) = P{i}(); end plot(x,y,'.','color',[ 0],'Markersize',) set(gcf,'color','white') axis('square','off') end Met de procedure attractormovie kan men gif-bestanden maken, die weergeven hoe de attractor van het opgegeven IFS in iedere iteratiestap groeit. function [ ] = attractormovie (M,it,name) % Deze functie tekent voor iedere waarde i kleiner of gelijk aan 'it' de % i-de iteratiestap met de functie 'attractor' en maakt een gif-bestand met % de naam 'name' van deze beelden. % We slaan het aantal contracties (het aantal rijen in M) op in een % variabele 'm'. [m,~] = size(m); % Om performantieredenen geven we enkele variabelen, die we verderop in de % functie zullen tegenkomen, een startwaarde. A = cell(,m); B = cell(,m); % De transformaties zijn van de vorm A{i}*[x,y]+B{i}. Gemakkelijkheidshalve % bepalen we de matrices A{i} en B{i} op basis van M. for i = :m A{i} = [M(i,:); M(i,:4)]; B{i} = M(i,5:6)'; end % We kiezen de oorsprong als startpunt van het iteratieproces en bewaren % de abscis en ordinaat in een array P.

32 P = {[0;0]}; plot(0,0,'.','color',[ 0],'Markersize',); set(gcf,'color','white') axis('square','off') F() = getframe(gcf); for i = :it Q = cell(,mˆi); x = zeros(,mˆi); y = zeros(,mˆi); p = length(p); % We berekenen de beelden van de punten in P onder alle contracties. for j = :m for k = :p % We slaan de berekende beelden op in een array Q. Q{(j-)*p+k} = A{j}*P{k}+B{j}; end end % De berekende beelden zijn de startverzameling voor de volgende % iteratiestap. P = Q; % We tekenen de punten die we in laatste iteratiestap hebben berekend. for j = :length(p) x(j) = P{j}(); y(j) = P{j}(); end plot(x,y,'.','color',[ 0],'Markersize',); set(gcf,'color','white') axis('square','off') F(i+) = getframe(gcf); end % De gif blijft eindeloos doorspelen met een pauze van seconde tussen de % beelden. Dit commando is niet standaard ingebouwd in Matlab, maar kan % gedownload worden op het onderstaande webadres. % moviegif(f,name,'loopcount',inf,'delaytime',) end

33 Deze code creëert het gif-filmpje dat in voorbeeld ter sprake kwam. Op analoge wijze kan men in ieder IFS-systeem een parameter continu laten veranderen. i=; for h=0:0.0:pi/ c=cos(h); s=sin(h); M=[/*c -/*s /*s /*c 0; /*c -/*s /*s /*c 0 ; /*c -/*s /*s /*c - 0; /*c -/*s /*s /*c 0 -]; attractor(m,9); F(i)=getframe(gcf); i=i+; end moviegif(f,'vierkantcont.gif','loopcount',inf,'delaytime',0.);