Constructie der p-adische getallen

Transcriptie

1 Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008

2 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop aan de Universiteit Utrecht. De tekst introduceert op rigoreuze wijze de zogeheten p-adische getallen. De constructie die in deze tekst behandeld wordt berust op het idee dat een p-adisch getal opgevat kan worden als de equivalentieklasse van een Cauchy-rij van rationale getallen. Naast de constructie van de p-adische getallen worden ook p-tallige representatie en enkele eigenschappen van de verzameling der p-adische getallen behandeld. Zo wordt bewezen dat de p-adische getallen een volledige uitbreiding zijn van de rationale getallen en dat bovendien geldt dat de rationale getallen dicht liggen in de p-adische getallen. Omdat het in de tekst opgezette formalisme zeer algemeen is, kan de tekst ook gebruikt worden als een eerste kennismaking met algemene volledige lichaamsuitbreidigen. In het bijzonder is ook de constructie der reële getallen een directe toepassing van het in de tekst ontwikkelde formalisme. Hoewel de tekst grotendeels zelfvoorzienend is, wordt er wel van uitgegaan dat de lezer bekend is met enkele basisresultaten uit de wetenschappelijke wiskunde. Onder andere de hoofdstelling van de rekenkunde en enkele eigenschappen van limieten, zoals het behoud van ongelijkheden en de insluitstelling, worden zonder bewijs in de tekst gebruikt. 1

3 1 Inleiding Al op de basisschool maken we kennis met breuken. We leren hoe we breuken moeten optellen en vermenigvuldigen en verdelen menige denkbeeldige taart. Ook op de middelbare school wordt vervolgens flink met breuken gerekend. Het blijken erg handige dingen: ineens kunnen alle getallen op elkaar gedeeld worden. Toch wordt het al snel duidelijk dat we aan alleen breuken niet genoeg hebben. Simpele vergelijkingen als x lijken geen oplossing te hebben binnen de breuken en ook bepaalde oneindig lange decimale getallen, zoals π , lijken te ontbreken. Hoewel dit serieuze problemen zijn, wordt hier in het middelbaar onderwijs verder weinig aandacht aan besteed. Getallen als π en 2 bestaan gewoon en vergelijkingen als x zijn simpelweg niet oplosbaar. Hoe de getallen π en 2 in relatie staan tot de breuken blijft onduidelijk. Pas nadat we op de universiteit kennis hebben gemaakt met de beginselen van de wetenschappelijke wiskunde zijn we in staat deze problemen beter te analyseren. Om te beginnen leren we dat breuken ook wel rationale getallen heten en dat de verzameling der rationale getallen aangeduid wordt met Q. Verder leren we dat getallen als π en 2 reële getallen worden genoemd en dat de verzameling van deze reële getallen aangeduid wordt met R. Informeel gezegd bevat de verzameling der reële getallen alle (eventueel oneindig lange) decimale getallen, dus in het bijzonder alle rationale getallen. Ook blijkt dat vergelijkingen als x prima oplosbaar zijn, mits we de reële getallen verder uitbreiden tot de verzameling C van zogeheten complexe getallen. De oplettende lezer zal gemerkt hebben dat de uitbreiding van de rationale getallen tot de reële getallen niet algebraïsch van aard kan zijn. Dat wil zeggen: de uitbreiding van Q tot R wordt niet ingegeven door de wens polynoomvergelijkingen over Q op te kunnen lossen. De vergelijking x heeft immers nog steeds geen oplossing binnen de reële getallen, terwijl er wel getallen als π worden toegevoegd die geen oplossing zijn van een polynoomvergelijking over Q. Blijkbaar ligt er een andere motivatie ten grondslag aan de uitbreiding van de rationale naar de reële getallen, namelijk de wens de gaten in Q te dichten. Zo voelt het ontbreken van bepaalde oneindig lange decimale getallen immers aan: als een gat. Om deze gaten en het dichten ervan goed te kunnen beschrijven hebben we echter wat geavanceerdere wiskunde nodig. Eén van de begrippen die een belangrijke rol zal spelen is de afstand op Q. In het algemeen wordt de afstand tussen twee rationale getallen a en b gelijk genomen aan de absolute waarde van het verschil: a b. Dit is de zogeheten Euclidische afstand. Als we de gaten bestuderen en vervolgens dichten aan de hand van deze Euclidische afstand verkrijgen we de verzameling der reële getallen. Het blijkt 2

4 echter dat wanneer we in plaats van de Euclidische afstand de zogeheten p- adische afstand op Q gebruiken, we op een hele andere uitbreiding van de rationale getallen uitkomen! Door met een andere afstand naar Q te kijken verschuiven de gaten als het ware, waardoor het dichten van de gaten totaal nieuwe getallen oplevert: de p-adische getallen. 3

5 2 Metrische ruimten Hoewel het concept van gaten in Q een goed beeld geeft van de constructie der p-adische getallen, is het natuurlijk een weinig formele beschrijving. Daarom zullen we in deze sectie het concept van gaten op een wiskundig verantwoorde manier herformuleren. We beginnen met een formele definitie van het begrip afstand. Definitie 2.1. Zij V een verzameling. Onder een afstand of metriek op V verstaan we een afbeelding d : V V R met de volgende eigenschappen. Zij x, y, z V, dan: a. d(x, y) 0 en d(x, y) 0 x y; b. d(x, y) d(y, x) (symmetrie); c. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (driehoeksongelijkheid). Onder een metrische ruimte verstaan we een paar (V, d) met V een verzameling en d een metriek op V. Ofschoon in de literatuur een metrische ruimte (V, d) na vermelding van de gebruikte metriek vaak simpelweg als V geschreven wordt, houden we hier de strikte notatie aan. Dit om te benadrukken dat juist de keuze van de afstand van groot belang is. Definitie 2.2. Zij (V, d) een metrische ruimte. Onder een Cauchy-rij in (V, d) verstaan we een rij (a n ) n N in V met de eigenschap dat er voor iedere ε Q + een N N is zo dat d(a n, a m ) < ε voor alle n, m N. Opmerking 2.3. In deze tekst is 0 / N, dus N {1, 2, 3,... }. Verder heeft Q + de voor de hand liggende betekenis: Q + : {x Q x > 0}. Zoals in het voorwoord vermeld, gaan we ervan uit dat enkele resultaten ten aanzien van limieten bekend zijn. Desalnietemin roepen we de formele definitie van de limiet hier nog even in herinnering. Definitie 2.4. Zij (V, d) een metrische ruimte, (a n ) n N een rij in V en a V. We zeggen dat de rij (a n ) n N limiet a in (V, d) heeft, notatie lim n a n a, als er voor iedere ε Q + een N N is zo dat d(a n, a) < ε voor alle n N. We hebben inmiddels bijna genoeg terminologie ontwikkeld om het concept van een verzameling met gaten rigoreus te formuleren. Het enige begrip dat nog ontbreekt is volledigheid. 4

6 Definitie 2.5. Een metrische ruimte (V, d) heet volledig, indien elke Cauchyrij in (V, d) een limiet in (V, d) heeft. Oftewel, indien er voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N in (V, d) een a V is zo dat lim n a n a in (V, d). We zeggen nu dat de verzameling V gaten heeft ten aanzien van de metriek d, indien de metrische ruimte (V, d) niet volledig is. De formele tegenhanger van een gat is dus een Cauchy-rij die geen limiet heeft binnen de verzameling. Welke rijen Cauchy-rijen zijn en welke rijen een limiet hebben binnen de verzameling wordt bepaald door de keuze van de metriek. Het is in deze zin dat de gaten in Q verschuiven als we van de Euclidische afstand overgaan naar de p-adische afstand. Het is zelfs mogelijk een afstand op Q te definiëren zo dat Q volledig is (oftewel geen gaten heeft). Voorbeeld 2.6. Het is eenvoudig na te gaan dat de afbeelding d 1 : Q Q Q gedefinieerd door { 1 als x y d 1 (x, y) : 0 als x y een metriek op Q is. Zij nu (a n ) n N een Cauchy-rij in (Q, d 1 ). Dan is er een N N zo dat d 1 (a n, a N ) < 1 voor alle n N. Echter, d 1 (a n, a N ) < 1 impliceert d 1 (a n, a N ) 0. Dus voor alle ε Q + geldt dat d(a n, a N ) 0 < ε voor alle n N. Hieruit concluderen we dat lim n a n a N in (Q, d 1 ). In het bijzonder geldt dus dat iedere Cauchy-rij (a n ) n N in (Q, d 1 ) een limiet heeft in (Q, d 1 ). Oftewel, (Q, d 1 ) is volledig. Opmerking 2.7. Feitelijk hebben we in Voorbeeld 2.6 nergens enige eigenschap van de verzameling Q gebruikt. We kunnen dus op analoge wijze een willekeurige verzameling V van een metriek d 1 voorzien, zo dat (V, d 1 ) volledig is. 5

7 3 Lichamen In de vorige sectie hebben we gezien dat een metrische ruimte een combinatie is van een verzameling en een metriek op die verzameling. In principe zouden we nu dus een metrische ruimte (Q, d) kunnen vormen en de volledigheid van deze ruimte kunnen bestuderen. Het is echter belangrijk om op te merken dat Q niet zomaar een verzameling is. We kunnen elementen uit Q immers optellen, vermenigvuldigen en delen, hetgeen in een willekeurige verzameling niet zonder meer lukt. Teneinde deze eigenschappen op formele wijze te formuleren, voeren we het begrip lichaam in. Definitie 3.1. Onder een lichaam verstaan we een 5-tupel (K, +,, 0, 1) met K een verzameling, + en operaties op K en 0, 1 K, 0 1, zo dat aan de volgende eisen is voldaan: a. 0 + x x + 0 x voor alle x K (0 is de additieve identiteit); b. voor alle x K is er een x K zo dat x + ( x) ( x) + x 0 (existentie additatieve inverse); c. (x + y) + z x + (y + z) voor alle x, y, z K (associativiteit van +); d. x + y y + x voor alle x, y K (commutativiteit van +); e. 1 x x 1 x voor alle x K (1 is de multiplicatieve identiteit); f. voor alle x K \ {0} is er een x 1 K zo dat x x 1 x 1 x 1 (existentie multiplicatieve inverse); g. (x y) z x (y z) voor alle x, y, z K (associativiteit van ); h. x y y x voor alle x, y K (commutativiteit van ); i. x (y + z) (x y) + (x z) voor alle x, y, z K (distributiviteit). De operaties + en worden ook wel de optelling, respectievelijk vermenigvuldiging op K genoemd. Opmerking 3.2. Een lichaam is dus formeel een verzameling gecombineerd met twee operaties op die verzameling en twee elementen uit die verzameling. Toch is het gebruikelijk om een lichaam met slechts de naam van de verzameling aan te duiden. Het is namelijk vaak, ofwel direct duidelijk welke operaties en identiteitselementen men wil gebruiken, ofwel niet belangrijk omdat de operaties niet expliciet uitgevoerd hoeven te worden (zoals in definities en stellingen met betrekking tot lichamen). 6

8 Lemma 3.3. Zij K een lichaam. Dan geldt voor alle x K: a. 0 x x 0 0; b. ( 1) x x. Bewijs. Zij x K, dan: a. x 0 x (0 + 0) x 0 + x 0, dus 0 x x 0 x 0 + (x 0 (x 0)) (x 0 + x 0) (x 0) x 0 (x 0) 0; b. ( 1) x ( 1) x + (x + ( x)) (( 1) x + x) + ( x) (( 1) + 1) x + ( x) 0 x + ( x) 0 + ( x) x. Men gaat eenvoudig na dat Q in combinatie met de gebruikelijke optelling, vermenigvuldiging en identiteitselementen (de getallen 0 en 1) inderdaad een lichaam is. Het lijkt wellicht alsof we vergeten zijn het delen van elementen in Q in de definitie van een lichaam te verwerken. Merk echter op dat het delen door een element hetzelfde is als het vermenigvuldigen met zijn multiplicatieve inverse. Definitie 3.4. Zij K een lichaam. Onder een absolute waarde op K verstaan we een afbeelding : K R zo dat voor alle x, y K geldt: a. x 0 en x 0 x 0; b. x y x y ; c. x + y x + y (driehoeksongelijkheid). Ook R in combinatie met de gebruikelijke optelling, vermenigvuldiging en identiteitselementen (de getallen 0 en 1) is een lichaam. Het is eenvoudig te verifiëren dat de welbekende absolute waarde op R voldoet aan de eisen in Definitie 3.4. Lemma 3.5. Zij K een lichaam en een absolute waarde op K. Dan geldt en voor alle x, y K x y x y (omgekeerde driehoeksongelijkheid). Bewijs. Aangezien R een lichaam is heeft 1 een multiplicatieve inverse, dus 1 ( ) ( 1 1 ) Uit 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 volgt nu 1 ±1. Daar de absolute waarde nooit negatief is concluderen we 1 1. Zij nu x, y K. Merk op dat x y ( 1) (y x) 1 y x y x. De omgekeerde driehoeksongelijkheid volgt nu uit x y y x ( y x + x ) x (y x) + x x y x en x y ( x y + y ) y (x y) + y y x y. 7

9 Stelling 3.6. Zij K een lichaam en een absolute waarde op K. Dan is d : K K R gedefinieerd door d(x, y) : x y een metriek op K. Bewijs. Zij x, y, z K, dan: a. d(x, y) x y 0 en d(x, y) x y 0 (x y) 0 x y; b. d(x, y) x y ( 1) (y x) 1 y x y x d(y, x); c. d(x, z) x z (x y) + (y z) x y + y z d(x, y) + d(y, z). Opmerking 3.7. Dus als K een lichaam is met absolute waarde, dan is (K, d) met d als in Stelling 3.6 een metrische ruimte. We noemen d de door geïnduceerde metriek. Voorbeeld 3.8. Beschouw opnieuw het lichaam der reële getallen met de gebruikelijke absolute waarde. De door geïnduceerde metriek op R is de vertrouwde Euclidische afstand d e (x, y) x y, met x, y R. 8

10 4 Uitbreidingen We hebben inmiddels genoeg formalisme ontwikkeld om het dichten van de gaten in Q rigoreus te behandelen en enkele eigenschappen van de zo verkregen nieuwe verzameling te bewijzen. Merk op dat het concept van gaten in Q tot nu toe slechts een motivatie is geweest om een algemeen formalisme op te zetten; nergens is er expliciet aangenomen dat we met de rationale getallen werken. Ook in deze sectie zullen we nog uitgaan van de algemene situatie: Opmerking 4.1. In deze sectie is K steeds een lichaam met absolute waarde en d de door geïnduceerde metriek. Dus in het bijzonder geldt dat (K, d) een metrische ruimte is. 4.1 Completeren In de sectie Metrische ruimten merkten we reeds op dat een gat in (K, d) gegeven wordt door een Cauchy-rij in (K, d) die geen limiet heeft in (K, d). De vraag is nu hoe we de (niet volledige) metrische ruimte (K, d) moeten uitbreiden zo dat wel iedere Cauchy-rij een limiet heeft. Met andere woorden, hoe we de metrische ruimte (K, d) moeten completeren. Gezien de formele tegenhanger van een gat lijkt het geen slechte gedachte de verzameling van alle Cauchy-rijen in (K, d) te bekijken. Het idee is nu om in deze verzameling de Cauchy-rijen die erg op elkaar lijken met elkaar te identificeren en de elementen van de zo verkregen nieuwe verzameling als getallen te zien. Merk op dat voor iedere a K geldt dat (a) n N (de constante rij a) een Cauchy-rij in (K, d) is. We kunnen de elementen van K dus terugvinden in de nieuwe verzameling. De elementen van de nieuwe verzameling die niet herkend kunnen worden als element van K vormen dan de gezochte opvulling van de gaten. Definitie 4.2. Zij CR(K, d) de verzameling van alle Cauchy-rijen in (K, d). We definiëren de relatie op CR(K, d) door: (a n ) n N (b n ) n N lim n d(a n, b n ) 0 in (R, d e ). Lemma 4.3. is een equivalentierelatie op CR(K, d). Bewijs. Reflexiviteit: Voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N in CR(K, d) geldt dat lim n d(a n, a n ) lim n 0 0, dus (a n ) n N (a n ) n N. Symmetrie: (a n ) n N (b n ) n N lim n d(a n, b n ) lim n d(b n, a n ) 0 (b n ) n N (a n ) n N. Transitiviteit: Stel dat (a n ) n N (b n ) n N en (b n ) n N (c n ) n N. Dan geldt 9

11 dat lim n d(a n, b n ) 0 en lim n d(b n, c n ) 0. Hieruit volgt dat 0 lim n d(a n, c n ) lim n d(a n, b n ) + lim n d(b n, c n ) Uit de insluitstelling volgt nu dat lim n d(a n, c n ) 0, dus (a n ) n N (c n ) n N. Gevolg 4.4. De verzameling K d : CR(K, d)/ is goed gedefinieerd. De elementen van K d zijn equivalentieklassen van Cauchy-rijen in (K, d) ten aanzien van de relatie, notatie (a n ) n N. 4.2 Optellen, vermenigvuldigen en delen Hoewel de definitie van K d van plausibel ogende motivatie is voorzien, is daarmee nog niet bewezen dat K d inderdaad alle gewenste eigenschappen heeft. Eén van die gewenste eigenschappen is dat K d op natuurlijke wijze een lichaam is. Het zou immers redelijk zijn als het completeren van een lichaam opnieuw een lichaam oplevert. De onderstaande lemma s maken de weg vrij voor een definitie van een optelling en vermenigvuldiging op K d zo dat K d inderdaad de structuur van een lichaam verkrijgt. Lemma 4.5. Zij (a n ) n N en (b n ) n N Cauchy-rijen in (K, d). (a n + b n ) n N een Cauchy-rij in (K, d). Dan is ook Bewijs. Zij ε Q +. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N a N zo dat d(a n, a m ) < ε/2 voor alle n, m N a. Analoog is er een N b N zo dat d(b n, b m ) < ε/2 voor alle n, m N b. Definieer nu N : max{n a, N b }, dan geldt voor alle n, m N dat d((a n +b n ), (a m +b m )) (a n + b n ) (a m + b m ) (a n a m ) + (b n b m ) a n a m + b n b m d(a n, a m ) + d(b n, b m ) < ε/2 + ε/2 ε. Definitie 4.6. We zeggen dat een rij (a n ) n N in (K, d) naar boven begrensd is, als er een M Q + is zo dat d(0, a n ) a n < M voor alle n N. Analoog zeggen we dat een rij (a n ) n N in (K, d) naar onder begrensd is, als er een M Q + is zo dat d(0, a n ) a n > M voor alle n N. Lemma 4.7. Zij (a n ) n N een Cauchy-rij in (K, d). boven begrensd. Dan is (a n ) n N naar Bewijs. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N N zo dat a n a N d(a n, a N ) < 1 voor alle n N. Hieruit volgt met behulp van de omgekeerde driekhoeksongelijkheid (zie Lemma 3.5) dat a n a N a n a N < 1 voor alle n N. Dus a n < M : max{ a 1 + 1, a 2 + 1,..., a N 1 + 1, a N + 1} voor alle n N. Lemma 4.8. Zij (a n ) n N en (b n ) n N Cauchy-rijen in (K, d). (a n b n ) n N een Cauchy-rij in (K, d). Dan is ook 10

12 Bewijs. Zij ε Q +. Wegens Lemma 4.7 zijn er M a, M b Q + zo dat a n < M a respectievelijk b n < M b voor alle n N. Definieer nu M : max{m a, M b }. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N a N zo dat d(a n, a m ) < ε/(2m) voor alle n, m N a. Analoog is er een N b N zo dat d(b n, b m ) < ε/(2m) voor alle n, m N b. Zij nu N : max{n a, N b }, dan geldt voor alle n, m N dat d(a n b n, a m b m ) a n b n a m b m (a n b n a n b m )+(a n b m a m b m ) a n (b n b m ) + b m (a n a m ) a n d(b n, b m ) + b m d(a n, a m ) < Mε/(2M) + Mε/(2M) ε. Lemma 4.9. Zij (a n ) n N een naar onder begrensde Cauchy-rij in (K, d). Dan is ook (1/a n ) n N een Cauchy-rij in (K, d). Bewijs. Zij ε Q +. Omdat (a n ) n N naar onder begrensd is, is er een M Q + zo dat a n > M voor alle n N. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N N zo dat d(a n, a m ) < ε/m 2 voor alle n, m N. Hieruit volgt dat voor alle n, m N geldt d(1/a n, 1/a m ) 1/a n 1/a m (a m a n )/(a n a m ) 1/( a n a m ) d(a n, a m ) < M 2 ε/m 2 ε. Het lijkt wellicht vreemd dat we een dergelijke hoeveelheid lemma s nodig hebben om twee (relatief simpele) operaties op K d te definiëren. Het is echter belangrijk om te beseffen dat we hier te maken hebben met een verzameling bestaande uit equivalentieklassen en dat definities van operaties op een dergelijke verzameling vaak geformuleerd zijn met behulp van representanten van deze klassen. Omdat bij dergelijke definities altijd de vraag speelt of de uitkomst van de operatie onafhankelijk is van de gekozen representanten, is het extra belangrijk om na te gaan dat de operatie goed gedefinieerd is. Juist bij dit laatste aspect spelen bovenstaande lemma s een belangrijke rol. Definitie/Lemma De operatie : K d K d K d gegeven door ( (a n ) n N, ) : (an + b n ) n N, is goed gedefinieerd. Bewijs. Zij (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N en (d n ) n N Cauchy-rijen in (K, d). Getuige Lemma 4.5 zijn dan ook (a n + b n ) n N en (c n + d n ) n N Cauchy-rijen in (K, d), zodat inderdaad geldt (a n + b n ) n N, (cn + d n ) n N Kd. Stel nu dat (a n ) n N (c n ) n N en (b n ) n N (d n ) n N, dan lim n d(a n, c n ) lim n d(b n, d n ) 0. Hieruit volgt dat lim n d((a n + b n ), (c n + d n )) lim n (a n +b n ) (c n +d n ) lim n (a n c n )+(b n d n ) lim n a n c n + lim n b n d n lim n d(a n, c n ) + lim n d(b n, d n ) 0, dus (a n + b n ) n N (c n + d n ) n N, oftewel (a n + b n ) n N (cn + d n ) n N. Definitie/Lemma De operatie : K d K d K d gegeven door ( (a n ) n N, ) : (an b n ) n N, is goed gedefinieerd. 11

13 Bewijs. Zij (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N en (d n ) n N Cauchy-rijen in (K, d). Getuige Lemma 4.8 zijn dan ook (a n b n ) n N en (c n d n ) n N Cauchy-rijen in (K, d), zodat inderdaad geldt (a n b n ) n N, (cn d n ) n N Kd. Stel nu dat (a n ) n N (c n ) n N en (b n ) n N (d n ) n N, dan lim n d(a n, c n ) lim n d(b n, d n ) 0. Bovendien zijn er wegens Lemma 4.7 M a, M d Q + zo dat a n < M a respectievelijk d n < M d voor alle n N. Er volgt nu dat lim n d(a n b n, c n d n ) lim n a n b n c n d n lim n (a n b n a n d n ) + (a n d n c n d n ) lim n a n (b n d n ) + lim n (a n c n )d n lim n a n b n d n + lim n d n a n c n lim n M a d(b n, d n ) + lim n M d d(a n, c n ) 0, dus (a n b n ) n N (c n d n ) n N, oftewel (a n b n ) n N (cn d n ) n N. Zoals de notatie al suggereert zal de operatie uit Definitie/Lemma 4.10 de rol van optelling op zich nemen, terwijl de operatie uit Definitie/Lemma 4.11 de vermenigvuldiging voor zijn rekening neemt. Om nog meer het gevoel te krijgen dat we met een optelling en vermenigvuldiging te maken hebben passen we de notatie nog iets aan. Definitie Zij (a n ) n N, Kd. We definiëren: a. (a n ) n N : (, ) (an + b n ) n N ; b. (a n ) n N : (, ) (an b n ) n N. We kunnen wel stellen dat de definitie van de optelling en vermenigvuldiging vrij voor de hand liggend zijn. Met andere woorden, de gemaakte keuze lijkt de meest logische. Ook voor de identiteitselementen is er een voor de hand liggende definitie beschikbaar: Definitie a. 0 : (0) n N ; b. 1 : (1) n N. Nu rest ons nog te bewijzen dat K d in combinatie met de zojuist gedefinieerde optelling, vermenigvuldiging en identiteitselementen inderdaad een lichaam is. Lemma Voor alle A K d is er een A K d zo dat A ( A) ( A) A 0. Bewijs. Zij A K d. Dan is er een Cauchy-rij (a n ) n N in (K, d) zo dat A (a n ) n N. Aangezien ook ( 1)n N een Cauchy-rij in (K, d) is, volgt nu uit Lemma 4.8 dat ( a n ) n N een Cauchy-rij in (K, d) is. Neem nu A : ( a n ) n N. Dan geldt A ( A) ( an ) n N (an + ( a n )) n N (0)n N 0 en analoog ( A) A ( an ) n N (( an ) + a n )) n N (0)n N 0. 12

14 Lemma Voor alle A K d \ {0} is er een A 1 K d zo dat A A 1 A 1 A 1. Bewijs. Zij A K d \ {0}. Dan is er een Cauchy-rij (a n ) n N in (K, d) zo dat A (a n ) n N en (0) n N. Hieruit volgt dat lim n d(a n, 0) 0. Dus er is een ε Q + zo dat voor alle N N geldt dat er een ν N is met a ν d(a ν, 0) ε. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N a N zo dat a n a m d(a n, a m ) < ε/2 voor alle n, m N a. Uit het voorgaande volgt nu dat er een ν N a is met a ν ε, dus geldt voor alle m N a dat a m a ν (a ν a m ) a ν a ν a m > ε ε/2 ε/2. Definieer nu de rij (b n ) n N door b n a Na als n N a en b n a n als n > N a. Dan is (b n ) n N een Cauchy-rij in (K, d) met ondergrens ε/2. Bovendien geldt dat (a n ) n N (b n ) n N. Aangezien (b n ) n N naar onder begrensd is, is ook (1/b n ) n N een Cauchy-rij in (K, d) (zie Lemma 4.9). Neem nu A 1 : (1/b n ) n N. Dan geldt A A 1 (a n ) n N (1/bn ) n N (1/bn ) n N (bn /b n ) n N (1)n N 1 en analoog A 1 A (1/b n ) n N (1/bn ) n N (bn /b n ) n N (1)n N 1. Stelling (K d,,, 0, 1) is een lichaam. Bewijs. Merk allereerst op dat lim n d(0, 1) d(0, 1) , dus 0 1. Zij nu A, B, C K d, met A (a n ) n N, B en C (c n ) n N. Dan geldt: a. 0 A (0) n N (0 + an ) n N A en A 0 (a n ) n N (0)n N (an + 0) n N A; b. er is een A K d zo dat A ( A) ( A) A 0, zie Lemma 4.14; c. (A B) C ( (a n ) n N ) (cn ) n N (an + b n ) n N (cn ) n N ((an + b n ) + c n ) n N (an + (b n + c n )) n N (b n + c n ) n N ( (cn ) n N ) A (B C); d. A B (a n ) n N (an + b n ) n N (bn + a n ) n N B A; e. 1 A (1) n N (1 an ) n N A en A 1 (a n ) n N (1)n N (an 1) n N A; f. als A 0 is er een A 1 K d zo dat A A 1 A 1 A 1, zie Lemma 4.15; 13

15 g. (A B) C ( (a n ) n N ) (cn ) n N (an b n ) n N (cn ) n N ((a n b n )c n ) n N (a n (b n c n )) n N (a n ) n N (bn c n ) n N ( (cn ) n N ) A (B C); h. A B (a n ) n N (an b n ) n N (bn a n ) n N B A; i. A (B C) (a n ) n N ( (cn ) n N ) (bn + c n ) n N (an (b n + c n )) n N (an b n + a n c n ) n N (an b n ) n N (an c n ) n N ( ) ( (cn ) n N ) (A B) (A C). 4.3 Identificeren Zoals we al eerder hebben opgemerkt is het mogelijk de elementen van K terug te vinden in K d door de equivalentieklassen van constante Cauchyrijen in (K, d) te beschouwen. De keuze van de identiteitselementen van K d (0 (0) n N en 1 (1)n N ) is hier een mooi voorbeeld van; het zijn simpelweg de tegenhangers in K d van de identiteitselementen van K. Om het identificeren van elementen van K met elementen van K d formeel onder woorden te brengen hebben we het begrip lichaamshomomorfisme nodig. Definitie Zij L en M lichamen. Onder een lichaamshomomorfisme verstaan we een afbeelding φ : L M met de volgende eigenschappen. Zij x, y L, dan: a. φ(x + L y) φ(x) + M φ(y) (behoud van optelling); b. φ(x L y) φ(x) M φ(y) (behoud van vermenigvuldiging). Hierbij zijn + L (+ M ) en L ( M ) de optelling, respectievelijk vermenigvuldiging op L (M). Lemma Zij L en M lichamen en φ : L M een lichaamshomomorfisme. Dan geldt: a. φ(0 L ) 0 M ; b. φ( x) φ(x) voor alle x L. Hierbij is 0 L de additatieve identiteit van L en 0 M de additatieve identiteit van M. 14

16 Bewijs. a. φ(0 L ) φ(0 L + 0 L ) φ(0 L ) + φ(0 L ), dus φ(0 L ) φ(0 L ) + (φ(0 L ) φ(0 L )) (φ(0 L ) + (φ(0 L )) φ(0 L ) φ(0 L ) φ(0 L ) 0 M ; b. φ( x) φ( x) + (φ(x) φ(x)) (φ( x) + φ(x)) φ(x) φ( x + x) φ(x) φ(0 L ) φ(x) 0 M φ(x) φ(x). Merk op dat voor alle lichamen L en M geldt dat φ : L M, gegeven door φ(x) 0 M voor alle x L, een lichaamshomomorfisme is. Gezien de zeer eenvoudige vorm noemen we dit lichaamshomomorfisme triviaal. Overeenkomstig zeggen we dat een lichaamshomomorfisme φ : L M niet triviaal is, indien er een x L is zo dat φ(x) 0 M. Lemma Zij L en M lichamen en φ : L M een niet triviaal lichaamshomorfisme. Dan is φ injectief. Bewijs. Veronderstel dat φ niet injectief is. Met andere woorden, stel dat er x, y L zijn zo dat φ(x) φ(y), terwijl x y. Dan φ(x y) φ(x+( y)) φ(x)+φ( y) φ(x) φ(y) 0 M. Hieruit volgt φ(z) φ(z(x y) 1 (x y)) φ(z(x y) 1 )φ(x y) φ(z(x y) 1 ) 0 M 0 M, voor alle z L, hetgeen in tegenspraak is met het gegeven dat φ niet triviaal is. De injectiviteit van een niet triviaal lichaamshomomorfisme maakt een eenduidige identificatie van de elementen van L met elementen uit M mogelijk. Definitie Zij M een lichaam. Stel nu dat N M zo dat 0 M, 1 M N en N in combinatie met + M N en M N een lichaam is. Dan zeggen we dat N een deellichaam is van M. Het is eenvoudig na te gaan dat het beeld φ(l) van een niet triviaal lichaamshomomorfisme φ : L M een deellichaam van M is. Bovendien geldt dat L en φ(l) in feite niet onderscheidbaar zijn. Immers, alle (voor een lichaam relevante) eigenschappen van L kunnen via φ worden overgedragen op φ(l). Dus met behulp van de identificatie x : φ(x) kunnen we L zelf als deellichaam van M beschouwen. Oftewel, we kunnen M zien als uitbreiding van L. Definitie Zij L en M lichamen. We zeggen dat M een lichaamsuitbreiding is van L, indien er een niet triviaal lichaamshomomorfisme φ : L M bestaat. Het enige dat we nu nog hoeven doen om de indentificatie van de elementen van K met elementen van K d te formaliseren is een geschikt lichaamshomomorfisme definiëren. Hiermee is dan bovendien rigoreus gemaakt dat K d een uitbreiding is van K. Het moge inmiddels duidelijk zijn welke afbeelding van K naar K d een geschikte kandidaat is: 15

17 Definitie/Lemma De afbeelding φ d : K K d gedefinieerd door φ d (x) : (x) n N, is een niet triviaal lichaamshomomorfisme. Bewijs. Zij x, y K, dan: a. φ d (x + y) (x + y) n N (x)n N (y)n N φd (x) φ d (y); b. φ d (xy) (xy) n N (x)n N (y)n N φd (x) φ d (y). Merk op dat φ d inderdaad niet triviaal is. Immers φ d (1) (1) n N Volledigheid We hebben nu dus bewezen dat K d een lichaamsuitbreiding is van K. Hoewel dit natuurlijk een zeer mooi en wenselijk resultaat is, moeten we niet vergeten dat de motivatie achter al het opgebouwde formalisme het dichten van de gaten in (K, d) is. Oftewel, het uitbreiden van (K, d) tot een volledige metrische ruimte. Hiertoe moeten we een metriek op K d zien te vinden die op K (of beter gezegd φ d (K)) overeenkomt met de metriek d. Als dit het geval is kunnen we de gevonden metriek immers zien als een uitbreiding van d : K K R tot K d K d. Definitie/Lemma De afbeelding Λ d : K d R gegeven door Λ d ( ) : lim n a n, is onafhankelijk van de gekozen representant. Bewijs. Zij (a n ) n N en (b n ) n N Cauchy-rijen in (K, d) zo dat (a n ) n N (b n ) n N. Onder de aanname dat lim n a n en lim n b n bestaan geldt dan lim n a n lim n b n lim n a n b n lim n a n b n lim n d(a n, b n ) 0. Daar de absolute waarde nooit negatief is volgt nu lim n a n lim n b n. Opmerking Het is zeker niet vanzelfsprekend dat de aanname in het bewijs van Definitie/Lemma 4.23 correct is. Het bewijs garandeert echter wel dat de afbeelding Λ d goed gedefinieerd is, indien lim n a n bestaat voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N in (K, d). Aangezien we in Sectie 5 zullen we zien dat dit voor de p-adische absolute waarde inderdaad het geval is, kunnen we met een gerust hart aannemen dat Λ d goed gedefinieerd is. Opmerking Overigens geldt ook voor de algemene absolute waarde dat lim n a n bestaat voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N in (K, d). Het bewijs hiervan maakt echter gebruik van de volledigheid van (R, d e ). Dus 16

18 als we met behulp van het in deze tekst opgezette formalisme algemene volledige lichaamsuitbreidingen willen beschouwen, moeten we eerst bewijzen dat (R, d e ) inderdaad volledig is. Dit blijkt echter geen probleem, aangezien ook voor Q in combinatie met de Euclidische absolute waarde geldt dat lim n a n bestaat voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N. Lemma Λ d is een absolute waarde op K d. Bewijs. Zij A, B K d met A (a n ) n N en B. Dan geldt: a. Λ d (A) lim n a n lim n 0 0 en Λ d (A) lim n a n lim n d(a n, 0) 0 (a n ) n N (0) n N A 0; b. Λ d (A B) Λ d ( (a n b n ) n N ) limn a n b n lim n ( a n b n ) (lim n a n ) (lim n b n ) Λ d (A) Λ d (B); c. Λ d (A B) Λ d ( (a n + b n ) n N ) limn a n +b n lim n ( a n + b n ) lim n a n + lim n b n Λ d (A) + Λ d (B). Aangezien voor alle x K geldt dat Λ d (x) : Λ d (φ d (x)) Λ d ( (x) n N ) lim n x x, zien we dat Λ d op K overeenkomt met. Hieruit volgt dat de door Λ d geïnduceerde metriek op K overeenkomt met d. Daar Λ d en, respectievelijk de door Λ d geïnduceerde metriek en d, toch overeenkomen op K, kunnen we Λ d net zo goed gewoon met aanduiden en de door Λ d geïnduceerde metriek met d. Deze notatie benadrukt nog eens dat we in feite en d uitgebreid hebben tot K d respectievelijk K d K d. We hebben nu in principe alle benodigde ingrediënten voor handen om te bewijzen dat (K d, d) een volledige metrische ruimte is. Het bewijs van die volledigheid is echter vrij pittig. We zullen daarom eerst nog één ander belangrijk resultaat afleiden. Definitie Zij (V, d) een metrische ruimte en W V. We zeggen dat W dicht ligt in V ten aanzien van de metriek d, als er voor iedere a V een rij (a n ) n N in W is zo dat lim n a n a in (V, d). Lemma Zij (a n ) n N een Cauchy-rij in (K, d). Dan is (φ d (a n )) n N een Cauchy-rij in (K d, d) en geldt bovendien dat lim n φ d (a n ) (a m ) m N in (K d, d). Bewijs. Zij ε Q +. a. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N N zo dat d(a n, a m ) < ε voor alle n, m N. Er volgt nu dat voor alle n, m N geldt d(φ d (a n ), φ d (a m )) φ d (a n ) φ d (a m ) φ d (a n a m ) a n a m d(a n, a m ) < ε; 17

19 b. Aangezien (a n ) n N een Cauchy-rij is in (K, d), is er een N N zo dat d(a n, a m ) < ε/2 voor alle n, m N. Er volgt nu dat voor alle n N geldt dat d(φ d (a n ), (a m ) m N ) φd (a n ) (a m ) m N (a n ) m N (am ) m N (an a m ) m N limm a n a m lim m d(a n, a m ) lim m, m N d(a n, a m ) lim m, m N ε/2 ε/2 < ε. Gevolg φ d (K) ligt dicht in K d ten aanzien van de metriek d. Bewijs. Zij A K d. Dan is er een Cauchy-rij (a n ) n N in (K, d) zo dat A (am ) m N. Uit Lemma 4.28 volgt nu dat limn φ d (a n ) (a m ) m N A in (K d, d). Met de identificatie x : φ d (x) in ons achterhoofd zeggen we ook wel dat K dicht ligt in K d. Dit blijkt een bijzonder nuttige eigenschap te zijn, omdat het hierdoor vaak mogelijk is resultaten op K te generaliseren naar K d. Merk op dat we in Lemma 4.28 voor een bijzondere groep van Cauchy-rijen in (K d, d) reeds bewezen hebben dat ze een limiet hebben in (K d, d). Ten einde te bewijzen dat (K d, d) volledig is, zullen we moeten laten zien dat dit voor alle Cauchy-rijen in (K d, d) geldt. Stelling (K d, d) is een volledige metrische ruimte. Bewijs. Zij (A i ) i N een Cauchy-rij in (K d, d). Dan zijn er Cauchy-rijen (a i n) n N in (K, d) zo dat A i (a i n) n N. Definieer nu voor alle ε Q + : I(ε) : min{i N i,j I geldt A i A j < ε} en J(ε) : min{j N n J geldt A I(ε) φ d (a I(ε) n ) < ε}. Het is eenvoudig na te gaan dat zowel I(ε) als J(ε) goed gedefinieerd is voor iedere ε Q +. We weten immers dat iedere niet lege verzameling van natuurlijke getallen een minimum heeft. We hoeven dus slechts te verifiëren dat de verzamelingen in de definities van I(ε) en J(ε) voor geen enkele ε Q + leeg zijn, hetgeen direct volgt uit het feit dat (A i ) i N een Cauchy-rij in (K d, d) is, respectievelijk het feit dat lim n φ d (a I(ε) n ) ( a I(ε) n ) n N A I(ε) (zie Lemma 4.28). Merk op dat nu in het bijzonder geldt dat A I(ε) φ d (a I(ε) J(ε) ) < ε en dat I(ν) I(ε) als ν ε. Neem nu b n : a I(1/n) J(1/n). Dan geldt dat (b n) n N een Cauchy-rij in (K, d) is. Immers, zij ε Q + en zij N : 3/ε. Dan geldt voor alle n, m N dat d(b n, b m ) b n b m a I(1/n) J(1/n) ai(1/m) J(1/m) φ d(a I(1/n) J(1/n) ai(1/m) J(1/m) ) φ d (a I(1/n) J(1/n) ) φ d(a I(1/m) J(1/m) ) (φ d(a I(1/n) J(1/n) ) AI(1/n) )+(A I(1/m) φ d (a I(1/m) J(1/m) ))+ (A I(1/n) A I(1/m) ) φ d (a I(1/n) J(1/n) ) AI(1/n) + A I(1/m) φ d (a I(1/m) J(1/m) ) + 18

20 A I(1/n) A I(1/m) < 1/n + 1/m + 1/N 1/N + 1/N + 1/N 3/N ε. Hiermee is bewezen dat (b n ) n N Kd. Het blijkt zelfs het fel begeerde limietpunt van de Cauchy-rij (A i ) i N te zijn. Met andere woorden, er geldt dat lim i A i (b k ) k N in (Kd, d); hetgeen we nu zullen bewijzen. Zij ε Q +. Aangezien (b n ) n N een Cauchy-rij in (K, d) is volgt uit Lemma 4.28 dat (φ d (b n )) n N een Cauchy-rij in (K d, d) is en dat bovendien geldt lim n φ d (b n ) (bk ) k N in (Kd, d). Oftewel, er zijn N l, N c N zo dat voor alle n N l, respectievelijk voor alle n, m N c, geldt φ d (b n ) (b k ) k N < ε/4, respectievelijk φ d (b n ) φ d (b m ) < ε/4. Neem nu N : max { 4/ε, I(ε/4), N l, N c }. Dan geldt voor alle i N dat d(a i, (b k ) k N ) A i (b k ) k N A i A I(1/N) + A I(1/N) φ d (b N ) + φ d (b N ) φ d (b i ) + φ d (b i ) (b k ) k N ) < ε/4 + ε/4 + ε/4 + ε/4 ε. 19

21 5 De p-adische getallen Nu we over een uitgebreid algemeen formalisme beschikken wordt het tijd om de titel van deze tekst eer aan te doen en de beloofde rigoreuze constructie van de p-adische getallen te geven. Vanzelfsprekend zullen veel van de resultaten in deze sectie volgen uit het opgezette formalisme. We zullen echter nog wel wat voorbereidend werk moeten verzetten voor we het ontwikkelde formalisme toe kunnen passen. Naast de constructie en enkele eigenschappen van de p-adische getallen, zullen we ook de zogenoemde p-tallige representatie bespreken. Deze representatie is een goede manier om wat meer gevoel te krijgen voor de toch wat abstract lijkende p-adische getallen. We beginnen echter met het definiëren van de p-adische afstand en absolute waarde. 5.1 De p-adische afstand en absolute waarde Ten einde de p-adische afstand in te voeren is het belangrijk om op te merken dat we getallen in Q \ {0} op een speciale manier kunnen schrijven. Uit de hoofdstelling van de rekenkunde weten we immers dat iedere n N met n > 1 geschreven kan worden als een product van priemgetallen en dat deze zogenoemde priemfactorisatie uniek is. Zij p nu een willekeurig maar vast priemgetal. Dan kunnen we alle factoren p uit de priemfactorisatie delen. Wat overblijft is een natuurlijk getal dat niet meer deelbaar is door p. Aangezien 1 p 0, kunnen we dus ieder natuurlijk getal schrijven als p k m met k (N {0}) en m N zo dat p m. Zij nu z Z. Dan geldt dat z N, dus kunnen we schrijven z p k ( m) p k m met k (N {0}) en m Z zo dat p m. Er volgt nu dat we elk geheel getal ongelijk nul kunnen schrijven als p k m met k (N {0}) en m Z zo dat p m. Omdat ieder element q Q \ {0} te schrijven is als a/b met a, b Z \ {0}, kunnen we dus ieder rationaal getal ongelijk nul schrijven als p k m/n met k, m, n Z zo dat p m en p n. Opmerking 5.1. In het vervolg geldt dat p een willekeurig maar vast priemgetal is. Bovendien zullen we, als we schrijven a p k m/n met a Q, bedoelen dat k, m, n Z zo dat p m en p n, indien a 0. Definitie 5.2. Zij a Q zo dat a p k m/n. Dan definiëren we de p-adische absolute waarde p : Q Q door { p k als a 0 a p : 0 als a 0 Lemma 5.3. De afbeelding p voldoet voor alle a, b Q aan: 20

22 a. a p 0 en a p 0 a 0; b. ab p a p b p ; c. als a p b p, dan a + b p max{ a p, b p }; d. a + b p max{ a p, b p } a p + b p ; e. als a 0, dan ( a p ) p 1/ a p. In het bijzonder geldt dus dat p inderdaad een absolute waarde op Q is. Bewijs. Zij a, b Q met a p ka m a /n a en b p k b mb /n b. a. Dit volgt direct uit de definitie. b. Als a 0 of b 0 dan ab 0, dus ab p 0 a p b p. Als a, b 0 dan ab 0, dus uit ab p ka+k b ma m b /(n a n b ) en de observatie dat p m a m b en p n a n b volgt ab p p (ka+k b) p ka p k b a p b p. c. Als a 0 of b 0 volgt de gewenste gelijkheid direct, dus veronderstel a, b 0. a p b p impliceert nu a p < b p of a p > b p. Stel a p < b p. Dan k a > k b, dus a + b p k b (p k a k bma /n a m b /n b ) p k b (p k a k bma n b m b n a )/(n a n b ). Merk op dat p n a n b en p (p ka k b ma n b m b n a ) (immers p m b n a, terwijl p p ka k b ma n b ), dus a + b p p k b b p max{ a p, b p }. Analoog kunnen we bewijzen dat voor b p < a p geldt a + b p a p max{ a p, b p }. d. Als a 0 of b 0 volgt het gewenste direct. Omdat uit bovenstaande volgt dat het gewenste ook geldt indien a p b p, mogen we veronderstellen a p b p 0. Hieruit volgt k a k b, dus a + b p ka (m a /n a m b /n b ) p ka (m a n b m b n a )/(n a n b ). Merk op dat p n a n b, dus (m a n b m b n a )/(n a n b ) p p k met k (N {0}). We concluderen a + b p p ka p (m a n b m b n a )/(n a n b ) p p k a p a p max{ a p, b p }. e. Als a 0 dan a p p ka, dus ( a p ) p p ka p p ka 1/ a p. Aangezien p een absolute waarde op Q is, induceert p volgens Stelling 3.6 een metriek op Q. We noemen de door p geïnduceerde metriek de p-adische afstand. Gevolg 5.4. De p-adische afstand d p : Q Q Q wordt gekarakteriseerd door { p k als a b p k m/n 0 d p (a, b) a b p 0 als a b 21

23 5.2 De p-adische uitbreiding van de rationale getallen Nu we eindelijk weten wat de p-adische afstand precies is, kunnen we beginnen met het dichten van de gaten in (Q, d p ) om zo de p-adische getallen te verkrijgen. Dat er daadwerkelijk gaten in (Q, d p ) zitten (oftewel, dat (Q, d p ) niet volledig is), zou moeten volgen door een Cauchy-rij in (Q, d p ) te vinden die geen limiet heeft in (Q, d p ). Hoewel dit zeker mogelijk is, zullen we pas later een concreet voorbeeld van zo n rij geven. Het is hierbij namelijk handig om enkele technieken van de p-tallige representatie voor handen te hebben. Hoe het dichten van de gaten in (Q, d p ) in zijn werk gaat is natuurlijk al beschreven in de voorgaande secties. Ten einde het daar opgezette formalisme te kunnen gebruiken, hoeven we alleen nog te controleren dat voor iedere Cauchy-rij (a n ) n N in (Q, d p ) geldt dat lim n a n p bestaat, zie Opmerking Lemma 5.5. Zij (a n ) n N een Cauchy-rij in (Q, d p ). Dan is er een a Q zo dat lim n a n p a in (Q, d e ). Bewijs. Als (a n ) n N (0) n N dan geldt per definitie lim n a n p 0 in (Q, d e ) en dus zijn we klaar. Veronderstel daarom dat (a n ) n N (0) n N. Uit het bewijs van Lemma 4.15 volgt nu dat er een Cauchy-rij (b n ) n N in (Q, d p ) is zo dat (b n ) n N naar onder begrensd is en (a n ) n N (b n ) n N. Stel nu dat lim n b n p b in (Q, d e ), oftewel lim n b n b p 0. Dan lim n a n b p lim n a n b n p + lim n b n b p 0, waaruit volgt lim n a n p b in (Q, d e ). Hieruit zien we dat het volstaat te bewijzen dat er een b Q is zo dat lim n b n p b. We lijken hier wellicht weinig mee op te schieten, maar de rij (b n ) n N heeft een belangrijk voordeel boven de rij (a n ) n N. Omdat (b n ) n N naar onder begrensd is, geldt namelijk voor alle n N dat b n 0. Hierdoor geldt voor alle n N dat b n p p kn voor zekere k n Z. We onderscheiden nu twee gevallen: a. Er is een N N zo dat voor alle n N geldt b n p b N p. In dit geval geldt voor alle ε Q + dat d e ( b n p, b N p ) b n p b N p 0 < ε voor alle n N. Dus lim n b n p b N p in (Q, d e ). b. Er is geen N N zo dat voor alle n N geldt b n p b N p. Oftewel, voor iedere N N is er een n N zo dat b n p b N p. Zij nu ε Q +. Aangezien (b n ) n N een Cauchy-rij is in (Q, d p ), is er een N N zo dat voor alle n, m N geldt b n b m p < ε/2. Zij nu n N, dan is er een m n zo dat p kn : b n p b m p : p km. Hieruit volgt b n p 1 b m p / b n p b n p b m p b n b m p < ε/2, hetgeen impliceert b n p < ε/(2 1 b m p / b n p ) ε/(2 1 p km kn ) 2ε/2 ε. Dus voor alle n N geldt b n p < ε, dus lim n b n p 0 in (Q, d e ). 22

24 Door het in de voorgaande secties ontwikkelde formalisme nu toe te passen op het lichaam K Q met absolute waarde p en geïnduceerde metriek d d p, verkrijgen we het lichaam Q p : K d tezamen met de uitbreidingen van p en d p tot Q p, respectievelijk Q p Q p. We noemen Q p het lichaam der p-adische getallen. Uit het opgezette formalisme volgt nu direct dat: Q p een lichaamsuitbreiding is van Q; (Q p, d p ) een volledige metrische ruimte is; Q dicht ligt in Q p ten aanzien van d p. Met andere woorden, we hebben het lichaam Q uitgebreid tot een volledig lichaam Q p waar Q dicht in ligt. De beloofde rigoreuze constructie der p- adische getallen is hiermee een feit. 5.3 De p-tallige ontwikkeling Met de constructie en het bewijs van enkele eigenschappen van Q p is het echte werk achter de rug. Wat ons nu nog rest is een dieper blik in Q p, ten einde meer te weten te komen over zijn elementen. De elementen van Q p (oftewel de p-adische getallen) voelen nu immers nog erg abstract aan. We weten van een element A Q p dan ook alleen dat A (a n ) n N voor een zekere een Cauchy-rij (a n ) n N in (Q, d p ). Hoewel we op zich weten hoe we hiermee moeten rekenen, zou het handig zijn als we een iets minder abstracte notatie voor de elementen van Q p zouden kunnen ontwikkelen. Dit doen we met behulp van het concept p-tallige ontwikkeling. Definitie 5.6. Onder een p-tallige ontwikkeling verstaan we het schrijven van een getal in Q als een reeks van machten van p met coëfficienten in {0, 1,..., p 1}. Hierbij mag het aantal termen met een positieve macht van p oneindig zijn. Het aantal termen met een negatieve macht van p is echter altijd eindig. Uit Lemma 5.3 volgt immers dat de laagst voorkomende macht van p de p-adische absolute waarde van het getal bepaalt, hetgeen eindig moet zijn. Dus zij a Q met a p p k, dan ziet de p-tallige ontwikkeling van a er als volgt uit: a N c i p i ik met c i Z, 0 c i p 1, voor alle i {k, k + 1,..., N}. Hierbij mag N dus oneindig zijn. 23

25 Deze p-tallige ontwikkeling van elementen in Q kunnen we uitbreiden naar een p-tallige ontwikkeling van elementen in Q p. We beginnen echter met een opmerking om onoverzichtelijke notaties te voorkomen. Opmerking 5.7. Als we in het vervolg spreken van elementen a Q en A Q p en we hebben het over a A p dan bedoelen we φ dp (a) A p, met φ dp als in Definitie/Lemma Ook zullen we schrijven φ dp (a) φ dp (b) a + b, met a, b Q. Definitie 5.8. Zij A Q p met A p p k. Dan bedoelen we met een p-tallige ontwikkeling het als volgt schrijven van A: A N φ dp (c i p i ) ik N c i p i (vanwege Opmerking 5.7), ik met c i Z, 0 c i p 1, voor alle i {k, k + 1,..., N} en waarbij N oneindig mag zijn. Hoewel het nu duidelijk is wat we bedoelen met de p-tallige ontwikkeling van elementen uit Q en Q p, moeten we nog wel laten zien dat elk element in Q, respectievelijk Q p, inderdaad zo te schrijven is. Het volgende lemma gaat ons daarbij helpen. Lemma 5.9. Zij k Z. Een rij (a n ) n k van de vorm a n n ik c ip i met c i Z, 0 c i p 1 voor alle i {k, k + 1,..., n}, is een Cauchy-rij in (Q, d p ). Bewijs. Zij ε Q + en neem N : p log(2/ε) 1. Dan geldt voor alle n, m N, waarbij we zonder verlies van algemeenheid mogen aannemen dat n m, dat a n a m p < ε. Immers als n m, geldt a n a m p 0 < ε, terwijl voor n > m geldt a n a m p p (m+1) p p log(2/ε) ε/2 < ε. Stelling Elk getal in Q p is te schrijven als een p-tallige ontwikkeling, zoals beschreven in Definitie 5.8. Bewijs. Zij A Q p met A p p k. We zouden nu graag de volgende rij (b n ) n k definiëren: b k 1/ A p b n b n 1 + 1/ A b n 1 p voor alle n > k. Deze rij is echter niet goed gedefinieerd als er een n > k is zo dat A b n 1. Als dit het geval is zijn we echter klaar. Neem namelijk de kleinste m > k 24

26 waarvoor geldt A b m 1. Dan zijn de termen b n met k n < m goed gedefinieerd volgens bovenstaande definitie. Aangezien bovendien voor alle k n < m 1 geldt 1/ A b n p p i met i Z, is A b m 1 van de gewenste vorm. Veronderstel nu dus dat er geen n > k is zo dat A b n 1. Dan is de rij (b n ) n k wel goed gedefinieerd. Met behulp van inductie volgt nu dat voor alle n k geldt A b n p p k. Immers voor n k geldt A b k p A p k p max{p k, p k } p k, terwijl uit de aanname A b n p p k met n k volgt, A b n+1 p A b n 1/ A b n p p max{ A b n p, 1/ A b n p p } A b n p p k. Er volgt nu dat voor alle n k geldt 1/ A b n p p i met i k en dus dat b n N(n) ik c ip i, waarbij 0 c i p 1 en N(n) Z afhangt van de waarden die 1/ A b i p aanneemt voor k i < n. Uit Lemma 5.9 volgt nu dat (b n ) n k een Cauchyrij in (Q, d p ) is. Sterker nog (b n ) n k heeft A als limiet en is dus de gewenste p-tallige ontwikkeling van A. Immers b n+1 b n 1/ A b n p en dus geldt A b n p 1/ A b n p p b n+1 b n p. Uit het feit dat (b n ) n k een Cauchy-rij is in (Q, d p ) volgt nu lim n A b n p lim n b n+1 b n p 0. Gevolg Elk rationaal getal kan geschreven worden als een p-tallige ontwikkeling, zoals beschreven in Definitie 5.6. Bewijs. Volgens Stelling 5.10 kan ieder element in Q p geschreven worden als een p-tallige ontwikkeling. Aangezien φ dp (Q) Q p volgt nu dat ook ieder element van Q zo geschreven kan worden. We zullen ter afsluiting van dit deel nog twee voorbeelden geven van p-tallige ontwikkelingen in Q. Voorbeeld Neem p 3. Nu kunnen we de constructie uit het bewijs van Stelling 5.10 gebruiken om 4/9 als een 3-tallige ontwikkeling te schrijven. 4/ , dus b en b / 3/ Dit is het einde van de reeks, want 4/9 b 2 0. Dus we hebben dat 4/ Voorbeeld Ook voor 1 kunnen we de 3-tallige ontwikkeling berekenen. In dit geval krijgen we echter een oneindige reeks , dus b 1 1, b / 2 3 2, b / en b / De oplettende lezer ziet al hoe het verder gaat; elke positieve macht van 3 komt precies twee keer voor. We hebben dus dat 1 i1 2 3i 1. Men gaat overigens makkelijk na dat voor willekeurige p geldt dat 1 Q p geschreven kan worden als 1 i0 (p 1) pi. 25

27 5.4 De p-tallige representatie Een gevolg van Stelling 5.10 is dat we over elementen van Q p kunnen nadenken als reeksen van machten van p. Dit komt ons bekend voor. Immers, op de middelbare school schreven we reële getallen vaak in decimale ontwikkeling, hetgeen simpelweg neerkomt op het schrijven van een getal als reeks van machten van 10. Bijvoorbeeld: , De laatste schrijfwijze hierboven is de decimale schrijfwijze van het getal 2. Het lijkt handig om ook elementen van Qp op een soortgelijke manier te beschrijven. Het verschil met de reële getallen is dat we in de p-tallige ontwikkeling precies weten bij welke laagste macht van p de reeks begint, in plaats van bij welke hoogste macht. Dus onze p-tallige schrijfwijze zal links bij de laagste macht van p beginnen en dan oplopend in macht naar rechts lopen. We zullen dus een A Q p schrijven als A (c k... c 0, c 1... c n ) p, waarbij de p rechtsonder aangeeft dat we in Q p zitten. We noemen deze schrijfwijze ook wel de p-tallige representatie van A. Optellen en vermenigvuldigen gaat nu bijna precies zoals we gewend zijn bij de reële getallen, alleen moeten we nu bij beide operaties van links naar rechts werken en moeten we modulo p rekenen in plaats van modulo 10. Op het eerste gezicht lijkt dit van links naar rechts werken wellicht een beetje vreemd. Als we er wat langer over nadenken blijkt het echter juist een heel logische manier van werken. We lezen immers ook van links naar rechts. Bovendien begint de berekening op deze manier bij de gedeeltes van de getallen die volgens de p-adische absolute waarde het grootst zijn. Als we de berekening na bepaalde tijd stoppen, hebben we hierdoor de meest relevante informatie reeds binnen. De uitkomst zal weliswaar nog nauwkeuriger worden als we verder naar rechts door gaan, maar de reeds berekende coëfficiënten zullen niet meer veranderen. In het bijzonder kunnen we dus in één oogopslag zien wat de p-adische absolute waarde van het nieuwe getal wordt. Dit is wel anders bij het optellen en vermenigvuldigen van de decimale ontwikkeling van twee getallen. Daar kan de gekozen lengte van de decimale ontwikkeling immers zelfs de voor de absolute waarde meest relevante coëfficiënt nog beïnvloeden. Voorbeeld Beschouw de reële getallen 1, en 1, Als we besluiten om deze getallen tot drie decimalen achter de komma op te tellen, krijgen we: 1, , 564 2, 999. Terwijl we bij een optelling met vier decimalen achter de komma krijgen: 1, , , We zien dus dat door een andere nauwkeurigheid te kiezen alle eerder berekende decimalen weer veranderen. Bovendien moeten we bij de berekening het getal van rechts naar links opschrijven, hetgeen als we er over nadenken eigenlijk 26

28 tegen intuïtief is. Nu we ons ervan overtuigd hebben dat de gekozen manier van werken met p-adische getallen zo gek nog niet is, is het tijd om daadwerkelijk een aantal berekeningen te doen. Voorbeeld Neem p 2. Dan kunnen we de getallen 48 en 3/4 schrijven als eindige 2-tallige ontwikkelingen. Dit ziet er als volgt uit: (0, 00011) 2 3/ (110) 2 De optelling gaat dan als volgt: (0, ) 2 + (0, ) 2 (0, ) De vermenigvuldiging 48 3/4 36 gaat soortgelijk: (000, 00011) 2 (110, 00000) 2 (000, 01100) 2 + (000, 00110) 2 (000, 01001) De p-tallige representatie is dus een manier om over de elementen van Q p na te denken en ermee te rekenen, zoals de decimale notatie dit voor de reële getallen is. Het mag duidelijk zijn dat deze schrijfwijze van elementen in Q p inderdaad minder abstract aandoet dan de beschrijving in termen van equivalentieklassen van Cauchy-rijen. Nu we over het concept van de p-tallige ontwikkeling en representatie beschikken is het overigens eindelijk mogelijk een concreet voorbeeld van een Cauchy-rij in (Q, d p ) te geven, die geen limiet heeft in (Q, d p ). Het volgende lemma blijkt hiervoor zeer revelant. Lemma Zij p een priemgetal en zij a, b Z zo dat p a. Dan geldt dat de vergelijking 2ax b mod p een unieke oplossing heeft in Z met x {0, 1,..., p 1}. Bewijs. Omdat p a geldt dat 2a zp+r met z Z en r {1, 2,..., p 1}. Hieruit volgt dat r en p relatief priem zijn en dus geldt dat er getallen n, m Z zijn zo dat nr+mp b. Er volgt nu dat 2an zpn+rn zpn+(b mp) (zn m)p + b b mod p. Aangezien n Z, kunnen we schrijven n kp + y met k Z en y {0, 1,..., p 1} en dus geldt 2ay 2an 2akp b 27