Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde. Fixpuntstellingen. Bachelor Project I. Lies Leemans. Prof. Eva Colebunders

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Fixpuntstellingen Bachelor Project I Lies Leemans Prof.: Prof. Eva Colebunders Academiejaar

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Inleidende begrippen 1 3 Contractieve afbeeldingen 2 4 Niet-expansieve afbeeldingen 4 5 De basis fixpuntstellingen voor niet-expansieve afbeeldingen 8 6 Maten van niet-compactheid 12 7 De Stellingen van Brouwer en Schauder 22 8 Referenties 25 1 Inleiding Eén van de meest gekende fixpuntstellingen is de Banach fixpuntstelling. Deze vereist een volledig metrisch kader en garandeert een uniek fixpunt voor een Lipschitz afbeelding met een Lipschitz constante strikt kleiner dan 1. In dit werk zoeken we voor ruimere klassen van afbeeldingen naar voorwaarden op het functiedomein die ons een fixpunt garanderen. In een eerste luik beschouwen we niet-expansieve afbeeldingen. Daar zal blijken dat de zwak-compactheid en normale structuur condities vormen op het functiedomein. In een tweede luik beschouwen we continue functies. We introduceren maten van nietcompactheid en verzamelen alle nodige puzzelstukjes om uiteindelijk de gekende Stelling van Darbo te kunnen bewijzen. 2 Inleidende begrippen Zij (X, ) een Ba- We beginnen met het invoeren van een aantal notaties en begrippen. nachruimte en A X. Definitie 2.1. De convex omhullende van A is de kleinste convexe deelruimte van X die A omvat. We noteren dit door conv A. Het is duidelijk dat: conv A = {K X A K, K convex}. De sluiting van conv A noteren we door conv A en noemen we de convexe sluiting van A. Er geldt: conv A = {K X A K, K gesloten en convex}. Definitie 2.2. Zij X en Y twee Banachruimten, dan noteren we: L (X, Y ) = {T : X Y T is lineair en begrensd}. De duale ruimte X van X is de ruimte X = L (X, R). De elementen van X noemt men continue lineaire functionalen. 1

3 Tot slot definiëren we nog een aantal begrippen in verband met topologieën. Definitie 2.3. De zwakke topologie op X is de grofste topologie waarvoor alle functionalen x X continu zijn. Het is dus de initiale topologie voor de source (T : X (R, )) T X. Een deelverzameling K X wordt zwak compact genoemd, indien K compact is in de zwakke topologie op X. We kunnen opmerken dat de zwakke topologie op X gegenereerd wordt door de familie van seminormen {p x }, x X, waarbij p x (x) = x (x), x X. We vermelden nog volgende eigenschappen zonder bewijs. Eigenschap 2.4. De verzameling X uitgerust met de zwakke topologie op X is een Hausdorffruimte. Eigenschap 2.5. Zij K X convex, dan geldt: Kis gesloten Kis zwak gesloten. 3 Contractieve afbeeldingen In heel deze sectie beschouwen we een metrische ruimte (M, ρ). Definitie 3.1. Een afbeelding T : M M noemen we contractief indien: ρ(t x, T y) < ρ(x, y), x, y M, x y. Uit de definitie volgt meteen dat contractieve afbeeldingen hoogstens één fixpunt hebben. Bewijs. Zij T : M M contractief en onderstel: x, y M fixpunten van T, met x y. Dan volgt meteen dat: ρ(x, y) = ρ(t x, T y) < ρ(x, y). Dit volgt uit het feit dat T x = x en T y = y en uit de definitie van een contractieve afbeelding. We vermelden volgende eigenschap over contractieve afbeeldingen zonder bewijs. Stelling 3.2. Zij T : M M contractief en M compact, dan heeft T een uniek fixpunt in M. Bovendien geldt voor elke x 0 M dat de rij (T n x 0 ) n naar dit fixpunt convergeert. We tonen nu aan de hand van een voorbeeld dat de compactheid een essentiële voorwaarde is in de vorige stelling. Voorbeeld 3.3. We beschouwen C [0, 1] = {x : [0, 1] R x continu}. Deze ruimte wordt uitgerust met de supremumnorm. x C [0, 1] : x = sup { x(t) t [0, 1]}. Stel M := {x C [0, 1] 0 = x(0) x(t) x(1) = 1, t [0, 1]}. We tonen nu dat M gesloten is. Hiervoor moeten we tonen dat M = M. De inclusie van links naar rechts is triviaal. 2

4 We tonen dus de andere inclusie. Zij x M, dan bestaat er een rij (x n ) n in M die naar x convergeert. Vermits de ruimte uitgerust is met de supnorm, gaat het hier om uniforme convergentie, waaruit de puntsgewijze convergentie volgt. Er geldt dus dat 0 = x n (0) x(0) en 1 = x n (1) x(1), wat toont dat x(0) = 0 en x(1) = 1. Bovendien geldt voor elke t [0, 1] dat x n (t) x(t) en dat 0 x n (t) 1, wat toont dat 0 x(t) 1. Vermits de continuïteit bewaard blijft onder uniforme convergentie, volgt dat x M, wat toont dat M gesloten is. M is gesloten in de volledige ruimte C [0, 1]. Bijgevolg is M zelf volledig. We tonen nu dat M niet compact is en beschouwen daartoe de rij (x n ) n, waarbij x n : [0, 1] [0, 1] : t t n. Dit is een rij in M zonder convergente deelrij. Elke deelrij convergeert in de ruimte ([0, 1] [0,1], ) puntsgewijs naar de functie: { 0 als t [0, 1[ f : [0, 1] [0, 1] : t 1 als t = 1. Deze afbeelding is niet continu en behoort dus niet tot M. Dit toont dat M niet compact is. We beschouwen nu de afbeelding T : M M, zodat: x M, t [0, 1] : (T x)(t) = tx(t). We tonen dat T een contractieve afbeelding is. Zij x, y M en x y, dan geldt: We beschouwen nu volgende afbeelding: T x T y = sup { (T x)(t) (T y)(t) t [0, 1]} = sup { tx(t) ty(t) t [0, 1]} = sup {t x(t) y(t) t [0, 1]}. S : [0, 1] [0, 1] : t t x(t) y(t). Dit is een continue functie op een compacte ruimte en bereikt dus haar maximum in een zekere t 0 [0, 1]. We merken op dat dit maximum t 0 x(t 0 ) y(t 0 ) 0. Anders zou voor elke t [0, 1] gelden dat t x(t) y(t) = 0. Dan zou volgen: t ]0, 1] : x(t) y(t) = 0. Bovenstaande gelijkheid is uiteraard altijd waar voor t = 0, vermits x(0) = 0 en y(0) = 0. Hieruit zouden we dan moeten besluiten dat x = y, wat een contradictie oplevert. Uit het feit dat t 0 x(t 0 ) y(t 0 ) 0, volgt meteen dat t 0 < 1 en dat x(t 0 ) y(t 0 ) 0. Hieruit volgt dan: T x T y = t 0 x(t 0 ) y(t 0 ) < x(t 0 ) y(t 0 ) sup { x(t) y(t) t [0, 1]} = x y. We tonen nu dat T geen fixpunt heeft. Onderstel dat er een x M bestaat met T x = x. Hieruit volgt dan dat: t [0, 1] : tx(t) = (T x)(t) = x(t), t [0, 1] : (1 t)x(t) = 0, t [0, 1[ : x(t) = 0. Vermits x M geldt tevens dat x(1) = 1. Dit betekent dat x niet continu is, wat een contradictie oplevert. Bijgevolg heeft T dus geen fixpunten. 3

5 4 Niet-expansieve afbeeldingen In deze sectie en in sectie 5 beschouwen we een Banachruimte (X, ) en K X een niet-lege, gesloten, convexe en begrensde deelverzameling van X. Definitie 4.1. Een afbeelding T : K K noemen we niet-expansief indien x, y K : T x T y x y. We merken op dat alle contractieve afbeeldingen niet-expansief zijn. Uit voorbeeld 3.3 volgt dus dat niet-expansieve afbeeldingen fixpuntvrij kunnen zijn. Anders dan bij de contractieve afbeeldingen, kunnen niet-expansieve afbeeldingen wel meerdere fixpunten hebben. Dit zien we gemakkelijk in, daar de identieke afbeelding niet-expansief is. Lemma 4.2. Als K een niet-lege, gesloten, convexe en begrensde deelverzameling is van een Banachruimte en T : K K is niet-expansief, dan volgt: inf { x T x x K} = 0. Bewijs. Kies z K en ɛ ]0, 1[ vast. Beschouw de afbeelding T ɛ : K K waarbij T ɛ x := ɛz + (1 ɛ)t x voor een x K. Merk op dat T ɛ goed gedefinieerd is omdat K convex is en z, T x K. Omdat T een niet-expansieve afbeelding is, volgt voor x, y K: T ɛ x T ɛ y = (1 ɛ) T x T y (1 ɛ) x y. Omdat 1 ɛ < 1, volgt dat T ɛ een contractie is. Bovendien is K, als gesloten deel van een volledige ruimte, zelf volledig. De voorwaarden van de Banach fixpuntstelling zijn dus voldaan en bijgevolg bestaat er een x ɛ K waarvoor x ɛ = T ɛ x ɛ. Er volgt nu dat: x ɛ T x ɛ = T ɛ x ɛ T x ɛ = ɛz + (1 ɛ)t x ɛ T x ɛ = ɛ z T x ɛ ɛ diamk. Merk op dat diamk <, daar K begrensd is. Door ɛ naar nul te laten convergeren, vinden we dat inf { x T x x K} 0. We weten ook dat inf { x T x x K} 0, daar x T x 0 voor elke x K. Hiermee is het gestelde bewezen. Uit bovenstaand lemma kunnen we besluiten dat er steeds rijen (y n ) n in K bestaan waarvoor lim n y n T y n = 0. Zulke rijtjes noemen we benaderende fixpunt rijen. Stelling 4.3. Als K een niet-lege, compacte en convexe deelverzameling is van een Banachruimte, dan heeft elke niet-expansieve afbeelding T : K K een fixpunt. Bewijs. Omdat K compact is, is K gesloten en begrensd. We kunnen dus gebruik maken van Lemma 4.2. We beschouwen volgende afbeelding: ϕ : K R : x x T x. Uit het lemma volgt dat T een fixpunt heeft als en slechts als ϕ haar infimum bereikt. T is een niet-expansieve afbeelding en dus continu. Door continuïteit van de norm, de identiteit en de som, volgt dat ϕ ook continu is. Door gebruik te maken van de Stelling van Weierstrass, volgt meteen dat ϕ haar infimum bereikt. 4

6 Definitie 4.4. We noemen een deelverzameling D van K invariant onder T : K K indien T (D) D. We zijn geïnteresseerd in de T -invariante deelverzamelingen van K die niet-leeg, gesloten en convex zijn, daar we het zoeken naar fixpunten kunnen beperken tot deze verzamelingen. We willen zulke T -invariante delen zo klein mogelijk maken. Bij voorkeur willen we een T -invariant singleton vinden, vermits dit ons meteen een fixpunt levert. Volgende eigenschap toont dat we de doorsnede kunnen gebruiken om T -invariante delen te verkleinen. Eigenschap 4.5. Voor elke familie (D i ) i I niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante deelverzamelingen van K geldt: D i is gesloten, convex en T-invariant. i I Bewijs. Zij (D i ) i I een familie niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante deelverzamelingen van K. Uit de cursus Topologie [2] weten we dat een willekeurige doorsnede van gesloten delen opnieuw gesloten is. We tonen nu dat i I D i convex is. Zij x, y i I D i en zij t [0, 1], dan geldt voor elke i I dat x, y D i. Omdat alle D i convex zijn, volgt dat tx + (1 t)y D i voor elke i I. Dit toont dat tx + (1 t)y i I D i en bijgevolg is i I D i convex. Er rest nog te tonen dat i I D i T -invariant is. Zij x i I D i, dan geldt voor elke i I dat x D i en dus ook dat T x D i. Dit laatste volgt uit de T -invariantie van de D i. Er volgt dus dat T x i I D i, wat toont dat i I D i invariant is onder T. Beschouw een afbeelding T : K K, dan kunnen we een dalende rij van niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante deelverzamelingen verkrijgen door: K 0 := K; K n+1 := conv T (K n ), n = 0, 1,... We tonen eerst dat K n voor elke n 0. We tonen dit per inductie op n. De inductiebasis volgt uit het feit dat K. De inductiehypothese zegt dat K n. Hieruit volgt dat: T (K n ) conv T (K n ) = K n+1. Bijgevolg is K n+1 niet-leeg, wat het bewijs afrondt. Dat K n convex en gesloten is voor elke n 0 volgt meteen uit de definitie van conv T (K n ). We tonen nu dat elke K n T-invariant is. Dit doen we per inductie op n. Aan de inductiebasis is triviaal voldaan. Voor de inductiehypothese onderstellen we dat K n T -invariant is. Dit betekent dat T (K n ) K n, waaruit volgt dat: conv T (K n ) conv K n = K n. De laatste gelijkheid volgt omdat conv K n de kleinste gesloten en convexe deelverzameling is van X die K n omvat en omdat K n zelf gesloten en convex is. Hieruit volgt dat: T (K n+1 ) = T (conv T (K n )) T (K n ) conv T (K n ) = K n+1. Hiermee hebben we getoond dat K n+1 T -invariant is, waarmee het gestelde bewezen is. Er rest ons nog te tonen dat (K n ) n een dalende rij is. Zij n 0, dan weten we reeds dat K n gesloten en convex is en dat T (K n ) K n. Hieruit volgt dus onmiddellijk dat: K n+1 = conv T (K n ) K n. 5

7 We hebben nu getoond dat (K n ) n een dalende rij van niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante deelverzamelingen is. Uit Eigenschap 4.5 volgt dan dat K := n=0k n gesloten, convex en T -invariant is. Het is echter niet uitgesloten dat K = of dat de rij stabiliseert, i.e.: K p = K p+1 =... Voorbeeld 4.6. Stel X = C [0, 1] en stel: K := {x X 0 = x(0) x(t) x(1) = 1, t [0, 1]}. We beschouwen de afbeelding T : K K zoals gedefinieerd in Voorbeeld 3.3. We weten reeds dat T contractief (en dus ook niet-expansief) en fixpuntvrij is. Als we de rij (K n ) n definiëren zoals in de redenering hierboven, dan volgt voor elke n: K n {x K x(t) t n, t [0, 1]}. We kunnen dit tonen per inductie op n. Voor n = 0 geldt uiteraard dat: K 0 = K { x K x(t) t 0 = 1, t [0, 1] }. Uit de inductiehypothese (K n {x K x(t) t n, t [0, 1]}) volgt dat: T (K n ) {T x x K, x(t) t n, t [0, 1]} { T x x K, tx(t) t n+1, t [0, 1] } = { T x x K, (T x)(t) t n+1, t [0, 1] } { y K y(t) t n+1, t [0, 1] }. Vermits deze laatste verzameling zelf convex en gesloten is, volgt dat: K n+1 = conv T (K n ) { y K y(t) t n+1, t [0, 1] }. Hiermee is het gestelde bewezen. We kunnen hier nu meteen uit afleiden dat n=1k n =. Onderstel: y K n {x K x(t) t n, t [0, 1]}. Dan volgt hieruit dat: n=1 n=1 y(t) = 0, t [0, 1[ en y(1) = 1. Bijgevolg is y niet continu en behoort y dus niet tot K, wat een contradictie oplevert. Tot slot bewijzen we nog het volgende vreemde feit: x, y K : lim n y T n x = 1 = diam K. Als we gebruik maken van de continuïteit van de norm, volgt meteen dat: lim y T n x = y lim (T n x) n { n } = sup y(t) lim (t n x(t)) t [0, 1] n = sup { y(t) t [0, 1[} = 1. 6

8 De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van K. Er rest enkel nog te tonen: diam K = sup { x y x, y K} = 1. Voor elke x, y K en voor elke t [0, 1] geldt dat x(t) y(t) 1. Hieruit volgt meteen dat x y 1. Vermits dit geldt voor elke x, y K, volgt dat diam K 1. We definiëren nu x 0, y 0 : [0, 1] [0, 1] als volgt: { [ ] 2t als t 0, 1 x 0 (t) = 2 1 als t ] 1, 1], 2 { [ ] 0 als t 0, 1 y 0 (t) = 2 2t 1 als t ] 1, 1]. 2 Vermits x 0, y 0 K en x 0 ( 1 2 ) y 0( 1 2 ) = 1 0 = 1, volgt dat x 0 y 0 = 1 en dus bijgevolg diam K 1. Hiermee is het gestelde bewezen. Opmerking 4.7. We hebben reeds gezien dat de doorsnede van een dalende rij niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante delen, leeg kan zijn. Dit kan zich onmogelijk voordoen in een zwak compacte ruimte. Uit Eigenschap 2.5 weten we immers dat gesloten, convexe delen, gesloten zijn in de zwakke topologie. Omdat het om een dalende rij van niet-lege delen gaat, heeft deze collectie delen de eindige-intersectie-eigenschap. Uit de cursus Topologie [2] weten we dat een collectie gesloten delen met de EI-eigenschap in een compacte topologische ruimte, een niet-lege doorsnede heeft. Definitie 4.8. Een niet-lege, gesloten en convexe deelverzameling D K wordt minimaal invariant genoemd voor een afbeelding T : K K, indien T (D) D en D geen echte, nietlege, gesloten, convexe en T -invariante deelverzameling heeft. Stelling 4.9. Als K een zwak compacte, convexe deelverzameling is van een Banachruimte, dan bestaat er voor elke afbeelding T : K K een niet-lege, gesloten en convexe deelverzameling van K die minimaal T -invariant is. Bewijs. Stel M := {D K D, gesloten, convex en T -invariant}. Deze verzameling is niet leeg, vermits K zelf niet-leeg, convex en T -invariant is. Omdat K zwak compact is in een Hausdorff ruimte, is ze zwak gesloten. Samen met de convexiteit van K volgt dan uit Eigenschap 2.5 dat K gesloten is. Dit toont dus dat M. We definiëren nu een partiële orde op deze familie. Voor K 1, K 2 M : K 1 K 2 K 2 K 1. We tonen nu dat M inductief geordend is. Zij K 1 K 2 K 3... een keten in M, dan volgt uit Opmerking 4.7 dat K = n=1k n. Uit Eigenschap 4.5 volgt dat K gesloten, convex en T -invariant is en dus dat K M. Bovendien geldt: m N 0 : K K m en dus K m K. Er volgt dus dat K een bovengrens is van de keten in M. Uit het Lemma van Zorn volgt dan: D M, E M : D E = D = E. Als we dit herschrijven met de inclusierelatie, dan volgt: Dit betekent dat D minimaal T -invariant is. D M, E M : E D = E = D. 7

9 5 De basis fixpuntstellingen voor niet-expansieve afbeeldingen In vorige sectie hebben we voldoende voorwaarden gevonden om een minimaal T -invariant deel te garanderen. In deze sectie gaan we op zoek naar een extra conditie opdat dat minimaal T -invariant deel een singleton zou zijn. We beginnen met een aantal definities. Definitie 5.1. Zij D, H X, dan definiëren we: r u (D) = sup { u v v D}, u X r H (D) = inf {r u (D) u H} ; C H (D) = {u H r u (D) = r H (D)}. Het getal r u (D) noemen we de straal van D relatief aan u. r H (D) wordt de Chebyshev straal relatief aan H genoemd en C H (D) het Chebyshev centrum relatief aan H. Indien H = D wordt het gedeelte relatief aan H weggelaten en gebruikt men respectievelijk de notaties r(d) en C(D). Opmerking 5.2. Onderstel dat D een zwak compacte en convexe deelverzameling is van X, dan kunnen we het Chebyshev centrum als volgt schrijven: C(D) = ɛ>0 C ɛ (D), (1) waarbij C ɛ (D) = {u D r u (D) r(d) + ɛ} = D x D B (x, r(d) + ɛ). (2) De gelijkheid in (1) volgt door in te zien dat: u C(D) r u (D) = r(d) r u (D) r(d) ɛ > 0 : r u (D) r(d) + ɛ u ɛ>0 C ɛ (D). De tweede equivalentie volgt uit het feit dat aan de ongelijheid r(d) r u (D) steeds voldaan is, per definitie van r(d). Om vergelijking (2) aan te tonen, bewijzen we twee inclusies. Zij u C ɛ (D), dan volgt dat u D en: x D : u x r u (D) r(d) + ɛ. Dus voor elke x D geldt dat u B (x, r(d) + ɛ), waar mee de inclusie van links naar rechts bewezen is. De omgekeerde inclusie verkrijgen we als volgt. Zij u D x D B (x, r(d) + ɛ), dan is u D en bovendien geldt: x D : u x r(d) + ɛ. 8

10 Hieruit volgt dan dat: r u (D) = sup { u x x D} r(d) + ɛ, wat de andere inclusie bewijst. Analoog als in het bewijs van Stelling 4.9, vinden we dat D gesloten is. Vermits D gesloten en convex is en gesloten bollen dat ook zijn, volgt via Eigenschap 4.5 dat de C ɛ (D) en C(D) gesloten en convex zijn. Hieruit volgt ook dat de C ɛ (D) zwak gesloten zijn. Bovendien geldt voor elke ɛ > 0 dat C ɛ (D). Dit volgt omdat we uit de definitie van r(d) (en de definitie van het infimum) weten dat: ɛ > 0, u D : r u (D) r(d) + ɛ. Het is nu eenvoudig in te zien dat de collectie {C ɛ (D) ɛ > 0} de EI-eigenschap heeft. ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ n > 0, dan geldt: n C ɛi (D) = C min n ɛ i (D). Uit de cursus Topologie [2] weten we dat in een zwak compacte verzameling, een collectie zwak gesloten delen met de EI-eigenschap een niet-lege doorsnede heeft. Vermits D zwak compact is, kunnen we dus besluiten dat C(D) niet-leeg, convex en gesloten is. Definitie 5.3. Een punt u D wordt diametraal genoemd indien r u (D) = diam D. Anders noemt men u niet-diametraal. Verzamelingen die volledig uit diametrale punten bestaan, worden diametraal genoemd. Voorbeeld 5.4. We hernemen het vroegere voorbeeld. Stel X = C [0, 1] en M = {x C [0, 1] 0 = x(0) x(t) x(1) = 1, t [0, 1]}. Zij x C [0, 1], dan beschouwen we volgende twee normen op C [0, 1]: x 0 = max { x(t) } ; 0 t 1 ( 1 ) 1 x 1 = x 0 + (x(t)) 2 2 dt. Als we gebruik maken van 0, dan is M diametraal en r(m) = diam M = 1. We hebben dit reeds aangetoond in Voorbeeld 4.6. Daar hebben we bewezen dat diam M = 1 en dat voor elke x, y M geldt dat: lim n y T n x = diam M. Dit impliceert dat voor elke y M geldt dat r y (M) diam M. Vermits de andere ongelijkheid altijd opgaat (dit volgt uit de definities van r y (M) en van diam M), volgt meteen dat M diametraal is. Bijgevolg geldt ook dat: r(m) = inf {r y (M) y M} = diam M = 1. Het is dan ook eenvoudig in te zien dat C(M) = M. De inclusie van links naar rechts volgt uit de definitie van C(M). Voor de omgekeerde inclusie beschouwen we een willekeurig x M. Omdat M diametraal is en r(m) = diam M, volgt dat: r x (M) = diam M = r(m). 9 0 Zij

11 Dit betekent dus dat x C(M), waarmee het gestelde bewezen is. Als we nu werken met de 1 -norm, krijgen we andere resultaten. Er geldt immers dat diam M = 2 en dat geen enkel punt van M diametraal is. Om de eerste bewering aan te tonen, stellen we D := { x y 1 x, y M}. Per definitie weten we dan dat diam M = sup D. Om te beginnen zullen we tonen dat 2 een bovengrens is voor D. Zij x, y M, dan geldt: ( 1 x y 1 = x y 0 + (x(t) y(t)) 2 dt Uit de definities van M en 0 volgt meteen dat x y 0 1. Er rest ons dus te bewijzen dat: Of equivalent hiermee: ( ) 1 (x(t) y(t)) 2 2 dt (x(t) y(t)) 2 dt 1. Vermits voor elke t [0, 1] geldt dat x(t) y(t) 1, volgt dat (x(t) y(t)) 2 1. Hieruit kunnen we besluiten dat: 1 1 (x(t) y(t)) 2 dt dt = 1. 0 We hebben nu getoond dat x y 1 2 en dus is 2 een bovengrens voor D. Hieruit volgt dat diam M 2. Om de andere ongelijkheid te tonen zullen we twee rijen (x n ) n, (y n ) n in M definiëren zodat lim n x n y n 1 = 2. Voor elke n N 0 definiëren we: { 0 als t 1 1 x n : [0, 1] [0, 1] : t ; 2n 2nt 2n + 1 als t > 1 1 ; 2n { 2nt als t 1 y n : [0, 1] [0, 1] : t ; 2n 1 als t > 1. 2n Voor elke n N 0 geldt dat x n ( 1) = 0 en dat y 2 n( 1) = 1, waaruit volgt dat x 2 n y n 0 = 1. Hieruit volgt dus dat: Er blijft dus te bewijzen dat: ) 1 2 ( 1 ) 1 x n y n 1 = 1 + (x n (t) y n (t)) 2 2 dt. 1 0 (x n (t) y n (t)) 2 dt 1, als n. Door gebruik te maken van de formule van Möbius, verkrijgen we: 1 0 (x n (t) y n (t)) 2 dt = = 1 2n 0 [ 4n 2 t 3 3 (2nt) 2 dt + ] 1 2n 0 = n 1 n 1 1 2n 1 2n 1dt n. (2n 2nt) 2 dt n + [ 4n 2 t 4n 2 t 2 + 4n2 t , als n. 3 ] n

12 We hebben nu getoond dat diam M = 2. We tonen nu dat M geen enkel diametraal punt heeft. Zij u M willekeurig en vast. Vermits u continu is en [0, 1] compact, is u uniform continu. Stel ɛ = 1 8, dan bestaat er een n u N \ {0, 1} zodat voor elke t 1, t 2 [0, 1]: t 1 t 2 1 n u = u(t 1 ) u(t 2 ) < 1 8. Stel x i := i n u, voor elke i {0, 1,..., n u }. De intervallen [x i 1, x i ] met i {1, 2,..., n u } overdekken het interval [0, 1]. Vermits u continu is, u(0) = 0 en u(1) = 1, volgt uit de tussenwaardestelling dat: t [0, 1] : u(t) = 1 4. Bovendien bestaat er een j {1, 2,..., n u } met t [x j 1, x j ]. Zij v M willekeurig, dan geldt voor elke i {1, 2,..., n u }: xi x i 1 (u(t) v(t)) 2 dt xi x i 1 1dt = 1 n u. In het bijzonder geldt voor j dat: xj xj xj ( (u(t) v(t)) 2 dt (1 u(t)) 2 dt dt = x j 1 x j 1 x j 1 8) Hieruit volgt dat: 1 0 (u(t) v(t)) 2 dt n u 1 n u + ( ) = n u 64 n u ( ) n u Door de willekeur van v volgt dus dat: r u (M) = sup { u v 1 v M} < 2 = diam M. 64 n u Hiermee hebben we dus bewezen dat geen enkel punt van M diametraal is. Definitie 5.5. Men zegt dat een convex deel K X normale structuur heeft, indien elk convex en begrensd deel S K met diam S > 0 een niet-diametraal punt heeft. Stelling 5.6. Zij K een niet-leeg, zwak compact en convex deel van een Banachruimte en veronderstel dat K normale structuur heeft. Dan heeft elke niet-expansieve afbeelding T : K K een fixpunt. Bewijs. We mogen onderstellen dat K minimaal T -invariant is. (Want K heeft dankzij Stelling 4.9 een minimaal T -invariant deel S, dus kunnen we het zoeken naar fixpunten beperken tot S. S is (per definitie van minimale invariantie) gesloten, convex en niet-leeg. S is dan zwak gesloten in een zwak compacte ruimte en is dus zelf zwak compact. Bijgevolg heeft S alle eigenschappen van K, waardoor we zonder probleem de beperking mogen maken.) Uit de minimale invariantie van K kunnen we afleiden dat conv T (K) = K. De inclusie van links naar rechts volgt uit het feit dat T (K) K en uit het feit dat K zelf al convex en gesloten is. Om de gelijkheid aan te tonen, onderstellen we dat: D K : conv T (K) = D K. 11

13 Dit is in strijd met de minimale invariantie van K, daar D gesloten, convex, niet-leeg en T - invariant is. Dat D volgt eenvoudig uit het feit dat K en dus = T (K) D. Dat D invariant is onder T volgt uit het feit dat D K en dus T (D) T (K) D. Hiermee hebben we dus getoond dat conv T (K) = K. Zij u C(K), dan geldt per definitie dat r u (K) = r(k). Omdat T een niet-expansieve afbeelding is, geldt voor elke v K dat T u T v u v r u (K) = r(k). Bijgevolg geldt dat T (K) B (T u, r(k)), en dus dat: K = conv T (K) B (T u, r(k)). (3) Dit laatste volgt uit het feit dat B (T u, r(k)) gesloten en convex is en dat deze bol T (K) bevat. Hieruit volgt dan dat r T u (K) = r(k). De ongelijkheid van links naar rechts volgt uit vergelijking (3), daar voor elke y K geldt dat y T u r(k), waardoor r T u (K) = sup { y T u y K} r(k). De omgekeerde ongelijkheid verkrijgen we als volgt: r(k) = inf {r k (K) k K} r T u (K). We hebben nu aangetoond dat T u C(K) en dus dat C(K) invariant is onder T. In Opmerking 5.2 hebben we aangetoond dat C(K) niet-leeg, gesloten en convex is. Omdat K minimaal T - invariant is, volgt dus dat C(K) = K. We tonen nu dat diam K = r(k). Voor de ongelijkheid van links naar rechts merken we op dat voor elke x, y K geldt: Hieruit volgt dan dat: x y sup { x z z K} = r x (K). diam K = sup { x y x, y K} sup {r x (K) x K} = r(k). De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat C(K) = K, waardoor voor elke x K geldt dat r x (K) = r(k). Voor de omgekeerde ongelijkheid kiezen we een u K willekeurig. Dan geldt: r(k) = inf {r x (K) x K} r u (K) = sup { u v v K} diam K. Onderstel dat diam K > 0, dan volgt uit de normale structuur van K en uit het feit dat K zelf convex en begrensd is, dat K een niet-diametraal punt u heeft. Dit betekent dat r u (K) < diam K. Dit levert een contradictie op, daar voor elk punt x K = C(K) geldt dat: r x (K) = r(k) = diam K. We moeten dus concluderen dat diam K = 0, waardoor K een singleton is en T dus een fixpunt heeft. 6 Maten van niet-compactheid In deze sectie introduceren we maten van niet-compactheid, ten einde in volgende sectie enkele belangrijke fixpuntstellingen te kunnen bewijzen voor continue afbeeldingen. 12

14 Zij (M, ρ) een volledige metrische ruimte en B = {A M A, A begrensd}. We voeren nu volgende notatie in: { } K A = ɛ > 0 A B i, B i B, n N 0, diam B i ɛ Definitie 6.1. We definiëren de maat van Kuratowski α : B R + als volgt: (4) Opmerking 6.2. Als A M, dan geldt: α(a) = inf K A, voor A B. A is compact A is totaal begrensd. De implicatie van links naar rechts vinden we door op te merken dat als A compact is, dat A totaal begrensd is. Vermits A A, is dan ook A totaal begrensd. Onderstel voor de omgekeerde implicatie dat A totaal begrensd is. Zij ɛ > 0, dan bestaan er x 1,..., x n M zodat A n B ( x i, ɛ 2). Uit de cursus Topologie [2] weten we dat de sluiting van een eindige unie gelijk is aan de unie van de sluitingen. Hieruit volgt dan dat: A B ( x i, ɛ ) = 2 ( B x i, ɛ ) 2 B (x i, ɛ). Hieruit volgt dus dat A totaal begrensd is. Vermits A gesloten is in de volledige ruimte M, is A zelf volledig en dus compact. Vooralleer we overgaan tot enkele eigenschappen van de maat van Kuratowski, vermelden we eerst nog enkele stellingen. Stelling 6.3. (De stelling van Cantor) Zij X een volledige, pseudometrische ruimte en (F n ) n een dalende rij van niet-lege, gesloten verzamelingen zodat: dan is n=1f n niet-leeg. d n := diam F n 0, als n, Bewijs. Voor elke n N 0 kiezen we een x n F n. Dan is (x n ) n een Cauchyrij. Om dit in te zien kiezen we ɛ > 0 willekeurig. Vermits lim n d n = 0, bestaat er een N 1 zodat d N < ɛ. Zij m N, n N, dan volgt uit het feit dat (F n ) n een dalende rij is, dat x m F N en x n F N. Hieruit volgt dat: d(x m, x n ) diam F N = d N < ɛ, wat toont dat (x n ) n een Cauchyrij is. Door de volledigheid van X, kunnen we dan besluiten dat de rij (x n ) n convergeert, i.e.: x X : x n x, als n. Zij n 1, dan geldt voor elke m n dat x m F n. Vermits (x k ) k n x, volgt hieruit dat x F n = F n. Daar dit geldt voor elke n 1, volgt dat x n=1f n, wat toont dat n=1f n. 13

15 Stelling 6.4. (Stelling van Mazur) Als X een Banachruimte is en E X een totaal begrensde deelverzameling, dan is ook H := conv E totaal begrensd. Bewijs. Zij ɛ > 0, kies 0 < δ < ɛ, dan bestaat er een eindige verzameling E 2 1 = {e 1,..., e m } X zodat E m B(e i, δ). Stel H 1 := conv E 1 en stel: { } m S := (t 1,..., t m ) R m t j 0, 1 j m, t i = 1. Het is eenvoudig na te gaan dat S compact is (gebruikmakend van de maximumnorm M op R m bijvoorbeeld). We definiëren nu de afbeelding: ϕ : S H 1 : (t 1,..., t m ) m t i e i. Via eenvoudige berekeningen is in te zien dat ϕ continu is. Uit de continuïteit en surjectiviteit van ϕ en de compactheid van S, volgt dat ook H 1 compact is. Zij x H, dan: n N 0, x i E, α i 0, 1 i n en α i = 1, waarvoor x = n α ix i. Voor elke i {1,..., n} geldt: y i E 1 : x i B(y i, δ) of dus x i y i B(0, δ). (5) We splitsen x nu op in twee delen, meerbepaald: x = x + x, waarbij: x := α i y i en x := α i (x i y i ). Uit (5) weten we dat x B(0, δ), daar B(0, δ) convex is. Vermits x H 1, volgt dat: H H 1 + B(0, δ) = x H 1 B(x, δ). Vermits H 1 compact is, bestaat er een eindige verzameling F = {f 1,..., f r } zodat H 1 r B(f i, δ). Zij nu x H 1, dan bestaat er een i {1,..., r} waarvoor x B(f i, δ). Hieruit volgt dat B(x, δ) B(f i, ɛ). Dit zien we eenvoudig in door een willekeurige y B(x, δ) te kiezen. Er volgt dan dat: y f i y x + x f i < δ + δ < ɛ. Er volgt dan dat y B(f i, ɛ), wat toont dat B(x, δ) B(f i, ɛ). We kunnen nu besluiten dat: H wat toont dat H totaal begrensd is. x H 1 B(x, δ) r B(f i, ɛ), We tonen nu enkele eigenschappen aan omtrent de maat van Kuratowski. 14

16 Eigenschap 6.5. Zij A, B B, dan gelden volgende eigenschappen: (a) α(a) = 0 A is compact; (b) α(a) = α(a); (c) A B α(a) α(b); (d) α(a B) = max {α(a), α(b)}; (e) α(a B) min {α(a), α(b)}; (f) Als (A n ) n een dalende rij is (A n+1 A n ) van gesloten, niet-lege verzamelingen in B en als lim n α(a n ) = 0, dan is A = n=1a n niet-leeg en compact. Indien M een Banachruimte is, gelden nog drie extra eigenschappen: (g) α(a + B) α(a) + α(b); (h) α(ca) = c α(a), c R; (i) α(conv A) = α(a). Bewijs. (a) Uit Opmerking 6.2 volgt dat het volstaat te bewijzen dat: α(a) = 0 A is totaal begrensd. Om de implicatie van links naar rechts te bewijzen, nemen we een ɛ > 0 willekeurig. Vermits α(a) = 0, volgt uit de definitie van het infimum: δ < 2ɛ, n N 0, B i B, 1 i n : A B i en diam B i δ < 2ɛ. Voor elke i {1, 2,..., n} bestaat er dus een x i M zodat B i B (x i, ɛ). Er volgt dan dat: A B (x i, ɛ), wat toont dat A totaal begrensd is. Voor de omgekeerde implicatie onderstellen we dat A totaal begrensd is en kiezen we een ɛ > 0 willekeurig. Er volgt dat: n N 0, x 1,..., x n M : A B ( x i, ɛ ). 2 Stel nu B i := B ( x i, ɛ 2) B, dan volgt dat diam Bi ɛ. Door de willekeur van ɛ volgt dat α(a) 0. Het is evident dat α(a) 0, vermits 0 steeds een ondergrens is van positieve getallen, en dus kleiner dan de grootste ondergrens. 15

17 (b) We tonen nu dat α(a) = α(a). Voor de ongelijkheid van links naar rechts, merken we op dat A A en verwijzen we naar Eigenschap (c). Voor de andere ongelijkheid beschouwen we K A en K A zoals gedefinieerd in (4). Als we kunnen tonen dat K A K A, dan volgt meteen dat: α(a) = inf K A inf K A = α(a). Zij ɛ > 0 en onderstel: n N 0, B i B, 1 i n : A B i en diam B i ɛ. Voor elke i {1, 2,..., n} bestaat er een x i M zodat B i B ( x i, 2) ɛ. Vermits deze bol gesloten is, volgt dat: ( B i B x i, ɛ ) ( = B x i, ɛ ), 2 2 waardoor diam B i ɛ. Bovendien geldt dat: A B i = B i. Hieruit volgt dus dat ɛ K A, waarmee het gestelde bewezen is. (c) Onderstel dat A B en beschouw K A en K B zoals gedefinieerd in (4). We moeten dus bewijzen dat K B K A. Zij dus ɛ > 0 en onderstel: n N 0, B i B, 1 i n : B Vermits A B, volgt onmiddellijk dat ɛ K A. B i en diam B i ɛ. (d) Vermits A A B en B A B, volgt uit Eigenschap (c) dat: α(a) α (A B) en α(b) α (A B), waaruit meteen volgt dat max {α(a), α(b)} α (A B). Voor de andere ongelijkheid stellen we α(a) := d en α(b) := e. Zonder de algemeenheid te schaden, mogen we onderstellen dat d e. We tonen nu dat α (A B) e = α(b), waarmee het gestelde bewezen is. Zij ɛ > 0. Gebruikmakend van de definitie van het infimum, volgt dan dat: en n N 0, B i B, 1 i n : A B i en diam B i d + ɛ e + ɛ, m m N 0, C i B, 1 i m : B C i en diam C i e + ɛ. 16

18 Zij i {1, 2,..., n + m}, dan definiëren we: { Bi als i n; D i = C i n als i > n. Er geldt dan dat D i B en dat diam D i e + ɛ. Bovendien geldt: A B m B i C j = Hieruit volgt dus dat e + ɛ K A B. Door de willekeur van ɛ volgt dan dat α (A B) e. j=1 n+m (e) Vermits A B A en A B B, volgt uit Eigenschap (c) dat: D i. α (A B) α(a) en α (A B) α(b), waaruit meteen volgt dat α (A B) min {α(a), α(b)}. (f) Zij A n B, n N 0, A n gesloten en A n. Onderstel dat lim n α(a n ) = 0. We tonen eerst dat A = n=1a n compact is. Uit de cursus Topologie [2] weten we dat een willekeurige doorsnede van gesloten delen, gesloten blijft. Vermits de verzamelingen A n gesloten zijn, volgt dus dat A = A. Zij ɛ > 0, dan volgt uit het feit dat lim n α (A n ) = 0 dat: n 0 1 : α (A n0 ) < ɛ. Vermits n=1a n A n0, volgt uit Eigenschap (c) dat α (A ) < ɛ. Door de willekeur van ɛ volgt dan dat α (A ) = 0. Uit Eigenschap (a) kunnen we dat besluiten dat A = A compact is. Er rest ons nog te bewijzen dat A niet-leeg is. (Merk op dat dit een veralgemening is van De Stelling van Cantor. Vermits α (A n ) diam A n volgt dat: lim (diam A n) = 0 = lim α (A n ) = 0.) n n Om dit te bewijzen, kiezen we voor elke n N 0 een a n A n. Stel bovendien: A k := {a n n k}, dan is (A k ) k een dalende rij en we hebben voor elke k dat: α (A 1) = α (A k) α (A k ). (6) Om dit in te zien, merken we op dat A k A k (vermits (A n ) n een dalende rij is). Uit Eigenschap (c) volgt dan dat α(a k ) α(a k). Gebruikmakend van Eigenschap (d), volgt dat: α(a 1) = α((a 1 \ A k) A k) = max {α(a 1 \ A k), α(a k)} = α(a k). De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat α(a 1 \ A k ) = 0. Dit volgt namelijk uit Eigenschap (a), daar A 1 \ A k = {a 1,..., a k } compact is. Deze verzameling is immers gesloten in een volledige ruimte en dus zelf volledig. Daarenboven is het eenvoudig in te zien dat: {a 1,..., a k } = {a 1,..., a k }. 17

19 Deze verzameling is eindig en dus totaal begrensd. Hiermee is Vergelijking (6) aangetoond. Vermits lim n α(a n ) = 0, volgt uit Vergelijking (6) dat α(a 1) = 0. Uit Eigenschap (a) volgt dan dat {a n n N 0 } compact is. Dit betekent dat de rij (a n ) n een convergente deelrij (a kn ) n heeft, i.e.: Zij n N 0, dan geldt voor elke m n dat: a M : a kn a, als n. k m m n en dus a km A n. Vermits (a km ) m n a, volgt dat a A n = A n. Daar dit geldt voor elke n N 0, volgt dat a n=1a n, wat toont dat n=1a n. (g) Stel α(a) = d en α(b) = e en zij ɛ > 0. Door de definitie van het infimum, volgt dat: en Stel n N 0, B i B, 1 i n : A B i en diam B i d + ɛ 2 m m N 0, C j B, 1 j m : B C j en diam C j e + ɛ 2. j=1

20 (h) We moeten tonen dat voor elke c R geldt: α(ca) = c α(a). (8) Voor c = 0 is hieraan triviaal voldaan, vermits: 0 α({0}) diam {0} = 0. Zij c R 0. Om vergelijking (8

21 Stel x := n j=1 α jx j en y := m k=1 β ky k, waarbij alle x j, y k B i, alle α j, β k 0 en waar n j=1 α j = 1 en m k=1 β k = 1. Onderstel dat voor elke j en k geldt dat x j y k d ɛ. Dan volgt voor elke k {1,..., m} dat: x y k = α j x j α j y k Hieruit volgt dan dat: j=1 j=1 α j x j y k j=1 α j (d ɛ) = d ɛ. j=1 m m x y = β k x β k y k k=1 k=1 m β k x y k d ɛ, k=1 wat een contradictie oplevert. Bijgevolg bestaat er een j en k waarvoor x j y k > d ɛ. Dit toont dat diam B i d = diam C i, waarmee ook de andere ongelijkheid bewezen is. Bovendien geldt: { } conv A λ i x i λ i 0, λ i = 1, x i C i. (10) Om dit te tonen, beschouwen we een willekeurige x conv A. Dan: m m N 0, α i 0, y i A, 1 i m, α i = 1 : x = m α i y i. Vermits A n j=1b j, volgt dat: i {1,..., m}, j {1,..., n} : y i B j. We groeperen nu de y i. Voor elke j {1,..., n}, stellen we: } B j := {y i 1 i m en y i B j } = {y ij1, y ij2,..., y ijmj. Stel dan: m j λ j := α ijk en x j := k=1 mj k=1 α i jk y ijk λ j C j. Als B j =, dan stellen we λ j := 0 en x j C j willekeurig. Dan geldt dat x = n j=1 λ jx j en n j=1 λ j = m α i = 1, waarmee de inclusie in (10) is aangetoond. Zij nu ɛ > 0 en stel { } S := λ = (λ 1,..., λ n ) R n λ i 0, 1 i n, λ i = 1. Vermits S begrensd is in R n, weten we uit de cursus Analayse II [1] dat S totaal begrensd is, i.e.: m ( λ 1,..., λ m R n : S B λ j ɛ ),, nm j=1 20

22 waarbij we gebruikmaken van de maximumnorm M op R n en M := sup { x x n C i }. Merk op dat M <, daar alle C i begrensd zijn. Zij x conv A, dan volgt uit (10): x i C i, 1 i n : x = λ i x i en λ = (λ 1,..., λ n ) S. Er bestaat dan een j {1,..., m} waarvoor sup n λ j i λ i = λ j λ M S j := n λj i C i en y := n λj i x i, dan volgt: x y = λ i x i Hieruit kunnen we besluiten dat: conv A λ j i x i λ i λ j i x i ɛ. ɛ. Stel nu nm (S i + B(0, ɛ)) en j : diam (S j + B(0, ɛ)) d + 2ɛ. (11) Dit laatste volgt uit het feit dat diam S j d, wat we als volgt tonen. Stel x = n λj i x i en y = n λj i y i, waarbij x i, y i C i voor elke i. Dan volgt: ( ) x y = λ j i (x i y i ) λ j i x i y i d = d. Door de willekeur van ɛ, volgt uit (11) dat α(conv A) α(a). λ j i Opmerking 6.6. Merk op dat Eigenschap (i) uit voorgaande Stelling een veralgemening is van de Stelling van Mazur 6.4. Gebruikmakend van Eigenschap (a) in vorige Stelling, verkrijgen we: A is compact α(a) = 0 α(conv A) = 0 conva is compact. Samen met Opmerking 6.2 levert dit de Stelling van Mazur. Naast de maat van Kuratowski zijn er nog andere maten die aan de hogervermelde eigenschappen voldoen. De meest gebruikte is de zogenaamde Hausdorff maat. Vooraleer we deze definiëren, voeren we eerst volgende notatie in: { } L A := r > 0 n N 0, x i M, 1 i n : A B (x i, r), A B. Definitie 6.7. De Hausdorff maat χ : B R + definiëren we als volgt: χ(a) = inf L A, A B. Eigenschap 6.8. Voor een A B geldt volgende relatie: χ(a) α(a) 2χ(A). 21

23 Bewijs. Stel L A := {2r > 0 n N 0, x i M, 1 i n : A n B (x i, r)}, dan geldt dat L A K A. Om dit te tonen kiezen we een d L A willekeurig. Dit betekent dat n N 0, x i M, 1 i n : A B (x i, d 2 ). Stel nu B i := B (x i, d 2 ), dan weten we dat A n B i en diam B i d, wat betekent dat d K A. Er volgt nu dat: α(a) = inf K A inf L A = 2 inf L A = 2χ(A). Om te tonen dat χ(a) α(a), volstaat het te bewijzen dat K A L A. Zij ɛ K A, dan volgt: n N 0, B i B, 1 i n : A B i en diam B i ɛ. Kies voor elke i een x i B i, dan volgt meteen dat B i B (x i, ɛ) en dus dat A n B i n B (x i, ɛ). Dit betekent dat ɛ L A, wat het gestelde bewijst. De eigenschappen van de Kuratowski maat, die in Eigenschap 6.5 vermeld staan, zijn ook geldig voor de Hausdorff maat. Dit kan eenvoudig bewezen worden, gebruikmakende van de relatie in voorgaande eigenschap. 7 De Stellingen van Brouwer en Schauder Definitie 7.1. Een topologische ruimte X heeft de (topologische) fixpunt eigenschap (t.f.p.p.) indien elke continue afbeelding T : X X een fixpunt heeft. Het volgende Lemma toont dat de t.f.p.p. een topologische eigenschap is. Lemma 7.2. Als X en Y homeomorfe topologische ruimten zijn, dan: X heeft de t.f.p.p. Y heeft de t.f.p.p. Bewijs. Zij h : X Y een homeomorfisme en onderstel dat X de t.f.p.p. heeft. Zij f : Y Y continu, dan is de functie g := h 1 f h : X X continu (als samenstelling van continue afbeeldingen). Dus bestaat er een x X waarvoor g(x) = x of equivalent f(h(x)) = h(x). Hieruit volgt dat y = h(x) een fixpunt is van f, wat toont dat Y de t.f.p.p. heeft. Definitie 7.3. Zij X een topologische ruimte en Y een deelruimte van X. We noemen Y een retract van X indien er een continue afbeelding r : X Y bestaat zodat r Y = id Y. Zo n afbeelding noemen we een retraction. Lemma 7.4. Als een topologische ruimte X de t.f.p.p heeft en Y is een retract van X, dan heeft Y de t.f.p.p. Bewijs. Stel r : X Y een retraction, i.e.: r is continu en r Y = id Y. Zij f : Y Y continu. We definiëren g := f r : X X, een continue afbeelding (als samenstelling van continue afbeeldingen). Omdat X de t.f.p.p. heeft, volgt dat er een y Y bestaat waarvoor (f r)(y) = y. Omdat r Y = id Y, volgt dat f(y) = y, wat toont dat f een fixpunt heeft. 22

24 Voorbeeld 7.5. De ruimte [ 1, 1] heeft de t.f.p.p. Om dit te tonen beschouwen we een willekeurige continue afbeelding f : [ 1, 1] [ 1, 1]. De afbeelding ϕ : [ 1, 1] [ 2, 2] : x x f(x) is continu en voldoet aan: ϕ( 1) 0 ϕ(1). Uit de tussenwaardestelling, weten we dat er dan een x [ 1, 1] bestaat waarvoor x f(x) = 0 of dus f(x) = x. Dit toont dat f een fixpunt heeft. Dus heeft [ 1, 1] de t.f.p.p. Uit Lemma 7.2 volgt dan dat elk compact interval de t.f.p.p. heeft. Om te tonen dat driehoeken in R 2 bijvoorbeeld ook de t.f.p.p. hebben, kunnen we gebruik maken van volgende belangrijke stelling (in combinatie met Lemma 7.2). Stelling 7.6. (De Stelling van Brouwer) De gesloten eenheidsbol B n in R n heeft de t.f.p.p. Stelling 7.7. (De Stelling van Brouwer - Sterke versie) Als C R n niet-leeg, begrensd, gesloten en convex is, dan heeft C de t.f.p.p. We kunnen deze stelling nog wat veralgemenen. Stelling 7.8. In een eindigdimensionale Banachruimte X geldt: Als C X niet-leeg, begrensd, gesloten en convex is, dan heeft C de t.f.p.p. Bewijs. Dit volgt meteen uit Stelling 7.7 en uit het feit dat elke eindigdimensionale Banachruimte X isomorf is met R n, waar n = dim X. Dit laatste is een resultaat uit de cursus Functionaalanalyse [3]. Een nog algemenere versie van de Stelling van Brouwer, is de Stelling van Schauder. Stelling 7.9. (Stelling van Schauder) In een Banachruimte X geldt: Als K X niet-leeg, compact en convex is, dan heeft K de t.f.p.p. Bewijs. Zij T : K K continu en zij ɛ > 0. Daar K compact is, heeft elke open overdekking van K een eindige deeloverdekking en bijgevolg: p N 0, a 1,..., a p K : K Voor elke i {1,..., p} definiëren we een functie: { 0 als x m i : K R + ai ɛ; : x ɛ x a i als x a i ɛ. Stel K 0 := K vect {a 1,..., a p } en definieer: p B(a i, ɛ). (12) ϕ : K K 0 : x p m i(x)a i p m i(x). Merk op dat deze functie weldegelijk in K 0 aankomt, door de convexiteit van K. Het is eenvoudig na te gaan dat ϕ continu is. Bovendien geldt voor elke x K dat ϕ(x) x ɛ. Zonder de algemeenheid te schaden mogen we immers onderstellen dat: i {1,..., k} : x B(a i, ɛ) en j {k + 1,..., p} : x / B(a j, ɛ), 23

25 waarbij 1 k p. (Dit weten we uit (12).) Indien k = p, vervalt de laatste bewering. Er volgt dan dat: k ϕ(x) x = m i(x)a i k m i(x) x = < 1 k k m i(x) m i (x)a i k m i(x) a i x k m i(x) k m i(x)ɛ k m i(x) = ɛ. k m i (x)x Beschouw nu de continue afbeelding T = ϕ T K0 : K 0 K 0. We gaan nu na of K 0 (als deel van de eindigdimensionale Banachruimte vect{a 1,..., a p }) voldoet aan de voorwaarden van Stelling 7.8. Vermits {a 1,..., a p } K 0, volgt dat K 0. Zij k 1,..., k r K 0, zij α 1,..., α r 0 en r α i = 1, dan: r α i k i K en r α i k i vect {a 1,..., a p }. Dit volgt uit de convexiteit van K en uit het feit dat elke k i tot vect{a 1,..., a p } behoort. Dit toont dus dat K 0 convex is. Vermits K 0 K en K compact en dus begrensd is, is ook K 0 begrensd. Tot slot weten we dat K gesloten is in X, waaruit volgt dat K 0 gesloten is in vect{a 1,..., a p }. Uit Stelling 7.8 volgt dan dat T een fixpunt x K 0 heeft. Er geldt: x T x x T x + T x T x = 0 + ϕ(t x) T x ɛ, waaruit volgt dat inf { x T x x K} = 0. Vermits K compact is, bereikt de continue functie σ : K K : x x T x haar minimum. Bijgevolg heeft T dus een fixpunt. Stelling Als K een niet-lege, gesloten en convexe deelverzameling is van een Banachruimte en T : K K is continu met T (K) compact, dan heeft T een fixpunt in K. Bewijs. Stel K 0 := convt (K), dan volgt dat K 0 K, vermits K zelf een gesloten en convexe verzameling is die T (K) omvat. Bovendien is K 0 T -invariant. Er geldt immers dat T (K) K en dus dat: K 0 = convt (K) convk = K. Dus geldt dat T (K 0 ) T (K) convt (K) = K 0. We kunnen T dus beperken tot K 0, en Stelling 7.9 toepassen op T K0 : K 0 K 0. Er rest ons dus te tonen dat K 0 niet-leeg, convex en compact is. Vermits K, volgt dat: T (K) convt (K) = K 0. De convexiteit van K 0 volgt rechtstreeks uit de definitie van K 0. Vermits T (K) compact is, volgt uit de Stelling van Mazur 6.4, dat K 0 compact is. Uit dit alles kunnen we dus besluiten dat T een fixpunt heeft in K 0 K. 24

26 Stelling (Stelling van Darbo) Zij K een niet-lege, begrensde, gesloten en convexe deelverzameling van een Banachruimte X en α de maat van Kuratowski op X. Als T : K K continu is en: k [0, 1[, E K : α(t (E)) kα(e), dan heeft T een fixpunt in K. Bewijs. Stel K 0 := K en K n+1 := convt (K n ) voor elke n N. We hebben reeds eerder bewezen dat (K n ) n een dalende rij niet-lege, gesloten, convexe, T -invariante delen is. Bovendien volgt uit Eigenschappen (b) en (i) van de maat van Kuratowski, dat: α(k n+1 ) = α(convt (K n )) = α(t (K n )) kα(k n ). Hieruit volgt dat α(k n+1 ) k n+1 α(k 0 ), waardoor lim n α(k n ) = 0. Uit Eigenschap (f) van de Kuratowski maat, volgt dan dat K = n=1k n niet-leeg en compact is. Uit Eigenschap 4.5 volgt bovendien dat K gesloten, convex en T -invariant is. Bijgevolg kunnen we de Stelling van Schauder 7.9 toepassen op T K : K K. Er volgt dus dat T een fixpunt heeft in K K. 8 Referenties [1] COLEBUNDERS, E., Analyse II, Dienst Uitgaven VUB, [2] COLEBUNDERS, E., Topologie, Dienst Uitgaven VUB, [3] SIOEN, M., Functionaalanalyse I, [4] GOEBEL, K., KIRK, W.A., Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, [5] BANAS, J., GOEBEL, K., Measures of noncompactness in Banach spaces, Marcel Dekker, Inc., New York, [6] WILANSKY, A., Topology for Analysis, Ginn A Xerox Company, Waltham, Massachusetts, [7] SADOVSKII, B., N., Limit-compact and condensing operators, Russian Mathematical Surveys, 1972, volume 27, nummer 1, p