Niet-archimedische structuren en hun extensies. (Didier Deses)

Transcriptie

1 Niet-archimedische structuren en hun extensies (Didier Deses) V.U.B

2 Niet-archimedische structuren en hun extensies. Didier Deses

3 Dankwoord Ik dank eerst en vooral mijn promotor, prof. Eva Colebunders, voor alles wat ze voor mij heeft gedaan i.v.m. deze verhandeling. Ik moet haar en Gert Sonck tevens bedanken voor al wat ze mij hebben aangeleerd in de topologie. Verder dank ik ook prof. Nicole De Grande - De Kimpe, die mij de wereld van niet-archimedische structuren heeft doen ontdekken. Mijn uiteindelijke dank gaat naar alle mensen die ooit hebben meegewerkt aan mijn passie voor de wiskunde, in het bijzonder mijn leerkrachten wiskunde en de leden van de vakgroep wiskunde van de Vrije Universiteit Brussel, die mij al de nodige kennis hebben aangeleerd om van een hobby een echte passie te maken. Voor al deze mensen: Dank U. 1

4 Inhoudsopgave 0 Inleiding 6 1 Topologische dimensies Inleiding Definities Eigenschappen Overzicht Ultrametrische ruimten Inleiding Definities Eigenschappen Niet-archimedische topologieën Inleiding

5 3.2 Definities Eigenschappen Niet-archimedische uniformiteiten Inleiding Definities Eigenschappen Samenhang en niet-archimedische structuren Inleiding Topologische samenhang Niet-archimedische modificatie van een uniforme ruimte Uniforme samenhang Overzicht Voorbeelden van niet-archimedische structuren Inleiding IFS De Cantorverzameling De Fort ruimte Modified Fort ruimte De postmetriek

6 7 Reflecties in topologische categorieën Inleiding Categorieën Topologische categorieën Bireflecties in topologische categorieën Voorbeelden van bireflecties in topologische categorieën De zwak nuldimensionale ruimten in T op De niet-archimedische ruimten in Unif Epireflecties in topologische categorieën Voorbeelden van epireflecties in topologische categorieën De totaal onsamenhangende ruimten in T op De uniform totaal onsamenhangende ruimten in U nif Overzicht van de reflecties bij niet-archimedische structuren Functoren Completie en compactificatie Inleiding Completie van een niet-archimedische uniformiteit Banaschewski compactificatie Dicht-reflectiviteit

7 9 De Stone representatiestelling Inleiding Boole algebra De Stone representatiestelling De Stone Functor Completie van een Boole algebra Inleiding Infimum en supremum Compleetheid Completie van een Boole algebra Bomen en ultrametrieken Inleiding Grafentheorie Bomen Van boom tot ultrametrische ruimte en omgekeerd Voorbeelden Een discrete ruimte Een binaire boom Een voorbeeld uit de biologie

8 Hoofdstuk 0 Inleiding Deze thesis draait om het begrip niet-archimedische structuur. Wat zo n structuur eigenlijk is valt moeilijk kort te omschrijven: het is een verzamelnaam voor een aantal wiskundige objecten die analoge eigenschappen vertonen. De benaming niet-archimedisch heeft niets te maken met de archimedische dichtheidseigenschap, maar is overgewaaid uit de p-adische analyse. In deze tak van de wiskunde plaatst men op de rationale getallen een speciale metriek, die in plaats van de driehoeksongelijkheid, aan een sterkere eigenschap voldoet die men dan ook de gepaste benaming van sterke driehoeksongelijkheid geeft. Deze metriek noemt men dan een ultrametriek. Ultrametrische ruimten zijn type-voorbeelden van niet-archimedische structuren. Een veralgemening van zulke ruimten in de topologische zin leidt naar nietarchimedische topologieën en in uniforme zin naar niet-archimedische uniformiteiten. Al deze objecten worden hier ondergebracht onder de verzamelnaam niet-archimedische structuren. Aan elk van hen wordt er een hoofdstuk besteed, telkens zullen de definities en de belangrijkste eigenschappen bekeken worden en zal men kunnen inzien dat er vele parallellismen zijn. De belangrijkste gemeenschappelijke eigenschap is ongetwijfeld de nuldimensionaliteit in een ruime zin en meer specifiek de zwak nuldimensionaliteit. Deze begrippen worden in het eerste hoofdstuk gedefinieerd en bestudeerd. Eigenlijk gaat het erom dat de ruimten zelf uit losse punten bestaat, een punt heeft dimensie nul en een rechte dimensie 1. Een vezameling punten 6

9 die slechts gedeeltelijk aaneen hangt, een situatie die we kennen bij sommige fractalen, krijgt dan een fractale dimensie tussen 0 en 1, maar indien de punten niet samenklonteren, zoals bijvoorbeeld in de Cantorverzameling, dan blijft deze verzameling nuldimensionaal. Zoals in deze redenering dadelijk opvalt, speelt samenhang of beter onsamenhang een belangrijke rol. Dit is de tweede meest belangrijke eigenschap van niet-archimedische structuren: ze zijn meestal totaal onsamenhangend. De (on-)samenhang zal worden ontwikkeld in zowel topologische als uniforme zin in hoodstuk 5. Eenmaal gewapend met deze basiskennis over niet-archimedische structuren zullen we in enkele concrete voorbeelden deze eigenschappen bekijken. In hoofdstuk 7 zullen we onderzoeken hoe deze niet-archimedische structuren zich gedragen ten overstaan van de andere ruimten en constructies in T op en Unif, hierbij wordt voor een meer categorische aanpak gekozen. De nodige begrippen zoals categorie, topologische categorie en reflectie zullen worden ingevoerd en toegepast op niet-archimedische objecten. We zullen aantonen dat voor een willekeurig object men de structuur op de drager altijd zal kunnen verkleinen tot een niet-archimedische structuur en dit op een canonische wijze, zodat de (uniform) continue afbeeldingen naar andere niet-archimedische objecten (uniform) continu blijven. Daarna gaan we ons bezighouden met de klassieke vraag over het bestaan van extensies. Er zal blijken dat elk van onze niet-archimedische ruimten een unieke Hausdorf niet-archimedische extensie heeft. In het topologisch kader geeft deze studie aanleiding tot de constructie van de Banaschewski compactificatie. We zullen deze compactificatie ook afleiden uit een categorische context om de analogie met de al gekende Stone-Cech compactificatie duidelijk te laten zien. Niet-archimedische structuren spelen een fundamentele rol bij de Stone representatiestelling. Deze stelling drukt uit dat alle Boole algebra s kunnen bekomen worden uitgaande van zekere niet-archimedische compacte ruimten. We zullen de belangrijke rol van niet-archimedische structuren in dit verband toelichten en aanwenden om in de context van Boole algebra s een extensietheorie te ontwikkelen. Aan de hand van de Stone representatie zullen we de completie van een Boole algebra construeren. Het laatste hoofdstuk bevat een verband tussen grafentheorie (meer bepaald bomen) en niet-archimedische structuren. We zullen trouwens het nut hier- 7

10 van illustreren aan de hand van een voorbeeld uit de evolutionaire biologie. Maar eerst hebben toch nog een lange weg doorheen de niet-archimedische wereld af te leggen... 8

11 Hoofdstuk 1 Topologische dimensies 1.1 Inleiding In dit hoofdstuk worden er een aantal definities gegeven van topologische dimensies, d.w.z. dimensiebegrippen die volledig steunen op de topologie van de ruimte, zoals de grote en de kleine inductieve dimensies. Voor dit deel wordt vooral gesteund op [4] en deels ook op [12]. Doorheen deze studie van niet-archimedische structuren zal blijken dat het begrip nuldimensionaliteit zeer belangrijk is, we gaan dit dus afzonderlijk definiëren. Daarna worden de onderlinge verbanden tussen de dimensiebegrippen nagegaan. 1.2 Definities Zij X φ een topologische ruimte en zij F, G X, F G = φ. S X heet een partitie tussen f en G indien: U, V open omgevingen van F resp. G zodat X S = U V en U V = φ 9

12 De volgende twee dimensiebegrippen hebben een inductieve definitie en worden daarom inductieve dimensies genoemd: De kleine inductieve dimensie van X (i) ind X = 1 X = φ (ii) ind X n ( ind X ) is: p X, G gesl, p G : partitie S tussen {p} en G met ind S n 1 (iii) ind X = n ind X n en ind X n 1 (iv) ind X = n : ind X n De grote inductieve dimensie van X (i) Ind X = 1 X = φ (ii) Ind X n ( Ind X ) is: F, G gesl, F G = φ : partitie S tussen F en G met Ind S n 1 (iii) Ind X = n Ind X n en Ind X n 1 (iv) Ind X = n : Ind X n Een deel A heet clopen indien A zowel open als gesloten is, de verzameling van alle clopen delen van een topologische ruimte X zal vanaf nu CO(X) worden genoteerd. We zeggen dat X zwak nuldimensionaal heeft van clopen delen. is indien de topologie een basis We zeggen dat X sterk nuldimensionaal is indien ieder paar disjuncte gesloten delen gescheiden kan worden door clopen omgevingen. Een basis B van een topologie heeft rang zodat: n indien n het kleinste getal is B 1,..., B n+2 : n+2 i=1 B i φ i {1,... n + 2} : B i i j B j We voeren nu het begrip basisdimensie van rang n bestaat. in: bad X = n indien er een basis 10

13 1.3 Eigenschappen Zij X zoals in vorige paragraaf. Stelling ind X = 0 X is zwak nuldimensionaal. Bewijs: : stel ind X = 0 dan volgt uit ind X > 1 dat X φ. Zij nu B open en x B dan is x (X B) gesloten. Dus er bestaat een partitie S tussen {x} en X B (met U, V open x U, V (X B) : V U = φ, X S = U V ) zodat ind S 1 en dus S = φ. We hebben dan een open partitie {U, V } van X met V = X U zodat x U B, U open, X U open. We beschouwen nu de verzameling D van alle U s die we zo construeren. D is dan een clopen basis voor de topologie op X want voor een B open: x B : U D : x U B en U clopen. : ind X > 1 want X φ. Zij nu p G gesloten dan bestaat er een U clopen met U G, p (X U) en dan is S = φ een partitie tussen {p} en G (X S = U (X U)) met ind S 1 zodat ind X = 0. Stelling Ind X = 0 X is sterk nuldimensionaal. Bewijs: : Zij F, G disjunct en gesloten en zij Ind X = 0. Ind X > 1 zodat X φ en er bestaat een partitie S tussen F en G met Ind S 1 dus moet S = φ zodat U, V open omgevingen van F resp. G met U V = X en U V = φ. {U, V } vormt dus een (gewone) partitie van X, bovendien is X V = U zodat dit een clopen partitie is die F en G scheidt. : Omdat X φ is Ind X > 1 als F, G disjuncte gesloten delen zijn dan bestaan er clopen omgevingen U resp. V die F en G scheiden. Neem dus F U clopen dan is G X U clopen en ook X S = U (X U) = X zodat S = φ en Ind S = 1 zodat wel degelijk Ind X = 0. 11

14 Stelling Zij X een T 1 ruimte dan geldt: Ind X ind X Bewijs: Volgt onmiddellijk uit de definities want in een T 1 ruimte zijn de singletons gesloten. Gevolg In een T 1 ruimte geldt: X sterk nuldimensionaal X zwak nuldimensionaal Stelling Een zwak nuldimensionale ruimte is volledig regulier. Bewijs: volgt onmiddellijk uit de definities. Gevolg Een zwak nuldimensionale ruimte is regulier. 1.4 Overzicht T 1 ind X Ind X = 0 = 0 T 1 zwak nuldim. sterk nuldim. voll. regulier regulier 12

15 Hoofdstuk 2 Ultrametrische ruimten 2.1 Inleiding De meest bekende van alle niet-archimedische structuren is ongetwijfeld de ultrametrische ruimte die zodadelijk wordt ingevoerd. Dit is eigenlijk een speciaal geval van een gewone metrische ruimte. Om deze soort ruimten in te voeren werd vertrokken van [16], [4] en van de cursus [11], verder werden ook [7] en [14] gebruikt. Ultrametrieken komen tamelijk veel voor, bijvoorbeeld in de informatica (netwerken, beeldcompressie, enz....). In de wiskunde duiken ultrametrieken in verschillende theoriën op, denk maar aan de p- adische analyse of nog aan sommige fractalen, zoals in een volgend voorbeeld zal blijken. Het feit dat ultrametrieken soms zo belangrijk zijn, staat zeker niet los van de eigenschappen, die soms wat vreemd overkomen. Enkele van deze eigenschappen zullen in dit hoofdstuk aan bod komen, er zal onder meer blijken dat de bollen van een ultrametrische ruimte een partitie vormen. Dankzij deze laatste eigenschap zullen we de ultrametrische ruimten topologisch karakteriseren als deelruimten van een aftelbaar product van discrete ruimten. 13

16 2.2 Definities Zij X een verzameling. Een afbeelding d : X X R + heet een metriek als ze voldoet aan: (i) x, y X : d(x, y) = 0 x = y (ii) x, y X : d(x, y) = d(y, x) (iii) x, y, z X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Deze laatste ongelijkheid is bekend onder de naam driehoeksongelijkheid. Indien we deze vervangen door de sterke driehoeksongelijkheid: d(x, y) max{d(x, z), d(z, y)} dan noemen we d een ultrametriek of niet-archimedische metriek. Zoals in het geval van een gewone metriek heet een topologie of een uniformiteit ultrametriseerbaar indien er een ultrametriek bestaat die deze topologie of uniformiteit induceert. Een partitie van X, τ is een clopen partitie delen. indien ze bestaat uit clopen 2.3 Eigenschappen Merk op dat een ultrametrische ruimte ook een metrische ruimte is, haar topologie is dus ook T 4, Tychonoff, T 3, Hausdorff, T 2, T 1, pseudometriseerbaar, uniformiseerbaar, normaal, volledig regulier, regulier en A 1. Stelling Zij X, d een ultrametrische ruimte, dan geldt: (i) elke driehoek is gelijkbenig (ii) alle bollen zijn clopen (iii) elk punt van een bol is een middelpunt (iv) δ ɛ : B(a, ɛ) B(b, δ) of B(a, ɛ) B(b, δ) = φ (v) Zij B 1, B 2 twee niet disjuncte bollen B 1 B 2 of B 2 B 1, hetgeen betekent dat X nuldimensionaal is in de zin dat bad X = 0 14

17 (vi) X, τ d is sterk nuldimensionaal en zwak nuldimensionaal (vii) n N 0 : {B(a, 1/n) a X} is een clopen partitie van X, τ d Bewijs: (i) Neem de driehoek xyz als d(x, y) = d(y, z) = d(z, x) dan hebben we zeker een gelijkbenige driehoek. We kunnen dus aannemen dat d(x, y) d(y, z) bijvoorbeeld d(x, y) > d(y, z) dan geldt: en dus is d(x, z) = d(x, y). d(x, z) max {d(x, y), d(z, y)} = d(x, y) d(x, y) max {d(x, z), d(z, y)} = d(x, z) (ii) Een bol B(a, r) is per definitie open, ze is ook gesloten indien X B(a, r) open is. Zij dan x X B(a, r) dit wil zeggen d(x, a) r. We bewijzen nu dat B(x, r) X B(a, r). Zij t B(x, r) d(t, x) < r en dus ook d(t, a) max {d(t, x), d(x, a)}. Deze laatste twee aftstanden zijn verschillend zodat men een driehoek xta krijgt met 2 verschillende zijden. Wegens (i) is dus de derde zijde gelijk aan de grootste van de eerste twee: d(t, a) = d(x, a) r, hetgeen bewijst dat B(a, r) ook gesloten is. (iii) Beschouw b B(a, r). We gaan bewijzen dat B(a, r) = B(b, r). Zij x B(a, r) dan is d(x, b) max{d(x, a), d(a, b)} < r en omgekeerd is voor een x B(b, r) : d(x, a) max{d(x, b), d(a, b)} < r. (iv) Indien beide bollen disjunct zijn is de eigenschap triviaal voldaan. We stellen dus: x B(a, ɛ) B(b, δ). Zij dan t B(b, δ), dan is: d(t, a) max{d(t, b), d(b, a)} max{d(t, b), d(b, x), d(x, a)} < ɛ t B(a, ɛ). (v) Dit is een direct gevolg van (iv). 15

18 (vi) Zij F, G gesloten en disjunct, r = d(f, G), stel dan U = x F B(x, r/2), V = x G B(x, r/2), dan is U V φ, F U, G V en U, V zijn beiden clopen, want bijvoorbeeld voor U: als x U en W een omgeving van x dan y F : x B(y, r/2) = B(x, r/2) wegens (iii) en deze is clopen dus is W B(y, r/2) φ zodat W U φ hetgeen betekent dat U gesloten is, en als unie van open is U ook open. Hetzelfde geldt voor V. Aangezien een ultrametrische ruimte T 1 is, is ze automatisch ook zwak nuldimensionaal. (vii) Neem n N 0 vast maar willekeurig en beschouw {B(a, 1/n) a X}. Het is evident dat X a X B(a, 1/n). Verder kunnen we zeggen dat als: x B(a 1, 1/n) B(a 2, 1/n) dan geldt wegens (iii) dat: B(a 1, 1/n) = B(x, 1/n) = B(a 2, 1/n), bovendien zijn alle bollen clopen zodat we wel degelijk met een clopen partitie te maken hebben. We kunnen nu een algemene karakterisatie geven van ultrametrische ruimten aan de hand van volgende structuurstelling voor ultrametrische ruimten: Stelling X, τ ultrametriseerbaar X, τ is homeomorf met een deelruimte van een aftelbaar product van discrete ruimten. Bewijs: : Neem X, τ = τ d een ultrametriseerbare ruimte. Zij n vast en zij u n de partitie van de bollen met straal 1/n uitgerust met de discrete topologie. Beschouw de functies: f n : X, τ d u n : x B(x, 1/n) Deze zijn duidelijk continu want: fn 1 (B(x, 1/n)) = B(x, 1/n) is open. Neem nu de productfunctie f = f 1 f 2... f n... : X n u n, deze is bijectief op haar beeld (want: x y B(x, d(x, y)/2 ɛ) B(y, d(x, y)/2 ɛ)) en f is continu wegens de initialiteit van het product: f n = pr n f was continu. f is dus continu en bijectief, bovendien is f : X f(x) ook initiaal want voor een g : Y X en een A open in f(x) (dus een Tychonoffproduct A = u k (x), k eindig aantal verschillende waarden) geldt: (f g) 1 (A) = g 1 f 1 (A) = g 1 ( k u k (x)) 16

19 zodat f g continu is als en slechts als g continu is, hetgeen betekent dat f continu, bijectief en initiaal is. f is dus een homeomorfisme. : Zij (A n ) n discrete ruimten, definieer dan de ultrametriek op n A n door: d(x, y) = inf{1/n x i = y i, i n 1} Dit is inderdaad een ultrametriek want: d(x, y) = 0 x i = y i i x = y en max{inf{1/n x i = z i, i n 1}, inf{1/n z i = y i, i n 1}} inf{1/n x i = y i, i n 1} Aldus is bewezen dat n A n ultrametriseerbaar is. Gevolg Een aftelbaar product van ultrametriseerbare ruimten is ultrametriseerbaar. 17

20 Hoofdstuk 3 Niet-archimedische topologieën 3.1 Inleiding In een ultrametrische ruimte X hebben we de eigenschap dat voor twee niet disjuncte bollen B 1, B 2 geldt dat ofwel B 1 B 2 ofwel B 2 B 1. Dit komt overeen met het zeggen dat de bollen een basis van rang nul vormen. Zoals in [12] en [14] gaan we deze vorm van nuldimensionaliteit gebruiken om algemener in plaats van metrische ruimten ook willekeurige topologische ruimten te kunnen beschouwen in het kader van niet-archimedische structuren. 3.2 Definities Een topologie met een basis van rang nul heet een niet-archimedische topologie en de basis heet dan een niet-archimedische basis. Het is duidelijk dat met deze definitie iedere ultrametriseerbare ruimte een niet-archimedische topologie heeft. 18

21 3.3 Eigenschappen Uit de definitie volgt onmiddellijk: Stelling X, τ heeft een niet-archimedische topologie bad X = 0 Voor we aan de volgende stelling beginnen merken we eerst volgend lemma op: Lemma Een clopen deel heeft geen rand. Bewijs: Zij A clopen d.w.z. A en X A gesloten zodat cl A cl (X A) = A (X A) = φ en dus A = φ. Stelling (i) De elementen van een niet-archimedische basis zijn clopen. (ii) Een niet-archimedische topologie is zwak nuldimensionaal. Bewijs: (i) Zij B een niet-archimedische basis van de niet-archimedische topologie τ op X, zij A B en stel dat de rand niet ledig is. Dit wil zeggen: cl A cl (X A) φ zodat x cl A cl (X A) en dus voor alle basisomgevingen V van x: V A φ en V (X A) φ. Hieruit volgt dat V A ofwel A V. V A kan niet want dan zou V (X A) = φ. Indien het tweede geldt dan is V (X A) φ zodat V A (hetgeen niet kan omdat we het tweede hadden aangenomen en V willekeurig is) of (X A) V maar dan is V = X hetgeen ook niet kan want V was willekeurig. Dus kunnen we concluderen dat B enkel clopen delen bevat. (ii) Een niet-archimedische topologie heeft een niet-archimedische basis die bestaat uit clopen delen, ze is dus ook zwak nuldimensionaal. 19

22 Hoofdstuk 4 Niet-archimedische uniformiteiten 4.1 Inleiding Indien we niet-archimedische structuren willen beschouwen in een uniform kader, dan moeten we de geassocieerde uniformiteit beschouwen. Geïnspireerd door het feit dat in een ultrametrische ruimte de bollen met een vaste straal een partitie vormen en dat hierdoor een basis van de geassocieerde uniformiteit kan gevormd worden, gaan we het begrip niet-archimedische uniformiteit invoeren. Het zal blijken dat een niet-archimedische uniformiteit wordt bepaald door een basis van equivalenties, of nog door een verzameling partities. Bovendien zullen de niet-archimedisch uniformiseerbare ruimten juist de zwak nuldimensionale ruimten zijn. In dit hoofdstuk zullen we vooral [16], [15] en [1] volgen. 20

23 4.2 Definities Zij X, U een uniforme ruimte, U heet niet-archimedische uniformiteit indien er een collectie partities Φ bestaat zodat: B = { x X u(x) u(x) u Φ} een basis is (U = stack B). Hier stelt u(x) de klasse van x in de partitie u Φ voor, B zijn dus de equivalentierelaties van Φ. Een topologische ruimte X, τ heet niet-archimedisch uniformiseerbaar indien er een niet-archimedische uniformiteit bestaat, compatibel met de topologie. Een partitie u van X heet een U-partitie of partitie in U indien x X u(x) u(x) U, dit wil zeggen dat haar equivalentierelatie in U zit. Stelling Zij Φ een niet-lege collectie partities op X. De eindige doorsneden van de collectie { x X u(x) u(x) u Φ, n N 0 } (dit zijn de equivalentierelaties van Φ) vormen een basis voor een niet-archimedishe uniformiteit, die men de voortgebrachte uniformiteit U Φ noemt. Bewijs: Stel F = { n i=1 x X u i (x) u i (x) u i Φ} dan moet gelden: (BU1) A F : A (BU2) A F : B F : B B A (BU3) A F : B F : B A 1 Bovendien moet F een filterbasis zijn dus: (FB1) A, B F : C F : C A B (FB2) F φ (FB3) φ F Deze voorwaarden zijn allen voldaan want: u Φ : x X u(x) u(x) zodat A F : A, dit levert ons (BU1) en (FB3). Kiezen we A F dan is A A = A F, dus is (BU2) ook in orde. Bovendien zijn alle n i=1 x X u i (x) u i (x) symmetrisch zodat (BU3) ook ok is. (FB2) geldt omdat Φ φ en (FB1) omdat de doorsnede van 2 eindige doorsneden opnieuw eindig is. F is dus de basis van een uniformiteit. We gaan nu bewijzen dat: n i=1 x X u i (x) u i (x) = x X n i=1 u i (x) u i (x) 21

24 : (a, b) x X n i=1 u i (x) u i (x) x : i : a, b u i (x) i : x : a, b u i (x) (a, b) n i=1 x X u i (x) u i (x) : (a, b) n i=1 x X u i (x) u i (x) i : x i : a, b u i (x i ) i : x i : x i u i (a), x i u i (b) i : u i (a) = u i (b) (u i is een partitie ) i : (a, b) u i (a) u i (b) = u i (a) u i (a) (a, b) n i=1u i (a) u i (a) (a, b) x X n i=1 u i (x) u i (x) We kunnen dus schrijven dat: F = { n i=1 x X u i (x) u i (x) u i Φ} = { x X n i=1 u i (x) u i (x) u i Φ} = { x X u(x) u(x) u Φ } waar Φ de sluiting is van Φ voor eindige doorsneden. Zodat F wel degelijk een basis is van een niet-archimedische uniformiteit. Φ Φ U φ = U Φ Gevolg Aan iedere collectie partities kunnen we een niet-archimedische uniformiteit koppelen en omgekeerd. 22

25 4.3 Eigenschappen Zij U een niet-archimedische uniformiteit op X met collectie partities Φ. U induceert dus een topologie τ op X. Stelling Elke klasse u(x) (x X) uit een partitie u Φ is clopen in τ Bewijs: De omgevingenbasissen in τ zijn van de vorm V b (x) = { n i=1u i (x) u i Φ, n N 0 } V (x) voor x X. De open delen zijn dan: {A X x A : A V (x)} zodat ook x X : u(x) open is. Dit wil zeggen dat u(x) en X u(x) = ( y X u(y)) u(x) beiden open zijn, zodat u(x) clopen is. Gevolg Elke u Φ is een clopen partitie van X, τ Stelling G = { n i=1u i (x i ) x i X, u i Φ, n N 0 } is een basis van τ. Bewijs: Zij B τ, x B : B V (x) = stack V b (x) dus V = n i=1u i (x) V b (x) : V B en V G, dus is G een basis van τ. Gevolg Een niet-archimedische uniformiteit induceert een zwak nuldimensionale topologie. Bewijs: Elke u(x), u Φ, x X is clopen in τ zodat G een basis is van clopen delen. We kunnen zelfs volgende karakterisatie van zwak nuldimensionale ruimten geven: 23

26 Stelling X, τ is niet-archimedisch uniformiseerbaar enkel en alleen indien ze zwak nuldimensionaal is. Bewijs: Indien X, τ niet-archimedisch uniformiseerbaar is dan is ze wegens het laatste gevolg zwak nuldimensionaal. Omgekeerd, zij X, τ zwak nuldimensionaal, beschouw dan Φ = {eindige τ clopen partities}. Φ geeft een uniformiteit U die compatibel is met τ. Zij τ U de topologie geïnduceerd door U, dan is τ = τ U want: :A clopen basiselement van τ A τ-clopen {A, X A} Φ A, X A basiselementen van τ U A τ U. :A = n i=1u i (x i ) basiselement van τ U. Omdat elke u i (x i ) τ-clopen is, is ook A τ-clopen en dus A τ. Stelling (i) Iedere niet-archimedische topologie is niet-archimedisch uniformiseerbaar. (ii) Iedere ultrametrische ruimte is niet-archimedisch uniformiseerbaar. Bewijs: (i) We weten dat een niet-archimedische topologie zwak nuldimensionaal is wegens 3.3.2, wegens de vorige stelling is ze dus ook niet-archimedisch uniformiseerbaar. (ii) Dit volgt onmiddellijk uit (i) of uit het feit dat een ultrametrische ruimte ook metrisch is en de de bollen met eenzelfde straal een partitie vormen, aldus is de uniformiteit geïnduceerd door de (ultra-)metriek niet-archimedisch. Stelling X, U is Hausdorff x y : u Φ : u(x) u(y) Bewijs: 24

27 : per contrapositie: stel dat x y met u Φ : u(x) = u(y) dan geldt dat: (x, y) u Φ x X u(x) u(x) V U V zodat V U V en dus is X, U niet Hausdorff. : stel x y dan u Φ : u(x) u(y) maar u is een partitie van clopen delen zodat u(x) en u(y) disjuncte omgevingen zijn van x en y. 25

28 Hoofdstuk 5 Samenhang en niet-archimedische structuren 5.1 Inleiding Tot nu toe hebben we voor de niet-archimedische structuren vooral het aspect nuldimensionaliteit behandeld. In dit hoofdstuk buigen we ons over de samenhang of onsamenhang van zulke structuren. Deze studie voeren we uit zowel in het topologische als in het uniform kader. Voor het onderzoek in Unif gaan we eerst met een willekeurige uniforme ruimte een nietarchimedisch uniforme structuur op haar drager associëren. Er zal getoond worden dat deze nieuwe ruimte de uniforme samenhang zal beschrijven van de oorspronkelijke uniforme ruimte. Na samenhang te hebben bekeken in T op en in Unif zullen we tot het besluit komen dat een zwak nuldimensionale topologische ruimte, of een niet-archimedische uniforme ruimte nooit samenhangend is. In een compacte Hausdorff ruimte zal topologische en uniforme samenhang hetzelfde blijken te zijn als zwak nuldimensionaliteit of nog als niet-archimedisch uniformiseerbaarheid. Dit hoofdstuk is voornamelijk gebaseerd op [9] en [8], de elementaire definities van samenhang komen uit [3] en voor de quasi samenhang uit [5]. Verder werd ook [1] gebruikt. 26

29 5.2 Topologische samenhang Een topologische ruimte X, τ heet samenhangend indien X, φ de enige clopen delen zijn, dit is hetzelfde als zeggen dat ze niet kan geschreven worden als disjuncte unie van 2 niet lege open of 2 niet lege gesloten delen. Een deel A X heet samenhangend indien A uitgerust met de spoortopologie samenhangend is. Het deel K(x) = {A X x A, A samenhangend } noemen we de samenhangscomponent van x, dit is het grootste samenhangend deel dat x bevat en dit is altijd gesloten. We zeggen dat X, τ totaal onsamenhangend is, indien x X : K(x) = {x}. We krijgen onmiddellijk volgende resultaten: Stelling X, τ samenhangend x X : K(x) = X Bewijs: volgt onmiddellijk uit de definities. Stelling Samenhang wordt bewaard door continue beelden. Bewijs: Zij f : (X, τ) (Y, S) surjectief en (X, τ) samenhangend. Neem B clopen in Y dan is A = f 1 (B) clopen in X, dus A = φ of A = X zodat B = f(a) = φ of B = f(a) = Y en dus moet Y samenhangend zijn. Stelling Een niet-triviale, zwak nuldimensionale ruimte X, τ is niet samenhangend. Bewijs: Iedere zwak nuldimensionale ruimte heeft een basis van clopen delen, omdat de ruimte niet triviaal is, bestaat er dus een clopen deel verschillend van X en φ zodat ze niet samenhangend kan zijn. Stelling Een totaal onsamenhangende ruimte is altijd T 1. 27

30 Bewijs: K(x) = {x} is gesloten, zodat alle singletons gesloten zijn hetgeen betekent dat de ruimte T 1 is. We voeren nu het begrip quasi-component in. We noteren V c (x) = {V V clopen omgeving van x} en definiëren dan de quasi-component van x door Q(x) = V c (x). We hebben dan volgende stellingen: Stelling K(x) Q(x) Bewijs: Stel uit het ongerijmde dat y K(x), W V c (x) : y W. Omdat K(x) = {A X x A, A samenhangend } kunnen we zeggen dat A : x, y A, A samenhangend. Stel nu T = W A, dit is clopen in A en dan is A T = A (W A) = (X W ) A ook clopen in A, bovendien zijn beiden verschillend van A, φ. We hebben dus: A = T (A T ) zodat A niet samenhangend kan zijn hetgeen een contradictie oplevert. Stelling Een zwak nuldimensionale, T 1 ruimte is totaal onsamenhangend. Bewijs: Zij x X vast, wegens de T 1 eigenschap en de clopen basis van X geldt dat: y X {x} : V V c (x) : y V. Nu is K(x) Q(x) = V c (x) zodat y K(x). We concluderen dus dat K(x) = {x} zodat de ruimte totaal onsamenhangend is. 5.3 Niet-archimedische modificatie van een uniforme ruimte Zij X, U een willekeurige uniforme ruimte met een symmetrische basis B. Voor elke V B beschouwen we nu: V = k>0 V k. Omdat V symmetrisch en reflexief gekozen werd is V als relatie reflexief, symmetrisch en transitief zodat V een equivalentierelatie is. Zij nu Ū de uniformiteit voortgebracht 28

31 door { V V B}. Ū heet de niet-archimedische modificatie van X, U. Het is duidelijk dat dit een niet-archimedische uniformiteit is met Ū U. Stelling Ū is de fijnste niet-archimedische uniformiteit, grover dan U. Bewijs: Zij U U een niet-archimedische uniformiteit dan is: V U : V U : V V zodat ook: k : V k V k = V want V is een equivalentierelatie. We hebben dus V V zodat Ū U hetgeen betekent dat Ū fijner is dan U. Bovendien is er volgend verband tussen Ū en U: Stelling U = Ū U niet-archimedische uniformiteit Bewijs: : volgt uit het feit dat Ū de fijnste van alle grovere niet-archimedische uniformiteiten is. : als U = Ū dan is U duidelijk niet-archimedisch. Gevolg Ū = Ū 5.4 Uniforme samenhang Vanaf nu zullen we altijd in een uniforme ruimte X, U werken. We zeggen dat X, U uniform samenhangend is indien {φ, X} de enige partitie in U is (volgens de definitie op pagina 21), een deel A X heet uniform samenhangend indien A uitgerust met de spooruniformiteit uniform samenhangend is. 29

32 Stelling Uniforme samenhang wordt behouden door uniform continue beelden. Bewijs: Zij X, U uniform samenhangend, f : (X, U) (Y, W ) uniform continu en surjectief, zij P een partitie in W zoals op pagina 21, dan is f 1 (P ) = {f 1 (P (x)) x X} een partitie in U dus is dit {φ, X} zodat P = {φ, X} en aldus moet Y, W ook uniform samenhangend zijn. Stelling Een niet-triviale, niet-archimedische uniforme ruimte is niet uniform samenhangend. Bewijs: Zulk een ruimte heeft een basis van partities, en is dus zeker niet uniform samenhangend. We gaan nu het begrip uniforme V -keten (of korter V -keten) invoeren. Zij X, U een uniforme ruimte met een symmetrische basis B, V B. x 0, x 1,..., x n is een V -keten indien (x k, x k+1 ) V met k = 0,..., n. Stelling In een uniforme ruimte X, U met V U is de relatie xk V y een V -keten tussen x en y, is een equivalentierelatie. Bewijs: Reflexiviteit:(x, x) V. Symmetrie: (x, y) V n (y, x) V n want V was symmetrisch. Transitiviteit: (x, z) V n, (y, z) V m (x, y) V m+n. Deze equivalentierelatie K V wordt ook gegeven door V = n>0 V n (cfr. paragraaf 5.3). K V (x) is de klasse van x voor K V. Elke klasse K V (x) = V (x) = n>0 V n (x) is duidelijk open wegens de keuze van V, verder is X K V (x) = {K V (y) K V (y) K V (x), y X} zodat dit ook open is, aldus is K V (x) clopen. We voeren nu de ketenrelatie in: x Ky V B V -keten tussen x, y Dit is een equivalentierelatie met klassen: relatie wordt gegeven door: V B V. K(x) = V B K V (x) zodat de 30

33 Stelling X, U is uniform samenhangend x X : K(x) = X Bewijs: : Stel dat er x X met K(x) X, dan bestaat er een y X K(x) zodat K(x) K(y) want K is een equivalentierelatie gegeven door de partitie V die dan verschillend is van {φ, X}, zodat X, U niet uniform samenhangend is. : Stel dat X, U niet uniform samenhangend is,er is dan een partitie {A i } in U, verschillend van {φ, X}. We kiezen nu x, y in verschillende A i s, er bestaat dan geen enkele {A i }-keten tussen x en y zodat K(x) K(y) en dus ook K(x) X. We zeggen dat X, U uniform totaal onsamenhangend is indien x X : K(x) = {x}. Stelling Een uniforme ruimte is uniform totaal onsamenhangend enkel en alleen indien de niet-archimedische modificatie Hausdorff is. Bewijs: Dit volgt uit de definitie van de niet-archimedische modificatie (zie paragraaf 5.3) en uit het feit dat: K(x) = {x} = V B V = V Ū V X, Ū Hausdorff Gevolg Een niet-archimedische uniforme ruimte is uniform totaal omsamenhangend enkel en alleen indien ze Hausdorff is. Bewijs: In het geval van een niet-archimedische uniforme ruimte X, U is U = Ū zodat men het resultaat bekomt uit de vorige stelling. Stelling In een uniforme ruimte X, U geldt Q(x) K(x) 31

34 Bewijs: Q(x) = V c (x) V B K V (x) = K(x) omdat K V (x) clopen is. Gevolg (i) K(x) Q(x) K(x) (ii) Een uniform totaal onsamenhangende ruimte is ook topologisch totaal onsamenhangend. (ii) Een uniform totaal onsamenhangende ruimte is altijd T 1. We gaan ons nu bezighouden met het verband tussen K(x), Q(x) die afhangen van een topologie en K(x) dat afhangt van een uniformiteit. We onderoeken dit verband in het kader van compacte Hausdorff ruimten. We herhalen even dat: Stelling Een compacte Hausdorff ruimte heeft altijd een unieke uniformiteit. Dit leidt ertoe dat in zo n ruimte K eenduidig is bepaald. We bewijzen nu een lemma dat we later nodig zullen hebben. Lemma Zij X, U een uniforme ruimte, A compact, B gesloten, A B = φ V U : V (A) V (B) = φ Bewijs: Indien dit niet zou gelden dan zou voor elke V symmetrisch entourage: A V 2 (B) φ. Deze delen zouden aldus een filterbasis vormen op het compact A zodat er een adherentiepunt x 0 A zou zijn. V symmetrisch V 3 (x 0 ) B φ en B gesloten, dus moet x 0 B hetgeen niet kan. Stelling In een compacte Hausdorff ruimte geldt K(x) = Q(x) = K(x). 32

35 Bewijs: We hebben al dat: K(x) Q(x) K(x) We gaan nu bewijzen dat K(x) samenhangend is zodat ook K(x) K(x) en we dus kunnen concluderen dat K(x) = Q(x) = K(x). Stel dat K(x) niet samenhangend is, dan is dus K(x) een disjuncte unie van 2 gesloten delen A, B. Omdat we werken in een compacte ruimte kunnen we het lemma toepassen: V U : V (B) V (C) = φ. Zij W 2 V, W open. We beschouwen nu de gesloten verzameling H = X (W (B) W (C)). Zij nu x B, y C en een symmetrisch entourage T W. x, y K(x) T -keten tussen x, y Bovendien heeft zo n keten een punt in H omdat W (B) W (C) = φ zodat: H K T (x) φ. Anderzijds als T T dan is K T (x) K T (x) zodat {H K T (x) T symmetrisch } een filterbasis van gesloten delen vormt in de compacte ruimte H z H K T (x) T zodat z K(x) H hetgeen een contradictie oplevert. Gevolg Voor een compacte Hausdorff ruimte zijn topologische en uniforme samenhang hetzelfde. Stelling Iedere compacte, totaal onsamenhangende Hausdorff ruimte is zwak nuldimensionaal. Bewijs: Zij U een open omgeving van een punt x. De samenhangscomponente K(x) is Q(x) omdat we in een compacte Hausdorff ruimte zitten. Dus is: {x} = V c (x) zodat y x V V c (x) : y V zodat {U} {X V V V c (x)} een open overdekking is, ze heeft dus een eindige deeloverdekking wegens de compactheid: {U} {X V i i I eindig } en dus is X U i I (X V i ). Door complementatie verkrijgt men i I V i U. Deze doorsnede is zelf clopen en dus kan men ieder open deel verkleinen tot een clopen deel, zodat de ruimte een basis heeft van clopen delen, aldus is ze zwak nuldimesionaal. Gevolg In een compacte Hausdorff ruimte geldt: totaal onsamenhangend zwak nuldimensionaal 33

36 Stelling Zij X, U een compacte Hausdorff ruimte dan: X, U is totaal onsamenhangend als en slechts als X, Ū Hausdorff is. Bewijs: In zo n ruimte is K(x) = K(x) = {x} zodat: = x X K(x) K(x) = V B V hetgeen equivalent is met het feit dat X, Ū Hausdorff is. Stelling X, U totaal onsamenhangend en compact Hausdorff τ Ū = τ U Bewijs: Met de vorige stelling weten we dat X, Ū Hausdorff is en bovendien grover dan U zodat τ Ū grover is dan τ U en dat τ Ū Hausdorff is en in een compacte topologie τ U zit. We besluiten dus dat beiden gelijk zijn. 5.5 Overzicht T op zw. 0-dim. niet samenh. Unif n.a.-unif. niet samenh. tot. onsamenh. T 1 tot. onsamenh. T 1 zw. 0-dim. en T 1 tot. onsamenh. n.a.-unif. en Hausdorff tot. onsamenh. n.a.-unif. en tot. onsamenh. Hausdorff Verder hebben we altijd: n.a.-uniformiseerbaar tot. onsamenh. in Unif zw. 0-dim. tot. onsamenh. in T op En in een compacte Hausdorff ruimte: n.a.-unif. zw. 0-dim. tot. onsamenh. in Unif tot. onsamenh. in T op 34

37 Hoofdstuk 6 Voorbeelden van niet-archimedische structuren 6.1 Inleiding Algemeen kennen we reeds volgende verbanden tussen niet-archimedische structuren: bad X = 0 ultrametr. n.a.-topo. n.a.-uniformiseerbaar st. 0-dim. en T 1 zw. 0-dim. totaal onsamenh. compact en Hausdorff Om een duidelijker beeld te vormen van hoe zulke structuren eruit kunnen zien worden er in dit hoofdstuk een aantal voorbeelden uitgewerkt, deze voorbeelden werden gehaald uit [4], [2] en [10]. 35

38 6.2 IFS Zij X, d een complete metrische ruimte, we maken de verzameling H(X) van niet-lege compacte delen van X. Voor x X en B H(X) stellen we d(x, A) = inf {d(x, y) y B}, de afstand tussen het niet-leeg compact B en het punt x. Verder definiëren we de Hausdorff-afstand tussen twee niet-lege compacte delen van X A, B H(X) door: h(a, B) = sup {d(x, B) B H(X), x A} Men kan tonen dat voor een complete metrische ruimte X, d de ruimte H(X), h ook een complete metrische ruimte is, zie bijvoorbeeld [2] of [4]. Een afbeelding op een metrische ruimte X, d: f : X X heet een contractie indien er een constante 0 s < 1 bestaat, die we de contractiefactor noemen, zodatvoor alle x, y X: d(f(x), f(y)) s d(x, y) We merken hier op dat een contractie een continue afbeelding is. algemeen geldt de Banach fixpuntstelling : In het Stelling Zij f : X X een contractie op een complete metrische ruimte X, d, dan heeft f precies een fixpunt x f X : f(x f ) = x f bovendien convergeert voor elke x X de rij (f n (x)) n N naar x f Hierbij is f 1 (x) = f(x), f n (x) = f(f (n 1) (x)). stelling verwijzen we naar [2]. Voor het bewijs van deze Zij X, d een complete metrische ruimte, we definiëren nu een IFS of geïtereerd functie systeem als een eindig aantal contracties: {f n : X X n = 1,..., N} met contractiefactoren s n (n = 1,..., N), de contractie factor van het IFS, is dan s = max {s n n = 0,..., N}. We krijgen dan volgende fixpuntstelling voor IFS: 36

39 Stelling Zij {f n : X X n = 1,..., N} een IFS met contractie factor s = max {s n n = 0,..., N} op de complete metrische ruimte X, d. De afbeelding: F : H(X) H(X) : B F (B) = N n=1f n (B) is dan een contractie met contractiefactor s op de complete metrische ruimte H(X), h. Voor het unieke fixpunt A H(X) geldt dan: voor een willekeurige D in H(X). A = F (A) = N n=1f n (A) = lim k F k (D) Het bewijs steunt op de Banach fixpuntstelling, voor meer details verwijzen we naar [2]. Beschouwen we nu een singleton {d} dan is dit een compact deel zodat: lim k F k ({d}) = A waar F ({d}) = N n=1f n (d), zodat een punt c uit F ({d}) van de vorm f a1 (d) is, voor een zekere a 1 {1,..., N}. Een punt van F 2 ({d}) = F (F ({d})) = N n=1f n (c) (waar c F ({d})) is dan van de vorm f a2 (c) = f a2 (f a1 (d)) = f a2 f a1 (d). Door deze redenering verder te zetten krijgen we dat een punt van F k ({d}) van de vorm f ak f a2 f a1 (d) is. Omdat A = lim k F k ({d}) kunnen we stellen dat een punt a van het fixpunt A van het IFS te beschrijven valt door: a = f an f a2 f a1 ({d}) a wordt dus bepaald door de rij (a n ) n in {1,..., N}. Indien we E = {1,, N}, stellen dan kunnen we (a n ) n beschouwen als een element van de stringruimte E N en indien het fixpunt geen overlappingen heeft, d.w.z. er zijn geen punten van het fixpunt die bereikt kunnen worden door op 2 verschillende manieren een rij iteraties te kiezen (dit houdt in dat de rij (a n ) n uniek is), dan zijn de punten van het fixpunt van het IFS de dus elementen van de geassocieerde stringruimte E N. Op deze ruimte gaan we nu een ultrametriek plaatsen: neem a, b twee strings in onze stringruimte, stel c = c 1 c 2 c 3 c k de langste gemeenschappelijke prefix (beginstring), merk op dat deze lang is enkel en alleen indien a = b omdat er geen overlappingen zijn, Dan stellen we d(a, b) = s c1 s c2 s ck 37

40 Dit is dan een ultrametriek, wegens de keuze van c: d(a, b) max {d(a, d), d(b, d)} voor een willekeurige d E N (zie [4]). We gaan nu een bekend voorbeeld hiervan een beetje meer uitdiepen. 6.3 De Cantorverzameling We beschouwen volgend IFS op de complete metrische ruimte X = [0, 1], d E (met d E de gewone euclidische metriek) : f 1 (x) = 1/3 x f 2 (x) = 1/3 x + 2/3 Het fixpunt is de Cantorverzameling C en ziet er ongeveer als volgt uit: Deze heeft duidelijk geen overlappingspunten. De stringruimte bevat twee letters en is dan {0, 1} N die we uitrusten met de ultrametriek: d(a, b) = (1/3) γ waar γ de lengte van de gemeenschappelijke prefix van a en b is. We kunnen de structuur van deze ultrametrische ruimte duidelijk zien wanneer we naar de bollen met stralen (1/3) n kijken, deze vormen telkens een partitie Φ n. Voor n = 0 is er slechts een bol, de volledige verzameling. Voor n = 1 wordt het fixpunt in een rechter en een linker gedeelte gesplitst en voor n = 2 krijgen we 4 bollen, enz.... zodat de partitie van de bollen voor n altijd de Cantorverzameling in 2 n klassen splitst. 38 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

41 We weten dat C Φ n waar we op elke Φ n de discrete topologie plaatsen, dit zijn dus dicrete 2 n -puntsruimten D 2 n zodat C D 1 D 2 D 4. De niet-archimedische uniformiteit wordt voortgebracht door de equivalentierelaties van de partities Φ n. C Omdat C hetzelfde is als {0, 1} N is deze dus zeker compact. We hebben dus te maken met een compacte ultrametrische ruimte, hieruit volgt dat zij tevens volgende eigenschappen bezit: metriseerbaar, uniformiseerbaar, niet-archimedisch (zowel topologisch als uniform), sterk nuldimensionaal, zwaknuldimensionaal, pseudometriseerbaar, A 1, A 2, lindelöf,t 4,Tychonoff, normaal, T 3, volledig regulier, regulier, Hausdorff,T 1,T 0,Baire, totaal onsamenhangend (zowel topologisch als uniform). C 39

42 6.4 De Fort ruimte De aftelbare (resp. overaftelbare) Fort ruimte wordt als volgt gemaakt: zij X een aftelbare (resp. overaftelbare) verzameling en p X een vast maar willekeurig gekozen punt, we plaatsen op X een topologie τ door te zeggen dat A X open is indien X A eindig is of p X A. 1. De Fort ruimte is Hausdorff. We bewijzen dit door 2 verschillende punten x, y te nemen en twee gevallen te onderscheiden: indien een van beide (bijv. x) gelijk is aan p, dan is {y} een open omgeving van y omdat p X {y} en dan is X {y} een open omgeving van x want X (X {y}) is eindig. We hebben dus disjuncte omgevingen gevonden. Indien echter beide punten verschillen van p dan nemen we als disjuncte omgevingen {x}, {y}, deze zijn open want p zit in het complement. 2. De Fort ruimte is compact: zij A een open overdekking, neem dan een open deel A A waarvoor p A, dan is wegens de openheid X A eindig, noem de punten x i,i = 1 n en kies voor elke i een A i A zodat x i A i, dan is {A} {A i i = 1 n} een eindige deel overdekking. 3. De Fort ruimte is totaal onsamenhangend (zowel topologisch als uniform). We merken eerst en vooral op dat dit een compacte Hausdorff ruimte is, zodat beide vormen van samenhang gelijk zijn, of nog: K(x) = Q(x) = V c (x). Zij nu x X en y x. We onderscheiden weer twee gevallen, als y p, dan is A = X {y} een open omgeving van x, want X A is eindig, die tevens gesloten is, omdat p A en die y niet bevat. Als y = p dan is A = {x} een open omgeving van x, omdat p X A, die ook gesloten is, want A is eindig, en die y niet bevat, zodat K(x) = Q(x) = V c (x) = {x}. De Fort ruimte is dus zowel topologisch als uniform totaal onsamenhangend. Met deze eigenschappen kunnen we ook zeggen dat de ruimte T 0, T 1, T 3, Tychonoff, T 4, volledig regulier, regulier, normaal, Baire, zwak nuldimensionaal, en niet-archimedisch uniformiseerbaar is. 40

43 6.5 Modified Fort ruimte Zij N een verzameling en x 1, x 2 twee verschillende punten, niet in N. De modified Fort ruimte is dan de verzameling X = N {x 1, x 2 } uitgerust met de topologie gegeven door de open delen A N en B X met x 1 of x 2 in B zodat er slechts een eindig aantal punten van N niet in B zitten. 1. Deze ruimte is compact, want voor elke open overdekking A bestaat er een A A zodat x 1 A en een een B A zodat x 2 B, deze A, B zijn open zodat er slechts een eindig aantal punten van N niet in A B zitten, voor elk van deze punten keizen we een open element van de overdekking die dit punt bevat. Tesamen met A, B vormen deze delen een eindige deeloverdekking van A, zodat de ruimte compact is. 2. Deze ruimte is wel T 1 maar niet Hausdorff. We bewijzen dat singletons gesloten zijn, zij dus x X. Indien x N dan is X {x} = N {x} {x 1, x 2 } en dit is open want enkel x zit niet in X {x}. Indien echterx N, bijvoorbeeld x = x 1 dan bevat X {x} zeker x 2 en omvat het volledig N zodat het open is. We hebben dus te maken met een T 1 ruimte. Het is echter geen Hausdorff ruimte want indien V 1, V 2 disjuncte open omgevingen zouden zijn van x 1, x 2, d.w.z. V 1 = {x 1 } A 1, V 2 = {x 2 } A 2 met A 1, A 2 N en A 1 A 2 = φ, dan is zeker N (A A 2 ) = (N A 1 ) (N A 2 ) = N. Omdat V 1, V 2 open zijn moeten dus N A 1, N A 2 eindig zijn, dus moet N eindig zijn, dit is tegenstrijdig met onze keuze voor N, zodat x 1, x 2 niet te scheiden vallen en dus is de ruimte zeker niet Hausdorff. 3. x N : Q(x) = {x}, Q(x 1 ) = {x 1, x 2 } = Q(x 2 ), toch is X topologisch totaal onsamenhangend: x X : K(x) = {x}. Merk op dat in een compacte Hausdorff ruimte K(x) = Q(x), maar dat we nu wel in een compacte ruimte bezig zijn, maar die niet Hausdorff is. Er bestaan geen clopen omgevingen van x 1 die x 2 niet bevatten: stel dat V = A {x 1 }, A N er toch zo eentje zou zijn, wegens de openheid zou dan N A eindig zijn, maar wegens de geslotenheid moet dan X V = {x 2 } (N A) open zijn zodat N (N A) = A eidig moet zijn. In dat geval zou N eindig zijn, hetgeen de contradictie geeft. We hebben zo: Q(x 1 ) {x 1, x 2 }. Verder bestaat voor 41

44 x N een clopen omgeving V = {x 1, x 2 } (N {x}) = X {x} die x niet bevat, ze is open wegens de T 1 eigenschap en gesloten omdat X V = {x} open is. We hebben dus dat x Q(x 1 ) en dus moet Q(x 1 ) = {x 1, x 2 }. Men vind analoog hetzelfde resultaat voor Q(x 2 ). Voor x N is {x} open als deel van N en gesloten als singleton van een T 1 ruimte, dus moet Q(x) = {x}. De topologisch totaal onsamenhangendheid bewijst men als volgt: er geldt altijd dat K(x) Q(x) zodat voor een x N automatisch k(x) = {x} en dat K(x 1 ) {x 1, x 2 }. We bewijzen dat dit laatste niet samenhangend is, dat het een disjuncte unie is van 2 niet lege clopen delen. {x 1 }, {x 2 } zijn gesloten wegens de T 1 eigenschap, verder is bijvoorbeeld {x 1 } open in de deelruimte {x 1, x 2 } van X, zodat in deze deelruimte {x 1 }, {x 2 } clopen zijn. {x 1, x 2 } is dus niet topologisch samenhangend, zodat K(x 1 ) = {x 1 }, hetzelfde geldt voor x 2. We hebben nergens gesproken over de uniforme samenhang, dit komt doordat de Hausdorff eigenschap niet voldaan is, de ruimte is dus niet T 3 en omdat we weten dat ze wel T 1 is kunnen we besluiten dat ze niet regulier is, ze is dus ook niet zwak nuldimensionaal, evenmin niet-archimedisch uniformiseerbaar, nog sterker: ze is niet volledig regulier en dus zelfs niet gewoon uniformiseerbaar, het is dus niet mogelijk om van uniforme samenhang te praten. 6.6 De postmetriek Zij X, d het gewone Euclidische vlak met de gewone metriek. We maken nu op X volgende metriek, de postmetriek :(p, q X) d (p, q) = d(0, p) + d(0, q), p q = 0, p = q 42

45 Y-as p q o X-as Dit is een metriek: d (p, q) = d(0, p)+d(0, q) d(0, p)+d(0, r)+d(0, q)+d(0, r) = d (p, r), d (q, r) (p, q, r X) maar geen ultrametriek want voor p = (10, 0), q = (0, 5), r = (1, 0) ten opzichte van het gewone cartesiaans assenstelsel, hebben we: en dus: d (p, q) = = 15, d (p, r) = = 11, d (q, r) = = 6 d (p, q) = 15 > max {d (p, r), d (q, r)} = max {11, 6} = 11 Toch hebben we dat X, d een zwak nuldimensionale ruimte is. Merk eerst op dat {x} open is als x 0 omdat {x} = B d (x, 1/2 d(0, x)), we hebben dan ook dat er onmogelijke een aftelbaar dicht deel kan bestaan en dat de ruimte dus niet separabel is. De bollen vormen een clopen basis omdat X B d (x, ɛ) = y X Bd (x,ɛ){y} open is (B d (0, ɛ) = B d (0, ɛ) is open), zodat een willekeurige bol ook gesloten is, de ruimte is dus zwak nuldimensionaal. We hebben dus een zwak nuldimensionale, metrische ruimte die niet separabel is en dus ook niet A 2, noch compact maar wel A 1, T 0, T 1, Hausdorff, T 3, Tychonoff, T 4, niet-archimedisch uniformiseerbaar, normaal, volledig regulier, regulier, totaal onsamenhangend. 43

46 Hoofdstuk 7 Reflecties in topologische categorieën 7.1 Inleiding Nu we wat meer weten over de niet-archimedische structuren, kunnen we ons afvragen op welke manier ze in de categorieën T op en Unif zitten. Daarvoor worden er eerst enkele begrippen uit de categorietheorie ingevoerd, om te komen tot de definities van reflecties, bireflecties en epireflecties, die centraal staan in dit hoofdstuk. Daarna gaan we verder met topologische categorieën en de reflecties in dit type categorie. Er zal getoond worden dat de zwak nuldimensionale en de niet-archimedische ruimten bireflectief zijn binnen T op en Unif. Dit zal ons een aantal structuurstellingen opleveren en het feit dat we voor elke andere ruimte telkens een modificatie kunnen maken om tot een van deze niet-archimedische structuren te komen. Deze modificatie zal grover zijn dan de oorspronkelijke structuur, maar toch fijn genoeg om de (uniforme) continuïteit van afbeeldingen naar een niet-archimedische structuur te karakteriseren. Op eenzelfde manier zal blijken dat de totaal onsamenhangende ruimten epireflectief zijn binnen T op en Unif, en dat de epireflectie van een willekeurige ruimte juist de componentruimte is. Voor de 44