Vorm en Betekenis. Jan van Eijck. Inleiding Taalkunde, Juni 2006

Transcriptie

1 Vorm en Betekenis Jan van Eijck Inleiding Taalkunde, Juni 2006

2 Vorm en Betekenis Jan van Eijck Inleiding Taalkunde, Juni 2006 Grammaticaregels hebben betrekking op vorm. Zijn er ook regels te geven voor betekenis? Hoe hangt vorm samen met betekenis? Wat betekent het om een zin te begrijpen?

3 Vorm en Betekenis Jan van Eijck Inleiding Taalkunde, Juni 2006 Grammaticaregels hebben betrekking op vorm. Zijn er ook regels te geven voor betekenis? Hoe hangt vorm samen met betekenis? Wat betekent het om een zin te begrijpen?

4 Betekenis van woorden Wat betekent de naam Jan-Peter Balkenende? Het Winkler Prins jaarboek 2002 (of 2003, of... ) geeft een omschrijving.

5 Betekenis van woorden Wat betekent de naam Jan-Peter Balkenende? Het Winkler Prins jaarboek 2002 (of 2003, of... ) geeft een omschrijving. Wat betekent het woord fiets? Woordenboek antwoord: rijwiel, of: tweewielig voertuig dat met pedaalkracht wordt voortbewogen. Voorbeeld antwoord: een ding zoals... Encyclopedie antwoord: informatie over wanneer fietsen zijn uitgevonden, wat de belangrijkste onderdelen zijn, hoe de derailleur werkt, enzovoorts.

6 Wat betekent het woord oud? Woordenboek antwoord: van gevorderde leeftijd. Voorbeeld antwoord: een oude fiets is een fiets die langer dan (zeg) tien jaar gelden is gemaakt, een oude man is een man die zijn zeventigste verjaardag achter de rug heeft, een oude kater is een kater die zijn vijftiende verjaardag achter de rug heeft, een oude ster is een ster die zijn 10 miljardste verjaardag achter de rug heeft,...

7 Wat betekent het woord oud? Woordenboek antwoord: van gevorderde leeftijd. Voorbeeld antwoord: een oude fiets is een fiets die langer dan (zeg) tien jaar gelden is gemaakt, een oude man is een man die zijn zeventigste verjaardag achter de rug heeft, een oude kater is een kater die zijn vijftiende verjaardag achter de rug heeft, een oude ster is een ster die zijn 10 miljardste verjaardag achter de rug heeft,... Aan de voorbeeld antwoorden zie je dat de betekenis van oud varieert met het naamwoord waarmee je dit bijvoeglijk naamwoord combineert. Wellicht varieert de betekenis van oud trouwens ook wel met de leeftijd van de taalgebruiker: een oude man (of oude vrouw) is iemand die minstens X jaar ouder is dan ikzelf...

8 Wat betekent het woord of? Voorbeeld antwoord: Jan rijdt op een fiets of Jan rijdt in een auto is waar als een van de twee deelzinnen waar is. Jan of Piet rijdt op een fiets is waar als een van de twee zinnen Jan rijdt op een fiets, Piet rijdt op een fiets waar is.

9 Wat betekent het woord of? Voorbeeld antwoord: Jan rijdt op een fiets of Jan rijdt in een auto is waar als een van de twee deelzinnen waar is. Jan of Piet rijdt op een fiets is waar als een van de twee zinnen Jan rijdt op een fiets, Piet rijdt op een fiets waar is. Dit antwoord roept een vervolgvraag op: wat bedoelen we met waar zijn?

10 Filosofen hebben hiervoor een slogan: waarheid is overeenstemming met de werkelijkheid.

11 Filosofen hebben hiervoor een slogan: waarheid is overeenstemming met de werkelijkheid. Dus: Jan-Peter Balkenende is in 2006 premier van Nederland is waar, want het is inderdaad in 2006 het geval dat de man die JPB wordt genoemd die functie bekleedt.

12 Filosofen hebben hiervoor een slogan: waarheid is overeenstemming met de werkelijkheid. Dus: Jan-Peter Balkenende is in 2006 premier van Nederland is waar, want het is inderdaad in 2006 het geval dat de man die JPB wordt genoemd die functie bekleedt. Deze uitleg veronderstelt een onderscheid tussen: namen en de dingen die door die namen benoemd worden, substantieven en eigenschappen van dingen waar die substantieven op slaan, adjectieven en eigenschappen van eigenschappen, werkwoorden en relaties tussen dingen, enzovoort, enzovoort

13 Wat betekent het woord alle? Voorbeeld antwoord: Alle Utrechtse studenten rijden op een fiets is waar als S rijdt op een fiets waar is voor elke naam S die een student benoemt.

14 Wat betekent het woord alle? Voorbeeld antwoord: Alle Utrechtse studenten rijden op een fiets is waar als S rijdt op een fiets waar is voor elke naam S die een student benoemt. Wat betekent het woord minstens drie? Minstens drie ex-ahold-bestuurders hebben boter op hun hoofd is waar als er een groep ex-ahold-bestuurders te vinden is waar de boter van afdruipt, en die groep heeft drie of meer leden.

15 Wat betekent het woord alle? Voorbeeld antwoord: Alle Utrechtse studenten rijden op een fiets is waar als S rijdt op een fiets waar is voor elke naam S die een student benoemt. Wat betekent het woord minstens drie? Minstens drie ex-ahold-bestuurders hebben boter op hun hoofd is waar als er een groep ex-ahold-bestuurders te vinden is waar de boter van afdruipt, en die groep heeft drie of meer leden. Deze uitleg van de betekenis van alle en minstens drie lijkt circulair: in de uitleg is sprake van elke naam of drie of meer leden. Deze circulariteit is schijn. We leggen immers uit hoe je kunt controleren of een zin met minstens drie waar is, en dat je daarvoor moet kunnen tellen is nogal wiedes.

16 Betekenis van zinnen Het compositionaliteitsprincipe van Gottlob Frege (eind 19e eeuw): De betekenis van een zin wordt bepaald door de betekenissen van de samenstellende delen plus de wijze waarop die delen met elkaar worden gecombineerd.

17 Betekenis van zinnen Het compositionaliteitsprincipe van Gottlob Frege (eind 19e eeuw): De betekenis van een zin wordt bepaald door de betekenissen van de samenstellende delen plus de wijze waarop die delen met elkaar worden gecombineerd. Context van interpretatie speelt ook een rol: als ik zeg Balkenende is onze premier dan is dat waar, als Filip de Winter het zegt is het niet waar, want ik ben een Nederlander, en Filip is dat niet.

18 Betekenis van zinnen Het compositionaliteitsprincipe van Gottlob Frege (eind 19e eeuw): De betekenis van een zin wordt bepaald door de betekenissen van de samenstellende delen plus de wijze waarop die delen met elkaar worden gecombineerd. Context van interpretatie speelt ook een rol: als ik zeg Balkenende is onze premier dan is dat waar, als Filip de Winter het zegt is het niet waar, want ik ben een Nederlander, en Filip is dat niet. Wat je zou willen is een manier om uit de syntactische analyse van een zin de betekenis van die zin af te leiden, als volgt: Elk woord van de zin krijgt eerst een betekenis. Vervolgens wordt van elke grammaticaregel die in de constructie van de zin gebruikt is uitgelegd hoe die regel betekenissen van de delen samenvoegt tot een betekenis van het geheel.

19 Inhoudswoorden en vorm-woorden Inhoudswoorden zijn woorden waarvan je de betekenis in een encyclopedie kunt opzoeken. Vormwoorden zijn woorden die als bindmiddel fungeren tussen de inhoudswoorden in een zin.

20 Vorm-woorden: Connectieven niet Als je weet wat Jan snurkt betekent, weet je ook wat Jan snurkt niet betekent. en Als je weet wat Jan gaapt betekent en je weet wat Jan snurkt betekent, dan weet je ook wat Jan gaapt en Jan snurkt betekent. of Idem voor Jan gaapt of Jan snurkt. als... dan... En net zo voor als Jan slaapt dan snurkt Jan.

21 Vorm-woorden: Kwantoren Kwantoren zijn woorden zoals alle, sommige, geen, niet alle en minstens drie.

22 Vorm-woorden: Kwantoren Kwantoren zijn woorden zoals alle, sommige, geen, niet alle en minstens drie. Aristoteles (vijfde eeuw voor Christus) bestudeerde redeneerpatronen waarin kwantoren een rol spelen. Voorbeeld (het geldige syllogisme BARBARA): Alle A zijn B Alle B zijn C Alle A zijn C

23 Vorm-woorden: Kwantoren Kwantoren zijn woorden zoals alle, sommige, geen, niet alle en minstens drie. Aristoteles (vijfde eeuw voor Christus) bestudeerde redeneerpatronen waarin kwantoren een rol spelen. Voorbeeld (het geldige syllogisme BARBARA): Alle A zijn B Alle B zijn C Alle A zijn C Is de redenering nog steeds geldig als je elk voorkomen van alle vervangt door sommige?

24 Vorm-woorden: Kwantoren Kwantoren zijn woorden zoals alle, sommige, geen, niet alle en minstens drie. Aristoteles (vijfde eeuw voor Christus) bestudeerde redeneerpatronen waarin kwantoren een rol spelen. Voorbeeld (het geldige syllogisme BARBARA): Alle A zijn B Alle B zijn C Alle A zijn C Is de redenering nog steeds geldig als je elk voorkomen van alle vervangt door sommige? En als je elk voorkomen van alle vervangt door minstens drie?

25 Vorm-woorden: Kwantoren Kwantoren zijn woorden zoals alle, sommige, geen, niet alle en minstens drie. Aristoteles (vijfde eeuw voor Christus) bestudeerde redeneerpatronen waarin kwantoren een rol spelen. Voorbeeld (het geldige syllogisme BARBARA): Alle A zijn B Alle B zijn C Alle A zijn C Is de redenering nog steeds geldig als je elk voorkomen van alle vervangt door sommige? En als je elk voorkomen van alle vervangt door minstens drie? En als je elk voorkomen van alle vervangt door geen?

26 En hoe zit het met de geldigheid van: Alle A zijn B Geen B zijn C Geen A zijn C

27 En hoe zit het met de geldigheid van: Alle A zijn B Geen B zijn C Geen A zijn C Duidelijk is dat de patronen die geldig zijn geldig zijn op grond van de betekenis van de kwantoren en de vorm van de patronen.

28 En hoe zit het met de geldigheid van: Alle A zijn B Geen B zijn C Geen A zijn C Duidelijk is dat de patronen die geldig zijn geldig zijn op grond van de betekenis van de kwantoren en de vorm van de patronen. Hoe laat je zien dat een patroon niet geldig is? Door een tegenvoorbeeld te geven: een invulling van de As, Bs en Cs waarvoor de premissen waar zijn maar de conclusie niet.

29 Aristoteles syllogismen-leer is een van de eerste theorieën over de vorm van geldige redeneerstappen.

30 Aristoteles syllogismen-leer is een van de eerste theorieën over de vorm van geldige redeneerstappen. Aristoteles theorie zegt echter niets over redeneren met zinnen waar meerdere kwantoren in voorkomen. Het volgende patroon is geldig, maar kan niet als een syllogisme worden geanalyseerd: Er is een A die door elke B wordt ge-r-d Elke B R-t een A.

31 Aristoteles syllogismen-leer is een van de eerste theorieën over de vorm van geldige redeneerstappen. Aristoteles theorie zegt echter niets over redeneren met zinnen waar meerdere kwantoren in voorkomen. Het volgende patroon is geldig, maar kan niet als een syllogisme worden geanalyseerd: Er is een A die door elke B wordt ge-r-d Elke B R-t een A. Bij voorbeeld: Er is een ex-ahold-bestuurder die door elke aandeelhouder wordt veracht. Elke aandeelhouder veracht een ex-ahold-bestuurder.

32 Om dit soort patronen te kunnen uitdrukken moeten we weten hoe we de betekenis kunnen weergeven van samengestelde eigenschappen zoals door elke aandeelhouder veracht worden. Dat kan met behulp van abstractie over een eigennaam, bij voorbeeld Cees van der Hoeven.

33 Om dit soort patronen te kunnen uitdrukken moeten we weten hoe we de betekenis kunnen weergeven van samengestelde eigenschappen zoals door elke aandeelhouder veracht worden. Dat kan met behulp van abstractie over een eigennaam, bij voorbeeld Cees van der Hoeven. Uit Elke aandeelhouder veracht Cees van der Hoeven geeft dit λx.elke aandeelhouder veracht x voor door elke aandeelhouder veracht worden.

34 Om dit soort patronen te kunnen uitdrukken moeten we weten hoe we de betekenis kunnen weergeven van samengestelde eigenschappen zoals door elke aandeelhouder veracht worden. Dat kan met behulp van abstractie over een eigennaam, bij voorbeeld Cees van der Hoeven. Uit Elke aandeelhouder veracht Cees van der Hoeven geeft dit λx.elke aandeelhouder veracht x voor door elke aandeelhouder veracht worden. Het patroon wordt nu: sommige A (λx. elke B (λy.yrx)) elke B (λy. sommige A (λx.yrx)) In de predikatenlogica (die we te danken hebben aan Gottlob Frege, eind Negentiende eeuw) is dit patroon geldig.

35 Kwantoren als relaties tussen verzamelingen Een kwantor formule zegt in feite iets over de manier waarop twee verzamelingen zich tot elkaar verhouden. Bij de Aristoteles voorbeelden zijn dat de verzamelingen A en B. Heel algemeen zeggen we nu: een kwantor is een relatie tussen verzamelingen. In het geval van de universele kwantor is het de relatie bevat zijn in. Immers: Alle A zijn B is waar precies wanneer A B. In het geval van de existentiële kwantor is het de relatie een niet-lege doorsnede hebben met. Ga maar na: Minstens één A is B is waar precies wanneer A B.

36 Gegeven dit perspectief ligt het nu voor de hand om ook andere relaties op de machtsverzameling van D te beschouwen dan alleen deze twee. Er blijkt dan meteen dat we nu ook niet-standaard kwantificatie kunnen behandelen, zoals in minstens twee A zijn B en minstens de helft van de A zijn B. Hiertoe maken we gebruik van de notatie A voor het aantal elementen dat A bevat. De interpretatie van minstens twee wordt nu (gegeven domein D): { A, B A D en B D en A B 2}. Minstens de helft wordt geïnterpreteerd als de volgende relatie op de machtsverzameling van het individuendomein D: { A, B A D en B D en A B A B }.

37 Gegeven dit perspectief ligt het nu voor de hand om ook andere relaties op de machtsverzameling van D te beschouwen dan alleen deze twee. Er blijkt dan meteen dat we nu ook niet-standaard kwantificatie kunnen behandelen, zoals in minstens twee A zijn B en minstens de helft van de A zijn B. Hiertoe maken we gebruik van de notatie A voor het aantal elementen dat A bevat. De interpretatie van minstens twee wordt nu (gegeven domein D): { A, B A D en B D en A B 2}. Minstens de helft wordt geïnterpreteerd als de volgende relatie op de machtsverzameling van het individuendomein D: { A, B A D en B D en A B A B }. Welke relatie op P(D) kan nu dienen als de interpretatie van hoogstens vijf?

38 Gegeven dit perspectief ligt het nu voor de hand om ook andere relaties op de machtsverzameling van D te beschouwen dan alleen deze twee. Er blijkt dan meteen dat we nu ook niet-standaard kwantificatie kunnen behandelen, zoals in minstens twee A zijn B en minstens de helft van de A zijn B. Hiertoe maken we gebruik van de notatie A voor het aantal elementen dat A bevat. De interpretatie van minstens twee wordt nu (gegeven domein D): { A, B A D en B D en A B 2}. Minstens de helft wordt geïnterpreteerd als de volgende relatie op de machtsverzameling van het individuendomein D: { A, B A D en B D en A B A B }. Welke relatie op P(D) kan nu dienen als de interpretatie van hoogstens vijf? Welke relatie op P(D) kan dienen als interpretatie van geen?

39 Gegeven dit perspectief ligt het nu voor de hand om ook andere relaties op de machtsverzameling van D te beschouwen dan alleen deze twee. Er blijkt dan meteen dat we nu ook niet-standaard kwantificatie kunnen behandelen, zoals in minstens twee A zijn B en minstens de helft van de A zijn B. Hiertoe maken we gebruik van de notatie A voor het aantal elementen dat A bevat. De interpretatie van minstens twee wordt nu (gegeven domein D): { A, B A D en B D en A B 2}. Minstens de helft wordt geïnterpreteerd als de volgende relatie op de machtsverzameling van het individuendomein D: { A, B A D en B D en A B A B }. Welke relatie op P(D) kan nu dienen als de interpretatie van hoogstens vijf? Welke relatie op P(D) kan dienen als interpretatie van geen? Welke relatie op P(D) kan dienen als interpretatie van niet alle?

40 Aan de opdrachten is te zien dat deze theorie ons de middelen in handen geeft om heel algemeen de interpretatie van de lidwoordgroep in nominale constituenten ter hand te nemen. Dankzij het gegeneraliseerde kwantoren-perspectief is het blikveld niet langer beperkt tot existentiële en universele kwantificatie, maar komen ook andere kwantoren aan bod. Een lidwoord-groep als geen, minstens twee, niet alle, precies drie, hoogstens vier wordt wel een determinator genoemd (Engels: determiner); diezelfde term is trouwens ook in gebruik voor de relatie op P(D) die dient als interpretatie voor zo n lidwoordgroep. Een kwantificerende determinator wordt een kwantor genoemd.

41 Is het nu zo dat elke relatie op P(D) de interpretatie is van een kwantor? Dat ligt er natuurlijk maar aan wat we willen verstaan onder een kwantor, maar het ligt voor de hand om een paar beperkingen op te leggen. Daartoe zullen we een tweetal eigenschappen van determinatoren (determinator-interpretaties) gaan isoleren.

42 Is het nu zo dat elke relatie op P(D) de interpretatie is van een kwantor? Dat ligt er natuurlijk maar aan wat we willen verstaan onder een kwantor, maar het ligt voor de hand om een paar beperkingen op te leggen. Daartoe zullen we een tweetal eigenschappen van determinatoren (determinator-interpretaties) gaan isoleren. In de eerste plaats willen we de intuïtie uitdrukken dat zinnen als Alle jongens wandelen, Minstens twee jongens hollen, Hoogstens drie jongens praten betrekking hebben op de verzameling jongens in het discussiedomein. Alleen het gedrag van de jongens in het domein maakt iets uit voor de waarheidswaarde van deze zinnen. Of de andere individuen in het domein wandelen, lopen of praten doet er niet toe.

43 Is het nu zo dat elke relatie op P(D) de interpretatie is van een kwantor? Dat ligt er natuurlijk maar aan wat we willen verstaan onder een kwantor, maar het ligt voor de hand om een paar beperkingen op te leggen. Daartoe zullen we een tweetal eigenschappen van determinatoren (determinator-interpretaties) gaan isoleren. In de eerste plaats willen we de intuïtie uitdrukken dat zinnen als Alle jongens wandelen, Minstens twee jongens hollen, Hoogstens drie jongens praten betrekking hebben op de verzameling jongens in het discussiedomein. Alleen het gedrag van de jongens in het domein maakt iets uit voor de waarheidswaarde van deze zinnen. Of de andere individuen in het domein wandelen, lopen of praten doet er niet toe. We hoeven dus, om te kijken of deze zinnen waar zijn, niet alle wandelaars, hardlopers of praters te onderzoeken, maar alleen de wandelende jongens, de hollende jongens, of de pratende jongens. Nog anders gezegd: de volgende parafrases veranderen de betekenis van de bovenstaande zinnen niet: Alle jongens zijn wandelende jongens; Minstens twee jongens zijn hollende jongens; Hoogstens drie jongens zijn pratende jongens.

44 Is het nu zo dat elke relatie op P(D) de interpretatie is van een kwantor? Dat ligt er natuurlijk maar aan wat we willen verstaan onder een kwantor, maar het ligt voor de hand om een paar beperkingen op te leggen. Daartoe zullen we een tweetal eigenschappen van determinatoren (determinator-interpretaties) gaan isoleren. In de eerste plaats willen we de intuïtie uitdrukken dat zinnen als Alle jongens wandelen, Minstens twee jongens hollen, Hoogstens drie jongens praten betrekking hebben op de verzameling jongens in het discussiedomein. Alleen het gedrag van de jongens in het domein maakt iets uit voor de waarheidswaarde van deze zinnen. Of de andere individuen in het domein wandelen, lopen of praten doet er niet toe. We hoeven dus, om te kijken of deze zinnen waar zijn, niet alle wandelaars, hardlopers of praters te onderzoeken, maar alleen de wandelende jongens, de hollende jongens, of de pratende jongens. Nog anders gezegd: de volgende parafrases veranderen de betekenis van de bovenstaande zinnen niet: Alle jongens zijn wandelende jongens; Minstens twee jongens zijn hollende jongens; Hoogstens drie jongens zijn pratende jongens. Het is de verzameling jongens die bepalend is voor de vraag of de kwantorrelatie al dan niet geldt.

45 Algemeen kunnen we dus zeggen: Als een kwantor-relatie op de machtsverzameling van het domein D geldt tussen een verzameling A en een verzameling B, dan geldt die relatie ook op de machtsverzameling van het subdomein A tussen A en de doorsnede van A en B, en vice versa. Deze eigenschap noemen we de conservativiteitseigenschap van de relatie. We gebruiken R D voor een tweeplaatsige relatie op P(D). We kunnen als volgt uitdrukken dat R D conservatief is: Definitie 1 Conservativiteit van R D Voor alle A, B D: R D AB desda R A A(A B).

46 Om te zien wat conservativiteit precies uitdrukt maken we een plaatje van een domein D, met twee verzamelingen A en B. A B D Stel dat een kwantor-relatie op P(D) geldt tussen A en B. Dan zegt conservativiteit dat die relatie ook geldt tussen A en A B, als we het domein van de kwantor-relatie beperken tot P(A), en vice versa.

47 Dit betekent dat we het bovenstaande plaatje zonder bezwaar mogen vervangen door het volgende plaatje: A B Denk bij voorbeeld bij A aan de verzameling jongens, bij B aan de verzameling praters. Dan is A B de verzameling pratende jongens. Buiten de verzameling jongens, het eerste argument van de relatie, hoeven we niet te kijken. We zeggen dat een kwantor-relatie teert op zijn eerste argument. In het bovenstaande voorbeeld: de verzameling A (de verzameling jongens). De conservativiteits-eigenschap wordt ook wel de teren-op eigenschap (Engels: the live-on property) genoemd.

48 Uit de conservativiteits-eigenschap volgt meteen dat we de index D van een kwantor-relatie R D gerust mogen weglaten. Voor de interpretatie doet het gedeelte van het domein dat ligt buiten de verzameling waarop de kwantor-relatie teert er immers niet toe.

49 Uit de conservativiteits-eigenschap volgt meteen dat we de index D van een kwantor-relatie R D gerust mogen weglaten. Voor de interpretatie doet het gedeelte van het domein dat ligt buiten de verzameling waarop de kwantor-relatie teert er immers niet toe. Een voor de hand liggende tweede eis die we aan kwantor-relaties kunnen stellen is dat ze inderdaad iets te maken hebben met kwantiteit. De conservativiteits-eis zegt ons dat het antwoord op de vraag of R geldt tussen A en B alleen mag afhangen van de verzamelingen A en A B. De kwantiteits-eis voegt daar nog iets aan toe: het gaat niet om deze verzamelingen zonder meer, maar alleen om de aantallen elementen die ze bevatten. Alle jongens wandelen is waar precies wanneer het aantal jongens dat niet wandelt 0 is; Hoogstens drie jongens praten is waar wanneer het aantal jongens dat praat 3 is, enzovoorts.

50 De kwantiteits-eis op kwantor-relaties wordt nu: Als de kwantor-relatie R geldt tussen twee verzamelingen A en B, en we hebben twee andere verzamelingen C en D waarvan we weten dat C evenveel elementen heeft als A, en de doorsnede van C en D evenveel elementen als de doorsnede van A en B, dan weten we dat de kwantorrelatie ook moet gelden tussen C en D. Je kunt dit zelf controleren aan de hand van concrete voorbeelden als Alle jongens wandelen, Minstens twee jongens hollen, Hoogstens drie jongens praten, De helft van de jongens voetbalt.

51 Iets formeler kunnen we de kwantiteits-eigenschap als volgt formuleren: Definitie 2 Kwantiteits-eigenschap van R Voor alle X, Y, Z, U: als R(X, Y ) en X = Z en X Y = Z U, dan R(Z, U). Wanneer we nu weer een plaatje gaan tekenen van twee verzamelingen A en B waartussen een kwantor-relatie geldt, dan zien we dat we ons kunnen beperken tot het aangeven van twee kardinaalgetallen, (wanneer we ons beperken tot eindige domeinen: twee natuurlijke getallen). Het eerste getal geeft het aantal elementen in A B aan, het tweede getal het aantal elementen in A B:

52 A # B # De twee #-tekens in het plaatje geven de getallen A B en A B aan. We hadden natuurlijk ook de twee getallen A en A B kunnen nemen: als we A hebben weten we ook A B en omgekeerd, vanwege de betrekking A B = A A B (we gaan er nu even van uit dat de verzamelingen A en B eindig zijn).

53 Aangenomen dat kwantor-relaties voldoen aan conservativiteit en kwantiteit kunnen we elke kwantor-relatie karakteriseren als een patroon van plaatsen in een oneindige getallen-piramide. Ook wanneer we ons beperken tot eindige domeinen is de getallen-piramide oneindig: er is immers geen bovengrens aan de grootte van onze domeinen.

54 Hier volgt het recept voor het construeren van de getallen-piramides. Elke laag van de piramide behandelt de verdeling van A B en A B, voor een bepaald aantal A. De top van de piramide bestaat uit het ene getallenpaar 0, 0, want als er 0 A s zijn is dit de enig mogelijke verdeling. De top vormde de eerste laag. De tweede laag behandelt het geval waar er 1 A is; zij bestaat uit de getallenparen 1, 0 ( er is 1 ding dat A is maar niet B, en er zijn geen dingen die zowel A als B zijn ) en 0, 1 ( er zijn geen dingen die alleen A zijn maar niet B, en er is 1 ding dat zowel A als B is ).

55 Hier volgt het recept voor het construeren van de getallen-piramides. Elke laag van de piramide behandelt de verdeling van A B en A B, voor een bepaald aantal A. De top van de piramide bestaat uit het ene getallenpaar 0, 0, want als er 0 A s zijn is dit de enig mogelijke verdeling. De top vormde de eerste laag. De tweede laag behandelt het geval waar er 1 A is; zij bestaat uit de getallenparen 1, 0 ( er is 1 ding dat A is maar niet B, en er zijn geen dingen die zowel A als B zijn ) en 0, 1 ( er zijn geen dingen die alleen A zijn maar niet B, en er is 1 ding dat zowel A als B is ). Net zo voor de volgende lagen.

56 Hier volgt het recept voor het construeren van de getallen-piramides. Elke laag van de piramide behandelt de verdeling van A B en A B, voor een bepaald aantal A. De top van de piramide bestaat uit het ene getallenpaar 0, 0, want als er 0 A s zijn is dit de enig mogelijke verdeling. De top vormde de eerste laag. De tweede laag behandelt het geval waar er 1 A is; zij bestaat uit de getallenparen 1, 0 ( er is 1 ding dat A is maar niet B, en er zijn geen dingen die zowel A als B zijn ) en 0, 1 ( er zijn geen dingen die alleen A zijn maar niet B, en er is 1 ding dat zowel A als B is ). Net zo voor de volgende lagen. De hele piramide ziet er dus zo uit: A = 0 0, 0 A = 1 1, 0 0, 1 A = 2 2, 0 1, 1 0, 2 A = 3 3, 0 2, 1 1, 2 0, 3 A = 4 4, 0 3, 1 2, 2 1, 3 0, 4 A = 5 5, 0 4, 1 3, 2 2, 3 1, 4 0, 5..

57 Heel fraai is, dat we nu kwantor-relaties kunnen karakteriseren met behulp van een patroon van + en dat ze in deze piramide teweeg brengen: een + verschijnt op de plaatsen van de getallenparen die de aantallen A B en A B aangeven van de verzamelingen A en B waarvoor de kwantor-relatie geldt, een op alle andere plaatsen.

58 Heel fraai is, dat we nu kwantor-relaties kunnen karakteriseren met behulp van een patroon van + en dat ze in deze piramide teweeg brengen: een + verschijnt op de plaatsen van de getallenparen die de aantallen A B en A B aangeven van de verzamelingen A en B waarvoor de kwantor-relatie geldt, een op alle andere plaatsen. Het volgende voorbeeld maakt dit hopelijk duidelijk. Alle A zijn B is immers waar als A B (eigenlijk: als I(A) I(B), maar hierover doen we even niet moeilijk). Maar A B is precies het geval als A B =, en dit is weer equivalent met A B = 0. alle A zijn B

59 1. Geef het piramide-patroon voor geen. 2. Geef het piramide-patroon voor niet alle. 3. Geef het piramide-patroon voor minstens één. 4. Hoe verhouden deze piramide-patronen zich tot elkaar en tot het patroon voor alle?

60 Hier is het piramide-patroon voor minstens drie: minstens drie A zijn B

61 1. Geef het piramide-patroon voor hoogstens drie. 2. Hoe verhoudt dit patroon zich tot dat van minstens drie? 3. Geef ook het piramide patroon voor precies drie? 4. Hoe verhoudt dit patroon zich tot die van hoogstens drie en minstens drie? 5. Verklaar het gevonden verband.

62 1. Geef het piramide-patroon voor hoogstens drie. 2. Hoe verhoudt dit patroon zich tot dat van minstens drie? 3. Geef ook het piramide patroon voor precies drie? 4. Hoe verhoudt dit patroon zich tot die van hoogstens drie en minstens drie? 5. Verklaar het gevonden verband. 1. Geef het piramide-patroon voor minstens twee en hoogstens vijf. 2. Geef het piramide-patroon voor precies twee of minstens vier. 3. Geef het piramide-patroon voor precies twee of precies vijf. 4. Tenslotte dat voor minstens de helft.

63 Taalkundig belang Om het taalkundige belang van gegeneraliseerde kwantorentheorie te illustreren definiëren we een nieuwe eigenschap van kwantoren. Definitie 3 Opwaartse monotonie rechts van een kwantor Voor alle X, Y, Y : als QXY en Y Y dan QXY. Er bestaat een tegenhanger voor opwaartse monotonie: Definitie 4 Neerwaartse monotonie rechts van een kwantor Voor alle X, Y, Y : als QXY en Y Y dan QXY.

64 Voorbeelden van kwantoren die opwaarts monotoon zijn (of kortweg stijgend) in hun rechterargument zijn alle en minstens één. Dat dit zo is blijkt uit het feit dat de volgende redeneringen geldig zijn: Alle jongens zijn aardig. Alle jongens zijn aardig of verlegen. Minstens één meisje is aardig. Minstens één meisje is mooi of aardig.

65 Voorbeelden van kwantoren die opwaarts monotoon zijn (of kortweg stijgend) in hun rechterargument zijn alle en minstens één. Dat dit zo is blijkt uit het feit dat de volgende redeneringen geldig zijn: Alle jongens zijn aardig. Alle jongens zijn aardig of verlegen. Minstens één meisje is aardig. Minstens één meisje is mooi of aardig. Voorbeelden van kwantoren die neerwaarts monotoon zijn (of kortweg dalend) in hun rechterargument zijn geen en weinig. Opdracht 1 Geef voorbeelden waaruit dit blijkt.

66 De monotonie eigenschappen van kwantoren zijn zeer nuttig voor het beschrijven van zogenaamde polariteitsverschijnselen in natuurlijke taal. Het Nederlandse werkwoord hoeven is een voorbeeld van een werkwoord dat alleen kan worden gebruikt in een negatieve context. In taalkundig jargon: het is een woord met negatieve polariteit. Beschouw nu de volgende voorbeelden: Hoogstens honderd strijders hoeven de wacht te houden. (1) *Minstens honderd strijders hoeven de wacht te houden. (2) Ga na dat de kwantor hoogstens honderd neerwaarts monotoon is in zijn rechterargument. De kwantor minstens honderd is dat niet. De nominale constituenten die bij combinatie met een verbale constituent een woord met negatieve polariteit in die verbale constituent toelaten blijken precies de kwantoren te zijn die neerwaarts monotoon zijn in hun tweede argument. Het begrip neerwaartse monotonie levert een bruikbare precisering op van het veel vagere begrip negatieve context.

67 Opdracht 2 Beschouw de volgende voorbeelden: Alle mannen waren allerminst tevreden. Precies vijf mannen waren allerminst tevreden. *Niemand was allerminst tevreden. Het Nederlandse woord allerminst is een woord met positieve polariteit. Formuleer in termen van monotonie een principe waaraan het gebruik van dit woord moet voldoen.

68 Opdracht 3 Formuleer twee monotonie principes voor het linkerargument van een kwantor. Beschouw nu de volgende kwantoren: 1. alle 2. niet alle 3. minstens een 4. hoogstens honderd 5. precies vijf 6. geen. Ga na wat hun monotonie-eigenschappen zijn in het linkerargument.

69 Kwantoren, Automaten en Reguliere Patronen Een automaat voor de kwantor alle is een machine die een rijtje nullen en enen accepteert precies wannneer dat rijtje alleen uit enen bestaat. Opdracht 4 Geef zo n automaat, plus het bijbehorende reguliere patroon (in egrep notatie). Een automaat voor de kwantor minstens drie is een machine die een rijtje nullen en enen accepteert precies wannneer dat rijtje minstens drie enen bevat. Opdracht 5 Geef zo n automaat, plus het bijbehorende reguliere patroon (in egrep notatie). Opdracht 6 Geef een automaat voor de kwantor precies vijf, plus het bijbehorende reguliere patroon (in egrep notatie).