Ingrijpweg M 1. r b1. r 1 F 1 F 2 M 2. r b2. Figuur 1.

Transcriptie

1 Ingrijpweg De ingrijpweg bij evolvente vertanding. Voor een evolvente vertanding liggen alle contactpunten tussen de samenwerkende tandflanken van twee tandwielen op de raaklijn tussen de twee basiscirkels. De raakpunten aan deze basiscirkels zijn aangeduid met F 1 en F 2, zie figuur 1. Deze raaklijn snijdt de verbindingslijn tussen de asmiddelpunten M 1 en M 2 in punt O, de pool van de beweging. Dit is een vast punt: de evolvente vertanding voldoet dus aan de vertandingsregel. Contacpunten tussen twee evolvente tandflanken zijn alleen mogelijk op het lijnstuk F 1 F 2 van de raaklijn aan de basiscirkels. De gehele raaklijn wordt ook wel aangeduid als ingrijplijn. Punten op de ingrijplijn gelegen buiten het lijnstuk F 1 F 2 zijn geen evolvente contactpunten omdat hier maar slechts één evolvente bestaat. De maximale evolvente ingrijplijn is gelijk aan de lengte van het lijnstuk F 1 F 2 en is gelijk aan (r 1 + r 2 ) sin (α) (met de stralen van de steekcirkels r 1 en r 2 en de drukhoek α). M 1 r b1 α F 1 r 1 O F 2 r 2 α r b2 M 2 Figuur 1. De werkelijke ingrijplengte is afhankelijk van het aantal tanden (of indirect: de waarde van de modulus m) van de tandwielen. In figuur 2 worden twee verschillende contactsituaties voor één tandflank weergegeven. Het betreft hier steeds de linkertandflank van één en dezelfde tand. Het tandwiel roteert rechtsom om asmiddelpunt M.

2 F 1 I kopcirkel kopcirkel C A C' O D II steekcirkel A' b B b B D' basiscirkel A b B' b F 2 ϕ r r b M Figuur 2. Situatie I correspondeert met het eerste kontact van deze flank. De top, punt A, gelegen op het snijpunt van de kopcirkel en de evolvente van de flank, raakt net de voet van een samenwerkende tandflank op het boven gelegen tandwiel (tandflank grijs weergegeven). Bij verdere rotatie van het wiel ontstaan er steeds contactpunten op het snijpunt van de ingrijplijn en de evolvente A b CA. In situatie II raakt de voet van de beschouwde tandflank nog net de kop van de samenwerkende tandflank in punt B op de ingrijplijn. Bij verdere rotatie wordt het contact tussen deze twee samenwerkende tandflanken verbroken. Situatie I en II leggen achtereenvolgens het beginpunt en het eindpunt van het contact tussen twee samenwerkende tandflanken vast. Alle contactpunten liggen op de ingrijplijn tussen de punten A en B. De lengte van het lijnstuk AB is de werkelijke ingrijpweg. De lengte van het lijnstuk AB is afhankelijk van het tandenaantal z bij een bepaalde waarde van de diameter van de steek- of basiscirkel r of r b. Het is daarom handiger om een dimensieloze of relatieve aanduiding van de werkelijke ingrijpweg te formuleren: het ingrijpquotiënt ε.

3 Het ingrijpquotiënt. De werkelijke ingrijpweg kan in een dimensieloze vorm worden gebracht door te normeren. Een geschikte referentie hiervoor is de steek(boog) p, omdat de steek ook afhankelijk is van het tandental bij een bepaalde diameter van de steekcirkel. Een directe vergelijking is echter niet mogelijk omdat de ingrijpweg een rechte is gelegen op de ingrijplijn en de steek een boog is op de steekcirkel. De algemeen toegepaste keuze is om de verschillende grootheden te betrekken op de steekcirkel. Het begin van de ingrijping vindt plaats in positie C op de steekcirkel, situatie I in figuur 2. Punten A, C en A b van de evolvente in deze positie leggen in feite dezelfde positie van deze tand vast, evenals de punten C' en A' b op de symmetrielijn door de tand. Met elk van deze punten is de positie van de tand in deze situatie vast te leggen. Hetzelfde is van toepassing voor situatie II, met dien verstande dat de positie van de tand met elk van de punten D, B en B d, respectievelijk punten D' en B' d is vast te leggen. De werkelijke ingrijpweg wordt beschreven vanuit het contact in situatie I tot en met het contact in situatie II en de ingrijpweg AB wordt hierbij doorlopen. Dezelfde ingrijpweg wordt ook beschreven door door een punt C van de evolvente flank op de steekcirkel. Op de steekcirkel doorloopt dit punt de boog CD gedurende de ingrijping. Op de basiscirkel wordt deze ingrijping beschreven door een punt A b op de evolvente flank; hier wordt de boog A b B b doorlopen gedurende de ingrijping. Het ingrijpquotiënt ε wordt nu gedefinieerd als: ε = arc(cd) / p De relatie met de ingrijpweg AB wordt als volgt gelegd: arc (CD) = arc (C D ) (1) arc (A b B b ) = arc (A b B b ) (2) En de relaties met de evolvente: AF 2 = arc (A b F 2 ) (3) BF 2 = arc (B b F 2 ) (4) Dan is: AB = AF 2 BF 2 = arc (A b F 2 ) arc (B b F 2 ) = arc (A b B b ) (6) Via de verhouding van de stralen van de basis- en steekcirkel (zie figuur 1): r b = r cos (α) (7) kan de boog C'D' worden omgezet naar de boog A' b B' b (beide bogen omsluiten dezelfde hoek ϕ, zie figuur 2): arc (A b B b ) = arc (C D ) cos (α) (8) Uit (1), (8), (2) en (6) volgt nu: arc (CD) = arc (A b B b ) / cos(α) = AB/ cos(α) en hiermee is het ingrijpquotiënt: ε = AB/ (p cos(α)) = AB/ p b Voor de continuïteit van de beweging moeten er ook tandparen voorafgaand, respectievelijk navolgend op het tandpaar in figuur 2 het contact gedurende een gedeelte van de ingrijping ondersteunen. Deze tandparen bevinden zich op een afstand overeenkomend met de steekboog p ten opzichte van de positie van de tand in figuur 2. Om continuïteit van de beweging mogelijk te maken kan als algemene eis aan het ingrijpquotiënt gesteld worden dat: ε > 1.

4 ingrijping In het algemeen geldt voor de evolvente vertanding (bij ongecorrigeerde tandflanken en uitwendige vertanding) dat: 1,4 ε 1,65 Er is dus voldoende overlapping om de beweging continue over te dragen aan de opeenvolgende tandparen. De gehele ingrijping. Gedurende een gedeelte van de ingrijping zijn er meerdere (2) tandparen welke contact maken en wel bij het begin van de ingrijping van een tand (situatie I in figuur 2) en bij het einde van de ingrijping (situatie II in figuur 2). In een tussenliggend traject is er slechts één tandpaar voor het contact aanwezig. De plaats van het omschakelen van het aantal tandparen op de ingrijpweg AB is belangrijk voor de sterkteberekingen. In figuur 3 is de gehele werkelijke ingrijpweg AB met de wisselpunten EW 1 en EW 2 aangegeven. aantal tandflanken 2 1 situatie I situatie II F 1 A EW 1 O EW 2 B F 2 Figuur 3. Vanaf het wisselpunt EW 1 (EingriffsWechselpunkt 1) tot en met het wisselpunt EW 2 wordt de ingrijping door één paar samenwerkende tandflanken gedragen. De positie van de wisselpunten kan als volgt worden bepaald: Punt EW 1 : Bedenk dat de voorafgaande tandflank zich dan net in positie II (in figuur 2) bevindt. De afstand tussen deze twee opeenvolgende tandflanken (of opeenvolgende tanden) wordt vastgelegd door de steekboog p op de steekcikel. Deze afstand kan ook worden bepaald op de basiscirkel met behulp van de steekboog p b, waarbij p b = p cos (α). Wederom gebruik makende van de eigenschappen van de evolvente kan de steekboog op de basiscirkel worden omgezet in een lijnstuk op de ingrijplijn: EW 1 B = EW 1 F 2 BF 2 = p b + arc(b b F 2 ) arc (B b F 2 ) = p b = p cos(α) Punt EW 2 : Bedenk dat de navolgende tandflank zich net in positie I (in figuur 2) bevindt. De afstand AEW 2 kan op soortgelijke wijze als bij het wisselpunt EW 1 worden bepaald: AEW 2 = AF 2 EW 2 F 2 = arc(a b F 2 ) [ arc (A b F 2 ) p b ] = p b = p cos(α) Een animatie van de ingrijping is te vinden op:

5 Post / faculteit werktuigbouwkunde 4B600, Aandrijf- en Tribotechniek 2002, FPTe 0304_14